非線性Zener模型的求解及多態(tài)共存機理研究

俞力洋， 黃 然， 丁旺才， 吳少培， 李國芳

(蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070)

工程實際中的機械系統(tǒng)、建筑橋梁、電子電路等，在外界環(huán)境的干擾下都不可避免地存在著振動現(xiàn)象，而這些振動往往具有非線性特性，會使系統(tǒng)運動規(guī)律變得更加復雜[1-6]。為減小此類振動對系統(tǒng)壽命、穩(wěn)定性和安全性的不利影響，通常選擇一些隔振裝置抑制系統(tǒng)之間或系統(tǒng)與地基之間的振動傳遞，其中橡膠等黏彈性材料因其同時具備超彈性和黏彈性，被廣泛應用于各類隔振系統(tǒng)中，如機車車輛二系懸掛橡膠堆[7]、航空器APU(auxiliary power unit)隔振器[8]、汽車發(fā)動機懸架緩沖塊[9]、機床減震墊鐵等。

目前常用彈簧與阻尼并聯(lián)的Kelvin-Voigt模型及其組合模型等效應用于各種機械系統(tǒng)中的隔振或吸振裝置。田金鑫[10]利用Kelvin-Voigt模型研究了潛航器中浮筏隔振系統(tǒng)的動力學特性。李繼偉等[11]研究了多個Kelvin-Voigt模型所構成非線性動力吸振器的連接方式和吸振效果。Zang等[12]設計了包含多種Kelvin-Voigt模型的杠桿式被動吸振器，并對該新型結構的復雜動力學進行分析。值得注意的是，工程實際中的阻尼元件本身不可避免地具有一定彈性，對橡膠等黏彈性隔振材料更應如此考慮。

在材料領域，為更準確地反映黏彈性材料的松弛和蠕變特性，通常將橡膠等黏彈性系統(tǒng)等效為彈簧-阻尼串聯(lián)的Maxwell模型或含Maxwell元件的復雜組合模型，如Zener模型、Burgers模型[13]、Berg模型[14]、Dzierek模型[15]及分數(shù)導數(shù)模型[16]。其中Zener模型也被稱為標準線性黏彈固體模型或三元件Maxwell固體模型，雖然Zener無法準確描述高頻條件下橡膠材料的力學特性，但其能夠同時反映中低頻范圍內(nèi)Kelvin-Voigt模型無法反映的松弛特性和Maxwell模型無法反映的蠕變特性[17]。為拓寬模型的頻率范圍，Pritz[18]在Zener模型中引入分數(shù)導數(shù)概念，使其可在更寬的頻率范圍內(nèi)表達黏彈性材料的力學特性，但同時也增加了系統(tǒng)參數(shù)數(shù)量與計算難度。于增亮等[19]分析了4種常用黏彈模型的特點與適用場合。綜上所述，相比于四參數(shù)模型及復雜分數(shù)導數(shù)模型，Zener模型具有較少的系統(tǒng)參數(shù)，較低的計算難度，且其本身能夠準確反映中低頻范圍內(nèi)橡膠材料的黏彈特性，是開展中低頻范圍內(nèi)橡膠隔振系統(tǒng)動力學特性研究的較佳模型。

在黏彈性模型的動力學響應方面，王孝然等[20-21]比較了不同類型強迫振動下Maxwell模型和Kelvin-Voigt模型的振動響應，建立了一種含負剛度元件的Maxwell模型動力吸振器，證明了所提出模型具有更好的減振效果，并將慣容元件逐步引入含Maxwell元件的動力吸振器中[22]。在求解方法上，陳煒[23]利用復數(shù)變量法求解了單、多自由度非線性減振器的振動響應，并基于此分析了減振器的能量傳遞與耗散過程。李飛等[24]研究了一類多約束兩自由度碰撞振動系統(tǒng)在不同約束布置下的準對稱特性。李得洋等[25]研究了單自由度碰撞振動系統(tǒng)在叉式分岔與逆叉式分岔誘導下的周期運動轉(zhuǎn)遷規(guī)律。De Haro Silva等[26]基于諧波平衡法研究了非線性剛度對非線性Zener隔振系統(tǒng)共振頻率的影響。

