一般邊界條件下受軸向沖擊圓柱殼的動(dòng)力特性計(jì)算分析

桂夷斐， 辛紹杰， 馬建敏

(1.上海電機(jī)學(xué)院 機(jī)械學(xué)院，上海 201306； 2.復(fù)旦大學(xué) 航空航天系，上海 200433)

在許多工程領(lǐng)域，圓柱殼結(jié)構(gòu)被廣泛使用，對(duì)用于結(jié)構(gòu)防撞安全及各類變形吸能裝置的圓柱殼，其受沖擊作用下的動(dòng)力屈曲一直是研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。對(duì)于經(jīng)典邊界圓柱殼的沖擊問(wèn)題，許多學(xué)者在理論建模、計(jì)算方法和試驗(yàn)研究等方面做了大量工作。Yamaki等[1-3]基于Donnell殼理論并忽略前屈曲，對(duì)于受軸向壓縮的圓柱殼得到了很多精確解。幾種不同支承條件下圓柱殼的屈曲特點(diǎn)也被許多學(xué)者討論[4-5]。Xu等[6-8]考慮到應(yīng)力波的傳播作用，對(duì)圓柱殼的動(dòng)態(tài)屈曲進(jìn)行了研究。Karagiozova等[9-10]基于初始缺陷的假設(shè)對(duì)圓柱殼使用離散模型進(jìn)行數(shù)值模擬分析，得到了一些結(jié)論。Han等[11]基于能量關(guān)系，應(yīng)用功率原理對(duì)彈性圓柱殼在剛體塊軸向沖擊下的動(dòng)力屈曲問(wèn)題進(jìn)行了討論，得到了一些關(guān)于臨界速度的結(jié)論。桂夷斐等[12-14]采用應(yīng)力波傳播理論對(duì)不同邊界條件以及不同結(jié)構(gòu)類型圓柱殼的動(dòng)力屈曲進(jìn)行了研究。

前人對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)的研究集中考慮了經(jīng)典邊界條件的組合，事實(shí)上，邊界條件作為影響結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的重要因素，研究中有必要探究彈性邊界約束對(duì)受軸向沖擊圓柱殼動(dòng)力特性的影響。Mofakhami[15]等提出了一種在不同邊界條件下，適用于多種有限長(zhǎng)度的圓柱結(jié)構(gòu)如棒材、空心圓柱和弧形板等的半解析方法，該方法中一些邊界條件使用正交化方法近似滿足。一些學(xué)者采用波傳播方法[16-19]來(lái)預(yù)測(cè)具有不同邊界條件的有限長(zhǎng)度圓柱殼的特性。Li等[20-21]提出了一種修正的傅里葉級(jí)數(shù)法，用于任意彈性支承梁板的動(dòng)力分析。Fok等[22]用能量法分析了嵌在彈性介質(zhì)中的長(zhǎng)圓柱殼的屈曲問(wèn)題。Gui等[23]基于能量守恒原理，采用波動(dòng)分析法討論了軸向彈簧阻尼連接圓柱殼受沖擊的動(dòng)力屈曲問(wèn)題。

本文根據(jù)Love薄殼理論得到圓柱殼應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并采用一種改進(jìn)的Fourier級(jí)數(shù)方法表示圓柱殼沿坐標(biāo)軸方向的位移。采用基于Hamilton方程的一階變分法對(duì)能量表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)和變換，得到受軸向沖擊圓柱殼的自然頻率以及屈曲臨界載荷的判別式。算例中設(shè)置不同的邊界剛度模擬一般邊界條件，計(jì)算分析了一般邊界條件對(duì)受軸向沖擊的圓柱殼自然頻率以及屈曲臨界載荷的影響，以及不同邊界條件圓柱殼屈曲模態(tài)的類型特點(diǎn)。

