基于有限元法的材料電特性計(jì)算機(jī)仿真研究

王 倫，范珍珍，郭 晨

(長(zhǎng)安大學(xué) 信息工程學(xué)院，陜西 西安 710064)

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展與進(jìn)步，新型復(fù)合材料因其能滿足不同的物理、化學(xué)性能，在電子、機(jī)械、醫(yī)學(xué)等各領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。設(shè)計(jì)一種具有特定電學(xué)性能的復(fù)合材料之前，以計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)等方法分析其電特性的變化規(guī)律對(duì)設(shè)計(jì)工作具有重要指導(dǎo)意義[2-4]。材料科學(xué)領(lǐng)域中對(duì)材料特性的研究工作往往從材料組分的化學(xué)、物理屬性出發(fā)，以納米或分子尺度去研究材料的力學(xué)及電學(xué)性能[5-6]，而較少有研究從改變混合材料各固體夾雜物的幾何形狀或分布結(jié)構(gòu)等微觀角度出發(fā)(微米或毫米尺度)來研究其對(duì)材料等效介電常數(shù)、電導(dǎo)率等電學(xué)參數(shù)的影響。研究表明，微觀結(jié)構(gòu)的變化以及不同固體夾雜物的排列對(duì)電特性具有明顯影響，但這一影響規(guī)律及機(jī)理相對(duì)復(fù)雜，掌握混合材料夾雜物幾何結(jié)構(gòu)對(duì)其等效電特性的影響規(guī)律，可以為工程行業(yè)所需的特定性能新型材料設(shè)計(jì)提供有效的指導(dǎo)依據(jù)。

復(fù)合材料的等效介電性能與夾雜物的形狀、尺寸、空間取向和各組分的電學(xué)性能密切相關(guān)[7]。早些年，Sihvola等人提出了一種數(shù)值計(jì)算二維隨機(jī)混合物等效介電常數(shù)的方法[8-9]。馬念茹等人基于計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)研究了混合介質(zhì)的電特性[10]。吳裕功等人利用傅里葉展開技術(shù)研究了雙組分周期復(fù)合材料的靜態(tài)電導(dǎo)率和介電常數(shù)[11]。Gao和Gu等人研究了雙組分混合材料的等效介電常數(shù)，并推導(dǎo)出了考慮各組組分形狀分布的微分有效介質(zhì)近似值[12]。Luo等人研究了夾雜物的體積比和形狀對(duì)復(fù)合材料等效介電常數(shù)和電導(dǎo)率的影響[13]。然而只有少數(shù)研究從物理角度對(duì)微觀幾何結(jié)構(gòu)對(duì)復(fù)合材料電性能的影響機(jī)理給出定量或直觀的解釋。

為了系統(tǒng)地研究夾雜物的幾何結(jié)構(gòu)對(duì)材料電特性的影響規(guī)律，該文基于有限元法對(duì)含有不同幾何形狀?yuàn)A雜物的兩相復(fù)合材料模型進(jìn)行了計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬。通過產(chǎn)生的電場(chǎng)波動(dòng)，合理解釋了幾何效應(yīng)對(duì)等效介電常數(shù)計(jì)算的影響。

1 理論方法

1.1 混合規(guī)則

在分析復(fù)合材料的電學(xué)性能時(shí)，有許多預(yù)測(cè)其等效介電常數(shù)的理論公式。本節(jié)給出一些較為經(jīng)典的混合公式[14-15]。式中εi為夾雜物的相對(duì)介電常數(shù)，εm為主體介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，εeff為復(fù)合材料的等效介電常數(shù)，q為夾雜物的體積分?jǐn)?shù)。

Maxwell-Garnett公式[14]：

(1)

Maxwell-Garnett理論公式是假設(shè)夾雜物為球形時(shí)推導(dǎo)出來的。球形夾雜物之間沒有接觸且夾雜物之間的距離遠(yuǎn)大于其半徑，因此它適用于夾雜物占比較低的復(fù)合材料。

