多維非平穩(wěn)隨機激勵下隔震曲線梁橋的非線性振動控制

李喜梅， 王建成， 母渤海

(1. 蘭州理工大學(xué) 西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，蘭州 730050；2. 蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所，蘭州 730050； 3. 中國市政工程西北設(shè)計研究院有限公司，蘭州 730050)

地震波通過地面?zhèn)鞑r，地面運動是復(fù)雜的多維運動，除了我們一般所熟知的3個平動分量外，還有3個轉(zhuǎn)動分量(一個繞豎軸旋轉(zhuǎn)的扭轉(zhuǎn)分量和兩個繞水平軸旋轉(zhuǎn)的搖擺分量)。在一般結(jié)構(gòu)(質(zhì)量中心和剛度中心相重合且在一條直線上的結(jié)構(gòu))的抗震分析中，分別沿著兩個主軸方向進行計算是可靠的，但對于質(zhì)量中心和剛度中心不重合的結(jié)構(gòu)，地震作用在質(zhì)量中心的慣性力將對剛度中心產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，迫使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)振動。所以，對于不規(guī)則結(jié)構(gòu)，應(yīng)該考慮地震動的扭轉(zhuǎn)分量。事實上，無論是對于規(guī)則還是不規(guī)則結(jié)構(gòu)，在多維地震作用下的響應(yīng)都要大于單維地震，尤其是對于不規(guī)則結(jié)構(gòu)[1-2]。另外，由于實際的地震動是一個非平穩(wěn)隨機過程，因此對結(jié)構(gòu)進行非平穩(wěn)隨機振動分析更符合實際地震動過程。

在公路及城市道路的立體交叉體系中，由于受周圍環(huán)境、交通線路等因素的限制，需要采用曲線橋?qū)崿F(xiàn)各方向的交通互聯(lián)，保證交通線路順暢，改善城市交通的緊張狀況[3]。在強烈的地震作用下，橋梁一般會發(fā)生彈塑性變形，使得橋梁抗震成為突出問題。盡可能地降低公路橋梁的地震響應(yīng)一直是學(xué)者們研究的重點[4-5]。目前，針對直線連續(xù)梁橋減震控制方法已做了大量研究[6-7]。曲線橋梁的減隔震控制在國內(nèi)也已開始理論上[8-9]的探索，但由于曲線橋結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，現(xiàn)有的研究還遠不能滿足實際工程的需要[10]。因此，對隔震曲線梁橋控制問題的研究具有重要意義。亓興軍等[11-14]建立了曲線梁橋的有限元模型，用不同的減隔震方法對曲線梁橋的振動控制進行了深入的研究，但以上研究未考慮地震激勵的隨機性，且有限元建模分析較復(fù)雜，工作量大，計算效率低。為了簡化分析，提高計算效率，王麗等[15-16]根據(jù)曲線梁橋的受力特點，建立了適合分析隔震曲線梁橋的簡化模型，并驗證了簡化模型的正確性及精度。李喜梅等[17]利用雙質(zhì)點六自由度線性簡化模型，采用序列最優(yōu)控制(sequential optimal control，SOC)算法對一座三跨隔震曲線梁橋進行了非平穩(wěn)隨機激勵下的振動控制分析，但未考慮強震作用下曲線梁橋進入非線性的情況。

本文在已有的雙質(zhì)點六自由度簡化模型的基礎(chǔ)上，采用經(jīng)典的Bouc-Wen模型，建立考慮上部結(jié)構(gòu)偏心的隔震曲線梁橋的彈塑性模型，輸入考慮扭轉(zhuǎn)分量的多維非平穩(wěn)隨機激勵(僅考慮強度非平穩(wěn))，研究隔震曲線梁橋隨機動力響應(yīng)，并采用序列最優(yōu)控制算法和經(jīng)典最優(yōu)控制(classical optimal control，COC)算法對結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)進行振動控制分析。

1 隔震曲線梁橋振動方程的建立

1.1 模型假設(shè)

本文采用李喜梅等提出的隔震曲線梁橋的簡化模型，分析隔震曲線梁橋的非線性動力響應(yīng)，具體的簡化剪切模型如下：

分別將隔震曲線梁橋橋墩及上部結(jié)構(gòu)簡化為兩個各具兩水平x，y自由度與一個圍繞質(zhì)量中心軸扭轉(zhuǎn)θ自由度的堆積質(zhì)量m1，m2模型系統(tǒng)，橋墩與上部結(jié)構(gòu)為兩質(zhì)點非同軸質(zhì)量偏心結(jié)構(gòu)的分析模型，上下質(zhì)點分別表示曲線橋上部、下部結(jié)構(gòu)。簡化模型如圖1所示。

