功能梯度耦合梁的能量輻射傳遞模型

王 幸， 鐘 強(qiáng)， 李 翱， 陳海波

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 近代力學(xué)系 中國(guó)科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230026)

復(fù)合材料梁在航空航天領(lǐng)域具有十分重要而廣泛的應(yīng)用，如在飛機(jī)機(jī)翼、直升機(jī)尾槳等零部件上已大量使用[1]。傳統(tǒng)層壓復(fù)合材料結(jié)構(gòu)在極端工況下，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)脫層和裂紋等損傷失效現(xiàn)象。與傳統(tǒng)的層壓復(fù)合材料不同，功能梯度材料(functionally graded material, FGM)是一種新型的非均質(zhì)復(fù)合材料，它是由兩種或者兩種以上的材料在微觀上融合制備而成[2-3]。FGM中不同材料成分之間的過(guò)渡是漸變的，這可以有效降低分層的風(fēng)險(xiǎn)，所以傳統(tǒng)層壓復(fù)合材料梁越來(lái)越多的被FGM梁代替。像機(jī)翼、尾槳等大型部件中耦合梁結(jié)構(gòu)是不可避免的，且在實(shí)際工況中往往受到高頻載荷[4-5]，引發(fā)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度破壞和疲勞失效等問(wèn)題。所以研究FGM耦合梁的高頻振動(dòng)是很有必要的。

發(fā)生高頻振動(dòng)時(shí)，子頻帶內(nèi)的模態(tài)密集，模態(tài)高度重疊，且特征波長(zhǎng)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)尺寸。根據(jù)高頻振動(dòng)的特征，將帶寬內(nèi)模態(tài)數(shù)大于5或模態(tài)重疊因子大于2的頻段定義為高頻段。傳統(tǒng)有限元(finite element method，F(xiàn)EM)[6]和邊界元法(boundary element method，BEM)[7]在求解結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)時(shí)會(huì)遇到兩個(gè)問(wèn)題：①由于振動(dòng)波長(zhǎng)較小導(dǎo)致的計(jì)算成本高；②結(jié)構(gòu)不確定性非常敏感導(dǎo)致的計(jì)算魯棒性不強(qiáng)。為了避免傳統(tǒng)數(shù)值方法在高頻段遇到的這兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)者們提出了多種的能量分析方法。其中最流行的是統(tǒng)計(jì)能量分析法(statistical energy analysis，SEA)[8-9]。但受限于擴(kuò)散場(chǎng)假設(shè)，SEA僅能給出振動(dòng)子系統(tǒng)的平均能量響應(yīng)，而B(niǎo)ot等[10-12]通過(guò)類比熱輻射提出了能量輻射傳遞法(radiative energy transfer method，RETM)，它可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)系統(tǒng)中任意位置的能量響應(yīng)。RETM理論遵循惠更斯原理與線性疊加原理，系統(tǒng)的振動(dòng)場(chǎng)由域內(nèi)實(shí)源和邊界虛源疊加而成，每個(gè)源產(chǎn)生的波場(chǎng)對(duì)于一維系統(tǒng)是平面波，對(duì)于二維系統(tǒng)是柱面波，對(duì)于三維系統(tǒng)是球面波。但是目前RETM的應(yīng)用局限于各向同性系統(tǒng)，本文將此方法拓展到復(fù)合材料梁的高頻響應(yīng)分析中。