綜上所述，之前的研究主要集中在不同條件下橡膠隔振系統(tǒng)靜力學特性的計算、力學模型的等效和減振效果的分析上，但對材料黏彈性模型的系統(tǒng)響應、分岔、混沌及多態(tài)共存等復雜非線性動力學行為的研究有待進一步深入。本文采用能準確反映中低頻范圍內(nèi)黏彈材料力學特性的非線性Zener模型表征橡膠隔振系統(tǒng)。首先建立了系統(tǒng)運動微分方程并進行無量綱化，采用復數(shù)變量法和諧波平衡法計算了系統(tǒng)的瞬態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應，并結合數(shù)值方法及UM(Universal Mechanism)軟件仿真進行響應對比，隨后利用定相位Poincaré截面獲得系統(tǒng)多初值分岔圖，揭示了非線性Zener模型在叉式分岔、倍周期分岔、鞍結分岔和邊界激變誘導下周期運動的共存及轉(zhuǎn)遷規(guī)律，分析了存在于系統(tǒng)中的“P(D)nP′多態(tài)域”。

1 系統(tǒng)的力學模型和運動微分方程

非線性Zener隔振系統(tǒng)的力學模型，如圖1所示。該模型是在Maxwell模型的基礎上并聯(lián)了一個彈性力F=K(X+εX3)的非線性彈簧，質(zhì)量塊M在簡諧激勵Fsin(ΩT)作用下往復運動，節(jié)點是位于Maxwell模型彈簧與阻尼中間的無質(zhì)量質(zhì)點，其兩端的彈性力與阻尼力是一對合力為0的平衡力，X,Y分別為質(zhì)量塊和節(jié)點的位移。

圖1 非線性Zener隔振系統(tǒng)Fig.1 Nonlinear Zener vibration isolation system

圖1所示系統(tǒng)的運動微分方程為

(1)

取無量綱參數(shù)

則式(1)被無量綱化為

(2)

2 系統(tǒng)的瞬態(tài)響應求解

由于非線性Zener模型不符合Rayleigh阻尼要求，且該模型包含被看作是介于單自由度與兩自由度之間的Maxwell模型，使用解耦法或一般近似求解方法求解系統(tǒng)動力學響應存在困難，下面采用復數(shù)變量法求解圖1所示系統(tǒng)的瞬態(tài)響應。

根據(jù)復數(shù)變量法的思想，首先將系統(tǒng)的響應分解為慢變模塊Δ(t)和快變模塊ejωt兩部分，對質(zhì)量塊和節(jié)點位移做如下復變量代換

(3)

將式(3)代入式(2)所對應的齊次方程，并消除其中的久期項可得

(4)

(5)

進而可得質(zhì)量塊瞬態(tài)響應幅值及相角所對應的微分方程

(6)

(7)

為更加真實地反映非線性Zener隔振系統(tǒng)的動力學特性，本文還基于商業(yè)化的多體系統(tǒng)動力學軟件UM對非線性Zener模型進行了軟件仿真。系統(tǒng)參數(shù)取μk=3,ξ=0.15,knl=0.3時，通過數(shù)值方法、復數(shù)變量法及UM軟件仿真所得質(zhì)量塊M的瞬態(tài)響應對比圖，如圖2所示。由圖2可知：復數(shù)變量法所得結果可與數(shù)值結果及UM軟件仿真結果良好匹配。

圖2 質(zhì)量塊瞬態(tài)響應對比圖Fig.2 Comparison of mass transient response

3 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應求解

設圖1所示系統(tǒng)主振動的形式為

(8)

將特解式(8)代入式(2)，略去其中可快速衰減的高頻項，并使等式兩邊對應諧波項的系數(shù)相等，可得關于質(zhì)量塊幅值A平方的一元三次方程

(9)

當式(9)所得解中僅有一個正實根時，對應于幅頻響應曲線的單解。當激勵頻率ω處于兩次“跳躍”之間的多態(tài)共存區(qū)時，節(jié)點及質(zhì)量塊幅值有3個正實根，對應于系統(tǒng)的3個共存周期解，分別是節(jié)點與質(zhì)量塊的兩個穩(wěn)定幅值與一個不穩(wěn)定幅值。

系統(tǒng)質(zhì)量塊與節(jié)點的穩(wěn)態(tài)幅值與相角為

(10)