圖1 隔震曲線梁橋簡化模型Fig.1 Simplified model of isolated curved beam bridge

1.2 非線性運動方程的建立

取隔震曲線梁橋為剪切型，將隔震曲線梁橋的上部結(jié)構(gòu)和下部結(jié)構(gòu)分別記為層。以隔震曲線梁橋上部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量中心為坐標原點，建立隔震曲線梁橋的非線性振動控制方程，表示如下

(1)

(2)

(3)

由此，可以寫出隔震曲線梁橋的等效線性化方程

(4)

(5)

式中，Ceq，Keq為Bouc-Wen模型的等效阻尼矩陣和等效剛度剛度，Bouc-Wen模型的具體的等效線性化過程詳見文獻[20]。

式(4)與式(5)中各矩陣的具體形式如下所示。

質(zhì)量矩陣

式中：m1，m2分別為隔震曲線梁橋的下、上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量；J1，J2分別為下、上部結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動慣量[21]；ri為結(jié)構(gòu)的回轉(zhuǎn)半徑；Xmi，Ymi分別為橋梁下、上部結(jié)構(gòu)質(zhì)心相對于參考軸的坐標。

彈性剛度矩陣

式中，Kxx，Kyy分別為結(jié)構(gòu)在x，y向彈性平動剛度，取隔震曲線橋梁結(jié)構(gòu)為剪切型，故

式中：kxri，kyri為第i層第r個橋墩位置處x，y向的抗側(cè)剛度；l為曲線梁橋橋墩(或支座)的數(shù)目；Kxi為第i層x向的屈服前的水平總剛度；αi為第i層屈服后和屈服前的水平剛度之比，當αi=0時，表示結(jié)構(gòu)的第i層處于完全非線性狀態(tài)，當αi=1時，表示結(jié)構(gòu)的第i層處于彈性狀態(tài)；Kyy與Kxx在形式上完全相同，只是將矩陣中的Kxi換成Kyi。

Kxθ，Kyθ，Kθθ分別為隔震曲線梁橋在x，y向的彈性平扭剛度和扭轉(zhuǎn)剛度，其中

其中，Kxθij為第i層不動，僅j層發(fā)生x向單位位移時，在第i層所需施加的力矩；同樣，Kyθ與Kxθ在形式上完全一致，各元素Kyθij為第i層不動，僅j層發(fā)生y向單位位移時，在第i層所需施加的力矩；Kθθij為第i層不動，僅j層發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時，在第i層所需施加的力矩[22]。

塑性剛度矩陣

Kxh，Kyh分別為結(jié)構(gòu)在x，y向塑性平動剛度，Kθxh，Kθyh分別為x，y向塑性平扭剛度。其中

Kyh，Kθxh，Kθyh與Kxh在形式上是完全一致的，只不過是將矩陣中的Kxi分別換為Kyi，-Kxieyi，Kyiexi。這里，exi，eyi分別為第i層質(zhì)心與剛心沿y，x方向的距離，表示為：exi=xri-xmi，eyi=yri-ymi。xri，yri為第i層第r個橋墩沿x，y向坐標；xmi，ymi為第i層質(zhì)心的x，y向坐標。

阻尼矩陣C用分區(qū)瑞利阻尼

式中：C0為經(jīng)典瑞利阻尼矩陣；Cr為非比例阻尼的余項阻尼矩陣，Cr中的各元素的計算可參考文獻[23]。αs，βs為下部結(jié)構(gòu)瑞利阻尼的比例系數(shù)，即

式中：ξs為下部結(jié)構(gòu)的阻尼比；ωi，ωj為結(jié)構(gòu)第i，j階圓頻率。

地震作用影響矩陣E=[Ix,Iy,Iθ]，其中，Ix=[12×1,02×1,02×1]T，Iy=[02×1,12×1,02×1]T，Iθ=[02×1,02×1,12×1]T。

等效阻尼矩陣和等效剛度矩陣具體形式如下所示

將式(4)與式(5)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達式如下所示

(6)

(7)

式中，I為單位矩陣。選擇輸出各質(zhì)點相對于地面的位移、加速度以及層間滯回位移，則輸出矩陣為

2 序列最優(yōu)算法

2.1 運動方程的等效線性化

引用滯變位移項為零的假定，建立Bouc-Wen模型的等效線性化表達式[24]。該方法首先由Yang等[25]提出，并用于瞬時最優(yōu)控制。杜永峰等[26]將該方法用于序列最優(yōu)控制，對滯變智能隔震結(jié)構(gòu)進行了振動控制研究。本文也采用零滯變位移這一等效線性化方法，對隔震曲線梁橋進行振動控制，則狀態(tài)方程變?yōu)?/p>

