基于廣義胡克定律的彈性繩索拉伸研究

陳一凡,朱民耀,朱曉強(qiáng),宋海洋,陸小鋒

(上海大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，上海 200444)

0 引 言

虛擬現(xiàn)實(shí)(VR)技術(shù)是計(jì)算機(jī)軟硬件技術(shù)、傳感技術(shù)、機(jī)器人技術(shù)、人工智能及行為心理學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域飛速發(fā)展的結(jié)晶。主要依賴于二維或者三維實(shí)時(shí)圖形顯示、三維定位跟蹤、觸覺及嗅覺傳感技術(shù)、人工智能技術(shù)、高速計(jì)算與并行計(jì)算技術(shù)以及人的行為學(xué)研究等多項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)的發(fā)展。受制于計(jì)算機(jī)硬件性能，VR技術(shù)一直以來概念大于應(yīng)用，理論多于實(shí)踐。近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，計(jì)算機(jī)的性能得到了顯著提升，使得VR技術(shù)在各類工程中的實(shí)際應(yīng)用成為了可能?；谄洫?dú)特而強(qiáng)大的沉浸性、交互性、構(gòu)想性特質(zhì)(即3L特性)[1]，VR技術(shù)開始被廣泛應(yīng)用于工程、教育、醫(yī)療、軍事和娛樂等多種領(lǐng)域，并取得了顯著成果。

本研究旨在將VR技術(shù)應(yīng)用于工程施工安全培訓(xùn)，通過應(yīng)用VR技術(shù)，可有效增強(qiáng)培訓(xùn)者體驗(yàn)感，做到身臨其境；提升培訓(xùn)過程趣味性，提升培訓(xùn)對(duì)象積極性；提高培訓(xùn)設(shè)施可復(fù)用性，降低工程培訓(xùn)成本，提高培訓(xùn)效率[2]；消除培訓(xùn)時(shí)人員密集情況，滿足防疫需求。為充分發(fā)揮VR技術(shù)的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，需盡可能提高培訓(xùn)真實(shí)感，其中最重要的就是研究怎樣將自然界物質(zhì)的物理規(guī)律盡可能逼真地在虛擬環(huán)境中用動(dòng)畫仿真，從而給VR使用者最真實(shí)的體驗(yàn)。

在物理動(dòng)畫領(lǐng)域的研究中，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)致力于尋找新方法用于模擬物理現(xiàn)象如剛體、可變形物體或流體的動(dòng)力學(xué)。與計(jì)算科學(xué)主要關(guān)注精確度上相反，這里更主要關(guān)注的問題是穩(wěn)定性、穩(wěn)健性和運(yùn)行速度，同時(shí)應(yīng)該保持仿真結(jié)果在視覺上的合理性[3]。彈性軟繩的研究和仿真，是該領(lǐng)域中一個(gè)重要方向。本研究結(jié)合計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和物理學(xué)相關(guān)領(lǐng)域技術(shù)進(jìn)行研究和探討，逼真地模擬出彈性軟繩在拉伸時(shí)形變和斷裂的效果，并將該仿真結(jié)果應(yīng)用到了實(shí)際VR培訓(xùn)工程中，很大程度上增強(qiáng)了物理真實(shí)體驗(yàn)感。

1 相關(guān)工作

該研究靈感來源于實(shí)際的工程應(yīng)用，在VR的安全演練培訓(xùn)場(chǎng)景里需要用到安全繩索中的緩沖系帶，該結(jié)構(gòu)是一種彈性繩索，具有一定彈性和伸長性，屬于軟體結(jié)構(gòu)，在VR環(huán)境下對(duì)軟體結(jié)構(gòu)的模擬屬于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的動(dòng)畫仿真研究。Terzopoulos D，Platt J和Barr A等人[4]較早系統(tǒng)地提出了對(duì)彈性結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算機(jī)圖形仿真的方法，目前調(diào)研發(fā)現(xiàn)，對(duì)于彈性材質(zhì)物體的仿真方法有彈簧-質(zhì)量模型[5]、有限元法、有限差分法[6]和基于位置的動(dòng)力學(xué)(position based dynamics，PBD)方法[7]。

