高速列車設(shè)備艙底板夾芯結(jié)構(gòu)異物沖擊壓痕行為及抗性強化

劉杰夫，雷紫平，朱玉雯，王中鋼

(1.中南大學(xué)交通運輸工程學(xué)院，湖南長沙，410083；2.中南大學(xué)軌道交通安全教育部重點實驗室，湖南長沙，410083)

在高速列車運行過程中，車體時常受到如沿線石塊道砟、冰雪、飛鳥等異物擊打[1-2]，輕則導(dǎo)致車體漆面剝離，重則造成局部損傷，產(chǎn)生永久壓痕變形[3-4]，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)力學(xué)性能與整體美觀。設(shè)備艙在車體中分布廣泛且位于車底，更易受到擊打。隨著車體輕量化要求的日益提高，采用具有優(yōu)良吸能特性的蜂窩結(jié)構(gòu)[5]來設(shè)計設(shè)備艙及其底板結(jié)構(gòu)成為重要課題。在滿足輕質(zhì)、高強服役需求的同時，其局部抗沖擊行為有待深入分析。

目前，軍工、航空航天及汽車行業(yè)中已對蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的局部沖擊響應(yīng)行為開展了廣泛的研究，人們通過數(shù)值與試驗的方法，從力學(xué)角度定量表征了關(guān)鍵的響應(yīng)行為參數(shù)，建立了沖擊載荷與蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)侵徹深度及塑性耗能之間的關(guān)聯(lián)機(jī)制[6-7]。為了進(jìn)一步提升夾芯結(jié)構(gòu)的阻抗極限，一方面，針對蜂窩芯材，提出了包括負(fù)泊松比、填充、層級等在內(nèi)的一系列創(chuàng)新構(gòu)型[8-9]，廣泛研究了各型芯材的沖擊阻抗性能及增強機(jī)制；另一方面，聚焦于夾芯結(jié)構(gòu)的非正向沖擊行為，基于仿真和理論分析提出了非正向沖擊工況下夾芯結(jié)構(gòu)壓痕特性評價指標(biāo)[10]。近年來，部分研究研究了面-芯協(xié)同匹配設(shè)計對響應(yīng)行為的影響[11]，而有關(guān)面-芯匹配及幾何參數(shù)對整體壓痕行為的調(diào)控研究亟待深入開展。

目前針對軌道車輛夾芯結(jié)構(gòu)沖擊的研究報道較少，特別是針對工程需求的設(shè)備艙壓痕行為分析及抗性強化研究更少，為此，本文作者基于理想剛-塑性地基假設(shè)[12-13]，通過引入蜂窩芯材的壓剪屈服準(zhǔn)則改進(jìn)接觸分析模型，提高壓痕深度表征精度；開展壓痕行為數(shù)值模擬，建立結(jié)構(gòu)參數(shù)與壓痕深度間的關(guān)聯(lián)性；實施以壓痕抗性為目標(biāo)的蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化，形成面芯參數(shù)合理匹配的抗性強化設(shè)計原則。

1 蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)理想剛-塑性壓痕解析模型

夾芯結(jié)構(gòu)在低能級載荷沖擊下的損傷特性通常表現(xiàn)為局部塑性壓痕行為，經(jīng)典的Hertz接觸定理[14]給出了理想彈性體之間的接觸解析表達(dá)，但針對蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)，由于芯材產(chǎn)生較大的塑性壓潰變形，Hertz 接觸理論存在誤差，ZHOU 等[12-13]基于理想剛-塑性地基假設(shè)，忽略夾芯結(jié)構(gòu)的整體撓曲變形，結(jié)合面板-芯材耦合運動方程及力平衡方程表征了夾芯結(jié)構(gòu)的壓痕行為。本文在此基礎(chǔ)上對模型中的芯材屈服準(zhǔn)則進(jìn)行修正，改進(jìn)蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的壓痕深度模型。