利用式(10)作非線性Zener隔振系統(tǒng)質(zhì)量塊的幅頻響應曲線，并與數(shù)值方法及UM軟件仿真所得結果進行對比，如圖3所示。

圖3 質(zhì)量塊幅頻響應對比圖Fig.3 Comparison of mass amplitude-frequency response

系統(tǒng)參數(shù)取μk=3,ξ=0.15,knl=0.3,p=4時，由諧波平衡法、數(shù)值方法及UM軟件仿真所得的質(zhì)量塊幅頻響應對比圖，如圖3所示。由圖3可知：上述3種方法所得質(zhì)量塊幅頻響應基本吻合。受系統(tǒng)非線性剛度的影響，質(zhì)量塊振動幅值A存在“跳躍”現(xiàn)象，當正向掃頻時，質(zhì)量塊M在ω=4.103處經(jīng)鞍結分岔誘導，振動幅值A發(fā)生從大到小的“跳躍”，當反向掃頻時，質(zhì)量塊M在激勵頻率ω=2.428處經(jīng)鞍結分岔誘導，使其振動幅值A發(fā)生從小到大的“跳躍”。在質(zhì)量塊振動幅值發(fā)生兩次“跳躍”的頻率范圍內(nèi)，質(zhì)量塊出現(xiàn)兩個穩(wěn)定不變集與一個不穩(wěn)定不變集的共存。

4 系統(tǒng)的非線性動力學特性分析

4.1 系統(tǒng)的叉式分岔及準對稱特性

圖4 系統(tǒng)多初值分岔圖Fig.4 Multi-initial bifurcation of system

圖5 系統(tǒng)的相圖Fig.5 Phase diagrams of the system

4.2 系統(tǒng)的多態(tài)共存及轉(zhuǎn)遷機理

選擇系統(tǒng)參數(shù)μk=0.1,ξ=0.05,knl=0.3,p=20,仍以零相位面σ為Poincaré截面，可得激勵頻率ω∈[0.8,1.8]時質(zhì)量塊位移x的多初值分岔圖，如圖6所示。圖6中虛線為質(zhì)量塊不穩(wěn)定狀態(tài)。由圖6可知：系統(tǒng)在該參數(shù)域內(nèi)存在叉式分岔PF、倍周期分岔PD、鞍結分岔SN和邊界激變BC。

由圖6所示多初值分岔圖可以看出，激勵頻率ω∈(1.698,1.8]時，質(zhì)量塊M始終為穩(wěn)定的周期PS-1運動，結合當ω=1.720時質(zhì)量塊的相圖(見圖7(a))可以看出，該激勵頻率下，質(zhì)量塊M做自對稱的周期PS-1運動，此時不論系統(tǒng)初始條件如何設置，質(zhì)量塊M都將穩(wěn)定于同一個自對稱的周期軌道上。隨著激勵頻率ω的逐漸減小，系統(tǒng)在ω=1.698處發(fā)生叉式分岔PF1，質(zhì)量塊M自對稱的周期PS-1運動被誘導為兩個反對稱的周期PAS1-1運動和周期PAS2-1運動，形成兩個穩(wěn)定周期運動的共存，此時質(zhì)量塊容易因外界條件的變化而穩(wěn)定于不同的周期軌道上。圖7(b)為當ω=1.560時，質(zhì)量塊M在不同初始條件下的相軌跡，可以看出質(zhì)量塊周期PAS-1運動的反對稱特性。當激勵頻率從ω=1.600減小至ω=1.400時，系統(tǒng)在ω=1.439處發(fā)生的鞍結分岔SN2誘導質(zhì)量塊M的位移發(fā)生從小到大的“跳躍”，當激勵頻率從ω=1.400增大至ω=1.600時，發(fā)生于ω=1.541處的鞍結分岔SN1，又誘導質(zhì)量塊M的位移發(fā)生從大到小的“跳躍”，在鞍結分岔兩個“跳躍點”形成的區(qū)間[1.439，1.541]內(nèi)，質(zhì)量塊從一對反對稱周期運動的共存轉(zhuǎn)遷為兩對反對稱周期運動的共存。如圖7(c)所示，此時質(zhì)量塊M實質(zhì)上為4個周期一運動的共存。當激勵頻率ω減小至跨越鞍結分岔SN2對應的頻率后，圖7(c)中虛線所示的一對反對稱周期一運動消失，系統(tǒng)做圖7(c)實線所示的反對稱周期運動，如圖7(d)所示為鞍結分岔SN2后激勵頻率ω=1.440時，質(zhì)量塊M做不同初始條件下反對稱的周期PAS-1運動。當激勵頻率ω減小至ω=1.316時，系統(tǒng)發(fā)生的倍周期分岔PD1誘導質(zhì)量塊M進入反對稱的倍周期序列。圖7(e)為當ω=1.300時質(zhì)量塊的相圖，質(zhì)量塊M呈現(xiàn)出反對稱的周期PAS-2運動。圖7(f)為當激勵頻率ω=1.265時質(zhì)量塊的相圖，此時質(zhì)量塊M為兩個反對稱周期四運動的共存，隨著激勵頻率ω的繼續(xù)減小，質(zhì)量塊M通過反對稱倍周期序列進入反對稱的混沌運動。圖7(g)為當ω=1.260時，質(zhì)量塊反對稱混沌運動共存時的相圖。圖7(h)為當ω=1.255時，質(zhì)量塊M反對稱的混沌吸引子，此時不同的初始條件亦會引起系統(tǒng)不同的混沌運動。

