一種便捷的遠心三維測量系統(tǒng)標定

周鵬許，鐘匯凱，伏燕軍*，桂 程，鐘 聲

(1.南昌航空大學無損檢測教育部重點實驗室，330063，南昌；2.南昌航空大學測試與光電工程學院，330063，南昌)

0 引言

條紋投影輪廓測量法(FPP)因其具有數(shù)據(jù)采集量大、測量精度高、無接觸、便攜和靈活等優(yōu)點成為三維形貌測量中應(yīng)用最廣泛的技術(shù)之一。然而隨著工業(yè)設(shè)計變得更加精確和小型化，傳統(tǒng)(宏觀)的FPP已不能滿足越來越高的加工制造標準和要求，微觀層面的三維測量已經(jīng)變得越來越重要。顯微條紋投影輪廓測量法(MFPP)通過使用顯微光路縮小投影圖案和成像尺寸，在小視場內(nèi)實現(xiàn)了更高精度的三維測量[1]。相比于傳統(tǒng)的針孔模型相機，遠心相機具有放大倍數(shù)恒定和幾乎零畸變的優(yōu)點，非常適用于高精度的成像檢測。近年來，基于遠心相機的微小物體三維重建方法越來越受到關(guān)注[2-3]。然而遠心鏡頭的成像原理為正交投影，待測物體和采集圖像之間呈仿射變換，不能用傳統(tǒng)針孔相機模型建模，無法利用旋轉(zhuǎn)矩陣內(nèi)在的正交性提供的約束來獲得外參的封閉解，一般需要引入額外的實驗操作來輔助求解。

目前有很多關(guān)于遠心相機的標定方法已被提出[4-11]。Li等[4]提出了一種考慮鏡頭畸變遠心相機精確標定方法，但是該方法在標定前需要知道相機傳感器的像素尺寸。在他們之后的工作中使用該方法標定了一套遠心FPP系統(tǒng)[5]。然而，該方法在求相機的外部參數(shù)時存在旋轉(zhuǎn)矩陣的符號模糊問題。Chen[6]提出了一種新的遠心相機標定方法，該方法通過分解單應(yīng)性矩陣得到相機的內(nèi)參與外參，并利用微定位平臺成功解決了基于平面標定技術(shù)的符號模糊問題。Yin等[7]提出使用一般成像模型對遠心相機進行標定，獲得了較高的標定精度。該方法的缺點是在標定系統(tǒng)的過程中，需要位移臺來控制標定板按預(yù)設(shè)的方式進行移動，增加了整個標定過程和測量系統(tǒng)的復(fù)雜度。Rao等[12]提出了一種遠心FPP系統(tǒng)的柔性標定方法，該方法假設(shè)遠心相機的遠心度并不是完美的，可以將遠心相機的仿射成像模型看成是針孔成像模型的特殊情況，并且用張[13]的相機標定方法標定遠心相機的外部參數(shù)。然而當使用遠心度很好的遠心相機時，此方法可能會失效。Yao等[14]提出了一種雙側(cè)遠心鏡頭的靈活標定方法，使用一個帶有額外已知高度平臺的平面標定板，解決了符號模糊問題，但該方法需要特制的標定板。

如上所述，基于二維平面標定板的遠心相機標定方法存在外部參數(shù)符號模糊問題[15-16]，本文在單應(yīng)性變換平面標定法的基礎(chǔ)上，對雙遠心三維測量系統(tǒng)提出了一種便捷的標定方法，能夠直接獲取遠心相機的外部參數(shù)。通過建立2個間隔一定高度標定板平面之間的面內(nèi)旋轉(zhuǎn)和平移關(guān)系，能夠得到標定板平面控制點的三維坐標信息，進而完成外參封閉解的求解。該標定方法僅需要借助一個可以在參考面上任意放置的標準測量塊就能完成遠心三維測量系統(tǒng)的標定，具有高靈活性和實用性。

1 遠心三維重建系統(tǒng)標定方法

1.1 遠心相機成像模型

遠心相機仿射成像模型可用式(1)表示

(1)

式中：m表示遠心成像系統(tǒng)的有效放大倍數(shù)；(u0,v0)是畸變中心，一般定為相機成像平面的中心；R和T分別是世界坐標系到相機坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量；A和K分別表示遠心相機的內(nèi)參矩陣和外參矩陣；P(XW,YW,ZW)是世界坐標系下控制點的坐標。由于仿射成像模型只涉及到旋轉(zhuǎn)矩陣的前兩行，所以R2×3表示旋轉(zhuǎn)矩陣的前兩行，T2×1=(tx,ty)表示截短的平移向量。通常將世界坐標系的x-o-y面建立在標定目標平面上，這樣每個特征點的Zw坐標為0。由此式(1)可表示為