1.1 芯材壓剪屈服接觸分析

接觸分析的準(zhǔn)確性是壓痕深度預(yù)測的關(guān)鍵，夾芯結(jié)構(gòu)的接觸模型可以根據(jù)實際情況分析得到，如圖1 所示。R為壓痕區(qū)域半徑，rc為沖擊物與面板的接觸半徑，F(xiàn)為沖擊力，σc為芯材的抗壓強度，直徑?=2R，r為徑向坐標(biāo)，θ為角度坐標(biāo)，χ(r,θ)為極坐標(biāo)系下的面板壓痕深度場，χ0=χ(0,0)對應(yīng)沖擊點的壓痕深度，面板受到面內(nèi)膜力N(r,θ)及面外彎矩M(r,θ)共同作用，由于接觸區(qū)域的對稱性，χ僅與徑向坐標(biāo)r相關(guān)，與角度坐標(biāo)θ無關(guān)。由圖1可知：在沖擊物作用下，上面板產(chǎn)生圓形壓痕區(qū)域。

圖1 接觸分析示意圖Fig.1 Schematic diagram of contact analysis

已有的表征方法通常將芯材簡化為單軸受壓狀態(tài)，但這與實際情況有所不符。蜂窩芯材在接觸區(qū)域內(nèi)可以視為單軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)，在接觸區(qū)域外為壓剪應(yīng)力狀態(tài)，圖2所示為接觸模型中不同結(jié)構(gòu)應(yīng)力狀態(tài)及受力分析示意圖，其中τ為邊界上的剪切力，Nf為面板的拉伸力。結(jié)構(gòu)可以分為3個區(qū)域：1)接觸變形區(qū)(0＜r＜rc)，芯材在此區(qū)域處于單軸壓縮狀態(tài)；2)非接觸變形區(qū)(rc≤r≤R)，芯材在此區(qū)域處于壓剪混合狀態(tài)；3) 彈性變形區(qū)(r＞R)，芯材在此區(qū)域處于彈性變形狀態(tài)。圖2 中，MI為沖擊物質(zhì)量，v0為沖擊速度，將芯材視為理想彈塑性材料，其在接觸變形區(qū)內(nèi)的強度為抗壓強度σc，對于正六邊形蜂窩，(l為蜂窩孔格邊長，t為蜂窩壁厚，σy為材料屈服強度)。在非接觸變形區(qū)內(nèi)，得到芯材混合應(yīng)力狀態(tài)最簡便的方法是通過實驗或仿真對其等效強度進(jìn)行標(biāo)定。由于蜂窩芯材在多軸加載情況下仍能表現(xiàn)出與單軸受載時類似的平臺應(yīng)力特性，本節(jié)在非接觸變形區(qū)內(nèi)使用σcs來表征芯材的等效壓剪強度。

圖2 接觸模型中的不同區(qū)域Fig.2 Different areas in contact model

圖3所示為芯材壓剪強度表征原理示意圖，由圖3可見：在圖示斜向壓縮情況下，蜂窩處于標(biāo)準(zhǔn)壓剪狀態(tài)。正交各向異性蜂窩材料的二次屈服準(zhǔn)則為[15]

圖3 芯材壓剪強度σcs表征原理Fig.3 Characterization principle of compressive shear strength σcs of core

式中：σn及τn為芯材在2 個正交方向的屈服強度。由于六角形蜂窩的正交各向異性，需要考慮孔壁與加載方向所在平面的夾角β。由于非接觸變形區(qū)內(nèi)芯材關(guān)于受載平面具有對稱性，本文取夾角β=45°。

定義芯材剪切屈服強度系數(shù)ψ為：

式中：α為芯材與水平面的夾角，可將其等效為沖擊過程中非接觸區(qū)上面板與水平面的夾角；rc可近似取0.4RI。

芯材壓剪強度σcs可寫為

將式(1)～(3)代入式(4)可得

對于沖擊載荷下的芯材強度，需要考慮其加載速率強化效應(yīng)，使用一維應(yīng)力波理論給出與加載速度相關(guān)的芯材抗壓強度

式中：ρ*為芯材的相對密度，對于正六邊形蜂窩，ρ*=1.54ρst/l(ρs為材料密度)；εd為芯材的密實應(yīng)變，通常取為0.7～0.8；v0為沖擊初速度。后文中均使用與加載速率相關(guān)的強度為蜂窩的動態(tài)壓剪強度。