Bruggenman公式[14]：

(2)

Bruggenman混合規(guī)則利用平均場(chǎng)理論分析夾雜物之間的相互作用。

冪律公式[15]：

(3)

(4)

在建模分析中，冪律模型也可用于預(yù)測(cè)復(fù)合材料的等效介電常數(shù)。

Lichtenecker公式[15]：

lnεeff=qlnεi+(1-q)εm

(5)

當(dāng)兩相介質(zhì)分層交替排列或隨機(jī)平行排列時(shí)，則采用Lichtenecker混合理論。

1.2 電場(chǎng)波動(dòng)定理

通常情況下，當(dāng)對(duì)復(fù)合材料施加均勻電場(chǎng)時(shí)會(huì)導(dǎo)致復(fù)合材料的內(nèi)外各相引起不同的電場(chǎng)波動(dòng)。而這種波動(dòng)往往取決于復(fù)合材料中夾雜物的形狀、介電性能、體積分?jǐn)?shù)和排列方式。對(duì)于場(chǎng)波動(dòng)與復(fù)合材料介電特性的關(guān)系，首先需要量化不同復(fù)合介質(zhì)模型的電場(chǎng)波動(dòng)，在這里Guo等人[16]提出將電場(chǎng)波動(dòng)定理應(yīng)用于分析混合物的等效電特性，定理1：將復(fù)合材料的等效介電常數(shù)與各相的平均電場(chǎng)濃度聯(lián)系起來；對(duì)于兩相復(fù)合材料，可以導(dǎo)出濃度因子的表達(dá)式：

式中，Ri為夾雜物的場(chǎng)濃度因子,fi為夾雜物的體積分?jǐn)?shù)。定理2：將復(fù)合材料等效介電常數(shù)相對(duì)于各相介電常數(shù)的導(dǎo)數(shù)與各相電場(chǎng)的波動(dòng)聯(lián)系起來。夾雜物相的方差的表達(dá)式：

(7)

該文量化了有效介質(zhì)模型的電場(chǎng)空間波動(dòng)，對(duì)于分析不同夾雜物等效電特性的變化具有重要意義。

2 數(shù)值模擬方法

FEM是一種常用的、高性能的數(shù)值計(jì)算方法。它計(jì)算的核心思想是將連續(xù)的求解域進(jìn)行離散化的處理得到一組單元的組合體，根據(jù)設(shè)定的初始條件求解每個(gè)剖分單元區(qū)域電參數(shù)的近似解，然后由已知的算法模塊對(duì)離散化區(qū)域的方程組進(jìn)行處理得到真解。有限元法的實(shí)現(xiàn)大致需要三個(gè)階段：前期處理階段、計(jì)算求解階段以及后期處理階段。前期處理階段主要有物理場(chǎng)的選取、添加研究(激勵(lì))、建立模型以及定義相應(yīng)的模型參數(shù)等(例如設(shè)置材料屬性)；計(jì)算求解階段主要是用戶求解微分方程或微分方程組，或者根據(jù)求解的物理量自定義微分方程；后處理階段是對(duì)求解的數(shù)據(jù)進(jìn)行輸出，方便對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。

該文研究不同幾何結(jié)構(gòu)對(duì)電特性的影響規(guī)律，考慮到文中所分析的夾雜物結(jié)構(gòu)邊緣較不規(guī)則，在網(wǎng)格剖分處理上需要兼顧收斂速度與精度，因此選用基于FEM方法的COMSOL Multiphysics?多物理場(chǎng)仿真軟件進(jìn)行建模與仿真分析。該方法的特點(diǎn)是當(dāng)建立的模型比較復(fù)雜時(shí)，F(xiàn)EM對(duì)邊界條件、網(wǎng)格剖分參數(shù)的處理較為靈活，在電磁場(chǎng)等領(lǐng)域研究得到了廣泛的應(yīng)用。而COMSOL Multiphysics?多物理場(chǎng)仿真軟件是一種基于高級(jí)數(shù)值方法的軟件，用于建模和模擬多物理場(chǎng)問題，具有強(qiáng)大的數(shù)據(jù)后處理功能，為本研究可提供高效的技術(shù)支持。