圖6 質(zhì)量塊多初值分岔圖Fig.6 Multi-initial bifurcation of mass

系統(tǒng)在激勵頻率ω=1.25時發(fā)生的邊界激變BC1，使質(zhì)量塊M從反對稱混沌運動的共存轉(zhuǎn)遷為單穩(wěn)態(tài)周期PS-3運動，圖7(i)為當激勵頻率ω=1.235時質(zhì)量塊M的相圖，此時，無論如何設置初始條件，均無法改變圖7(i)所示的周期三軌線。當激勵頻率ω∈[1.034,1.044]時，質(zhì)量塊M通過叉式分岔PF3與倍周期分岔PD4進入反對稱的混沌運動，圖7(j)與圖7(k)為激勵頻率ω=1.035和ω=1.000時，質(zhì)量塊反對稱的混沌運動和反對稱的混沌吸引子圖。隨著激勵頻率ω繼續(xù)減小，系統(tǒng)在ω=0.937處發(fā)生的邊界激變BC2使質(zhì)量塊從反對稱的混沌運動轉(zhuǎn)遷為單穩(wěn)態(tài)周期PS-1運動，圖7(l)為激勵頻率ω=0.92時，質(zhì)量塊M的相圖，系統(tǒng)此時呈現(xiàn)為自對稱的周期一運動。

4.3 系統(tǒng)的“P(D)nP′多態(tài)域”及轉(zhuǎn)遷規(guī)律

非線性Zener模型在一定的參數(shù)條件下存在“P(D)nP′多態(tài)域”，即隨著系統(tǒng)分岔參數(shù)的改變，叉式分岔誘導系統(tǒng)從自對稱周期PS-n運動轉(zhuǎn)遷為兩個反對稱周期PAS-n運動，此后每個反對稱的周期PAS-n運動又會以倍周期序列進入混沌，形成倍周期序列的共存及混沌運動的共存，最后，系統(tǒng)又依次通過逆倍周期分岔與逆叉式分岔，將多不變集共存的周期PAS-n運動誘導回單穩(wěn)態(tài)周期PS-n運動，本文稱諸如此處由叉式分岔、倍周期分岔、逆叉式分岔形成的多態(tài)共存區(qū)域為“P(D)nP′多態(tài)域”，其中P為叉式分岔，P′為逆叉式分岔，(D)n為倍周期分岔或逆倍周期岔誘導下系統(tǒng)反對稱的周期n運動或混沌運動，特別地，圖4所示分岔圖則為“P(D)0P′多態(tài)域”。

圖6中L1，L2，L3處局部放大圖的拼接，如圖8所示。當激勵頻率ω∈[1.11,1.20]時，系統(tǒng)叉式分岔PF2、倍周期分岔PD2、逆倍周期分岔IPD1與逆叉式分岔IPF1誘導系統(tǒng)同時呈現(xiàn)出3個“P(D)nP′多態(tài)域”，形成質(zhì)量塊倍周期序列的共存和混沌運動的共存。