(2)

其中H是一個3 × 3的單應(yīng)矩陣，該矩陣用于描述靶標平面點的世界坐標與控制點的像素坐標之間的關(guān)系，可以用直接線性變換(DLT)算法求得。

由于鏡頭制造或安裝的原因，鏡頭畸變總是存在的，遠心鏡頭的畸變主要分為徑向畸變、切向畸變和薄棱鏡畸變。徑向畸變是由于透鏡形狀不完美引起的，在所有畸變類型中徑向畸變占主要成分，因此本文只考慮徑向畸變?；兎匠炭杀硎緸閇9]：

(3)

1.2 放大倍數(shù)的標定

由于旋轉(zhuǎn)矩陣是正交的，且旋轉(zhuǎn)矩陣的列向量是單位向量 ，由此可得如下約束關(guān)系

r11r12+r21r22+r31r32=0

(4)

(5)

結(jié)合式(4)和式(5)，可得

(6)

結(jié)合式(2)和式(6)可得

m4+Bm2+C=0

(7)

假設(shè)畸變中心(u0,v0)的坐標為相機成像面的中心，則截短的平移參量可由式(8)得到

(8)

1.3 外部參數(shù)的標定及符號模糊問題

每一個標定板姿態(tài)的外部參數(shù)一般是不一樣的，其旋轉(zhuǎn)矩陣左上角2×2的子矩陣可由H矩陣直接得到。由于旋轉(zhuǎn)矩陣的約束條件RRT=I和det(R)=1，剩下的矩陣元素可由式(9)得到

(9)

r1、r2、r3分別是矩陣R的3個行向量。然而，從公式(9)看出，元素r13和r23存在符號不確定問題。

為了恢復(fù)正確的符號，需要知道特征點的高度坐標。在本文中，使用一個已知高度的標準測量塊，將平面標定板放置在該標準塊上，捕獲標定板圖像。結(jié)合放置之前所拍攝的標定板圖像，隨后用于確定旋轉(zhuǎn)矩陣。如圖(1)所示，由于標準塊的2個面平行，所以2個標定板平面也是彼此平行的。

圖1 標定板位置關(guān)系示意圖

分別建立世界坐標系OW(Xw,Yw,Zw)和標定板坐標系OT(Xt,Yt,Zt)在標定板位置A和位置B上。實際上2個標定板平面之間只有繞z坐標軸的旋轉(zhuǎn)，因而對于標定板位置B上的任意一點p(XT,YT,ZT)，有如下關(guān)系：

(10)

其中θ表示2個標定板之間的面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角度，(tx,ty,tz)表示2個坐標系之間的平移變換，tz為已知量，即標準塊的高度。去掉Z坐標的變換，則式(10)可表示為

(11)

(12)

由式(12)和式(2)可得：

其中HT是標定板在位置B的單映性矩陣。因此坐標系OT中的點(XT,YT,0)的世界坐標為PW(xw,yw,tz)。其中，xw,yw由式(10)得到。根據(jù)式(1)，r13和r23的值可由式(13)得到

(13)

r13和r23的值不一定嚴格滿足(4)和(5)的約束條件，但它們的符號被確定。

1.4 參數(shù)優(yōu)化

相機的所有內(nèi)外參數(shù)都需要進一步的優(yōu)化，使用極大似然估計使標記點的像素坐標與預(yù)測像素坐標之間的距離之和最小。這是一個由式(14)表示的非線性優(yōu)化問題。

(14)

本文使用立體視覺模型來計算世界坐標系下的三維點云[18]。投影儀可以看作是一個逆相機，其工作原理可以用與1.1部分相同的數(shù)學模型來描述[19]。因為投影儀不能直接捕捉圖像，建立相機像素和投影儀像素之間的精確對應(yīng)關(guān)系，使投影儀也能像相機一樣拍攝到圖像。本文中使用相移法和多頻外差法計算連續(xù)相位，通過連續(xù)相位來建立相機像素坐標和投影儀像素坐標之間映射關(guān)系。對應(yīng)投影儀中的像素坐標可表示為：

(15)