3 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

在場(chǎng)波動(dòng)理論的基礎(chǔ)上，為進(jìn)一步分析解釋復(fù)合夾雜物幾何結(jié)構(gòu)對(duì)材料等效電特性的影響，并為材料結(jié)構(gòu)的建模設(shè)計(jì)提供參考，該文采用有限元方法對(duì)不同幾何結(jié)構(gòu)的夾雜物進(jìn)行了計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)。相關(guān)的實(shí)驗(yàn)硬件選取及實(shí)驗(yàn)設(shè)置為：CPU處理器是Intel(R) Core(TM) i5-8500 CPU @ 3.00 GHz，64位操作系統(tǒng)；COMSOL Multiphysics?多物理場(chǎng)軟件為COMSOL 5.4版本。在COMSOL Multiphysics?選取創(chuàng)建二維幾何結(jié)構(gòu)，設(shè)置每一相材料屬性(相對(duì)介電常數(shù))，添加物理場(chǎng)接口(AC/DC模塊中的靜電場(chǎng))穩(wěn)態(tài)研究，在模型X方向施加激勵(lì)，Y方向接地，周期性邊界條件。仿真中選取物理場(chǎng)控制網(wǎng)格剖分，仿真驗(yàn)證得到不用的網(wǎng)格對(duì)求解等效介電常數(shù)值沒有大的影響，但是由于網(wǎng)格剖分越精細(xì)，所需要的內(nèi)存和時(shí)間越多。因此，文中對(duì)等效介電常數(shù)求解的網(wǎng)格設(shè)置為常規(guī)網(wǎng)格，既節(jié)省了時(shí)間成本，又達(dá)到求解介電常數(shù)的效果。根據(jù)域內(nèi)各點(diǎn)的電場(chǎng)E和電位移D的平均值以及各相的體積分?jǐn)?shù)等可以得到各相的電場(chǎng)濃度和整個(gè)復(fù)合材料的等效介電常數(shù)。復(fù)合材料的等效介電常數(shù)取決于夾雜物的形狀和大小，文中所模擬的理想模型中夾雜物的形狀為:圓形、方形、菱形、十字形，如圖1所示。

圖1 COMSOL Multiphysics?軟件 構(gòu)建不同形狀的夾雜物

對(duì)于夾雜物與宿主介質(zhì)的介電常數(shù)相差較小的情況，夾雜物的介電常數(shù)ε1=4[F/m]，基體的介電常數(shù)ε2=2[F/m]。對(duì)于介電常數(shù)對(duì)比相差較大的情況，內(nèi)外兩相的介電常數(shù)分別是ε1=80[F/m]和ε2=2[F/m]。圖2和圖3分別為COMSOL Multiphysics?模擬不同形狀?yuàn)A雜物的電場(chǎng)波動(dòng)以及電場(chǎng)波動(dòng)隨夾雜物介電特性的變化。

圖2 COMSOL Multiphysics?模擬 不同形狀?yuàn)A雜物的電場(chǎng)波動(dòng)

圖3 電場(chǎng)波動(dòng)隨夾雜物介電特性的變化

3.1 兩相介電常數(shù)呈低對(duì)比度情況

圖4～圖6表示的是夾雜物與基體的相對(duì)介電常數(shù)在低對(duì)比度的情況，夾雜物的介電常數(shù)ε1=4[F/m]，基體的介電常數(shù)ε2=2[F/m]。

圖4 低對(duì)比度下不同夾雜物的等效介電常數(shù)