彈簧-質(zhì)量模型的建立需要與彈性材料自身屬性具有固定關(guān)系，所需參數(shù)復(fù)雜，計(jì)算量大的同時(shí)，模型復(fù)用性卻不高，同時(shí)在模型運(yùn)行中往往需要與力相關(guān)聯(lián)，常規(guī)的解決辦法是引入有限元技術(shù)和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)[8-9]，但問題緊隨而來，有限元分析確實(shí)是產(chǎn)品設(shè)計(jì)過程中的一個(gè)常用手段，依據(jù)有限元分析結(jié)果，便可以驗(yàn)證設(shè)計(jì)方案的合理性，但在產(chǎn)品的實(shí)際開發(fā)過程中，產(chǎn)品建模和有限元分析是分開進(jìn)行的[10]，這大大提高了工程開發(fā)應(yīng)用的復(fù)雜性和難度系數(shù)，同時(shí)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的迭代計(jì)算量十分龐大，對(duì)計(jì)算機(jī)性能要求很高，且很可能產(chǎn)生顯式積分下的超調(diào)和能量增益問題。而基于位置的動(dòng)力學(xué)仿真由于能夠控制顯式積分，進(jìn)而消除了典型的不穩(wěn)定性問題；在模擬過程中，可以直接操縱頂點(diǎn)和部分對(duì)象的位置，可以處理一般性約束[3]，正是由于其易于理解和實(shí)現(xiàn)的優(yōu)勢(shì)，基于位置的動(dòng)力學(xué)方法目前被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中軟體的模擬并在被不斷優(yōu)化和改進(jìn)。

本方案綜合考慮上述因素，采用改進(jìn)后的基于位置的動(dòng)力學(xué)方法XPBD[7]構(gòu)建彈性繩索的基礎(chǔ)，該方法通過一些近似處理，在基本不影響仿真效果的情況下，避免了迭代次數(shù)和時(shí)間步長對(duì)彈性物體剛度的影響，可把彈性物體的剛度定義為一個(gè)外部參量，成為彈性物體在動(dòng)畫模擬時(shí)的固有屬性。值得注意的是，該方法仍然是基于位置的，對(duì)于二維布料和三維實(shí)物的模擬，能通過一般性約束從粒子間距離的變化反映出視覺可信的對(duì)應(yīng)維度的形變。然而彈性繩索的仿真，一般由少量單序列粒子串模擬，粒子間引入距離和碰撞約束，首尾粒子的相對(duì)位置變化反映繩索長度的變化，也就說方法上繩索的概念被定義為一維結(jié)構(gòu)，從而導(dǎo)致繩索在仿真過程中，只有縱向形變而沒有橫向形變，這在視覺上是明顯不合理的，違背了計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的基本要求。本研究根據(jù)基于位置的動(dòng)力學(xué)算法原理和彈性力學(xué)的廣義胡克定律設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了彈性繩索在彈性限度內(nèi)拉伸發(fā)生縱向形變時(shí)對(duì)應(yīng)發(fā)生橫向形變的效果，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了彈性繩索過度拉伸時(shí)材質(zhì)缺陷處發(fā)生頸縮型塑性形變[11]和超出拉伸極限發(fā)生斷裂[12]的特效。

2 繩索模擬基本理論

最早的基于位置的動(dòng)力學(xué)(PBD)由Müller M和 Heidelberger B等人[3]在2006年系統(tǒng)提出，不久Müller M[13]通過改進(jìn)算法加快收斂速度，改善了軟體剛性屬性，為在少量迭代即計(jì)算量較小的情況下，用該算法模擬彈性繩索奠定基礎(chǔ)。該算法應(yīng)用廣泛并不斷改進(jìn)，但直到2016年Macklin M等人[7]才提出XPBD方法。PBD求解器的主要步驟是求解每個(gè)受約束的粒子組的相對(duì)位置Δx，求解公式如下所示：

