預(yù)報(bào)單向復(fù)合材料軸向強(qiáng)度的雙尺度方法

唐紹鋒

(中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引言

復(fù)合材料以其優(yōu)異的力學(xué)性能(高比強(qiáng)度、高比剛度等)在航天技術(shù)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，故對(duì)復(fù)合材料的宏觀性能表征和破壞機(jī)理的研究是十分必要的。然而，當(dāng)使用有限元法(FEM)直接分析上述問題時(shí)，由于復(fù)合材料的細(xì)觀非均勻性，需要一個(gè)非常精細(xì)的網(wǎng)格來識(shí)別不同的組分。因此，細(xì)化網(wǎng)格所帶來的巨大計(jì)算量使得分析難以實(shí)現(xiàn)。

克服這一困難的一個(gè)自然方法是用一種等效的均質(zhì)材料模型代替復(fù)合材料?！熬鶆蚧钡母拍钍怯葿abuska[1]最早提出的。自20世紀(jì)70年代以來發(fā)展起來的均勻化數(shù)學(xué)理論，被用作尋找等效均勻化材料有效性能的替代方法，該等效均勻化材料用周期性細(xì)觀單胞取代原始復(fù)合材料[2-5]。在該方法中，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)由均勻宏觀結(jié)構(gòu)和非均勻細(xì)觀單胞進(jìn)行描述。所有量都表示為細(xì)觀坐標(biāo)和宏觀坐標(biāo)的函數(shù)，并展開為漸近級(jí)數(shù)，然后通過積分在單胞內(nèi)得到復(fù)合材料的有效性能?；诰鶆蚧碚搶?duì)復(fù)合材料的有效剛度和彈性模量進(jìn)行了預(yù)報(bào)，預(yù)報(bào)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值或其他數(shù)值方法的計(jì)算結(jié)果吻合良好[6-7]。此外，復(fù)合材料的有效熱常數(shù)(如導(dǎo)熱系數(shù)和熱膨脹系數(shù))也可以通過均勻化理論進(jìn)行預(yù)測(cè)[8-9]。上述研究表明，均勻化理論可以有效地預(yù)測(cè)復(fù)合材料的宏觀均勻化有效性能。

然而，只有宏觀均勻化應(yīng)力場(chǎng)不足以預(yù)報(bào)復(fù)合材料的強(qiáng)度。因此，基于均勻化理論，學(xué)者們提出了具有周期性細(xì)觀單胞的復(fù)合材料的雙尺度漸近分析方法[10]。其主要思想是在從細(xì)觀到宏觀的過程中，用雙尺度均勻化方法計(jì)算復(fù)合材料的性能；然后在從宏觀到細(xì)觀的過程中，用雙尺度漸近技術(shù)描述物理場(chǎng)和力學(xué)場(chǎng)的局部起伏。近幾十年來，許多數(shù)學(xué)家和力學(xué)學(xué)者用這種方法分析了復(fù)合材料的局部響應(yīng)[11-16]。這些工作驗(yàn)證了描述復(fù)合材料應(yīng)力場(chǎng)的雙尺度漸近分析方法的有效性和高效性。應(yīng)力場(chǎng)的正確描述是分析材料失效的基礎(chǔ)。余新剛對(duì)基于雙尺度漸近分析方法預(yù)報(bào)兩相復(fù)合材料的強(qiáng)度進(jìn)行了有益的嘗試[17]。

本文基于雙尺度漸近分析方法，根據(jù)組分材料的不同屬性引入不同的強(qiáng)度準(zhǔn)則，建立了預(yù)報(bào)單向復(fù)合材料軸向強(qiáng)度的雙尺度方法。在第1中，根據(jù)組分材料的不同屬性，分別為增強(qiáng)體(纖維)和基體引入了不同的強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)。第2給出了單向復(fù)合材料在宏觀軸向均勻載荷下應(yīng)變的簡化雙尺度表達(dá)式，并結(jié)合第3中引入的準(zhǔn)則，得出了單向復(fù)合材料軸向強(qiáng)度的計(jì)算公式。第3提供了預(yù)報(bào)單向碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂基復(fù)合材料軸向強(qiáng)度的數(shù)值算例。該方法可以直接計(jì)算單向復(fù)合材料的軸向抗壓強(qiáng)度；并通過定義纖維有效拉伸強(qiáng)度的概念計(jì)算單向復(fù)合材料的軸向拉伸強(qiáng)度(纖維有效拉伸強(qiáng)度是通過統(tǒng)計(jì)學(xué)計(jì)算得到的)。最后，在第4中給出了本文的結(jié)論。