1 模型描述

如圖1所示為一般邊界條件下受軸向沖擊的圓柱殼，定義了柱坐標(biāo)系(x,θ,z)，x,θ,z分別為軸向、周向和徑向坐標(biāo)，u,v,w分別為圓柱殼中面的點(diǎn)沿x,θ,z軸方向的位移。圓柱殼長(zhǎng)為L(zhǎng)，壁厚為h，中面半徑為R，密度為ρ，彈性模量為E，泊松比為μ。kx,kθ,kz和Kz分別為施加于圓柱殼左端(x=L處)x,θ,z方向的線性彈簧和z方向的旋轉(zhuǎn)彈簧，且沿圓柱殼中面均勻分布。將彈簧剛度設(shè)置為不同的數(shù)值，則可模擬一般邊界條件。

圖1 圓柱殼模型及其邊界條件Fig.1 Modeling of the shell and its boundary conditions

圓柱殼的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系根據(jù)Hooke定律可表示為

(1)

(2)

圓柱殼變形過(guò)程中面上點(diǎn)的應(yīng)變分量可表示為

(3)

圓柱殼變形過(guò)程曲面曲率分量可表示為

(4)

式中，θx,θθ分別為沿θ,x軸的轉(zhuǎn)角。

(5)

對(duì)一般邊界條件下受軸向沖擊圓柱殼進(jìn)行能量分析時(shí)，考慮到圓柱殼變形過(guò)程中的應(yīng)力和應(yīng)變，需要構(gòu)造可行的位移函數(shù)表示圓柱殼變形過(guò)程中的位移u,v,w。

2 位移函數(shù)表達(dá)式

考慮到3個(gè)方向的位移u,v,w在圓柱殼周向是以2π為周期的函數(shù)，因此可以用Fourier級(jí)數(shù)表示位移函數(shù)。一般邊界條件下受軸向沖擊圓柱殼的位移u,v,w采用如式(6)所示的改進(jìn)Fourier級(jí)數(shù)的形式[24]，表示成圓柱殼軸向模態(tài)和周向模態(tài)相乘，且加上補(bǔ)充函數(shù)的形式。

(6)

式中：λm=mπ/L；m,n分別為圓柱殼模態(tài)的軸向和周向波數(shù)；n=0為圓柱殼軸對(duì)稱模態(tài)的波數(shù)；位移函數(shù)取不同的軸向波數(shù)m和周向波數(shù)n，可展開成不同階模態(tài)的圓柱殼位移；Amn,an,bn,Bmn,cn,dn,Cmn,en,fn,gn,hn分別為3個(gè)方向位移展開式的系數(shù)。

式(6)可寫成如下形式

u=[cosλ0xcos 0θ, cosλ1xcos 0θ,

…,cosλMxcos 0θ,ξ1cos 0θ,ξ2cos 0θ,

…,cosλ0xcosNθ,…,cosλMxcosNθ,

ξ1cosNθ,ξ2cosNθ]U=Ξ1U
v=[cosλ0xsin 0θ, cosλ1xsin 0θ,

…,cosλMxsin 0θ,ξ1sin 0θ,ξ2sin 0θ,

…,cosλ0xsinNθ,…,cosλMxsinNθ,

ξ1sinNθ,ξ2sinNθ]V=Ξ2V
w=[cosλ0xcos 0θ, cosλ1xcos 0θ,

…,cosλMxcos 0θ,η1cos 0θ,

η2cos 0θ,η3cos 0θ,η4cos 0θ,

…,cosλ0xcosNθ,…,cosλMxcosNθ,

η1cosNθ,η2cosNθ,η3cosNθ,

η4cosNθ]W=Ξ3W

(7)

其中

(8)

ξ1,ξ2,η1,η2,η3,η4為構(gòu)造的輔助函數(shù)；ξ1,ξ2為軸向和周向位移的補(bǔ)充函數(shù)；η1,η2,η3,η4為徑向位移的補(bǔ)充函數(shù)，形式如下