(8)

(9)

2.2 基于狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制力模型

本文對進入彈塑性的隔震曲線梁橋進行振動控制分析時，建立控制力和狀態(tài)向量的關(guān)系是借用線性最優(yōu)控制的理論，故將目標函數(shù)改為等效線性化后的狀態(tài)變量。

(10)

式中：Q，R分別為結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)和控制力的權(quán)重矩陣；t0，tf分別為控制的開始時刻和結(jié)束時刻。

按照杜永峰等的推導(dǎo)方法可以得出序列最優(yōu)控制力模型如下所示

(11)

(12)

(13)

式中，λ為Lagrange乘子向量，基于式(8)、式(9)的狀態(tài)方程，仿照杜永峰等的推導(dǎo)思路，可以推出最優(yōu)控制力表達式為

(14)

式中： Δt為時間間隔；tA為當前時刻；IrH(m)，ErH(m)為最優(yōu)控制力系數(shù)；m對應(yīng)終止時刻的時間步長數(shù)；各矩陣的具體表達式見杜永峰等的研究。

將式(14)代入式(6)中得

(15)

式中：ARc(m)=AR+ΔtBRIrH(m)；ERc(m)=ER+(Δt)2BRErH(m)。

由于在狀態(tài)轉(zhuǎn)移算法中Δt通常取值很小，則ERc(m)可近似取為

ERc(m)=ER

(16)

由于ARc(m)是隨時間變化的，這種情況不便于進行頻域內(nèi)的響應(yīng)分析。為了簡化分析，本文將ARc(m)表達式中的時變部分進行加權(quán)平均，將其變?yōu)闀r不變表達式。首先計算閉環(huán)反饋增益矩陣的加權(quán)平均值

(17)

式中：Td為地震動持時；Te為控制延時。由此可以得到時不變的控制等效動力特性矩陣

ARc=AR+BRKRf

(18)

由以上推導(dǎo)，最終可以得到我們所要的狀態(tài)空間方程

(19)

3 隔震曲線梁橋隨機地震響應(yīng)的求解

(20)

(21)

將式(21)利用歐拉公式變形得

(22)

對于一階微分方程式(19)，本文將虛擬激勵變?yōu)楹喼C外荷載后，采用文獻[29]中提出的混合精細積分法進行計算，得到隔震曲線梁橋的隨機動力響應(yīng)，從而求出結(jié)構(gòu)的功率譜矩陣為

SVV(ω,t)=V(ω,t)*·V(ω,t)T

(23)

式中： *為共軛； T為轉(zhuǎn)置。

結(jié)構(gòu)的時變方差為

(24)

4 算例與討論

4.1 工程背景

某立交匝道上一聯(lián)圓曲線連續(xù)梁橋，該橋共有3跨，每跨20 m，曲率半徑R=50 m，圓心角α=69°。主梁采用單箱單室箱梁，橋面寬度8 m，圓柱形橋墩，直徑1.6 m，墩高7 m，下部結(jié)構(gòu)的阻尼比ξs=0.05，每個墩頂分別布置一個直徑為500 mm的鉛芯橡膠支座，隔震層的水平阻尼比ξb=0.15。

取曲線橋上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量中心為整體坐標系原點，其平面布置圖如圖2所示。每個橋墩處徑向、切向的阻尼器布置圖如圖3所示。曲線梁橋相應(yīng)模型計算參數(shù)如表1所示。

圖2 曲線橋平面布置圖(m)Fig.2 Plan view of curved bridge (m)

圖3 徑向、切向阻尼器布置圖Fig.3 Radial and tangential dampers layout

表1 曲線橋相應(yīng)模型的計算參數(shù)Tab.1 Calculation parameters of corresponding model of curved bridge

4.2 多維地震動的隨機模型

帶有低頻過濾器的雙過濾白噪聲地震功率譜更適用于隔震結(jié)構(gòu)的隨機響應(yīng)分析[30]。綜合考慮幾種常見的地震動加速度功率譜的優(yōu)缺點，本文選取Clough-Penzien模型作為隨機振動分析中水平分量的功率譜模型，其自譜密度函數(shù)為

(25)

式中：ωg和ξg分別為場地土的卓越圓頻率與阻尼比；S0為基巖加速度(白噪聲)自譜密度；ξf和ωf兩參數(shù)的配合可模擬地震動低頻能量的變化，通常取ξf=ξg，ωf=0.1-0.2ωg[31]。