在FGM梁的動(dòng)力學(xué)研究方面，Aydogdu等[13]研究了簡(jiǎn)支邊界條件下FGM梁的自由振動(dòng)問(wèn)題，趙亮等[14]針對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)的FGM懸臂梁進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，鄧昊等[15]研究了沿軸向指數(shù)分布的FGM梁的固有頻率和模態(tài)振型，Liu等[16]通過(guò)建立能量流模型計(jì)算了受橫向激勵(lì)作用下的FGM梁的高頻振動(dòng)響應(yīng)。但是目前國(guó)內(nèi)針對(duì)FGM耦合梁高頻振動(dòng)響應(yīng)的研究較少。本文考慮FGM耦合梁中彎曲振動(dòng)和軸向振動(dòng)的耦合效應(yīng)，基于RETM理論建立FGM梁振動(dòng)響應(yīng)的求解模型，通過(guò)數(shù)值算例，與波傳播分析法[17](wave propagation analysis，WPA)計(jì)算的精確解對(duì)比，驗(yàn)證所建立的求解模型的準(zhǔn)確性。WPA法是根據(jù)波的傳播特性，通過(guò)對(duì)控制方程進(jìn)行兩次傅里葉變換建立的。第一次變換得到位移在波數(shù)空間的幅值，第二次逆變換得到位移在空間內(nèi)的直接場(chǎng)解。位移解為直接場(chǎng)解加上一般解，一般解由邊界條件確定，因此WPA方法相當(dāng)于理論解，可以用于驗(yàn)證RETM的準(zhǔn)確性。此外，本文還分析了材料梯度指數(shù)n、頻率f以及阻尼損耗因子η對(duì)FGM梁頻散關(guān)系及能量響應(yīng)的影響，討論了梯度指數(shù)n對(duì)FGM耦合梁能量傳遞系數(shù)的影響，分析了FGM耦合梁彎曲和軸向振動(dòng)響應(yīng)。

1 FGM梁的振動(dòng)模型

1.1 材料特性

圖1為矩形截面FGM梁，梁的長(zhǎng)寬高為l×b×h，建立如圖1所示的笛卡爾坐標(biāo)系，材料在z方向按照冪函數(shù)形式分布

(1)

式中：P(z)為材料特性，包括彈性模量、質(zhì)量密度和阻尼損耗因子等；Rp=Ptm/Pbm，Ptm和Pbm分別為FGM梁的頂層和底層的材料特性；n(n≥0)為材料梯度指數(shù)，表示材料組成成分的體積分布；當(dāng)n<1時(shí)，頂層材料占主導(dǎo)；當(dāng)n=1時(shí)，材料在厚度方向上的變化是線性的；當(dāng)n>1時(shí)，底層材料占主導(dǎo)。

圖1 矩形截面FGM梁示意圖Fig.1 Schematic diagram of rectangular cross-section FGM beam

1.2 梁中的波傳播

圖2(a)為受橫向點(diǎn)激勵(lì)F(x,t)=δ(x-x0)F0ejωt作用的FGM梁，將產(chǎn)生橫向振動(dòng)。其中F0為激勵(lì)的振幅，ω為圓頻率，t為時(shí)間變量，j2=-1。參照Liu等的研究，基于Euler-Bernoulli梁理論，建立拉格朗日方程，再根據(jù)哈密頓原理，推導(dǎo)得到FGM梁的彎曲振動(dòng)控制方程為

(2)

(3)

式中：w為梁的橫向位移；A為梁的橫截面面積；D1為拉伸剛度；D2為耦合剛度；D3為彎曲剛度；I1,I2和I3為慣性矩；E(z)為彈性模量；ρ(z)為質(zhì)量密度。

圖2 單個(gè)FGM梁的振動(dòng)Fig.2 Vibration of single FGM beam

圖2(b)為受軸向點(diǎn)激勵(lì)F(x,t)作用的FGM梁，將發(fā)生軸向振動(dòng)。不考慮彎曲振動(dòng)對(duì)軸向振動(dòng)的影響，可得軸向振動(dòng)控制方程為

(4)

式中，u為梁的軸向位移。

假設(shè)行波解，w(x,t)=Anejkbxejωt，u(x,t)=Bnejklx·ejωt，kb和kl分別為彎曲波波數(shù)和縱波波數(shù)。分別代入式(2)和式(4)，解齊次方程得

(5)

橫向位移和軸向位移的通解為

(6)

圖3為無(wú)限FGM梁中的波傳播示意圖。圖3(a)中彎曲波在FGM梁中有兩個(gè)傳播波和兩個(gè)倏逝波，圖3(b)中縱波包含兩個(gè)傳播波。倏逝波相對(duì)于空間呈指數(shù)形式衰減，傳播了幾個(gè)波長(zhǎng)的距離后就可忽略不計(jì)。而在高頻情況下，波長(zhǎng)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)尺寸，這意味著倏逝波僅在激勵(lì)點(diǎn)附近存在。