Δx=kjsjM-1?Cj(xi)

(1)

式中，下標(biāo)i表示迭代索引，j是約束條件，k∈[0,1]是簡單應(yīng)用的約束剛度，k直接影響了視覺下的軟體硬度效果，根據(jù)公式易見k與迭代次數(shù)和時(shí)間步長都有關(guān)系。XPBD通過一些近似處理在基本不影響視覺效果的情況下，計(jì)算公式被重定義為：

Δx=M-1?C(xi)TΔλ

(2)

簡化后的公式(2)中，約束剛度被轉(zhuǎn)化成一個(gè)不受時(shí)間步長和迭代次數(shù)影響的參量，并可以在外部自定義大小，Macklin M等人通過和其他物理建模方法實(shí)驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證了XPBD的可行性。對(duì)于彈性繩索的模擬，首先關(guān)注到其彈性，嘗試在提高剛性的情況下，把粒子盤繞成螺旋的排列形式，內(nèi)部結(jié)構(gòu)像是彈簧，外部渲染成一個(gè)整體，這樣僅依賴距離約束，彈簧結(jié)構(gòu)在縱向變化時(shí)就能引起橫向變化。Kugelstadt T和Sch?mer E[14]確實(shí)成功優(yōu)化了PBD方法的彈簧結(jié)構(gòu)仿真，但該方法中大部分計(jì)算是在模擬彈簧內(nèi)部的扭轉(zhuǎn)和彎曲上，且整體結(jié)構(gòu)在表現(xiàn)出良好的彈性性能時(shí)，其柔性過高，視覺上與繩索具有很大差異，巨大計(jì)算代價(jià)下的低仿真效果明顯不滿足研究需求。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，PBD方法下的任何仿真，都默認(rèn)粒子屬性只有位置，速度和質(zhì)量屬性，卻沒有大小，聯(lián)系到XPBD方法下，外部定義約束剛性大小(在下一節(jié)里將解釋定義剛性的原因)后，只需少量粒子在線性情況下的模擬，就能夠在迭代次數(shù)較小和時(shí)間步長合理的情況下，使粒子結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出良好的彈性物理性質(zhì)，基于此，再考慮引入基本彈性力學(xué)概念，通過計(jì)算推導(dǎo)出彈性繩索縱橫形變規(guī)律，為線性結(jié)構(gòu)的粒子組定義大小，仿真實(shí)現(xiàn)彈性繩索的真實(shí)感物理變化。

彈性繩索是彈性體的一種特殊情況，可以在彈性體變形研究的框架下對(duì)其形變規(guī)律進(jìn)行計(jì)算和歸納。在不計(jì)熱效應(yīng)的準(zhǔn)靜態(tài)條件下，將彈性物體微分成無數(shù)個(gè)小單元進(jìn)行力和能量的分析，對(duì)于彈性體來說，外力做功等于內(nèi)力做功，由應(yīng)變能密度是應(yīng)變的單值函數(shù)，可得：

dW=σijdεij

(3)

式中，W表示功，σij表示ij方向的應(yīng)力，εij表示ij方向的應(yīng)變，根據(jù)公式(3)推導(dǎo)出：

(4)

公式(4)又可表示為：

(5)

公式(5)稱之為格林(Green)公式，表示了彈性材料的本構(gòu)關(guān)系，將W在εij=0的地方泰勒展開，得到：

(6)

又有:

σij=Eijklεkl

(7)

橫觀各向同性彈性本構(gòu)方程如下:

(8)

式中，Ev為垂直于各向同性平面的彈性模量，Eh為平行于各向同性平面的彈性模量，vvh為施加垂直應(yīng)變引起水平應(yīng)變的泊松比，vhh為各向同性平面內(nèi)的泊松比，Gvh為垂直于各向同性平面的剪切模量，ε為應(yīng)變?cè)隽浚覟檎龖?yīng)力增量，γ為切應(yīng)變?cè)隽浚訛榍袘?yīng)力增量。