本文以地震動烈度為8度為例，推算出罕遇地震0.4g下的單邊功率譜強S0=2.177 4×10-2m2/s3，場地選用Ⅱ類場地，設(shè)計地震分組為第二組，則式(25)的地震動隨機模型參數(shù)取為[32]：ωg=15.71，ωf=0.15ωg，ξf=ξg=0.72，其輸入的功率譜密度曲線如圖4所示，地震動持時取T=20 s。

圖4 加速度功率譜密度函數(shù)Fig.4 Acceleration power spectral density function

扭轉(zhuǎn)分量地震動隨機模型選用李宏男[33]提出的轉(zhuǎn)動功率譜數(shù)學(xué)模型

(26)

式中：γ為低頻減量系數(shù)；ωg1和ξg1為土層過濾器的頻率和阻尼比；ωg2和ξg2可為基巖過濾器的頻率和阻尼比；S0為基巖譜強度。式(26)中模型的參數(shù)取值見李宏男的研究，其輸入的功率譜密度曲線如圖4。

非平穩(wěn)隨機地震動模型的調(diào)制函數(shù)g(t)選用工程中常用的三段式均勻調(diào)制函數(shù)，其表達式如下

(27)

式中：c為衰減系數(shù)；t1和t2分別為主振平穩(wěn)段的首、末時間。式(27)中參數(shù)取值為：c=0.35，t1=0.8 s，t2=7.0 s。

4.3 結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)分析

為了研究考慮扭轉(zhuǎn)分量的多維非平穩(wěn)隨機激勵對隔震曲線梁橋動力響應(yīng)的影響，本文輸入多維非平穩(wěn)隨機激勵，假定水平分量隨機激勵的輸入角度θ=0°(與整體坐標系x軸方向的夾角)，分別求出考慮與未考慮扭轉(zhuǎn)分量下上部結(jié)構(gòu)x，y向的位移功率譜密度和時變方差的變化規(guī)律。結(jié)果如圖5、圖6所示。

為了能清楚的描述其變化規(guī)律，對上部結(jié)構(gòu)位移功率譜密度各分圖橫坐標取對數(shù)進行繪制。由圖5可知，在考慮扭轉(zhuǎn)分量與未考慮扭轉(zhuǎn)分量的非平穩(wěn)隨機激勵下，上部結(jié)構(gòu)x向的位移功率譜密度的峰值位置是一致的，均位于隔震曲線梁橋一階自振頻率附近。隔震曲線梁橋上部結(jié)構(gòu)x向位移功率譜密度峰值與未考慮扭轉(zhuǎn)分量的相比，由原先的3.63 cm2/s增加至3.72 cm2/s，增加了2.5%。由圖6可知，隔震曲線梁橋在罕遇非平穩(wěn)隨機激勵下，位移響應(yīng)呈現(xiàn)強烈的非平穩(wěn)性，時滯現(xiàn)象較明顯。當考慮非平穩(wěn)隨機激勵的扭轉(zhuǎn)分量后，隔震曲線梁橋上部結(jié)構(gòu)x向峰值位移方差與未考慮扭轉(zhuǎn)分量的相比，由原先的64 cm2增加至67 cm2，增加了4.5%。由于本文中的隔震曲線梁橋僅在y方向上存在偏心，故非平穩(wěn)隨機激勵的扭轉(zhuǎn)分量對隔震曲線梁橋上部結(jié)構(gòu)y向的位移功率譜密度和時變方差無影響。由以上分析可以看出，考慮扭轉(zhuǎn)分量的多維非平穩(wěn)隨機激勵下隔震曲線梁橋的動力響應(yīng)要大于僅考慮水平雙向非平穩(wěn)隨機激勵下的響應(yīng)，因此，有必要對考慮扭轉(zhuǎn)分量的非平穩(wěn)隨機激勵下的隔震曲線梁橋其進行振動控制。

圖5 上部結(jié)構(gòu)位移功率譜密度曲線Fig.5 Displacement power spectral density curve of superstructure

圖6 上部結(jié)構(gòu)位移時變方差曲線Fig.6 Displacement time-varying variance curve of superstructure

4.4 振動控制分析

本文采用狀態(tài)反饋的序列最優(yōu)控制和經(jīng)典線性最優(yōu)控制對考慮扭轉(zhuǎn)分量的多維非平穩(wěn)隨機激勵下的隔震曲線橋進行振動控制，假設(shè)控制器能夠?qū)崟r提供結(jié)構(gòu)所需要的控制力。控制效果以上部結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)為評價指標。輸入多維非平穩(wěn)隨機激勵，分別求出隔震曲線梁橋上部結(jié)構(gòu)在無控、經(jīng)典最優(yōu)控制和序列最優(yōu)控制下的功率譜密度和時變方差變化規(guī)律。結(jié)果如圖7～圖10所示。