圖3 無(wú)限FGM梁中的波傳播Fig.3 Wave propagation in an infinite FGM beam

考慮結(jié)構(gòu)阻尼時(shí)，E(z)變?yōu)镋(z)[1+jη(z)]，η(z)為遲滯阻尼損耗因子。有效阻尼ηeff用以描述在厚度方向上變化的阻尼對(duì)功率耗散的影響

(7)

1.3 能量密度與功率流強(qiáng)度

能量密度W=Wp+Wk，Wp為勢(shì)能密度，Wk為動(dòng)能密度。彎曲振動(dòng)和軸向振動(dòng)的時(shí)間平均能量密度〈W〉b和〈W〉l分別為

(8)

式中，〈·〉為時(shí)間平均；(·)*為取共軛；Re(·)為取實(shí)部。功率流強(qiáng)度為通過(guò)單位面積的功率。

彎曲振動(dòng)和軸向振動(dòng)的時(shí)間平均功率流強(qiáng)度〈I〉b和〈I〉l分別為

(9)

梁的時(shí)間平均輸入功率〈Pin〉為

(10)

式中，Y為激勵(lì)點(diǎn)的輸入導(dǎo)納

(11)

2 FGM梁的RETM模型

2.1 點(diǎn)源在自由場(chǎng)中的能量輻射

在使用RETM計(jì)算FGM梁振動(dòng)響應(yīng)之前，首先要明確RETM的有效域。開(kāi)發(fā)RETM的初衷是用以解決阻尼較大時(shí)不滿足擴(kuò)散場(chǎng)假設(shè)導(dǎo)致無(wú)法用SEA計(jì)算的問(wèn)題，所以理論上RETM的有效域是寬于SEA的。根據(jù)文獻(xiàn)[18]，RETM相比SEA不需要對(duì)衰減系數(shù)和耦合強(qiáng)度進(jìn)行限制，所以RETM的有效性條件為：子頻帶內(nèi)的模態(tài)數(shù)N?1，模態(tài)重疊因子M?1。參照Bot等的研究，將N≥1和M≥1的共同部分視為RETM有效域。模態(tài)數(shù)用模態(tài)密度γ表示為N=γΔω，Δω為頻段帶寬；模態(tài)重疊因子定義為M=γηω，并且模態(tài)密度γ=L/(πcg)[19],cg=dω/dk為群速度。此外，根據(jù)式(5)不難推導(dǎo)得到：軸向振動(dòng)的群速度等于相速度，彎曲振動(dòng)的群速度與相速度正相關(guān)，相速度cp=ω/k。綜上，相同頻率下，波數(shù)越大，群速度越小，導(dǎo)致模態(tài)密度越大，進(jìn)而模態(tài)數(shù)和模態(tài)重疊因子越大，即波數(shù)越大結(jié)構(gòu)越容易滿足RETM的使用條件。對(duì)于耦合梁，需要滿足Ni?1，Mi?1，i=1,2。

RETM的基本假設(shè)：① 均勻線性振動(dòng)系統(tǒng)，且系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)振動(dòng)階段；②遲滯小阻尼模型；③不考慮倏逝波引起的近場(chǎng)效應(yīng)；④不考慮波傳播過(guò)程中的相互干涉。

圖4為FGM梁中無(wú)窮小單元的能量守恒。根據(jù)假設(shè)①，在穩(wěn)態(tài)情況下，F(xiàn)GM梁中無(wú)窮小單元的輸入功率等于輸出功率與耗散功率之和

div·I+Pdiss=Pinj

(12)

式中：div·為散度算子；Pdiss為耗散功率；Pinj為輸入功率。根據(jù)假設(shè)②，遲滯阻尼模型中的耗散功率和能量密度成正比

Pdiss=ηωW

(13)

圖4 FGM梁中無(wú)窮小單元的能量守恒Fig.4 The energy conservation of infinitesimal element in FGM beam

將I=cgW和式(13)代入式(12)得

(14)

式中，m=ηω/cg為能量衰減系數(shù)，對(duì)于FGM梁，阻尼用式(7)中的有效阻尼。

令r=x-x0，式(14)的齊次解為

I=Ce-m|r|

(15)

所以，功率流強(qiáng)度為

(16)

