逆響應面法用于磨機傳動系統(tǒng)的模型修正

陶 征，張 鵬，郭勤濤

（1.鄭州大學機械與動力工程學院，河南 鄭州 450001；2.南京航空航天大學機電學院，江蘇 南京 210016）

1 引言

磨機是選礦工藝中一個十分重要的設備。然而，惡劣的工作環(huán)境及高作業(yè)率，極大地增加了磨機，尤其是磨機傳動系統(tǒng)故障的概率。而這樣的關鍵設備一旦發(fā)生故障，往往給企業(yè)帶來巨大的經(jīng)濟損失?；谠囼灆z測結構的動態(tài)特性的變化，從而達到預測結構健康狀況是當前解決這一問題的主要方法。然而，測點多、測點不全面以及無法實現(xiàn)實時在線檢測是這一方法的主要問題。隨著計算機技術以及有限元理論的發(fā)展，基于準確的有限元模型實現(xiàn)對結構的動態(tài)特性仿真代替現(xiàn)場試驗進而實現(xiàn)對結構健康監(jiān)測的方法，越來越受到業(yè)內人士的關注[1]。然而，準確的結構模型和模型的分析精度，是結構動力學仿真分析的關鍵，通過試驗數(shù)據(jù)進行有限元模型的確認及其修正，尤其重要。

基于響應面的有限元模型修正方法是近年來有限元模型修正技術研究的熱點[2-6]。其以顯式的響應面模型接近擬合特征參數(shù)與設計參數(shù)間較為復雜的隱式函數(shù)關系，可以很好地解決機械結構中存在的不確定參數(shù)這一問題[7]。然而，基于響應面法的有限元模型修正在求解不同特征量對應的設計參數(shù)修正量時，則必須通過迭代尋優(yōu)算法來求解，在實際工程應用中仍不太方便。針對這一問題，文獻[8]在逆系統(tǒng)應用方法的基礎上提出了逆響應面方法。該方法可以直接得到設計參數(shù)與特征參數(shù)之間的顯式表達式。在獲得逆響應面模型后，無需迭代尋優(yōu)計算，即可直接計算出不同特征量對應的設計參數(shù)值。目前，該方法的有效性已在橋梁設計中獲得檢驗[8-10]，而機械工程領域中的應用實例尚未在相關文獻中提及。

為了探討和分析這一方法在機械結構動力學特性分析中的有效性，以磨機傳動系統(tǒng)為對象，以其試驗模態(tài)頻率數(shù)據(jù)為目標值，基于逆響應面法實現(xiàn)磨機傳動系統(tǒng)的有限元模型修正，驗證了逆響應面法在機械結構動力學特性分析中的有效性。

2 逆響應面法修正的理論基礎

2.1 基本思想

逆響應面法的基本思想是把輸出變量作為自變量，輸入變量作為因變量，通過更改響應面函數(shù)中輸入變量與輸出變量的關系，最后通過回歸分析擬合出因變量和自變量之間的顯式表達式。

利用逆響應面法進行有限元模型修正可以直接得到待修正參數(shù)（如密度、彈性模量等）與特征參數(shù)（如固有頻率等）之間的顯式表達式，在逆響應面的系數(shù)確定以后，不需要再進行迭代修正，即可根據(jù)特征參數(shù)的目標值直接得到待修正參數(shù)的修正值[8]。

2.2 試驗設計

試驗設計常用的方法有中心復合設計（central composite design，簡稱CCD）、均勻設計、D-最優(yōu)化設計等[9]。中心復合設計常用于逆響應面試驗設計，可以回歸擬合一階、二階模型或更高階模型，逆響應面模型通常為二階模型，所以這里采用中心復合設計（CCD），對于2k析因設計，總設計點N由三部分組成：（1）中心點，即試驗原點，共n（c試驗中nc一般取1）個試驗點；（2）坐標軸點，共2k個坐標軸點；（3）析因設計點，共2k個試驗點，總試驗點數(shù)N=1+2k+2k，對于逆響應面函數(shù)的回歸系數(shù)個數(shù)M一般由式（1）計算[9]，其中，m—輸入?yún)?shù)的個數(shù)。