圖7 上部結(jié)構(gòu)位移功率譜密度Fig.7 Displacement power spectral density of superstructure

圖8 上部結(jié)構(gòu)速度功率譜密度Fig.8 Velocity power spectral density of superstructure

圖9 上部結(jié)構(gòu)位移時變方差Fig.9 Displacement time-varying variance curve of superstructure

圖10 上部結(jié)構(gòu)速度時變方差Fig.10 Velocity time-varying variance curve of superstructure

圖7和圖8分別為隔震曲線梁橋在3種不同控制狀態(tài)下，輸入多維非平穩(wěn)隨機激勵后的上部結(jié)構(gòu)x，y向的位移功率譜密度和速度功率譜密度對比圖。從圖7和圖8可知，在3種不同的控制狀態(tài)下，隔震曲線梁橋的位移功率譜密度和速度功率譜密度的最大值都在結(jié)構(gòu)一階頻率附近達到，且在經(jīng)典最優(yōu)控制和序列最優(yōu)控制下，隔震曲線梁橋上部結(jié)構(gòu)不管是x方向還是y方向的位移功率譜密度和速度功率譜密度都有了明顯減小，隔震曲線梁橋的振動得到了有效地抑制。

在經(jīng)典最優(yōu)控制下，上部結(jié)構(gòu)x向和y向的位移功率譜密度峰值與無控下相比，分別減少了42.4%和43.3%，速度功率譜密度峰值分別減少了44.6%和45.2%；在序列最優(yōu)控制下，上部結(jié)構(gòu)x向和y向的位移功率譜密度峰值與無控下相比，分別減少了51.5%和53.3%，速度功率譜密度峰值分別減少了52.5%和53.3%。

圖9和圖10分別為隔震曲線梁橋在3種不同控制狀態(tài)下，輸入多維非平穩(wěn)隨機激勵后的上部結(jié)構(gòu)x，y向的位移時變方差和速度時變方差對比圖。從圖9和圖10可知，經(jīng)典最優(yōu)控制和序列最優(yōu)控制在相同的能量下，隔震曲線梁橋上部結(jié)構(gòu)不管是x方向還是y方向的位移時變方差和速度時變方差都有了明顯減小，隔震曲線梁橋的振動得到了有效地抑制。運用經(jīng)典最優(yōu)控制算法控制后的上部結(jié)構(gòu)x向和y向的位移方差峰值與無控下相比，分別減少了33.3%和34.8%，速度方差峰值分別減少了31.9%和32.6%；運用序列最優(yōu)控制算法控制后的上部結(jié)構(gòu)x向和y向的位移方差峰值與無控下相比，分別減少了40%和40.9%，速度方差峰值分別減少了38.1%和38.6%。另外，在經(jīng)典最優(yōu)控制和序列最優(yōu)控制作用下，隔震曲線梁橋的時滯和非平穩(wěn)現(xiàn)象得到很好的抑制。

5 結(jié) 論

本文運用經(jīng)典的Bouc-Wen模型建立隔震曲線梁橋的非線性動力方程，將非線性方程等效線性化，輸入考慮扭轉(zhuǎn)分量的多維非平穩(wěn)隨機激勵，利用歐拉公式將虛擬激勵變?yōu)楹喼C外荷載，采用混合精細積分法分析隔震曲線梁橋的隨機動力響應(yīng)。基于零滯變位移條件的等效線性化方法求出序列最優(yōu)控制的最優(yōu)控制力，對隔震曲線梁橋的動力響應(yīng)進行了控制分析，并與經(jīng)典最優(yōu)控制下的作對比，結(jié)論如下：

(1) 考慮扭轉(zhuǎn)分量的多維非平穩(wěn)隨機激勵下隔震曲線梁橋的動力響應(yīng)要大于僅考慮水平雙向非平穩(wěn)隨機激勵下的響應(yīng)，且在罕遇非平穩(wěn)隨機激勵下，隔震曲線梁橋的位移響應(yīng)呈現(xiàn)強烈的非平穩(wěn)性，時滯現(xiàn)象較明顯。

(2) 運用序列最優(yōu)控制算法控制后的隔震曲線梁橋上部結(jié)構(gòu)x、y向位移和速度功率譜密度和方差響應(yīng)均得到了明顯的減小，且對響應(yīng)呈現(xiàn)出的非平穩(wěn)性和時滯現(xiàn)象有明顯的抑制效果，其控制效果與經(jīng)典最優(yōu)控制下的相當。