將式(14)左右兩邊從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮積分，圖5描述了積分域，分為3個(gè)部分：(-∞,+ε)；(ε,+∞)；(-ε,ε)，ε→0(ε>0)其中前兩部分積分為零，因?yàn)樵谶@兩個(gè)域內(nèi)沒(méi)有能量輸入，即

(17)

求得C=Pin/2，進(jìn)而功率流強(qiáng)度為

(18)

相應(yīng)的能量密度為

(19)

2.2 單一FGM梁的RETM

根據(jù)假設(shè)④，忽略波傳播過(guò)程中的相互干涉，域內(nèi)點(diǎn)的總能量密度遵循線性疊加原理?？偛▓?chǎng)由內(nèi)部實(shí)源產(chǎn)生的直接場(chǎng)和邊界虛源產(chǎn)生的反射場(chǎng)疊加而成。圖6為單個(gè)FGM梁RETM示意圖，梁上任意一點(diǎn)M的能量由激勵(lì)點(diǎn)處的實(shí)源ρS引發(fā)的直接場(chǎng)和兩端點(diǎn)處的虛源σA和σB引發(fā)的反射場(chǎng)共同產(chǎn)生。結(jié)合式(18)和式(19)，M點(diǎn)的功率流強(qiáng)度和能量密度為

(20)

圖6 單個(gè)梁的RETM示意圖Fig.6 RETM schematic diagram of a single beam

式中，ρS=Pin/2。RETM只需求解出邊界虛源強(qiáng)度就可以描述梁中任意點(diǎn)的功率流強(qiáng)度和能量密度，而邊界虛源強(qiáng)度可根據(jù)邊界處的功率流平衡條件求解。邊界處的功率流平衡為

(21)

解得

(22)

(23)

將式(22)代入式(20)，梁上任意一點(diǎn)的功率流強(qiáng)度和能量密度即可求得。

2.3 FGM耦合梁的RETM

計(jì)算耦合梁的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，需要對(duì)耦合處的能量傳遞系數(shù)進(jìn)行求解。圖7為θ角度耦合的兩個(gè)半無(wú)限梁，其振動(dòng)包括彎曲振動(dòng)和軸向振動(dòng)的耦合，耦合處的能量傳遞系數(shù)為θ的函數(shù)。In為入射波，Re為反射波，Tr為透射波，下標(biāo)b為彎曲波，l為縱波，e為倏逝波。梁1和梁2的位移為

(24)

根據(jù)耦合處的位移連續(xù)及力的平衡條件可解出式(24)中各個(gè)波的幅值[RebReb,eRelTrbTrb,eTrl]。規(guī)定當(dāng)輸入為彎曲波時(shí)，Inl=0；當(dāng)輸入為縱波時(shí)，Inb=0。各波的功率為

(25)

則耦合處的能量傳遞系數(shù)為

(26)

式中：Pc,i為梁i中c型入射波的功率；Pd,ij為梁i中入射波傳遞到梁j中產(chǎn)生的d型波的功率；τcd,ij為梁i中的c型入射波在梁j中產(chǎn)生的d型波的能量傳遞系數(shù)；當(dāng)i=j時(shí)為能量反射系數(shù)，當(dāng)i≠j時(shí)為能量透射系數(shù)，i,j=1, 2，c, d=b, l。

圖7 θ角度耦合的兩個(gè)半無(wú)限梁Fig.7 Two semi-infinite beams coupled with angle θ

圖8為耦合梁的RETM示意圖，在耦合點(diǎn)B處，分別包含梁1和梁2的邊界虛源σB1和σB2。RETM理論中每個(gè)子結(jié)構(gòu)內(nèi)部的能量密度和能量流分布只由該子結(jié)構(gòu)內(nèi)部的實(shí)源和虛源決定，與其他子結(jié)構(gòu)內(nèi)部的虛源無(wú)關(guān)，且彎曲波和縱波相互獨(dú)立。梁1和梁2中的任意點(diǎn)M的功率流強(qiáng)度和能量密度為

(27)

邊界處的功率流平衡

(28)

圖8 耦合角度為θ的耦合梁RETM示意圖Fig.8 RETM schematic diagram of a coupled beams with a coupling angle of θ