1 細(xì)觀強(qiáng)度準(zhǔn)則

到目前為止，還沒有專門針對(duì)復(fù)合材料的失效準(zhǔn)則。因此，復(fù)合材料的失效只能通過細(xì)觀尺度上各組分材料的失效來判斷。一般來說，增強(qiáng)體和基體具有不同的材料屬性，因此應(yīng)根據(jù)它們的不同屬性選擇不同的強(qiáng)度準(zhǔn)則。

1.1 增強(qiáng)體(纖維)

在宏觀軸向均勻拉伸載荷下，單向復(fù)合材料的纖維失效模式為纖維斷裂，如圖1所示。假設(shè)在宏觀軸向均勻壓縮載荷下，纖維的失效模式也是斷裂(這里忽略纖維屈曲失穩(wěn))?？紤]到纖維的脆性特質(zhì)，采用最大主應(yīng)力斷裂準(zhǔn)則作為纖維的強(qiáng)度準(zhǔn)則。對(duì)均勻材料來說，該準(zhǔn)則表述為當(dāng)最大主應(yīng)力超過材料的彈性極限時(shí)材料即發(fā)生斷裂。

一般來說，對(duì)于軸向載荷下的纖維，其斷裂是貫穿纖維橫截面的(圖1)。這里軸向正應(yīng)力即最大主應(yīng)力，所以纖維的強(qiáng)度準(zhǔn)則表述為：

圖1 單向碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂基復(fù)合材料中纖維斷裂的掃描照片

(1)

其中σaT為拉伸時(shí)的纖維軸向正應(yīng)力，σaC為壓縮時(shí)的纖維軸向正應(yīng)力(的絕對(duì)值)，SfT為纖維的軸向拉伸強(qiáng)度，SfC為纖維的軸向壓縮強(qiáng)度。

1.2 基體

本文中的基體為環(huán)氧樹脂。因?yàn)榛w是韌性材料，這里采用形變能準(zhǔn)則(第四強(qiáng)度理論)，形式如下：

(2)

其中σe為基體材料的Mises等效應(yīng)力，Sm為基體材料的屈服強(qiáng)度，σ11，σ22，σ33，τ12，τ23以及τ31為確定一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的6個(gè)應(yīng)力分量，腳標(biāo)1, 2以及3分別表示兩個(gè)橫向以及軸向。

當(dāng)(2)式不成立時(shí)，基體材料即為失效狀態(tài)，即認(rèn)為復(fù)合材料失效。

2 軸向均勻載荷下單向復(fù)合材料軸向強(qiáng)度的雙尺度表達(dá)式

2.1 具有周期性結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料的雙尺度漸近表述

對(duì)于具有周期性細(xì)觀單胞的復(fù)合材料，如果單胞結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，由參考文獻(xiàn)[13]可以證明，復(fù)合材料的實(shí)際位移可以近似表示為：

(3)

其中x和y分別是宏觀(全局)坐標(biāo)和細(xì)觀(局部)坐標(biāo)。定義ε為一個(gè)小參數(shù)，表示細(xì)觀坐標(biāo)系中單位向量的實(shí)際長度與宏觀坐標(biāo)系中單位向量的實(shí)際長度之比，即y=x/ε。u[0](x)是位移的均勻化解。Nα1(y)和Nα1α2(y)(α1,α2=1,2,3)是三階函數(shù)矩陣，它們被稱為基函數(shù)，在單胞中求解。它們的解僅依賴于單胞的信息，而不依賴于宏觀結(jié)構(gòu)或載荷。

上述函數(shù)定義如下(具體見參考文獻(xiàn)[12])。

(4)

其中Cijhk(y)是復(fù)合材料各組分材料的剛度系數(shù)，Q是細(xì)觀單胞占據(jù)的域；εij(v)定義為：

(5)

(6)

(7)

(8)

其中fi為體力，Ω是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)占據(jù)的域。

(5)結(jié)構(gòu)Ω內(nèi)部任意一點(diǎn)x處的應(yīng)變和應(yīng)力可以用下式近似計(jì)算：

(9)