(9)

(10)

構(gòu)造如式(9)、式(10)所示的輔助函數(shù)并將其引入到Fourier級(jí)數(shù)的目的是，消除位移函數(shù)在圓柱殼邊界上空間導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)性，即確保一般邊界條件下，邊界力和力矩的連續(xù)性。接下來(lái)將圓柱殼應(yīng)力應(yīng)變以及位移代入能量表達(dá)式，并采用基于Hamilton方程的一階變分法對(duì)能量表達(dá)式進(jìn)行處理。

3 能量原理及推導(dǎo)變換過(guò)程

采用基于Hamilton方程的一階變分法對(duì)圓柱殼進(jìn)行分析。4個(gè)方向邊界彈簧約束下受軸向沖擊圓柱殼的總能量可寫成如下形式

Π=T-(Um+Ub+Ua+Ω)

(11)

圓柱殼中面應(yīng)變能表達(dá)式為

(12)

其中中面上點(diǎn)的應(yīng)變分量εx,εθ,εxθ如式(3)所示。圓柱殼彎曲應(yīng)變能表達(dá)式為

(13)

其中曲面曲率分量χx,χθ,χxθ如式(4)所示。圓柱殼軸向應(yīng)變能表達(dá)式為

(14)

式中，Na為圓柱殼所受軸向沖擊載荷。動(dòng)能表達(dá)式為

(15)

儲(chǔ)存于邊界彈簧中的彈性勢(shì)能表達(dá)式為

(16)

式中：C=Eh/(1-μ2);D=Eh3/12(1-μ2)。

將式(12)～式(16)代入式(11)可得

(17)

將式(7)代入式(17)進(jìn)一步整理得到矩陣形式的表達(dá)式

(18)

且

X=[U,V,W]T

(19)

(20)

(21)

(22)

矩陣的詳細(xì)表達(dá)式見附錄A。

基于Hamilton變分原理的表達(dá)式如下

(23)

將式(18)代入式(23)，采用一階變分法，可以給出關(guān)于式(23)的矩陣形式如下

(24)

式(24)所對(duì)應(yīng)的廣義特征值問(wèn)題可以表示為

|K-ω2M|=0

(25)

由方程式(25)可解得一般邊界條件下受軸向沖擊圓柱殼的自然頻率以及發(fā)生屈曲的臨界載荷，利用計(jì)算軟件MATLAB對(duì)方程式(25)進(jìn)行編程計(jì)算，對(duì)自然頻率ω以及臨界載荷Na進(jìn)行討論。其中隱含在方程式(25)中的軸向波數(shù)m、周向波數(shù)n、軸向邊界剛度kx、周向邊界剛度kθ、徑向邊界剛度kz、徑向旋轉(zhuǎn)邊界剛度Kz、軸向沖擊載荷Na、自然頻率ω等變量的關(guān)系見附錄B。

4 數(shù)值計(jì)算結(jié)果及分析

分析圓柱殼受軸向沖擊時(shí)，設(shè)置不同的邊界剛度模擬一般邊界條件，進(jìn)而分析一般邊界條件對(duì)圓柱殼動(dòng)力屈曲的影響，并且對(duì)一般邊界條件下圓柱殼受軸向沖擊的自然頻率進(jìn)行了討論，本文的結(jié)果通過(guò)計(jì)算軟件MATLAB編程獲得。相對(duì)于殼體剛度數(shù)值1×108，無(wú)限大的邊界剛度用一個(gè)極大的數(shù)值1×1012表示。取圓柱殼參數(shù)L=0.4 m,ρ=2 700 kg/m3,E=70 GPa,μ=0.33。