3 數(shù)值算例分析

將WPA求解的能量響應(yīng)作為解析解，用數(shù)值模擬驗(yàn)證RETM求解FGM梁的準(zhǔn)確性。數(shù)值模擬中用到的材料組分如表1所示，頂層為鋼，底層為氧化鋁。FGM梁兩端是簡(jiǎn)支的，在梁的中部施加簡(jiǎn)諧的點(diǎn)激勵(lì)。首先討論材料梯度指數(shù)n、頻率f以及阻尼損耗因子η等變量對(duì)單個(gè)FGM梁振動(dòng)響應(yīng)的影響，然后考察耦合角度θ和n對(duì)FGM耦合梁能量傳遞系數(shù)的影響，最后分別計(jì)算FGM耦合梁彎曲振動(dòng)和軸向振動(dòng)的能量響應(yīng)。在描述能量響應(yīng)時(shí)，取能量密度的參考值為1×10-12J/m。

表1 FGM梁底層和頂層的材料特性

3.1 單一FGM梁

圖2(a)所示的單個(gè)FGM簡(jiǎn)支梁，梁的長(zhǎng)寬高：L×b×h=1.000 m×0.001 m×0.001 m，在x=x0處受到橫向簡(jiǎn)諧點(diǎn)激勵(lì)。

圖9給出了不同梯度指數(shù)n下FGM梁彎曲波波數(shù)隨頻率f的變化情況。當(dāng)n一定時(shí)，f越大，波數(shù)越多。因?yàn)椴〝?shù)定義為單位波長(zhǎng)內(nèi)完整波的數(shù)量，頻率越大波長(zhǎng)越短，因此波數(shù)越多。當(dāng)f一定時(shí)，n越大，波數(shù)越少。因?yàn)閚越大，底層材料氧化鋁占比越大，彈性模量越大，則梁的剛度越大，從而波數(shù)越少。此外，由圖9可以看出，高頻情況下單一FGM梁彎曲波數(shù)的量級(jí)為1×102。傳統(tǒng)FEA需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行單元離散，且要求每個(gè)波長(zhǎng)至少用6個(gè)單元描述，這就需要大量的單元離散。因此，只需要兩個(gè)自由度的RETM的小計(jì)算量?jī)?yōu)勢(shì)就體現(xiàn)出來(lái)了。

圖9 不同梯度梯度指數(shù)n的FGM梁的波數(shù)隨頻率的變化Fig.9 Variation of wave number with frequency of FGM beams with different gradient index n

圖10給出了梯度指數(shù)n和η對(duì)輸入功率Pm的影響，頻率f=10 000 Hz。當(dāng)f和n一定時(shí)，η越大，Pm越小，但是η的影響較?。划?dāng)f和η一定時(shí)，n越大，Pin越大，且當(dāng)n增大到一定值時(shí)，Pin幾乎不隨n的改變而改變。

圖10 梯度指數(shù)n和η對(duì)輸入功率Pin的影響，f=10 000 HzFig.10 The influence of gradient index n and η on the input power Pin, f=10 000 Hz

圖11給出了梯度指數(shù)n和f對(duì)Pin的影響，阻尼ηim=ηbm=0.05。當(dāng)η和n一定時(shí)，f越大，Pin越小。

圖11 梯度指數(shù)n和f對(duì)輸入功率Pin的影響,ηtm=ηbm=0.05Fig.11 The influence of gradient index n and f on the input power Pin, ηtm=ηbm=0.05

圖12給出了梯度指數(shù)n對(duì)能量衰減系數(shù)m的影響，阻尼ηtm=ηbm=0.05，頻率f=10 000 Hz。當(dāng)f和η一定時(shí)，n越大，m越小，且當(dāng)n增大到一定值時(shí)，Pin幾乎不隨n的改變而改變。

圖12 梯度指數(shù)n對(duì)能量衰減系數(shù)m的影響，ηtm=ηbm=0.05Fig.12 The influence of gradient index n on the energy dissipation coefficient m, ηtm=ηbm=0.05

圖13給出了梯度指數(shù)n為1的單一FGM梁彎曲振動(dòng)情況下在頻率和阻尼平面的RETM有效域，是由臨界模態(tài)數(shù)線和臨界模態(tài)重疊因子線圍成的半無(wú)限有效域。而由圖9，n越大波數(shù)越小，進(jìn)而越難滿足RETM的使用條件，即當(dāng)n增大，有效域的臨界模態(tài)數(shù)線將右移，臨界模態(tài)重疊因子線將上移，反之亦然。