1.2 夾芯結(jié)構(gòu)壓痕深度模型

假設(shè)夾芯結(jié)構(gòu)位于剛-塑性地基之上，此時可認(rèn)為沖擊物相對于夾芯結(jié)構(gòu)中性層的位移為壓痕深度，結(jié)合能量守恒原理與最小勢能原理可求解得到夾芯結(jié)構(gòu)的壓痕深度解析模型。結(jié)合圖2，根據(jù)夾持邊界條件的板殼結(jié)構(gòu)低階振動模態(tài)，可以將壓痕區(qū)域形狀寫為

式中：χ0為夾芯結(jié)構(gòu)中心最大壓痕深度。根據(jù)Timoshenko 板殼理論，夾芯結(jié)構(gòu)上面板的彈性彎曲應(yīng)變能EB為[16]：

式中：Kf為上面板的彎曲剛度；Ef與ν分別為面板材料的彈性模量及泊松比；hf為上面板厚度。上面板在受載過程中的徑向位移γ為

式中：A1和A2為待定系數(shù)。相應(yīng)的上面板彈性拉伸應(yīng)變能EM可寫為

式中：εr為上面板的徑向應(yīng)變；εθ為上面板的徑向應(yīng)變。εr及εθ可以分別寫為

根據(jù)最小勢能原理，將式(12)與式(13)代入式(11)，分別以A1和A2為未知量求膜應(yīng)變能的最小值(?EM/?A1=0，?EM/?A2=0)，可確定相應(yīng)的A1和A2為：

針對芯材變形耗能，已有的接觸分析模型均假設(shè)芯材滿足單軸應(yīng)力狀態(tài)，本節(jié)根據(jù)1.1節(jié)的分析，利用芯材壓剪強度表征芯材的塑性變形能EC為

沖擊力F在接觸過程中所做的功W1為

結(jié)合式(8)，(11)，(16)和(17)，得到系統(tǒng)的總勢能EP為

根據(jù)最小勢能原理，令?EP/?χ0=0，可得中心位置壓痕位移χ0以及壓痕區(qū)域半徑R的表達(dá)式為

式中：A3為與面板厚度及泊松比相關(guān)的系數(shù)，

令?F/?R=0，對應(yīng)的壓痕區(qū)域半徑R為

進(jìn)而可得引入芯材壓剪強度后的沖擊力F與壓痕深度χ0的解析關(guān)系式：

2 設(shè)備艙底板夾芯結(jié)構(gòu)壓痕行為

針對高速列車受異物沖擊概率較高的設(shè)備艙底板開展壓痕行為的仿真研究，給出設(shè)備艙蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)底板的有限元模型，并基于準(zhǔn)靜態(tài)壓痕實驗進(jìn)行驗證，結(jié)合仿真結(jié)果及壓痕深度模型解析面-芯參數(shù)匹配對結(jié)構(gòu)壓痕行為的作用規(guī)律。

2.1 底板夾芯結(jié)構(gòu)局部沖擊有限元模型

以某型動車組的單節(jié)設(shè)備艙為例，其有限元模型如圖4所示。由于設(shè)備艙底板的各向長度均比沖擊物直徑大，沖擊行為體現(xiàn)為明顯的局部行為，因此取沖擊點附近長×寬為500 mm×500 mm 的區(qū)域開展研究。工程實際中設(shè)備艙底板整體為曲面構(gòu)型，但在所選研究區(qū)域內(nèi)曲率極小，其對壓痕行為的影響可忽略不計，為了減少計算成本，仿真時可近似為四周固支的平板夾芯結(jié)構(gòu)。