繩索多為絞線纏繞結(jié)構(gòu)，可以認(rèn)為是水平層理結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 水平層理結(jié)構(gòu)

則有水平層理面兩個(gè)方向X和Y的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系一致[15]，統(tǒng)一表示應(yīng)變?yōu)棣舎，應(yīng)力為σh，Z方向的應(yīng)變和應(yīng)力εz表示為εv，σz表示為σv，則本構(gòu)方程可以簡化為：

(9)

矩陣乘積得：

(10)

(11)

3 彈性繩索基本模型和優(yōu)化

3.1 基本縱橫形變彈性繩索模型

在自然世界里，彈性體的E和v是物質(zhì)的固有屬性，E即楊氏彈性模量，是描述固體材料抵抗形變能力的物理量[16]，v即泊松比，材料沿載荷方向產(chǎn)生伸長(或縮短)變形的同時(shí)，在垂直于載荷的方向會(huì)產(chǎn)生縮短(或伸長)變形，垂直方向上的應(yīng)變?chǔ)舎與載荷方向上的應(yīng)變?chǔ)舦之比的負(fù)值稱為材料的泊松比，在材料彈性變形階段內(nèi)，v是一個(gè)常數(shù)，數(shù)學(xué)家泊松早在1829年發(fā)表的《彈性體平衡和運(yùn)動(dòng)研究報(bào)告》一文中就給出了理論推導(dǎo)。

把彈性材料的物理性質(zhì)映射到動(dòng)畫仿真中，動(dòng)畫的變化規(guī)律應(yīng)盡量符合其在真實(shí)世界的物理規(guī)律，以保證其視覺上的可信，達(dá)到具有物理真實(shí)感的動(dòng)畫仿真效果。XPBD方法下構(gòu)建的線性粒子組，粒子間的剛度約束不受時(shí)間步長和迭代次數(shù)影響，并且可以在外部自定義，這就意味著剛度成為線性粒子組的固有屬性，并在視覺上反映粒子組模擬的繩索彈性效果。

如圖2所示，用少量粒子，當(dāng)給繩索添加載荷(實(shí)驗(yàn)中設(shè)置mass為10 g)，載荷進(jìn)行視覺上可信的簡諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)載荷停在平衡點(diǎn)時(shí)，繩索伸長率(繩索伸長量與繩索原長的比值)從左到右依次為0.0，0.3，0.6和0.9。顯而易見，該方法模擬的繩索抵抗形變的能力和剛度系數(shù)線性正比例相關(guān)，可驗(yàn)證，該方法模擬的繩索在剛度參數(shù)預(yù)定義時(shí)，其抵抗形變的能力是始終不變的，映射到物理屬性中，印證了楊氏模量E是彈性物體的固有屬性，彈性物體在連接載荷時(shí)縱向形變規(guī)律滿足廣義胡克定律，其縱向形變是視覺上可信的，但繩索在懸掛載荷拉伸后，橫向也應(yīng)該對(duì)應(yīng)發(fā)生形變。

圖2 不同剛度系數(shù)下的彈性繩相同載荷平衡狀態(tài)

(載荷為10 g，從左到右的線剛度系數(shù)分別為0.000，0.001，0.002，0.003)

首先考慮在彈性限度內(nèi)彈性物體拉伸時(shí)的形變規(guī)律，在楊氏模量確定，繩索縱向拉伸規(guī)律滿足物理真實(shí)感的前提下，根據(jù)公式(11)可以找到橫向形變和縱向形變的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但值得強(qiáng)調(diào)的是，該公式僅在彈性物體的微分單元上成立，假定模擬的繩索材質(zhì)均勻，那么根據(jù)微分單元的體積和是繩索整體體積的基本原理，只需計(jì)算各微分單元的體積變化，求和得到繩索整體的體積變化，又有縱向形變已知，那么橫向變化易得。

當(dāng)彈性物體的材質(zhì)均勻并受到拉力時(shí)，其內(nèi)部受力處均勻，那么意味著所有微分單元體(以下簡稱微元體)的形變規(guī)律是一致的，如圖3所示，可以求解微元體的體積變化量ΔV。