圖13 單一FGM梁在頻率和阻尼平面的有效域，n=1Fig.13 Validity domain of RETM for single FGM beam in frequency and damping plane，n=1

圖14 單個(gè)FGM梁的能量響應(yīng)水平Fig.14 Energy response level of a single FGM beam

圖15給出了不同梯度指數(shù)n的FGM梁能量密度分布，阻尼和頻率同圖14的設(shè)置。由圖15(a)可以觀察到，所有情況下，RETM結(jié)果和WPA結(jié)果吻合都較好，從而驗(yàn)證了RETM求解FGM梁高頻振動(dòng)能量響應(yīng)的準(zhǔn)確性。圖15(b)給出不同n下的RETM解，可以看出n越大的 FGM梁對(duì)應(yīng)的能量衰減幅度越小，這符合圖12的規(guī)律：當(dāng)η和f一定時(shí)，n越大，m越小。此外，除了激勵(lì)點(diǎn)附近，n越大能量密度越大，結(jié)合圖10和11，n越大Pm越大，激勵(lì)點(diǎn)附近由于衰減較少能量接近輸入能量，而隨著傳播距離的增加阻尼的影響漸漸體現(xiàn)出來(lái)。

圖15 不同n的FGM梁能量響應(yīng)水平Fig.15 Energy response level of FGM beams with different n

圖16給出了3組不同和下的FGM梁的能量響應(yīng)，梯度指數(shù)n=1。由圖16(a)和圖16(b)知，當(dāng)f一定，η越大，能量損耗越大，以致邊界處的入射波和反射波幅值減小，波的傳播路程減短，干涉波幅值減小，所以圖16(b)中WPA解在激勵(lì)點(diǎn)附近的振蕩不如圖16(a)明顯。對(duì)比圖16(b)和圖16(c)，當(dāng)η一定，f越大，能量損耗越大，圖16(c)同樣也有WPA解在激勵(lì)點(diǎn)附近振蕩幅度較小的規(guī)律。這是因?yàn)閙=ηω/cg，η和f越大，m越大，進(jìn)而邊界處能量越小，WPA解的振蕩幅度越小，RETM解和WPA解吻合得越好。

圖16 不同η,f下FGM梁能量響應(yīng)水平，n=1Fig.16 Energy response level of the FGM beam for different η and f, n=1

3.2 FGM耦合梁

考察圖7所示的半無(wú)限FGM耦合梁，截面尺寸均為b×h=0.001 m×0.001 m，梁1、梁2的材料梯度指數(shù)相同且均為1，結(jié)構(gòu)阻尼為0，頻率為10 000 Hz。

圖17為分別入射彎曲波和縱波時(shí)，能量傳遞系數(shù)隨θ的變化?？梢钥闯?，總的能量傳遞系數(shù)恒為1，這符合能量守恒。對(duì)比圖17(a)和圖17(b)，兩幅圖分別有兩條相對(duì)應(yīng)的曲線是完全一樣的，即τbl，11=τlb，11,τbl，12=τlb，12，這符合互易性。在圖17(b)，當(dāng)耦合角度接近90°時(shí)，τll，11達(dá)到最大，而τll，12接近于0。

圖17 不同耦合角度的能量傳遞系數(shù)，n1=n2=1Fig.17 Energy transfer coefficients for various coupling angles, n1=n2=1

圖18給出了彎曲波入射時(shí)的能量傳遞系數(shù)隨和的變化：①τbb，11隨著θ的增大而增大；②τbb，12隨著θ的增大呈先減小后增大的趨勢(shì)；③τbl，11隨著θ的增大呈先增后減的趨勢(shì)；④τbl,12隨著θ的增大呈先增后減的趨勢(shì)。n的影響主要集中在0～1，當(dāng)n增大到一定程度時(shí)，能量傳遞系數(shù)幾乎不隨n的改變而改變。

圖19為加載橫向點(diǎn)激勵(lì)的FGM耦合梁，梁1和梁2 的尺寸：Li×bi×hi=1.000 m×0.001 m×0.001 m，梯度指數(shù)：ni=5。在梁1的x0=0.5 m處受到橫向簡(jiǎn)諧力，耦合角度θ=π/3。