圖4給出了夾雜物與基體的相對(duì)介電常數(shù)在低對(duì)比度情況下，其數(shù)值解與理論解的等效介電常數(shù)值，可見對(duì)于不同幾何形狀的夾雜物等效介電常數(shù)差異很小。當(dāng)體積分?jǐn)?shù)小于等于20%時(shí)，所有模型的等效介電常數(shù)基本相同，當(dāng)體積分?jǐn)?shù)大于20%時(shí)，菱形和十字形的等效介電常數(shù)會(huì)大于方形和圓形。相比于理論公式，圓形和方夾雜物的數(shù)值解與Maxwell-Garnett公式計(jì)算的解析結(jié)果吻合較好，菱形和十字形夾雜物的數(shù)值解與Bruggeman公式計(jì)算的解析結(jié)果較吻合。

圖5 低對(duì)比度下夾雜物相的平均場(chǎng)濃度

圖5計(jì)算了不同夾雜物相平均場(chǎng)濃度的數(shù)值解，結(jié)果表明了在低對(duì)比度情況下，隨著夾雜物體積分?jǐn)?shù)的增加，夾雜物的平均場(chǎng)濃度也會(huì)隨之增加，且不同形狀的夾雜物之間的場(chǎng)濃度相差較小。

圖6 低對(duì)比度下夾雜物相的場(chǎng)強(qiáng)方差

圖6為不同夾雜物場(chǎng)強(qiáng)方差的數(shù)值解，從圖6的結(jié)果可以看出在低對(duì)比度情況下，隨著夾雜物體積分?jǐn)?shù)的增加，夾雜物的場(chǎng)強(qiáng)方差也會(huì)隨之增加。不同的是，圓形和方形的場(chǎng)強(qiáng)方差變化較小，而菱形和十字形的場(chǎng)強(qiáng)方差變化較大。

3.2 兩相介電常數(shù)呈高對(duì)比度情況

圖7～圖9表示的是夾雜物與基體相對(duì)介電常數(shù)在高對(duì)比度的情況，夾雜物的介電常數(shù)ε1=80[F/m]，基體的介電常數(shù)ε2=2[F/m]。

圖7給出了夾雜物與基體的相對(duì)介電常數(shù)在高對(duì)比度情況下，其數(shù)值解與理論解的等效介電常數(shù)值。從圖7的結(jié)果可以看出，對(duì)于夾雜物與基體的相對(duì)介電常數(shù)在高對(duì)比度情況下，只有當(dāng)夾雜物的體積分?jǐn)?shù)較低時(shí)，所有夾雜物形狀的復(fù)合材料的數(shù)值解才與Maxwell-Garnett公式和Bruggeman公式吻合良好。隨著夾雜物體積分?jǐn)?shù)的增加，圓形和方形較吻合于Maxwell-Garnett公式，而菱形和十字形夾雜物的數(shù)值解有很大偏差。

圖7 高對(duì)比度下不同夾雜物的等效介電常數(shù)

圖8 高對(duì)比度下夾雜物相的平均場(chǎng)濃度

圖8的結(jié)果表明了在高對(duì)比度情況下，隨著夾雜物體積分?jǐn)?shù)的增加，夾雜物的平均場(chǎng)濃度也隨之增加。夾雜物的形狀不同，其平均場(chǎng)濃度的變化幅度也會(huì)不一樣。由圖8可知，圓形和方形的場(chǎng)濃度變化較小，而菱形和十字形的場(chǎng)濃度變化非常大。

圖9 高對(duì)比度下夾雜物相的場(chǎng)強(qiáng)方差

從圖9的結(jié)果可以看出在高對(duì)比度情況下，隨著夾雜物體積分?jǐn)?shù)的增加，夾雜物的場(chǎng)強(qiáng)方差也會(huì)隨之變化。圓形和方形的場(chǎng)強(qiáng)方差基本不隨體積分?jǐn)?shù)的改變而變化，而菱形和十字形的場(chǎng)強(qiáng)方差變化非常大。