2.3 逆響應面的擬合

在有限元模型修正中，通常采用二次多項式函數(shù)作為逆響應面函數(shù)，其表達的曲面即為逆響應面模型，函數(shù)形式即：

式中γk、γki、γkji—逆響應面函數(shù)回歸系數(shù)；x（ii=1，2，……，Nx）—輸入變量（特征參數(shù)）；y（ii=1，2，……，Ny）—輸出變量（設計參數(shù)）；Nx—輸入變量的數(shù)量；Ny—輸出變量的數(shù)量［9］。得到樣本數(shù)據(jù)以后，可以利用最小二乘法擬合得到式（2）的回歸系數(shù)，即得到系統(tǒng)的逆響應面方程。

2.4 逆響應面精度檢驗

為得到逆響應面擬合的精度，利用平均相對誤差來檢驗擬合結果的準確性，式（3）可以檢驗求解的誤差大小。

式中：Nx—輸入變量的數(shù)量—輸入變量的目標值；—由有限元修正得到的特征參數(shù)的實際值[9]。在文中的實際工程應用中，通過模態(tài)試驗獲取特征參數(shù)的目標值，故可通過計算修正值的誤差來分析逆響應面擬合的效果。如果誤差太大，則可以通過增加逆響應面的階次或者增加試驗點來減小誤差。

3 算例分析

某齒輪軸結構，如圖1所示。軸總長507.7mm，材料屬性：齒輪軸和盤的泊松比μ=0.3，彈性模量為210 GPa，密度為7850 kg/m3，前四階試驗模態(tài)數(shù)值分別為：421.23Hz、521.95Hz、1101.53Hz 和1891.57Hz。經(jīng)有限元分析可知，泊松比對模態(tài)振型影響較小，其不作為設計參數(shù)?，F(xiàn)以齒輪軸和盤的彈性模量與密度為待修正參數(shù)，以前四階模態(tài)頻率為特征參數(shù)進行模型修正，并與響應面法的修正結果進行對比分析。

圖1 齒輪軸Fig.1 Gear Shaft

本次試驗設計的特征參數(shù)是4個，設計參數(shù)是4個，試驗點數(shù)N=25，回歸系數(shù)M=15，N＞M，無需增加試驗點數(shù)即可求解出逆響應面函數(shù)。利用CCD建立試驗點并進行有限元分析得到的試驗數(shù)據(jù)，如表1所示。其中，E1、E2表示齒輪軸彈性模量和圓盤彈性模量，ρ1、ρ2表示齒輪軸密度和圓盤密度，f1、f2、f3、f4分別表示前四階模態(tài)頻率。由表1中的試驗數(shù)據(jù)經(jīng)最小二乘法擬合得到的逆響應面函數(shù)如式（4）～式（7）所示。

表1 試驗數(shù)據(jù)Tab.1 Experimental Data

將實際的模態(tài)數(shù)值帶入公式得到設計參數(shù)值，分別為163GPa，7250.8kg/m3，175GPa，6500.4kg/m3。將設計參數(shù)值帶入有限元模型中分析得到修正后的模態(tài)頻率，并與響應面法（采用相同的試驗數(shù)據(jù)）修正結果對比結果，如表2所示。

表2 結果對比Tab.2 Results Comparison

分析結果表明，在輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)數(shù)量相等的情況下，逆響應面法模型修正較響應面法模型修正效果更好，逆響應面法可以應用到機械結構的模型修正中。

4 工程實例

某7.9m 大型磨機傳動系統(tǒng)，如圖2 所示。圖中：1—電機；2—聯(lián)軸器；3—高速小齒輪；4—高速大齒輪；5—聯(lián)軸器；6—小齒輪；7—磨機（包含筒體、齒輪和負載）。