圖20為該耦合梁在頻率和阻尼平面的RETM有效域，圖20中臨界模態(tài)數(shù)線和臨界模態(tài)重疊因子線均只有一條線，這是因?yàn)榱?和梁2的材料、尺寸均相同。相比于彎曲振動(dòng)的RETM有效域，軸向振動(dòng)要求頻率更高、阻尼更大，因?yàn)橄嗤l率下，縱向波波數(shù)遠(yuǎn)小于彎曲波波數(shù)。耦合FGM梁的RETM有效域需要以軸向振動(dòng)的有效域?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)。

圖18 能量傳遞系數(shù)隨n和θ的變化，f=10 000 HzFig.18 The effect of n and θ on energy transfer coefficients, f=10 000 Hz

圖19 加載橫向點(diǎn)激勵(lì)的FGM耦合梁Fig.19 FGM coupled beams loaded by a lateral point force

圖20 FGM耦合梁在頻率和阻尼平面的RETM有效域Fig.20 Validity domain of RETM for FGM coupled beams in frequency and damping plane

圖21分別給出了FGM耦合梁的彎曲振動(dòng)和軸向振動(dòng)能量響應(yīng)，結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子：ηtmi=ηbmi=0.1，i=1,2，激勵(lì)頻率f=20 000 Hz，可以看出RETM解和WPA解析解吻合較好。由于梁1與梁2耦合角度不為零，在耦合處存在能量的躍變現(xiàn)象。圖21(a)中耦合點(diǎn)附近彎曲振動(dòng)能量的振蕩只存在于梁1，而圖21(b)，梁1、梁2的耦合處附近均存在明顯振蕩。這是由于彎曲波的波數(shù)較大，沿傳播路徑的能量衰減較大，導(dǎo)致梁2右端的反射波無(wú)法回傳到耦合處，因此梁2的耦合處附近沒(méi)有這種能量振蕩。由于相同頻率下，縱波的波數(shù)比彎曲波的波數(shù)少，沿傳播路徑的能量衰減較小，邊界處的反射波能夠傳到耦合處，在梁1梁2的耦合處附近均存在明顯振蕩。

圖21 FGM耦合梁的能量響應(yīng)水平Fig.21 Energy response level of FGM coupled beams

4 結(jié) 論

引入RETM求解FGM梁的響應(yīng)，并采用WPA計(jì)算的解作為精確解對(duì)比來(lái)驗(yàn)證RETM求解FGM梁高頻響應(yīng)的準(zhǔn)確性。給出了FGM梁的RETM有效域，分析了梯度指數(shù)n、結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子η以及頻率f對(duì)單個(gè)FGM梁能量密度的影響，討論了梯度指數(shù)n和耦合角度θ對(duì)FGM耦合梁能量傳遞系數(shù)的影響，分別計(jì)算了FGM耦合梁的彎曲振動(dòng)響應(yīng)和軸向振動(dòng)響應(yīng)。計(jì)算結(jié)果表明：

(1) 梯度指數(shù)n越大，RETM有效性條件越難滿足，表現(xiàn)為臨界模態(tài)數(shù)線右移和臨界模態(tài)重疊因子線上移，此外耦合FGM梁的RETM有效域要以軸向振動(dòng)的有效域?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)。

(2)n越大，能量衰減幅度越小；η和f越大，能量衰減幅度越大。能量衰減幅度越大，WPA解的振蕩幅度越小，RETM解與WPA解吻合越好。

(3) 總的能量傳遞系數(shù)恒為1，這符合能量守恒，且能量傳遞系數(shù)滿足互易性。能量傳遞系數(shù)受θ和n共同影響，n的影響主要集中在0～1。

(4) 用RETM求解的FGM耦合梁的彎曲振動(dòng)響應(yīng)和軸向振動(dòng)響應(yīng)均可與WPA解吻合，說(shuō)明了RETM可以用于求解FGM耦合梁模型，拓展了RETM的使用范圍。并且發(fā)現(xiàn)在同一耦合系統(tǒng)中，相同頻率下，縱波沿傳播路徑的能量衰減較彎曲波小。