以上模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：對(duì)于兩相介電常數(shù)呈低對(duì)比度情況，當(dāng)體積分?jǐn)?shù)小于等于20%時(shí)，圓形、方形、菱形和十字形的介電常數(shù)的數(shù)值解基本相同，隨著體積分?jǐn)?shù)的增加，十字形和菱形的介電常數(shù)略大于圓形和方形；夾雜物的幾何結(jié)構(gòu)不同其計(jì)算出的平均場(chǎng)濃度和場(chǎng)強(qiáng)方差也是不同的，其平均場(chǎng)濃度也是十字形最大，其次是菱形、方形和圓形，而十字形和菱形的場(chǎng)強(qiáng)方差變化較大，圓形和方形的場(chǎng)強(qiáng)方差變化較小。

對(duì)于兩相介電常數(shù)呈高對(duì)比度情況，十字形夾雜物的相對(duì)介電常數(shù)最大，其次是菱形、方形和圓形，且隨著體積分?jǐn)?shù)的增大，介電常數(shù)的相差就越大；其十字形和菱形的平均場(chǎng)濃度和場(chǎng)強(qiáng)方差也是變化比較大，而圓形和方形的平均場(chǎng)濃度變化較小，場(chǎng)強(qiáng)方差基本不變。所以，當(dāng)夾雜物體積分?jǐn)?shù)變化時(shí)，復(fù)合材料等效介電常數(shù)的變化規(guī)律與夾雜物相的場(chǎng)濃度和場(chǎng)強(qiáng)方差的變化規(guī)律相吻合。

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)兩相復(fù)合材料模型進(jìn)行了數(shù)值模擬，分析了夾雜物幾何形狀對(duì)復(fù)合材料等效介電常數(shù)的影響。采用有限元方法計(jì)算的等效介電常數(shù)數(shù)值解與幾種經(jīng)典的理論公式進(jìn)行了比較，并分析了低對(duì)比度與高對(duì)比度下復(fù)合材料的平均場(chǎng)濃度和場(chǎng)波動(dòng)的變化規(guī)律。由分析結(jié)果可以得出以下結(jié)論:

(1)不同幾何結(jié)構(gòu)的夾雜物對(duì)復(fù)合材料的電特性影響不同；當(dāng)夾雜物的體積分?jǐn)?shù)相同時(shí)，無論復(fù)合材料的兩相介電常數(shù)呈低對(duì)比度還是高對(duì)比度，十字形夾雜物的相對(duì)介電常數(shù)總是最大，其次是菱形、方形和圓形。

(2)當(dāng)夾雜物體積分?jǐn)?shù)變化時(shí)，復(fù)合材料的等效介電常數(shù)的變化規(guī)律與夾雜物相的場(chǎng)濃度和場(chǎng)強(qiáng)方差的變化規(guī)律相吻合；隨著夾雜物體積分?jǐn)?shù)增大時(shí)，十字形和菱形夾雜物場(chǎng)濃度以及場(chǎng)強(qiáng)方差的變化趨勢(shì)相對(duì)比較大，而圓形和方形的則比較小。

(3)在夾雜物體積分?jǐn)?shù)相同的情況下，不同夾雜物與基體介質(zhì)的介電常數(shù)對(duì)比度差異也會(huì)影響復(fù)合材料內(nèi)部場(chǎng)濃度以及場(chǎng)強(qiáng)方差的計(jì)算；無論是低對(duì)比度還是高對(duì)比度，在相同的體積分?jǐn)?shù)下，十字形夾雜物計(jì)算出的平均場(chǎng)濃度和場(chǎng)強(qiáng)方差均是最大的，其次是菱形、方形和圓形，因此夾雜物的幾何結(jié)構(gòu)特征與場(chǎng)波動(dòng)之間有直接的相關(guān)性。

該文僅討論了簡(jiǎn)單二維復(fù)合材料模型，后期工作中將會(huì)建立更為復(fù)雜的三維幾何結(jié)構(gòu)模型研究其微觀結(jié)構(gòu)對(duì)等效電特性的影響規(guī)律。以上的計(jì)算機(jī)仿真研究工作對(duì)設(shè)計(jì)具有特定電特性的復(fù)合材料提供了理論參考依據(jù)。