圖4 設(shè)備艙有限元模型Fig.4 Finite element model of equipment cabin

在ABAQUS/Explicit求解環(huán)境下設(shè)計并構(gòu)建設(shè)備艙底板蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的有限元模型。芯材采用四邊形線性減縮積分殼單元(S4R)進(jìn)行模擬，考慮到胞壁的雙面接觸行為，選擇連續(xù)體殼單元；上下面板采用六面體減縮積分實體單元(C3D8R)模擬；采用內(nèi)聚力單元(COH3D8)模擬膠黏層在沖擊過程中的載荷傳遞以及失效行為，在膠黏層兩側(cè)分別設(shè)置Tie 約束；沖擊物使用剛性四邊形單元(R3D4)，沖擊物與夾芯結(jié)構(gòu)之間的動態(tài)摩擦因數(shù)根據(jù)相關(guān)金屬結(jié)構(gòu)動態(tài)沖擊仿真研究取為0.2[4,9,17]。

由于面板及芯材均采用鋁合金材料，選用考慮材料率效應(yīng)及失效行為的Johnson-Cook 本構(gòu)模型進(jìn)行有限元仿真，對于膠黏層的內(nèi)聚力單元采用雙線性牽引分離模型進(jìn)行仿真，相關(guān)材料參數(shù)取自文獻(xiàn)[17]，如表1和表2所示。

表1 FE模型材料參數(shù)[17]Table 1 Material properties of FE model[17]

表2 Johnson-Cook模型材料參數(shù)[17]Table 2 Material properties of Johnson-Cook model[17]

為充分驗證有限元模型對于夾芯結(jié)構(gòu)局部沖擊響應(yīng)行為的仿真精度，分別采用MTS810電液伺服實驗平臺及空氣炮實驗平臺對靜態(tài)及動態(tài)加載情況下的有限元模型進(jìn)行驗證，對應(yīng)結(jié)果如圖5所示。由圖5可知：在準(zhǔn)靜態(tài)加載條件下，蜂窩夾芯板四邊通過螺栓固定于夾具，下面板無支撐，半徑為12.5 mm的球形壓頭以3 mm/min的速度壓入；仿真結(jié)果的接觸力與實驗結(jié)果吻合較好，壓痕形貌及面板撕裂行為一致。在動態(tài)加載條件下，采用空氣炮作為驅(qū)動力，同樣將蜂窩夾芯四邊固支，下面板無支撐，半徑為15.0 mm的球形沖擊物以不同速度沖擊式樣。由于難以直接測定高速沖擊下的接觸力，故利用高速攝影采集實驗過程中的響應(yīng)模式及沖擊物殘余速度，殘余速度仿真結(jié)果與實驗結(jié)果吻合較好，且局部侵徹行為一致。可見，有限元模型在不同加載工況下對于局部受載響應(yīng)行為的仿真可靠性較高。

圖5 有限元模型驗證Fig.5 Validation of Finite element model

2.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)與壓痕行為關(guān)聯(lián)性分析

2.2.1 壓痕深度解析模型驗證

利用有限元仿真分析對解析模型進(jìn)行驗證。首先，由仿真模型得到特定沖擊載荷下的最大壓痕深度χ0，隨后，根據(jù)式(22)得到對應(yīng)的接觸力并與仿真所得接觸力進(jìn)行對比。圖6所示為根據(jù)仿真分析得到的不同沖擊工況下同一夾芯結(jié)構(gòu)的接觸力-位移曲線，由圖6 可見可大致將沖擊過程分解為壓痕階段及反彈階段。理論模型主要針對第一階段即壓痕階段進(jìn)行求解，同時，考慮到設(shè)備艙底板夾芯結(jié)構(gòu)底部無支撐，在芯材初始壓潰后，下面板同樣產(chǎn)生一定程度的形變，引起壓痕階段后期短暫卸載，此時，壓痕模型無法準(zhǔn)確描述接觸力與壓痕深度之間的關(guān)系，因此，取卸載前的最大接觸力作為仿真分析結(jié)果。表3所示為壓痕解析模型的驗證結(jié)果。由表3可知：解析模型對于壓痕深度的計算結(jié)果偏大，對于接觸力的計算結(jié)果偏小，這主要是未考慮夾芯結(jié)構(gòu)的膠黏層所致。此外，對于產(chǎn)生較大壓痕深度的沖擊工況，壓痕模型的求解精度有明顯下降。