4.1 一般邊界條件對(duì)受軸向沖擊圓柱殼自然頻率的影響

圖2(a)所示為在非沖擊端設(shè)置其他3個(gè)方向邊界剛度無(wú)窮大，僅改變軸向邊界剛度kx時(shí)，受軸向沖擊圓柱殼的自然頻率ω隨軸向邊界剛度kx的變化。圖2(b)所示為在非沖擊端設(shè)置其他3個(gè)方向邊界剛度無(wú)窮大，僅改變周向邊界剛度kθ時(shí)，受軸向沖擊圓柱殼的自然頻率ω隨周向邊界剛度kθ的變化。圖2(c)所示為在非沖擊端設(shè)置其他3個(gè)方向邊界剛度無(wú)窮大，僅改變徑向邊界剛度kz時(shí)，受軸向沖擊圓柱殼的自然頻率ω隨徑向邊界剛度kz的變化。圖2(d)所示為在非沖擊端設(shè)置其他3個(gè)方向邊界剛度無(wú)窮大，僅改變徑向旋轉(zhuǎn)邊界剛度Kz時(shí)，受軸向沖擊圓柱殼的自然頻率ω隨徑向旋轉(zhuǎn)邊界剛度Kz的變化。從圖2(a)～圖2(d)都可以看出，在邊界剛度一定時(shí)，隨著軸向波數(shù)m增加，自然頻率ω增大。即4種不同邊界條件下，軸向波數(shù)越高，圓柱殼自然頻率越高。

圖2 圓柱殼自然頻率隨邊界剛度的變化Fig.2 Variation of natural frequency versus boundary stiffness

圖2(b)、圖2(d)中隨著軸向波數(shù)m增大，各階自然頻率曲線間隔越來(lái)越小，說(shuō)明圓柱殼在周向邊界剛度kθ或徑向旋轉(zhuǎn)邊界剛度kz一定的情況下，隨著軸向波數(shù)m的增大，相鄰兩軸向波數(shù)對(duì)應(yīng)的自然頻率變化量越來(lái)越小。

將圖2(a)～圖2(d)曲線都可分為敏感區(qū)域和非敏感區(qū)域，在敏感區(qū)域殼體自然頻率隨剛度系數(shù)增大快速增大，在非敏感區(qū)域自然頻率隨剛度系數(shù)增大緩慢增大，直至穩(wěn)定不變。軸向、周向、徑向和徑向旋轉(zhuǎn)各方向剛度系數(shù)較小時(shí)為敏感區(qū)域，較大時(shí)為非敏感區(qū)域。說(shuō)明各方向的邊界剛度系數(shù)越小，圓柱殼的自然頻率越低。

圖2(c)中各階自然頻率敏感區(qū)域范圍隨著軸向波數(shù)m增大而減小，說(shuō)明在敏感區(qū)域，軸向波數(shù)越大，圓柱殼的自然頻率隨徑向邊界剛度kz變化越迅速。且圓柱殼的自然頻率關(guān)于4個(gè)方向邊界剛度的敏感區(qū)域不同。

圖3根據(jù)式(25)，在4種不同的邊界條件下，通過(guò)改變軸向沖擊載荷Na、軸向波數(shù)m、周向波數(shù)n，分析圓柱殼的自然頻率ω的變化規(guī)律。計(jì)算中分別只保留軸向(kx=1×104N/m，kθ=kz=kz=∞)、周向(kθ=1×104N/m，kx=kz=Kz=∞)、徑向(k=1×104N/m，kx=kθ=Kz=∞)和徑向旋轉(zhuǎn)(Kz=1×104N/m，kx=kθ=kz=∞)的單一彈性約束，取h=0.002 m,r=0.04 m。

圖3所示為受軸向沖擊的情況下，在圓柱殼的非沖擊端依次設(shè)置為僅保留軸向彈性約束、周向彈性約束、徑向彈性約束、徑向旋轉(zhuǎn)彈性約束時(shí)，自然頻率ω隨軸向沖擊載荷Na的變化關(guān)系。在4種不同邊界條件下都可看出，軸向波數(shù)m和周向波數(shù)n一定時(shí)，自然頻率ω隨著軸向沖擊載荷Na增大而降低，當(dāng)自然頻率ω接近零時(shí)，軸向沖擊載荷Na接近臨界載荷。且隨著周向波數(shù)n增大屈曲臨界載荷增大，自然頻率ω及屈曲臨界載荷都隨著軸向波數(shù)m的增大而增大。