圖3 微分單元的形變

當(dāng)微元體縱向Z受到拉力時(shí)，根據(jù)公式(10)，應(yīng)力引起應(yīng)變，縱向伸長，根據(jù)公式(11)可知橫向形變與縱向形變存在固定比例關(guān)系，比例系數(shù)是彈性物體的固有屬性——泊松比v。

求解如下聯(lián)立方程組：

(12)

式中，V0是微元體的原始體積，V1是微元體形變后的體積，忽略高階小量，可以得到：

ΔV=XYΔZ+XZΔY+YZΔX

(13)

代入公式(12)有體積變化率：

(14)

微元體的全體集合是彈性體整體，彈性體在材質(zhì)均勻的前提下，各微元體的變化是相同的，那么對(duì)其進(jìn)行求和，推廣到一般情況，整體的體積變化將與微元體的變化是一致的，變化率也是K；彈性繩索的模型被定義為圓柱體，均勻拉伸后的繩索仍然是圓柱體，只是半徑會(huì)發(fā)生變化，那么有：

(15)

將公式(14)代入公式(15)可得：

(16)

式中，R和r分別為彈性繩索在載荷作用下發(fā)生形變前后的半徑，L和l分別為彈性繩索在載荷作用下發(fā)生形變前后的長度，v是繩索的固有屬性泊松比，物理學(xué)中取值為-1到0.5，小于零時(shí)，表明材料是具有負(fù)泊松比的特殊材料，材料受拉體積反而增大。

3.2 頸縮型塑性形變彈性繩索優(yōu)化模型

考慮繩索材質(zhì)在某一位置存在缺陷的特殊情況，當(dāng)載荷拉力導(dǎo)致繩索收縮，截面小于截面收縮極限時(shí)，繩索會(huì)從缺陷點(diǎn)開始發(fā)生頸縮，頸縮曲線一般來說符合雙曲線模型[17]。

繩索發(fā)生頸縮時(shí)，沿繩索橫向截面圓直徑的縱向切截面如圖4雙曲線所示。頸縮程度從繩索兩端到缺陷點(diǎn)逐漸增強(qiáng)，假定缺陷點(diǎn)在繩索中間，繩索兩端為最大半徑位置，且垂直投影在雙曲線焦點(diǎn)上，視覺上表現(xiàn)為兩端粗、中間細(xì)，兩端半徑為收縮極限截面半徑，則可等效為繩索在發(fā)生頸縮時(shí)，繩索縱向上任意位置的橫截面圓半徑是雙曲線到Y(jié)軸的距離，則有：

(17)

式中，rmin為截面收縮到極限時(shí)的繩索兩端橫截面圓半徑，l為繩索當(dāng)前長度，聯(lián)立求解可得：

(18)

根據(jù)公式(18)，在已知繩索長度時(shí)，可以求解任意位置的繩索半徑。

圖4 雙曲線

3.3 斷裂特效模擬彈性繩索優(yōu)化模型

當(dāng)繩索發(fā)生頸縮后，繩索依然能夠在持續(xù)增大的載荷拉力作用下繼續(xù)伸長，缺陷處的截面半徑隨著繩索的繼續(xù)拉長會(huì)持續(xù)變小，當(dāng)缺陷處截面半徑小于一個(gè)極限值時(shí)，繩索會(huì)發(fā)生斷裂，此時(shí)的繩索長度為極限拉伸長度，繩索極限拉伸長度與自身材料屬性有關(guān)，是繩索的固有屬性[18]。因此可通過設(shè)置閾值的方式，當(dāng)繩索伸長率大于該閾值時(shí)發(fā)生斷裂，進(jìn)而考慮繩索斷裂時(shí)的特效渲染。