表3 壓痕解析模型的驗證結(jié)果Table 3 Validation results of indentation model

圖6 不同沖擊載荷下蜂窩夾芯底板接觸力-位移曲線Fig.6 Force-displacement curve of different sandwich panels

2.2.2 面-芯匹配對壓痕深度影響機(jī)理分析

基于單一正交變量分析原則，分別研究了面板厚度(F 組)、芯材壁厚(T 組)及芯材邊長(L 組)對結(jié)構(gòu)壓痕行為的影響，各蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)參數(shù)如表4所示，L，W和T分別為長度，寬度和高度。沖擊工況根據(jù)某型動車組的平均運行速度選取(約為270 km/h)，設(shè)置沖擊物速度為75 m/s，沖擊物尺寸及質(zhì)量根據(jù)設(shè)備艙異物沖擊研究的相關(guān)統(tǒng)計[3-4]，設(shè)置半徑為30 mm，質(zhì)量為0.1 kg。

表4 蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 4 Geometric parameters of sandwich structure

圖7所示為不同結(jié)構(gòu)參數(shù)夾芯板受到?jīng)_擊后上面板的法向位移云圖。從圖7可以看出：夾芯板的變形區(qū)域集中于受載部位，由于芯材與面板的正交各項同性，壓痕呈現(xiàn)圓形；增加面板厚度，可有效減小壓痕深度及壓痕區(qū)域直徑。由T組與L組結(jié)果可知：采用更大壁厚的蜂窩芯，可以同時減小壓痕深度以及壓痕區(qū)域的面積；采用更大邊長的蜂窩夾芯，會加劇壓痕面積，從云圖中難以清晰分辨對壓痕深度的影響。夾芯結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對壓痕深度以及壓痕面積有顯著影響。

為更直觀地分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對夾芯結(jié)構(gòu)壓痕響應(yīng)的影響，提取不同參數(shù)的夾心結(jié)構(gòu)受局部沖擊后的永久變形量，如圖7所示。其中，壓痕區(qū)域定義為夾芯結(jié)構(gòu)沿沖擊方向位移大于2 mm 的范圍。結(jié)合理論模型可以深入揭示結(jié)構(gòu)參數(shù)-壓痕響應(yīng)之間的關(guān)聯(lián)性：由式(4)和式(9)，hf，t和l為影響夾芯結(jié)構(gòu)壓痕響應(yīng)的關(guān)鍵參數(shù)，面板抗彎剛度Kf與面板厚度hf呈正相關(guān)，夾芯結(jié)構(gòu)的抗壓強度和壓剪強度與蜂窩壁厚t呈正相關(guān)，與蜂窩邊長l呈負(fù)相關(guān)。根據(jù)式(22)，當(dāng)面板強度增加時，面板抗彎剛度Kf增加，進(jìn)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)接觸力F增加，在能量吸收相等的情況下，具有更小的沖擊位移即壓痕深度χ0。但根據(jù)式(21)，壓痕區(qū)域的半徑與接觸力F呈正相關(guān)，面板強度的增加增大了夾芯結(jié)構(gòu)的接觸力F，因此，會導(dǎo)致壓痕面積增大。該預(yù)測結(jié)果與F組有限元分析所得規(guī)律一致。t和l均為調(diào)控芯材強度的參數(shù)，當(dāng)芯材強度增加時，夾芯結(jié)構(gòu)的接觸力也會相應(yīng)增加(式(22))，從而壓痕深度減小。根據(jù)式(21)，壓痕區(qū)域半徑R與芯材強度呈負(fù)相關(guān)，與接觸力呈正相關(guān)，為進(jìn)一步明確芯材強度與壓痕半徑的關(guān)系，結(jié)合式(21)與式(22)，得

