優(yōu)化GM（1，1）模型在橋梁靜載試驗(yàn)中應(yīng)用

梁德襄

（中國市政工程西南設(shè)計(jì)研究總院有限公司，四川 成都 610036）

0 引 言

一階灰度微分模型（Grey Model，GM（1，1）），應(yīng)用模式為：對某一數(shù)據(jù)序列用累加的方式生成一組趨勢明顯的新數(shù)據(jù)序列，按照新的數(shù)據(jù)序列的增長趨勢建立模型進(jìn)行預(yù)測，然后再用累減的方法進(jìn)行逆向計(jì)算，恢復(fù)原始數(shù)據(jù)序列，進(jìn)而得到預(yù)測結(jié)果[1]。其核心應(yīng)用場景是在最小原始數(shù)據(jù)集的基礎(chǔ)上，利用完備因子條件下的不完備數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線估計(jì)，提升曲線估計(jì)精度[2]。

橋梁靜載試驗(yàn)是保障橋梁安全性和可靠性的重要試驗(yàn)。其技術(shù)實(shí)現(xiàn)路徑主要分為兩種，一是在有限元分析系統(tǒng)中構(gòu)建橋梁模型，對其進(jìn)行仿真環(huán)境下的靜載模擬；二是構(gòu)建小比例實(shí)體模型，通過掛載靜載荷載的方式對其進(jìn)行破壞性試驗(yàn)，從而獲得相關(guān)數(shù)據(jù)[3]。前者能得到更大的數(shù)據(jù)量，但其存在因子不完備，后者的數(shù)據(jù)量較小，但其可以考察更接近實(shí)際情況的數(shù)據(jù)[4]。所以，當(dāng)前相關(guān)橋梁設(shè)計(jì)規(guī)程文件要求，橋梁靜載試驗(yàn)必須經(jīng)過后者實(shí)體模型的試驗(yàn)過程[5，6]。

該研究對GM（1，1）模型進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)計(jì)一種可以深度挖掘?qū)嶓w模型靜載試驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)處理方法，提升實(shí)體橋梁靜載試驗(yàn)數(shù)據(jù)的工程價(jià)值[7]。

1 橋梁靜載試驗(yàn)設(shè)計(jì)

1.1 試驗(yàn)平臺(tái)的搭建

采用1∶20、1∶30、1∶50 等比例尺構(gòu)建橋梁箱梁的縮微模型，在實(shí)驗(yàn)室中構(gòu)建基于橋梁中部受壓撓度變化和破壞性變化的試驗(yàn)場景，測量壓力千斤頂?shù)膲毫蜆蛄涸诓煌瑝毫顟B(tài)下的撓度變化，形成試驗(yàn)數(shù)據(jù)。該試驗(yàn)系統(tǒng)包括一個(gè)框架型承力支架、一個(gè)做功千斤頂、一對簡支梁底座，以及相關(guān)的壓力計(jì)、撓度計(jì)測量裝置，如圖1 所示。

在圖1 中，箱型梁的截面結(jié)構(gòu)，包括混凝土筑塊、鋼筋網(wǎng)等，均應(yīng)按照等比例關(guān)系進(jìn)行縮微處理。此時(shí)，可以根據(jù)對混凝土筑塊結(jié)構(gòu)和鋼筋結(jié)構(gòu)的應(yīng)力表現(xiàn)實(shí)際測量結(jié)果，推測其因?yàn)轶w積和截面縮小帶來的變化量傳導(dǎo)關(guān)系。而為了使試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)可以滿足GM（1，1）模型的原始數(shù)據(jù)要求，滿足對1∶1 橋梁靜壓荷載的應(yīng)力表達(dá)值的估計(jì)結(jié)果，采用多種比例尺進(jìn)行試驗(yàn)，進(jìn)而對橋梁實(shí)際靜壓能力進(jìn)行測算。其所謂結(jié)構(gòu)模型構(gòu)建模式，如表1 所列。