對(duì)比圖3，4種不同邊界條件下自然頻率隨軸向沖擊載荷的變化量可知，圖3(a)和圖3(d)的自然頻率變化量差別不大，圖3(b)和圖3(c)的自然頻率變化量差別不大，且圖3(b)、圖3(c)的自然頻率變化量比圖3(a)、圖3(d)的大。

4.2 一般邊界條件對(duì)圓柱殼臨界載荷的影響

圖4根據(jù)式(25)，分析圓柱殼的屈曲臨界載荷Na隨邊界剛度、軸向波數(shù)m、圓柱殼厚徑比(h/R)的變化規(guī)律，此時(shí)圓柱殼自然頻率ω=0，周向波數(shù)n=1。接下來(lái)的計(jì)算中依次將圓柱殼設(shè)置為僅保留軸向彈性約束、周向彈性約束、徑向彈性約束、徑向旋轉(zhuǎn)彈性約束的情形，表示4種不同的邊界情況。僅保留軸向彈性約束時(shí)設(shè)置邊界條件為kθ=kz=Kz=∞(即x=L處，u≠0,v=w=?w/?x=0)；僅保留周向彈性約束時(shí)設(shè)置邊界條件為kx=kz=K=∞(即x=L處，ω≠0,u=v=?w/?x=0)；僅保留徑向彈性約束時(shí)設(shè)置邊界條件為kx=kθ=kz=∞(即x=L處，w≠0,u=v=?w/?x=0)；僅保留徑向旋轉(zhuǎn)彈性約束時(shí)設(shè)置邊界條件為kx=kθ=kz=∞(即x=L處，?w/?x=≠0,u=v=w=0)。

圖4(a)所示為在非沖擊端設(shè)置其他3個(gè)方向邊界剛度無(wú)窮大，僅改變軸向邊界剛度kx時(shí)，受軸向沖擊圓柱殼的屈曲臨界載荷Na隨軸向邊界剛度kx的變化曲線。圖4(b)所示為在非沖擊端設(shè)置其他3個(gè)方向邊界剛度無(wú)窮大，僅改變周向邊界剛度kθ時(shí)，受軸向沖擊圓柱殼的屈曲臨界載荷Na隨周向邊界剛度kθ的變化曲線。圖4(c)所示為在非沖擊端設(shè)置其他3個(gè)方向邊界剛度無(wú)窮大，僅改變徑向邊界剛度kz時(shí)，受軸向沖擊圓柱殼的屈曲臨界載荷Na隨徑向邊界剛度kz的變化曲線。圖4(d)所示為在非沖擊端設(shè)置其他3個(gè)方向邊界剛度無(wú)窮大，僅改變徑向旋轉(zhuǎn)邊界剛度Kz時(shí)，受軸向沖擊圓柱殼的屈曲臨界載荷Na隨徑向旋轉(zhuǎn)邊界剛度Kz的變化曲線。從圖4可以看出，邊界剛度與厚徑比一定時(shí)，圓柱殼的屈曲臨界載荷Na隨著軸向波數(shù)m增大而增大，說(shuō)明軸向波數(shù)越高，圓柱殼越難屈曲。

分析各種邊界條件下，圓柱殼厚徑比(h/R)的改變對(duì)屈曲臨界載荷Na的影響，可以看出邊界剛度一定時(shí)，隨著厚徑比增大，屈曲臨界載荷值增大。說(shuō)明一般邊界條件下，厚徑比越大，圓柱殼越難屈曲。