σij(x)=Cijhk(y)ehk(x)

(10)

2.2 宏觀軸向均勻載荷下單向復(fù)合材料軸向強(qiáng)度的表達(dá)式

如圖2所示，對(duì)于在宏觀軸向均勻拉伸(或壓縮)載荷作用下的單向纖維增強(qiáng)樹脂基復(fù)合材料柱體，其均勻化位移解可表示為：

圖2 單向纖維增強(qiáng)樹脂基復(fù)合材料的軸向均勻拉伸(壓縮)

(11)

其中E11，E22，E33，μ13和μ23為復(fù)合材料在三個(gè)主軸方向上的宏觀有效工程常數(shù)。由式(3)，位移可以精確表達(dá)為：

(12)

由此可以得到各應(yīng)變分量的表達(dá)式：

=pη11

(13-1)

=pη22

(13-2)

=pη33

(13-3)

=pη12

(13-4)

=pη13

(13-5)

=pη23

(13-6)

即有：

[e11,e22,e33,e12,e13,e23]T=p[η11,η22,η33,η12,η13,η23]T

(14)

對(duì)增強(qiáng)纖維來說，纖維的軸向正應(yīng)力σf33的表達(dá)式如下：

=pζf

(15)

pf-cri=Sf/ζf

(16)

對(duì)基體來說，在外載作用下基體的應(yīng)力表達(dá)式為：

(17)

其中Cm為基體剛度矩陣?；w的Mises等效應(yīng)力σme為：

(18)

其中ζm為基體的載荷因子。假設(shè)基體的屈服強(qiáng)度為Sm，當(dāng)σme=Sm時(shí)，可以求得基體屈服時(shí)的臨界載荷pm-cri：

pm-cri=Sm/ζm

(19)

最終復(fù)合材料的軸向拉伸(壓縮)強(qiáng)度Sa應(yīng)是纖維破壞時(shí)的臨界載荷pf-cri和基體屈服時(shí)的臨界載荷pm-cri中較小的那個(gè)，即：

Sa=min(pf-cri,pm-cri)

(20)

2.3 預(yù)報(bào)軸向強(qiáng)度的雙尺度方法的計(jì)算步驟

(1)在單胞內(nèi)由式(4)用有限元方法計(jì)算基函數(shù)Nα1(y)。

(2)在單胞內(nèi)基于基函數(shù)Nα1(y)由式(6)計(jì)算復(fù)合材料的均勻化剛度系數(shù)。

(3)由式(21)將均勻化剛度系數(shù)轉(zhuǎn)換為復(fù)合材料的工程常數(shù)：

(21)

其中S為復(fù)合材料的柔度系數(shù)，E11，E22，E33，μ13，μ23，μ12，μ31，μ32，μ21，G13，G23和G12為復(fù)合材料的有效工程常數(shù)。剛度系數(shù)與柔度系數(shù)的關(guān)系為：

I=CH·S

(22)

其中I為單位矩陣，CH為均勻化剛度系數(shù)。

(4)假設(shè)宏觀軸向均勻拉伸(壓縮)載荷p=1，由式(13)、(14)、(15)、(17)和(18)分別計(jì)算載荷系數(shù)ζf和ζm；

(5)最后由式(16)、(19)和(20)計(jì)算軸向拉伸(壓縮)強(qiáng)度。

3 算例

使用該方法預(yù)測(cè)纖維體積含量Vf=60%的單向碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂基復(fù)合材料的軸向壓縮強(qiáng)度和拉伸強(qiáng)度。

3.1 有效工程常數(shù)的計(jì)算

為單向復(fù)合材料構(gòu)建了兩個(gè)具有代表性的細(xì)觀單胞：長方體單胞(單胞1)和六棱柱單胞(單胞2)，如圖3所示?；w為各向同性材料，而纖維為橫觀各向同性材料。組分材料的性能參數(shù)見表1。

表1 單向碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂基復(fù)合材料各組分材料性能

圖3 單向復(fù)合材料的細(xì)觀單胞

表2列出了用兩個(gè)單胞計(jì)算的單向碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂基復(fù)合材料的有效工程常數(shù)。

表2 用兩種單胞計(jì)算的有效工程常數(shù)