2 系統(tǒng)裝置和三維重建實驗

2.1 系統(tǒng)裝置

測量系統(tǒng)的遠心相機是由分辨率為1 920×1 200的相機MER-131-210U3c和放大倍率為0.37的遠心鏡頭VP-LTCM037-150-S組成。相機的視場范圍為13.5(H) mm × 16.5(W) mm。鏡頭工作距離為150 mm。一個裝有遠心鏡頭(型號：VP-LTCM02-180S)的DLP投影儀(DLP LightCrafter 4500，分辨率：1 140×912)用來投影正弦條紋。標定板是一個由9×11白色圓形陣列均勻分布的陶瓷平面板(型號：cc-008-G-0.65)，鄰近2個圓的距離為0.65 mm。實驗所用標準塊厚度為1.01 mm。圖2為微小物體測量系統(tǒng)實物示意圖。

圖2 (a)實驗所用標定板；(b)實驗系統(tǒng)實物圖；(c)實驗所用標準塊

2.2 標定實驗

將標定板擺放在相機和投影儀的共同視場內(nèi)，對于每一個標定板姿態(tài)，將一系列垂直和水平方向的正弦相移條紋圖投影到標定板平面上，用相機拍攝一組標定板圖片(其中包含12張水平條紋圖、12張豎直條紋圖和一張255均勻灰度照明的空白圖)，然后任意改變標定板姿態(tài)，再拍攝另一組。在本次實驗中一共拍攝了9組圖片。采用四步相移結(jié)合三頻外差的方法得到連續(xù)相位。表1是相機和投影儀的標定參數(shù)。

表1 相機和投影儀的內(nèi)外參數(shù)

如圖3(a)和3(b)所示是相機分別在位置A和位置B所拍攝的標定板圖片，用來確定外部參數(shù)的符號。如圖3(c)顯示了在世界坐標系下標定板特征點的坐標，可以看出2個位置的標定板的對應(yīng)特征點并不重合，而是有一個旋轉(zhuǎn)平移關(guān)系，通過1.1.3部分計算出這個旋轉(zhuǎn)平移關(guān)系參數(shù)如圖3(d)所示。

圖3 (a)和(b)分別是相機拍攝的位置a和位置b的標定板圖片；(c)世界坐標系下標定板特征點的坐標；(d)位置a和位置b的旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

將所有特征點根據(jù)所求的參數(shù)進行重投影，得到如圖4(a)和4(b)的相機和投影儀的重投影誤差分布圖，相機和投影儀的重投影誤差分別為0.3和0.4個像素?？紤]到相機1 920 ×1 200 的分辨率，該方法的精度已達到較高水平。

2.3 三維重構(gòu)

為了更直觀地展示所提出方法的效果，將兩部分的標定參數(shù)用于遠心條紋投影系統(tǒng)的三維重建。對如圖5(a)所示具有復(fù)雜幾何形狀的手機金屬主板進行了三維測量。對應(yīng)的條紋圖像和三維重建結(jié)果分別如圖5(b)和5(c)所示?？梢姡S重建的質(zhì)量很好，證明了本文方法的可行性。

圖4 相機和投影儀的重投影誤差分布圖

圖5 (a)手機金屬主板的紋理圖；(b)對應(yīng)的條紋圖；(c)三維重建點云圖

為了進一步評估所提方法的準確性，測量了一個厚度為1.06 mm的標準測量塊，測量結(jié)果如圖6(a)所示，并計算了標準塊高度值的RMSE(均方根誤差)為3.5 μm，與相機的隨機噪聲水平相比非常小，誤差分布圖如圖6(b)所示。結(jié)果表明，所提出的標定方法可以實現(xiàn)精度良好的三維測量。

··(a)三維重建結(jié)果；(b)測量塊高度誤差分布圖

3 結(jié)論

基于二維平面標定板的遠心相機標定方法存在外部參數(shù)符號模糊問題，本文在單應(yīng)性變換平面標定法的基礎(chǔ)上，對雙遠心三維測量系統(tǒng)提出了一種便捷的標定方法，能夠直接獲取遠心相機的外部參數(shù)。通過建立2個間隔一定高度標定板平面之間的面內(nèi)旋轉(zhuǎn)和平移關(guān)系，能夠得到標定板平面控制點的三維坐標信息，進而完成外參封閉解的求解。該標定方法僅需要借助一個可以在參考面上任意放置的標準測量塊就能完成遠心三維測量系統(tǒng)的標定，具有高靈活性和實用性。