可以將圖4的曲線分成敏感區(qū)域和非敏感區(qū)域，在敏感區(qū)域圓柱殼屈曲臨界載荷隨剛度系數(shù)增大而急劇降低，在非敏感區(qū)域臨界載荷隨剛度系數(shù)增大而緩慢降低，直至不變?？梢钥闯鲚S向、周向、徑向和徑向旋轉(zhuǎn)各個(gè)方向剛度較小時(shí)為敏感區(qū)域，較大時(shí)為非敏感區(qū)域。說(shuō)明各個(gè)方向的邊界剛度系數(shù)越小，圓柱殼越難屈曲。且圓柱殼的屈曲臨界載荷關(guān)于4個(gè)方向的邊界剛度的敏感區(qū)域不同。

圖3 圓柱殼自然頻率隨軸向沖擊載荷的變化 Fig.3 The natural frequency versus the axial impact load

圖4 屈曲臨界載荷隨邊界剛度的變化Fig. 4 The critical load versus the boundary stiffness

4.3 不同邊界條件下圓柱殼的周向屈曲模態(tài)

受軸向沖擊的圓柱殼在兩種不同邊界條件下的周向屈曲模態(tài)可根據(jù)式(25)由式(6)得到，分別取n=1,2,3,4,5的5階周向模態(tài),其中m=1,h=0.002 m,R=0.04 m，ω=0。

圖5所示為不同邊界條件下受軸向沖擊圓柱殼的周向屈曲模態(tài)。可以看出邊界條件不同，圓柱殼周向屈曲模態(tài)也不同，即圓柱殼受軸向沖擊時(shí)，邊界條件的改變會(huì)影響周向屈曲模態(tài)形狀。

圖5 受軸向沖擊的圓柱殼周向屈曲模態(tài)Fig.5 Circumferential buckling modes of the cylindrical shell

5 結(jié) 論

本文研究了4個(gè)方向彈簧約束下受軸向沖擊圓柱殼的動(dòng)力屈曲，并且對(duì)其自然頻率進(jìn)行了討論。經(jīng)計(jì)算分析得到如下結(jié)論：

(1)討論了一般邊界條件對(duì)受軸向沖擊圓柱殼自然頻率的影響，一般邊界條件下，隨著軸向波數(shù)的增加圓柱殼自然頻率增大。且在敏感區(qū)域，自然頻率隨各個(gè)方向邊界剛度增大快速增大，在非敏感區(qū)域，自然頻率隨邊界剛度增大緩慢增大，直至穩(wěn)定不變。圓柱殼的自然頻率關(guān)于4個(gè)方向邊界剛度的敏感區(qū)域不同。

(2)討論了一般邊界條件對(duì)圓柱殼屈曲臨界載荷的影響，一般邊界條件下，圓柱殼厚徑比越大越難屈曲。且隨著軸向波數(shù)的增加圓柱殼的屈曲臨界載荷增大。在敏感區(qū)域，屈曲臨界載荷隨各個(gè)方向邊界剛度增大而急劇降低，在非敏感區(qū)域，臨界載荷隨邊界剛度增大而緩慢降低，直至不變。圓柱殼的臨界載荷關(guān)于4個(gè)方向邊界剛度的敏感區(qū)域不同。

(3)討論了軸向沖擊載荷對(duì)一般邊界條件下圓柱殼自然頻率的影響，一般邊界條件下，圓柱殼的自然頻率隨著軸向沖擊載荷增大而降低，且周向邊界剛度和徑向邊界剛度的改變對(duì)自然頻率影響比較明顯。隨著周向波數(shù)增大，圓柱殼的屈曲臨界載荷也增大。

(4)討論了一般邊界條件下受軸向沖擊圓柱殼的周向屈曲模態(tài)，圓柱殼受軸向沖擊時(shí)，邊界條件的改變會(huì)影響周向屈曲模態(tài)形狀。

附錄A

附錄B