圖7 不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對夾芯結(jié)構(gòu)變形模式的影響Fig.7 Effect of structural parameters on deformation mode of sandwich panel

考慮只增加芯材強度的情況，據(jù)式(23)，抗彎剛度Kf不變，壓痕深度χ0減小，壓剪強度ˉˉσcs增加，從而壓痕區(qū)域半徑R減小。因此，增加芯材強度不僅有利于抑制壓痕深度，同時也能減小壓痕區(qū)域的面積，在T組的有限元分析結(jié)果中也清晰地反映了該現(xiàn)象。根據(jù)L 組結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，盡管L1的芯材強度比L2組的高，但L1組具有更深的壓痕深度，這可能是由于改變蜂窩邊長影響了沖擊受載變形區(qū)域內(nèi)的胞元數(shù)量。

因此，通過調(diào)整結(jié)構(gòu)參數(shù)可改變面板或芯材強度，進(jìn)而影響夾芯結(jié)構(gòu)的壓痕響應(yīng)。為表征壓痕深度對于不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性，此處引入量綱一的面-芯匹配系數(shù)λ，定義為準(zhǔn)靜態(tài)下面板拉伸強度與芯材壓剪強度的比值。圖8所示為壓痕深度隨面-芯強度比的變化規(guī)律，對于F，T 和L 組，依次改變夾芯結(jié)構(gòu)面板厚度、蜂窩壁厚、蜂窩邊長，其余參數(shù)相應(yīng)保持不變。

圖8 壓痕深度隨面-芯匹配系數(shù)的變化規(guī)律Fig.8 Variation law of indentation depth with face-core matching coefficient

由圖8 可知：當(dāng)變量為面板厚度hf時，λ隨hf增大而增大。根據(jù)有限元結(jié)果，壓痕深度與λ近似呈線性關(guān)系，斜率為-0.021，壓痕深度對于面板厚度的敏感性較為穩(wěn)定；增加蜂窩壁厚可提高芯材的壓剪強度，從而減小面-芯匹配系數(shù)λ。T組中，壓痕深度與λ呈正相關(guān)，且當(dāng)λ較小時(125≤λ≤175)壓痕深度變化較快，曲線斜率為0.036；當(dāng)λ較大時(175＜λ≤375)，曲線更為平滑，斜率僅為0.014。這說明當(dāng)芯材強度較低時，增加壁厚可顯著提升夾芯結(jié)構(gòu)的壓痕抗性，但在芯材強度較大時，強化壁厚的效果有所削弱。L組中蜂窩邊長越小，芯材強度越大，從而λ越小。值得一提的是，在L組的結(jié)果中，壓痕深度隨λ的變化并非呈線性變化，而是呈拋物線變化。改變蜂窩邊長會改變芯材強度，同時，也會對沖擊承載區(qū)域的胞元數(shù)產(chǎn)生影響，導(dǎo)致理論預(yù)測出現(xiàn)輕微偏差。

3 設(shè)備艙夾芯結(jié)構(gòu)壓痕抗性優(yōu)化

基于二階響應(yīng)面模型及NSGA-II 遺傳算法以設(shè)備艙底板為研究對象開展多目標(biāo)優(yōu)化，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果分析面-芯匹配對夾芯結(jié)構(gòu)壓痕抗性的影響，進(jìn)而給出夾芯結(jié)構(gòu)壓痕抗性強化設(shè)計原則。

3.1 多目標(biāo)優(yōu)化流程

從面-芯匹配設(shè)計的角度考慮，以面板厚度hf和hb，以及芯材壁厚t作為設(shè)計變量，結(jié)構(gòu)總厚度保持不變，壓痕深度不超過結(jié)構(gòu)總厚度。優(yōu)化的第一目標(biāo)為結(jié)構(gòu)的壓痕深度χ，第二目標(biāo)為結(jié)構(gòu)質(zhì)量m，第三目標(biāo)為總能量吸收E。為減少設(shè)計目標(biāo)數(shù)量，以綜合性能指標(biāo)比吸能ESEA為優(yōu)化目標(biāo)。壓痕抗性優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)可以寫為