在表1 中，設(shè)計(jì)橋?qū)? m 跨度40 m 的箱型橋梁縮微模型，其在橋長、橋?qū)?、箱頂、箱底、?cè)壁等結(jié)構(gòu)的縮微處理中，可以基本保證等比例縮微處理的原則。但受制于模型制作材料的限制，其鋼筋網(wǎng)的縮微處理過程無法實(shí)現(xiàn)等比例縮微處理，只能采用直徑1.2 mm 的鋼絲取代1∶1 狀態(tài)下直徑18 mm 的螺紋鋼鋼材。如前文分析，該數(shù)據(jù)算法設(shè)計(jì)中使用的GM（1，1）模型可以在因子完備而數(shù)據(jù)不完備條件下完成高精度曲線估計(jì)?？紤]到混凝土本身的骨料、輔料粒徑不能實(shí)現(xiàn)等比例縮微，該處理方式在GM（1，1）模型的算力支持下，仍可基本保障數(shù)據(jù)的有效性，且沒有違反相關(guān)橋梁靜載試驗(yàn)規(guī)程文件的規(guī)定[8]。

表1 模型尺寸設(shè)計(jì)參數(shù)表

1.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集

該試驗(yàn)系統(tǒng)采集的數(shù)據(jù)，包括不同比例尺條件下的多次測量數(shù)據(jù)。如果每個(gè)比例尺采集n 次試驗(yàn)數(shù)據(jù)，每次試驗(yàn)均設(shè)定為從0 壓力至破壞性壓力值之間的離散測量點(diǎn)數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)構(gòu)成如圖2 所示。

圖2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集整理模式示意圖

在圖2 中，針對三種比例的縮微模型進(jìn)行的n次試驗(yàn)中，進(jìn)行一次均值計(jì)算，其中測定試驗(yàn)結(jié)果的壓力值為在實(shí)驗(yàn)中控制在一定誤差范圍內(nèi)的目標(biāo)值，即使用安裝在液壓系統(tǒng)上的壓力計(jì)，可以實(shí)現(xiàn)控制其實(shí)際偏差率小于1%。所以，其壓力均值變化幅度較小，一般模式下使用設(shè)計(jì)壓力取代其壓力均值。而撓度均值方面則需要使用算數(shù)平均法進(jìn)行均值計(jì)算，即其實(shí)際壓力均值計(jì)算過程如公式（1）：

式中：Di為第i 次試驗(yàn)中測得的指定壓力Pi和指定比例尺Si的結(jié)果；將其累加后除以數(shù)據(jù)總量，即試驗(yàn)次數(shù)n，可得其算數(shù)平均值。

因?yàn)樵撛囼?yàn)中僅測試1∶20、1∶30、1∶50 三種縮微比例尺，所以實(shí)際使用GM（1，1）模型進(jìn)行驗(yàn)算時(shí)，輸入數(shù)據(jù)為3 對，輸出數(shù)據(jù)為1 對，存在顯著的完備因子和不完備數(shù)據(jù)特性，且該數(shù)據(jù)不完備性已經(jīng)超出了常規(guī)曲線估值中10%的數(shù)據(jù)估計(jì)量限制，所以需要引入基于深度迭代回歸的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對其算法進(jìn)行加強(qiáng)。

2 基于GM（1，1）模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

受制于試驗(yàn)環(huán)境和試驗(yàn)成本，實(shí)際工程應(yīng)用中很難實(shí)現(xiàn)1∶1 的橋梁靜載荷現(xiàn)場試驗(yàn)，也很難實(shí)現(xiàn)更多比例尺條件下的橋梁靜載荷試驗(yàn)。而且，根據(jù)更少的不同比例尺試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線估計(jì)，得到1∶1橋梁的靜載荷試驗(yàn)估計(jì)結(jié)果，是當(dāng)前算法計(jì)算中的重點(diǎn)[9-10]。

傳統(tǒng)的GM（1，1）模型，首先要對被分析序列進(jìn)行逐層累加，得到新序列，并對其基于一階微分方程進(jìn)行處理后，獲得曲線估計(jì)方程，利用差值法還原原始序列，再從方程式上截取估計(jì)數(shù)據(jù)。如前文所述，在該項(xiàng)試驗(yàn)中，輸入數(shù)據(jù)序列僅3 對原始數(shù)據(jù)值，如果采用傳統(tǒng)的GM（1，1）模型進(jìn)行分析，很難滿足該不完備數(shù)據(jù)條件下的數(shù)據(jù)分析，所以需要引入進(jìn)一步加強(qiáng)不完備數(shù)據(jù)分析能力的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，與GM（1，1）模型算法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對數(shù)據(jù)的深度挖掘。

其GM（1，1）累加序列的構(gòu)建模式，如公式（2）：

式中：GM（1∶n）的n 值為50、30、20 等試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其結(jié)果值為該試驗(yàn)條件下特定壓力條件下的撓度均值，即前文公式（1）的輸出結(jié)果；經(jīng)過累加后的GM（i）的i 值取值為1、2、3，分別為三個(gè)模型實(shí)測結(jié)果的依次累加結(jié)果。