由圖8可知：系統(tǒng)在ω=1.198處發(fā)生的叉式分岔PF2，會誘導質(zhì)量塊M從穩(wěn)定性較好的周期PS-3運動轉(zhuǎn)遷為雙穩(wěn)態(tài)周期PAS-3運動，如圖9(a)為激勵頻率ω=1.185時質(zhì)量塊的相圖，此時質(zhì)量塊M呈現(xiàn)為反對稱的周期PAS-3運動。隨著激勵頻率ω的持續(xù)減小，系統(tǒng)在激勵頻率ω=1.168處進入反對稱的倍化序列PD2，質(zhì)量塊M依次通過反對稱周期PAS-6運動(ω=1.165)反對稱周期PAS-12運動等倍周期序列進入反對稱的混沌運動(ω=1.15)，隨后又快速進入逆倍周期分岔IPD1，在ω=1.131處退化為周期PAS-3運動，倍化過程中對應的相圖及截面圖如圖9(b)～圖9(d)所示，均具有關于零點O中心對稱的特點，從而形成“P(D)nP′多態(tài)域”內(nèi)反對稱倍周期序列的共存及反對稱混沌運動的共存。當ω=1.109時，質(zhì)量塊M周期PAS-3運動在逆叉式分岔IPF1的誘導下退化為穩(wěn)定性較好的周期PS-3運動。綜上所述，隨著激勵頻率ω的減小，質(zhì)量塊M在ω∈(1.109,1.198)時存在如下的周期運動轉(zhuǎn)遷規(guī)律

使質(zhì)量塊呈現(xiàn)出了3對“P(D)nP′多態(tài)域”，此時，系統(tǒng)表現(xiàn)為一對反對稱倍周期序列的共存及一對反對稱混沌吸引子的共存。

圖7 系統(tǒng)的相圖與Poincaré截面圖Fig.7 Phase diagrams and Poincaré map of the system

圖8 圖6局部放大拼接圖Fig.8 Partial enlargement diagram of Fig.6

圖9 系統(tǒng)的相圖與Poincaré截面圖Fig.9 Phase diagrams and Poincaré map of the system

橡膠隔振系統(tǒng)存在的非線性跳躍和分岔會誘導系統(tǒng)發(fā)生多態(tài)共存等復雜非線性動力學行為，從而導致系統(tǒng)穩(wěn)定性與壽命逐漸降低，工程實際中，可通過調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)或設計恰當?shù)南薹b置，以鎮(zhèn)定系統(tǒng)的理想周期運動，達到避免或限制系統(tǒng)有害振動發(fā)生的目的。

5 結 論

本文采用非線性Zener模型表征橡膠隔振系統(tǒng)，求解并通過多種方法對比了系統(tǒng)的瞬態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應，分析了中低頻范圍內(nèi)橡膠隔振系統(tǒng)的分岔、混沌、“P(D)nP′多態(tài)域”及多態(tài)共存等復雜非線性動力學行為，得出以下結論：

(1) 本文所采用復數(shù)變量法和諧波平衡法所得的系統(tǒng)響應均可與數(shù)值結果及UM軟件仿真結果良好匹配，為非線性Zener模型的求解提供了一種方法參考。

(2) 系統(tǒng)在周期運動轉(zhuǎn)遷過程中受到叉式分岔、鞍結分岔、倍周期分岔和邊界激變等分岔的誘導。系統(tǒng)在主共振區(qū)附近鞍結分岔的誘導下形成一對自對稱周期運動的共存；在叉式分岔的誘導下系統(tǒng)從單穩(wěn)態(tài)周期運動轉(zhuǎn)遷為一對反對稱周期運動的共存；發(fā)生于叉式分岔后的鞍結分岔會誘導系統(tǒng)從一對反對稱周期運動共存轉(zhuǎn)遷為兩對反對稱周期運動的共存，使系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期四共存。

(3) 系統(tǒng)叉式分岔與逆叉式分岔誘導系統(tǒng)產(chǎn)生“P(D)nP′多態(tài)域”；在“P(D)nP′多態(tài)域”中，系統(tǒng)出現(xiàn)一對反對稱周期倍化序列的共存及一對反對稱混沌運動的共存。

上述研究結果與方法，可為黏彈性隔振系統(tǒng)的動態(tài)設計提供一定的理論依據(jù)，達到避開橡膠隔振系統(tǒng)的非線性跳躍和分岔的目的。