圖2 某7.9m磨機傳動系統(tǒng)簡圖Fig.2 Sketch of a 7.9m Mill Transmission System

大型磨機傳動系統(tǒng)規(guī)格較大，在獲取傳動系統(tǒng)模態(tài)數(shù)據(jù)過程中不太方便，因此，以大型磨機傳動系統(tǒng)為原生系統(tǒng)，基于齒輪傳動系統(tǒng)的相似設計理論對原生系統(tǒng)組成元素識別，采用相同功能和作用的組成元素，設計并搭建了一級齒輪傳動系統(tǒng)裝置，如圖3所示。依據(jù)各零部件在結構上的連接關系將傳動系統(tǒng)拆分為輸入軸子結構和輸出軸子結構，子結構中包含傳動軸及軸上零部件。這里以輸入軸子結構為研究對象，基于逆響應面法對其進行模型修正。

圖3 傳動系統(tǒng)試驗臺Fig.3 Transmission System Test-Bed

模態(tài)試驗坐標系和試驗測點設計，如圖4所示。圖中的點為試驗測點位置，測點共25個。由于測點數(shù)量較多，為得到整體振型，采用移動傳感器的測量方式解決傳感器數(shù)量較少的不足，分別測量各個測點的X、Y和Z三個方向的加速度信號，獲得各個測點的數(shù)據(jù)信息。

圖4 模態(tài)實驗建模Fig.4 Modal Experimental Modeling

利用N-modal模態(tài)識別軟件對采集數(shù)據(jù)進行分析處理，識別各階模態(tài)，模態(tài)試驗結果，如表3所示。

表3 模態(tài)試驗結果Tab.3 Modal Test Results

輸入軸子結構的有限元模型，如圖5所示。傳動軸和齒輪之間以及傳動軸和圓盤之間用bonded接觸連接；軸承采用彈簧單元模擬。在模型建立過程中對子結構部分連接結構進行簡化，導致模型中存在一定的誤差，對未安裝軸承狀態(tài)下的輸入軸子結構進行模型修正，識別傳動軸、齒輪以及圓盤的材料參數(shù)，經(jīng)過模型修正結果分析，小齒輪的材料參數(shù)不是顯著參數(shù)，故將小齒輪和輸入軸當作一種材料進行分析，識別材料參數(shù)，如表4所示。

圖5 有限元模型Fig.5 Finite Element Model

表4 材料參數(shù)Tab.4 Material Parameters

這里的設計參數(shù)為軸承1 和軸承2 等效彈簧單元的剛度。軸承1和軸承2的初始剛度值分別為4.5e7N/m 和6.0e7N/m。以軸承等效彈簧單元的剛度為試驗因素，以有限元模型模態(tài)分析結果的前兩階模態(tài)為響應值，采用CCD方法建立試驗點設計試驗，并在有限元模型中分析計算得到樣本數(shù)據(jù)，如表5所示?；诒?的樣本數(shù)據(jù)擬合逆響應面函數(shù)，如式（8）、式（9）所示。

表5 試驗數(shù)據(jù)Tab.5 Experimental Data

將表3的試驗模態(tài)頻率值帶入逆響應面函數(shù)中即可得到修正后的剛度值，修正結果為：軸承1 剛度6.5e7N/m，軸承2 剛度5.27e7N/m。將剛度值帶入有限元模型進行分析得到修正后的模態(tài)頻率，并計算修正前后的模態(tài)頻率誤差，如表6所示。結果顯示：有限元模型精度得到明顯改善。因此，逆響應面法能有效地應用到機械結構動力學特性分析中。

表6 模態(tài)頻率誤差Tab.6 Modal Frequency Error

5 結論

通過采用逆響應面法對磨機傳動系統(tǒng)進行模型修正修正，并分析驗證該方法在機械結構動力學分析中的有效性。算例顯示逆響應面法可用于機械結構的有限元模型修正中，且修正效果較優(yōu)于響應面法，工程實例顯示出逆響應面法在機械結構動力學特性分析中的有效性。

逆響應面法可直接得到設計參數(shù)關于特征參數(shù)的顯式表達式，根據(jù)特征參數(shù)的目標值直接得到設計參數(shù)值，相比響應面法減少了迭代優(yōu)化的過程，這不僅節(jié)省了很大的計算工作量，也為機械結構動力學特性分析提供了一種有效的方法，更為后續(xù)傳動系統(tǒng)可靠性分析提供了準確模型。