考慮到真實(shí)物理性質(zhì)下，繩索為多股纖維材料編制而成，當(dāng)發(fā)生斷裂時(shí)，編織結(jié)構(gòu)被破壞，多股纖維也同時(shí)發(fā)生斷裂，那么斷裂口將呈現(xiàn)出不規(guī)則毛刺狀，不規(guī)則映射到計(jì)算機(jī)語言里就是隨機(jī)，毛刺狀可以通過倒三角貼圖渲染，可在建立繩索模型時(shí)，通過設(shè)置隨機(jī)數(shù)，隨機(jī)建模斷裂處的模型單元長度和方向，通過倒三角貼圖渲染的方式，達(dá)到視覺上類似的不規(guī)則毛刺狀斷裂口效果。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)在Unity平臺(tái)下進(jìn)行，構(gòu)建的是VR開發(fā)環(huán)境。實(shí)驗(yàn)中通過設(shè)置幾組不同參數(shù)的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，展示設(shè)計(jì)的繩索在不同拉伸情況下的仿真效果。

4.1 基本縱橫形變彈性繩索模型仿真

首先在不考慮橫向變化的情況下，驗(yàn)證彈性繩索的基本物理性質(zhì)，設(shè)置一組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，如圖2所示，可驗(yàn)證，當(dāng)彈性繩索剛度系數(shù)確定時(shí)，其能夠在符合廣義胡克定律的情況下，真實(shí)地模擬出彈性繩索的物理伸長規(guī)律。

進(jìn)而考慮橫向形變，根據(jù)公式(16)，設(shè)置一組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，彈性繩索的剛度系數(shù)為0.001，泊松比左二開始向右分別為0.0，0.3和0.5。

圖5 不同泊松比下的彈性繩索拉伸效果

對(duì)常見材料來說，縱向拉伸會(huì)導(dǎo)致橫向收縮，所以泊松比一般不會(huì)為負(fù)值，在圖5(a)中，當(dāng)泊松比為0時(shí)，表示該種彈性繩索縱向拉伸不會(huì)導(dǎo)致橫向收縮，所以和左一繩索原來粗細(xì)始終保持一致，半徑收縮率為0；當(dāng)泊松比為0.5時(shí)，表示該種彈性繩索在拉伸形變過程中保持體積不變；一般來說，彈性繩索的泊松比在0.3左右。通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)，外部調(diào)節(jié)泊松比參數(shù)，視覺上，該彈性繩索模型在載荷作用下拉伸過程中的形變基本符合物理真實(shí)感。

同時(shí)測(cè)試了負(fù)泊松比的情況，能夠模擬負(fù)泊松比材料在載荷作用下縱向拉伸時(shí)橫向也拉伸的形變效果，如圖5(b)。希望能夠?yàn)橐院笤谟?jì)算機(jī)仿真中模擬負(fù)泊松比材料的形變規(guī)律做出貢獻(xiàn)。

4.2 頸縮型塑性形變彈性繩索模型仿真

根據(jù)公式(18)，設(shè)置不同的彈性繩索的極限截面收縮半徑，模擬彈性繩索在載荷作用下拉伸到不同程度時(shí)發(fā)生頸縮的仿真效果。

在圖6中，從左到右依次為不發(fā)生頸縮，發(fā)生頸縮且極限收縮半徑rmin為0.80倍的原始半徑，0.75倍的原始半徑和0.70倍的原始半徑四種情況。動(dòng)畫仿真過程中，當(dāng)彈性繩索在載荷作用下拉伸時(shí)，橫向截面半徑對(duì)應(yīng)縮小，在大于極限收縮半徑時(shí)，半徑均勻減小，當(dāng)小于極限收縮半徑時(shí)，繩索無法繼續(xù)均勻橫向收縮，會(huì)從缺陷點(diǎn)處發(fā)生頸縮，頸縮曲線用雙曲線擬合，視覺上達(dá)到了基本可信的程度。

圖6 彈性繩索頸縮效果仿真

4.3 斷裂特效模擬彈性繩索模型仿真

根據(jù)前一節(jié)結(jié)論，彈性繩索被過度拉伸時(shí)會(huì)發(fā)生斷裂，通過斷裂處分割式隨機(jī)數(shù)建模，用倒三角貼圖模擬出斷裂口不規(guī)則毛刺狀效果。