采用拉丁方試驗設(shè)計對目標(biāo)函數(shù)取樣，共進(jìn)行15 次仿真分析。通過實驗設(shè)計取得樣本后，需要利用代理模型在設(shè)計空間內(nèi)對樣本點進(jìn)行全局逼近。多項式響應(yīng)面模型是目前多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中應(yīng)用較為廣泛的一類代理模型，多項式響應(yīng)面模型通常分為1～4階，其中二階多項式響應(yīng)面模型兼顧了逼近效率及模型精度，其基本形式為[18]

式中：x為設(shè)計參數(shù)；k為設(shè)計參數(shù)的個數(shù)；i和j分別為矩陣的行和列序號；K為二階多項式基函數(shù)γi(x)的項數(shù)，與設(shè)計參數(shù)數(shù)量k之間關(guān)系為K=(k+2)(k+1)/2；Qi為響應(yīng)面模型矩陣。采用移動最小二乘法對模型系數(shù)進(jìn)行求解，模型矩陣Qi可以隨采樣點變化，考慮采樣點xi附近的一個區(qū)域，引入權(quán)函數(shù)ω來描述擬合區(qū)域面積，通常采用高斯權(quán)函數(shù)ωi(x)對擬合區(qū)域面積進(jìn)行規(guī)定：

式中：di為采樣點xi的擬合區(qū)域半徑。對權(quán)函數(shù)所規(guī)定的區(qū)域內(nèi)實行最小二乘擬合，令樣本點的響應(yīng)面函數(shù)值與取樣結(jié)果之間誤差平方和SE最小：

式中：M為采樣點數(shù)量；YE(xi)為采樣點處的“試驗”結(jié)果。令SE最小可得響應(yīng)面模型的系數(shù)矩陣：

最后將系數(shù)矩陣代入二階多項式響應(yīng)面模型進(jìn)行擬合，如圖9所示。根據(jù)相對誤差及殘差平方和檢測，響應(yīng)面模型精度滿足要求。

圖9 ESEA及χ的二階響應(yīng)面Fig.9 Quadratic response surfaces of ESEA and χ

響應(yīng)面模型反映了設(shè)計變量與優(yōu)化目標(biāo)之間的擬合關(guān)系。由于各子目標(biāo)存在相互競爭關(guān)系，需要采用多目標(biāo)尋優(yōu)策略尋找最合適的平衡點使各子目標(biāo)逼近最優(yōu)解集。對于優(yōu)化目標(biāo)數(shù)量小于或等于3的低維多目標(biāo)優(yōu)化問題，NSGA-II遺傳算法是一種廣泛使用的最優(yōu)值搜索方法，其主要特點在于對種群實行了兼顧優(yōu)劣及多樣性的無支配性排序，另外采用精英保留策略，每次進(jìn)化對父代中的非劣解與子代進(jìn)行混合，防止優(yōu)秀個體的流失，加快了向Pareto前沿集的推進(jìn)速度。

無支配性排序主要通過設(shè)置個體適應(yīng)度來開展，適應(yīng)度越高的個體越有機(jī)會進(jìn)入下一代。個體適應(yīng)度的算法如下：首先對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，最優(yōu)解所對應(yīng)的個體Xj(j=1,2,…,N)，X為所有設(shè)計參數(shù)的集合，按照個體所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)劣依次排序，根據(jù)個體的序號Ri(Xj)計算其適應(yīng)度[19]：

式中：λi(Xj)為個體Xj對目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度；λ(Xj)為個體Xj對全部目標(biāo)函數(shù)的綜合適應(yīng)度。

遺傳算子操作主要是對編碼后的種群個體進(jìn)行一定概率的選擇、交叉、變異，選擇概率Pj代表個體進(jìn)入下一代的可能性，通過個體對目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度來判斷：