對該序列進(jìn)行基于傳統(tǒng)GM（1，1）模型的微分處理，不應(yīng)使用傳統(tǒng)的一階微分法，而應(yīng)該對其進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理計(jì)算，如圖3 所示。

圖3 優(yōu)化GM（1，1）模型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)示意圖

在圖3 中，該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)利用前文公式（2）的累加過程獲得GM（1）、GM（2）、GM（3）等三個(gè)灰色累加變量，構(gòu)成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第4、5、6 個(gè)輸入變量，同時(shí)利用3 個(gè)原始數(shù)據(jù)形成三個(gè)原始數(shù)據(jù)輸入值，構(gòu)成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第1、2、3 個(gè)輸入變量，將上述1～6 變量形成參照變量，與原始數(shù)據(jù)變量、灰色變量一起，形成該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入系統(tǒng)。因?yàn)楦髯兞康闹涤蚍秶煌?，為減少不同值域?qū)ι窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的影響，需要對所有6 個(gè)數(shù)據(jù)分別進(jìn)行min max 線性重投影計(jì)算。其計(jì)算方式為當(dāng)前輸入值減去最小值的差值與最大值最小值的差值的比值，受篇幅限制，該處不展開其計(jì)算公式。

以下分析4 個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模塊的設(shè)計(jì)參數(shù)，具體參數(shù)如表2 所列。

表2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模塊設(shè)計(jì)參數(shù)表

表2 中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)分析目的不同，但其中3 個(gè)內(nèi)部架構(gòu)相同，包括原始模塊、灰色模塊、整合模塊，均采用了3 個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸入層、1 個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出層、3 層隱藏層分別為7 節(jié)點(diǎn)、19 節(jié)點(diǎn)、5 節(jié)點(diǎn)，所有輸入層、輸出層、隱藏層節(jié)點(diǎn)均采用了多項(xiàng)式節(jié)點(diǎn)函數(shù)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)，其函數(shù)見公式（3）：

式中：Xi為上層數(shù)據(jù)架構(gòu)中的第i 個(gè)輸入值；Y 為該節(jié)點(diǎn)的輸出值；Aj為第j 階多項(xiàng)式的待回歸系數(shù)。

參照模塊與上述3 個(gè)模塊的架構(gòu)有所不同，因?yàn)槠漭斎雽庸?jié)點(diǎn)較該3 個(gè)模塊更多，節(jié)點(diǎn)數(shù)為6 個(gè)，輸出層節(jié)點(diǎn)為1 個(gè)，隱藏層架構(gòu)設(shè)計(jì)為4 層，分別為11 節(jié)點(diǎn)、23 節(jié)點(diǎn)、13 節(jié)點(diǎn)、5 節(jié)點(diǎn)，其節(jié)點(diǎn)函數(shù)按照對數(shù)函數(shù)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)，其基函數(shù)如公式（4）：

式中：Xi為上層數(shù)據(jù)架構(gòu)中的第i 個(gè)輸入值；Y 為該節(jié)點(diǎn)的輸出值；e 為自然常數(shù)；A、B 為待回歸系數(shù)。

因?yàn)檩斎雮?cè)的6 個(gè)數(shù)據(jù)均經(jīng)過了min max 線性重投影處理，即對數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)了初步模糊化，且在數(shù)據(jù)處理過程中采用的多項(xiàng)式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)，也較難實(shí)現(xiàn)將輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行量綱重填處理，所以其輸出數(shù)據(jù)也控制在與經(jīng)過min max 處理的數(shù)據(jù)集合相同的[0，1]區(qū)間上，在整合模塊輸出1 個(gè)最終判斷結(jié)果后，應(yīng)在估計(jì)結(jié)果模塊中對該數(shù)據(jù)進(jìn)行量綱重填過程，即使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出的值重新投影到目標(biāo)值域空間內(nèi)。該過程等同于傳統(tǒng)GM（1，1）模型中在數(shù)據(jù)累加、一階求導(dǎo)等過程后的數(shù)據(jù)還原過程。該模塊的實(shí)際計(jì)算方式，為前文min max 計(jì)算過程的反算過程，即將輸入值與輸入最小值相乘，得到其乘積結(jié)果，受制于篇幅限制，該計(jì)算公式不再展開。