3.2 軸向壓縮強(qiáng)度

基于上述有效工程常數(shù)，用兩個(gè)單胞計(jì)算了單向碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂基復(fù)合材料的軸向壓縮強(qiáng)度。計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值如圖4所示?？梢钥吹絻蓚€(gè)單胞的計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差分別為14%和12%。我們認(rèn)為，計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值之間的差異是由于只考慮了最大應(yīng)力準(zhǔn)則，而忽略了復(fù)合材料在軸向壓縮下的纖維屈曲。

圖4 單向碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂基復(fù)合材料的軸向壓縮強(qiáng)度(Vf=60%)

3.3 軸向拉伸強(qiáng)度

由于復(fù)合材料中纖維的強(qiáng)度具有較大的分散性，當(dāng)復(fù)合材料承受軸向拉伸載荷時(shí)，較弱的纖維將首先發(fā)生破壞；隨著外載的增加，剩余未破壞的纖維將陸續(xù)破壞，直至復(fù)合材料失效，即單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料受軸向拉伸時(shí)的破壞是一個(gè)漸近損傷的過程。而采用雙尺度方法預(yù)報(bào)復(fù)合材料的強(qiáng)度是在細(xì)觀單胞內(nèi)進(jìn)行的，只要單胞內(nèi)的任意纖維破壞，就意味著復(fù)合材料結(jié)構(gòu)內(nèi)的所有纖維都破壞了，即復(fù)合材料失效。所以采用雙尺度方法計(jì)算復(fù)合材料拉伸強(qiáng)度時(shí)，計(jì)算所用的纖維的強(qiáng)度應(yīng)該是一種平均的等效的強(qiáng)度，這個(gè)值應(yīng)該是當(dāng)復(fù)合材料破壞時(shí)所有纖維所承受的應(yīng)力的平均值。

假設(shè)纖維的強(qiáng)度分布是Weibull分布：

F(σ)=1-exp(-αδσβ)

(23)

其中α為Weibull尺寸參數(shù)；β為Weibull形狀參數(shù)；δ稱作無效長度，其物理意義是指纖維一處斷裂后，纖維所承擔(dān)的應(yīng)力由零基本恢復(fù)至外加載荷所需的長度，定義式為：

24)

其中df為纖維的直徑；Vf為纖維體積分?jǐn)?shù)；Ef為纖維軸向模量；Gm為基體剪切模量；φ為載荷恢復(fù)程度函數(shù)，取值范圍為0～1。

假設(shè)在外載p的作用下，復(fù)合材料內(nèi)總纖維數(shù)為N，其中有Nf根纖維斷裂，Nh根纖維沒有斷裂。當(dāng)載荷增加dp，平均應(yīng)力增加dσ，斷裂纖維數(shù)目增加dNf。根據(jù)統(tǒng)計(jì)方法，斷裂纖維數(shù)目和增加的應(yīng)力滿足如下微分方程：

(25)

其中a為與一根斷裂纖維相鄰的纖維數(shù)目；K為與一根斷裂纖維相鄰的纖維的應(yīng)力集中因子，a=4或6時(shí)，K=1.146或1.104；F(Kσ)為考慮應(yīng)力集中的纖維破壞概率。

式(25)的初始條件為：

Nf(0)=0

(26)

可以解得：

Nf=Nexp[(a+1)exp(-αδσβ)-aexp(-αδmσβ)]T

(27)

其中：

(28)

所有纖維所承受的軸向應(yīng)力的平均值為：

(29)

(30)

使用雙尺度方法計(jì)算的單向碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂基復(fù)合材料(Vf=60%)的軸向拉伸強(qiáng)度的計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值如圖5所示。計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差均小于1.6%。軸向拉伸強(qiáng)度的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值吻合得很好。

圖5 單向碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂基復(fù)合材料的軸向拉伸強(qiáng)度(Vf=60%)

4 結(jié)論

根據(jù)單向復(fù)合材料組分材料的不同屬性引入不同的強(qiáng)度準(zhǔn)則，建立了預(yù)報(bào)單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料軸向強(qiáng)度的雙尺度方法。當(dāng)應(yīng)用該方法預(yù)報(bào)軸向拉伸強(qiáng)度時(shí)，引入了纖維有效拉伸強(qiáng)度的概念，將漸近損傷理論與該方法聯(lián)系起來。結(jié)果表明，計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，從而驗(yàn)證了該方法的有效性。