交叉概率代表兩父本進(jìn)行編碼互換的可能性，變異概率代表單個父本編碼位翻轉(zhuǎn)的概率。本節(jié)對遺傳算法的參數(shù)進(jìn)行如下選擇：種群個體采用實數(shù)編碼方式，進(jìn)化代數(shù)為100、種群規(guī)模為100、交叉概率為0.9、變異概率為0.1。經(jīng)過100 次迭代，遺傳算法收斂到一個很小的范圍，得到了如圖10所示的Pareto解集，圖中Γ為滿意度。

圖10 Pareto非劣解集Fig.10 Pareto non-inferior solutions

3.2 優(yōu)化結(jié)果分析

為了從Pareto解集中尋求最優(yōu)解，本文使用了基于歸一化的最短距滿意度對Pareto 解集進(jìn)行篩選，滿意度Γ為

滿意度表征Pareto前沿集中任意解與理想點取值的差，值最小代表該解為最優(yōu)，因此，滿意度取值越小，則解越優(yōu)。表5所示為根據(jù)滿意度篩選后的優(yōu)化參數(shù)。由表5可知：與優(yōu)化前的蜂窩夾芯底板相比，優(yōu)化后的蜂窩夾芯設(shè)備艙底板ESEA提升了25.96%，侵徹深度減小了8.79%；與原有設(shè)備艙非夾芯底板相比，優(yōu)化后的侵徹深度減小了10.10%，ESEA提升了6.47%，優(yōu)化效果明顯。

表5 多目標(biāo)優(yōu)化前后結(jié)果對比Table 5 Comparison results before and after optimization

通過以上分析，可形成夾芯結(jié)構(gòu)壓痕抗性增強設(shè)計的框架性原則：增強面板厚度和蜂窩壁厚均有利于提升夾芯結(jié)構(gòu)的壓痕抗性，但在不同的面芯匹配關(guān)系下，改變面板或芯材參數(shù)對壓痕深度的影響顯著程度不同。在芯材強度較低時，對芯材進(jìn)行增強可顯著減小夾芯結(jié)構(gòu)的壓痕深度；而在芯材強度較高的情況下，應(yīng)當(dāng)采用增加面板厚度的方式以獲得更高的抗性增強效率。根據(jù)多目標(biāo)優(yōu)化，在設(shè)計時采用非對稱的面板厚度設(shè)計(上面板較厚，下面板較薄)及合理的面芯匹配可以獲得更好的壓痕抗性與吸能效果。

4 結(jié)論

1)基于理想剛-塑性地基假設(shè)，結(jié)合芯材壓剪屈服準(zhǔn)則所建立的蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)壓痕解析模型對于中低速條件下結(jié)構(gòu)的壓痕深度、接觸力峰值具有較高的預(yù)測精度，可為中低速沖擊下夾芯結(jié)構(gòu)的阻抗設(shè)計提供參考。

2)在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下，壓痕深度的面芯強度敏感性不同。當(dāng)芯材強度較低時，對芯材強度進(jìn)行補強可顯著減小壓痕深度，而繼續(xù)增加面板強度則效果較差；當(dāng)芯材強度較高時，則應(yīng)采用增強面板強度的手段來提升壓痕抗性。

3)通過面-芯參數(shù)匹配的多目標(biāo)優(yōu)化，設(shè)備艙底板蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)比吸能ESEA提升25.96%，侵徹深度下降8.79%；與原設(shè)備艙非夾芯底板相比，侵徹深度下降10.10%，比吸能ESEA提升6.47%。根據(jù)優(yōu)化研究結(jié)果進(jìn)一步形成了夾芯結(jié)構(gòu)壓痕抗性設(shè)計原則。當(dāng)芯材強度較低時，應(yīng)當(dāng)對芯材進(jìn)行增強；當(dāng)芯材強度較高時，增加面板厚度可顯著提高沖擊阻抗。設(shè)計時，采用面板厚度非對稱設(shè)計及合理的面-芯匹配可以獲得更好的壓痕抗性。