圖7 彈性繩索不規(guī)則毛刺狀斷裂口仿真

如圖7，繩索的圓柱體分割建模單元從左到右依次設(shè)置為8，16和32，可以看到模型的分割單元越多，模擬的毛刺狀效果就越好，但分割單元越多，計(jì)算機(jī)的功耗也就越大，因此需要在基本滿足視覺需求的同時(shí)，不過度追求精細(xì)。通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比，模型分割單元在16到32之間基本就可以滿足模擬繩索不規(guī)則毛刺狀斷裂口的仿真視覺效果。

4.4 彈性繩索完整形變過程仿真

實(shí)驗(yàn)測(cè)試了彈性繩索在載荷作用下拉伸的完整形變過程。

如圖8所示，彈性繩索的拉伸過程，首先是彈性限度內(nèi)，均勻拉長，材質(zhì)均勻的情況下，橫向均勻收縮；當(dāng)超過彈性限度時(shí)，即截面達(dá)到收縮極限，繩索發(fā)生塑性形變，從材質(zhì)缺陷處開始發(fā)生頸縮；當(dāng)繩索超過伸長極限時(shí)，會(huì)從中間發(fā)生斷裂，斷裂處呈現(xiàn)不規(guī)則毛刺狀。

圖8 彈性繩索拉伸形變完整過程

4.5 彈性繩索普適性及實(shí)用性仿真

如圖9(a)所示，為了測(cè)試本研究彈性繩索的普遍適用性，為繩索表面添加碰撞檢測(cè)，當(dāng)繩索拉伸過程中因碰撞而彎曲時(shí)，其縱橫變化規(guī)律依然表現(xiàn)出良好的視覺動(dòng)畫效果。

如圖9(b)所示，在工程施工中，工人難免會(huì)到高空進(jìn)行施工操作，正確佩戴安全保護(hù)裝置是保證施工安全的必要環(huán)節(jié)，在VR場(chǎng)景中對(duì)工人進(jìn)行培訓(xùn)，既提高了培訓(xùn)效率，也降低了培訓(xùn)風(fēng)險(xiǎn)和成本，但為了使培訓(xùn)的效果顯著，其真實(shí)性要求很高。本研究設(shè)計(jì)的緩沖繩索能夠模擬工人失足墜落的動(dòng)畫效果，同時(shí)彈性繩索的彈性特性，對(duì)墜落的緩沖動(dòng)畫效果顯著，繩索的拉伸形變?cè)谝曈X上基本滿足真實(shí)感的要求。

圖9 彈性繩索普適性及實(shí)用性仿真

5 結(jié)束語

通過對(duì)彈性繩索的研究和仿真，實(shí)現(xiàn)了其在彈性限度內(nèi)拉伸時(shí)，符合縱橫物理變化規(guī)律的動(dòng)畫仿真；超過彈性限度時(shí)，符合塑性形變物理規(guī)律，繩索材質(zhì)缺陷處發(fā)生頸縮的動(dòng)畫仿真以及超過伸長極限發(fā)生斷裂時(shí)的斷裂口效果仿真。并成功將其應(yīng)用到VR工程中，用以模擬安全保護(hù)裝置的緩沖繩索，展現(xiàn)了良好的視覺效果。研究結(jié)果還可以應(yīng)用于其他彈性繩索的模擬，如蹦極的彈力繩和健身彈力繩等，使得VR用戶能夠在虛擬環(huán)境中從視覺上獲得最符合物理真實(shí)感的體驗(yàn)；研究中負(fù)泊松比的引入，也可以為其他特殊負(fù)泊松比彈性材料的拉伸仿真研究提供參考。對(duì)于材質(zhì)不均勻的彈性繩索，正在考慮引入更多的模型參數(shù)，將繩索剛度系數(shù)擬合為與繩索粒子位置相關(guān)聯(lián)的函數(shù)，以求實(shí)現(xiàn)更復(fù)雜的形變動(dòng)畫效果。