3 優(yōu)化GM（1，1）模型算法效能驗(yàn)證

傳統(tǒng)GM（1，1）模型中，驗(yàn)證計(jì)算效果采用了標(biāo)差法進(jìn)行驗(yàn)證，標(biāo)差法為數(shù)據(jù)發(fā)生值與均值的差值平方求取算數(shù)平均數(shù)后進(jìn)行開方處理，如公式（5）所示：

使用傳統(tǒng)GM（1，1）模型和該研究設(shè)計(jì)的基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化GM（1，1）模型分別對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，比較其處理結(jié)果的標(biāo)差法驗(yàn)證結(jié)果，包括前文表1中設(shè)計(jì)的跨度40 m 的箱梁橋梁驗(yàn)算結(jié)果，及常規(guī)設(shè)計(jì)中經(jīng)常使用的30 m 箱梁、25 m 箱梁、20 m 箱梁的驗(yàn)算結(jié)果，得到表3 所列。

表3 仿真數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差比較表

表3 中，t 值與P 值來自對兩組比較數(shù)據(jù)在SPSS數(shù)據(jù)分析軟件中的雙變量t 校驗(yàn)結(jié)果。該結(jié)果中的Value 值作為t 值，當(dāng)t＜10.000 時(shí)認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)存在統(tǒng)計(jì)學(xué)差異，且t 值越小，認(rèn)為數(shù)據(jù)差異性越大；該結(jié)果中的Log 值作為P 值，當(dāng)P＜0.05 時(shí)認(rèn)為結(jié)果數(shù)據(jù)處于置信空間內(nèi)，當(dāng)P＜0.01 時(shí)認(rèn)為結(jié)果數(shù)據(jù)具有顯著的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，且P 值越小，認(rèn)為結(jié)果數(shù)據(jù)的顯著性越強(qiáng)。該數(shù)據(jù)分析中，優(yōu)化GM（1，1）模型相比較傳統(tǒng)GM（1，1）模型，其標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算結(jié)果顯著更低，且隨著箱梁規(guī)模增大，其優(yōu)勢更為明顯。所有結(jié)果t＜10.000，P＜0.01，具有顯著的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

分析該優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生的原因，主要因素為該試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，通過1∶20、1∶30、1∶50 共三個(gè)比例尺模型來估計(jì)1:1 模式下的結(jié)果數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)不完備性超出了傳統(tǒng)GM（1，1）模型的計(jì)算能力可靠性區(qū)間。雖然傳統(tǒng)GM（1，1）模型對該試驗(yàn)結(jié)果中的完備因子條件下的不完備數(shù)據(jù)的曲線估計(jì)能力較強(qiáng)，且其分析能力超過大部分基于灰色算法的模型算法效能，但如果依照該研究思路，使用同樣具備不完備數(shù)據(jù)分析能力的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對其進(jìn)行充分加強(qiáng)，可以使其實(shí)際算力效能得到更大程度提升。

以往相關(guān)研究對傳統(tǒng)GM（1，1）模型的優(yōu)化過程，包括從一階微分向高階微分拓展，或考慮額外數(shù)據(jù)形成輔助計(jì)算序列，該計(jì)算過程均會(huì)增加系統(tǒng)算力需求，相比較該研究中使用的方法，其增加算力的經(jīng)濟(jì)性有限。該算法的實(shí)際價(jià)值為在橋梁靜荷載試驗(yàn)中，可以在更有限測量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上完成數(shù)據(jù)分析，得到更高精度的結(jié)果。

4 結(jié) 論

橋梁靜載試驗(yàn)中難以實(shí)現(xiàn)1∶1 模型的實(shí)際測量試驗(yàn)，且增加縮微比例模型的數(shù)量，一方面延長試驗(yàn)時(shí)間，另一方面增加試驗(yàn)成本，且沒有合理的曲線估計(jì)算法支持的條件下，即便采用更多比例尺的相關(guān)試驗(yàn)，也難以實(shí)現(xiàn)有效的數(shù)據(jù)估計(jì)。該研究采用3個(gè)比例尺的實(shí)地試驗(yàn)測量結(jié)果，每個(gè)比例尺下進(jìn)行多次試驗(yàn)求取平均值以提升試驗(yàn)精度，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合GM（1，1）的整合優(yōu)化模型進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)其最終實(shí)測結(jié)果中的標(biāo)準(zhǔn)差得到有效控制，計(jì)算結(jié)果顯著優(yōu)于傳統(tǒng)GM（1，1）模型。