摭談“尺規(guī)作圖”問題的育人價值*

鐘珍玖 張煒鈺 (江蘇省江陰市第一初級中學(xué) 214432)

1 尺規(guī)作圖問題概述

所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過“證偽”說明了三大作圖問題的不可能性，問題才得以解決．但是，人們對尺規(guī)作圖問題研究的步伐還在延續(xù)．

2 尺規(guī)作圖問題的特征

尺規(guī)作圖問題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作圖的發(fā)展歷程中充滿了故事．解決尺規(guī)作圖問題的過程就是畫圖探究的過程，通過分析推理，探索把問題轉(zhuǎn)化為何種基本尺規(guī)作圖問題．作圖問題的方法不唯一，因此作圖方法具有開放性．

2.1 尺規(guī)作圖問題的文化性

尺規(guī)作圖起源于古希臘人對于幾何作圖問題的研究，公元前5世紀(jì)時數(shù)學(xué)史上的三大作圖問題被提出．此后的二千多年中很多的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者都對三大作圖問題產(chǎn)生了濃厚的興趣，直到1873年萬芝爾在研究阿貝爾定理的化簡時才證明了三等分任意角和倍立方體的尺規(guī)作圖不可能問題．這些經(jīng)典的數(shù)學(xué)故事,可以極大地提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)發(fā)展史的了解，更好地傳播數(shù)學(xué)文化．尺規(guī)作圖問題不僅提供了存在性的證明方法，還產(chǎn)生了“證偽”的思維方式，推動數(shù)學(xué)的發(fā)展，具有豐富的文化價值．

2.2 尺規(guī)作圖問題的探究性

尺規(guī)作圖問題雖然作圖條件給定，作圖結(jié)果也確定，但是尺規(guī)作圖問題并不等同于一般的幾何演繹推理問題，尺規(guī)作圖問題所要作的圖形結(jié)果是未知的，需要學(xué)生借助分析法逆向思考，不斷探究才能作出符合條件的圖形，有時作圖的方法也具有多樣性，并且有的作法不容易發(fā)現(xiàn)，尺規(guī)作圖的問題充滿著探究的味道．

2.3 尺規(guī)作圖問題的創(chuàng)新性

很多尺規(guī)作圖問題，其構(gòu)圖方法具有多樣性，往往需要借助直觀猜想，結(jié)合邏輯推理進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，不僅要求作圖者思維縝密，更要能突破思維的局限，敢于和善于創(chuàng)新才能解決問題．從形式上看尺規(guī)作圖問題是作圖方式上的創(chuàng)造，實質(zhì)上是思維方式的創(chuàng)新，創(chuàng)新性是尺規(guī)作圖問題的最為重要的特征．

3 尺規(guī)作圖問題的育人價值及教學(xué)建議

尺規(guī)作圖問題的結(jié)果是作出符合條件的圖形，但僅有畫圖技能是不能解決問題的，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理能力和探究意識，還需要思維靈活、縝密、創(chuàng)新．從尺規(guī)作圖問題的特征來看，尺規(guī)作圖問題有如下的育人價值.

3.1 培養(yǎng)學(xué)生探究與推理融匯的意識

從教學(xué)實踐來看，很多一線教師僅僅把尺規(guī)作圖看成是畫圖技能的訓(xùn)練，不重視畫圖原理的教學(xué)，從而失去培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的寶貴機(jī)會．實際上，數(shù)學(xué)教材中的尺規(guī)作圖問題也是培養(yǎng)學(xué)生探究意識和探究能力的很好素材，教師要設(shè)計好呈現(xiàn)方式和呈現(xiàn)的順序，讓學(xué)生學(xué)會在推理中探究畫圖方法，在多樣性的畫圖方法探究中增強(qiáng)推理意識和推理能力．

案例1蘇科版八年級上冊“用直尺和圓規(guī)畫線段AB的垂直平分線”．

在學(xué)習(xí)了垂直平分線的性質(zhì)和判定定理的基礎(chǔ)上，蘇科版教材編排了用直尺和圓規(guī)畫線段AB的垂直平分線，這樣的安排從知識的應(yīng)用和思維的順暢來看比較自然合理，但是失去了畫線段的垂直平分線的“探究味”．筆者嘗試在學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)之后，再要求學(xué)生用尺規(guī)作圖畫線段AB的垂直平分線，這樣的安排需要學(xué)生充分領(lǐng)會尺規(guī)作圖的特點，問題具有很強(qiáng)的探究性、開放性、發(fā)散性.學(xué)生得到以下兩種畫法.

圖1 圖2

3.2 培養(yǎng)直觀猜想與推理論證結(jié)合的習(xí)慣

尺規(guī)作圖問題的特征決定了其必然為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，在解答時需要有科學(xué)的思維方式，以分析法為基礎(chǔ)，借助邏輯推理解決問題，或者以直觀猜想為思維的突破口，再進(jìn)行推理論證，驗證猜想的正確性．

案例2如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點B的坐標(biāo)為(6,4)．

圖3

(1)請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)作一條直線AC，它與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和點C，且使∠ABC=90°，△ABC與△AOC的面積相等．(作圖不必寫作法，但要保留作圖痕跡)

(2)問：(1)中這樣的直線AC是否唯一？若唯一，請說明理由；若不唯一，請在圖中畫出所有這樣的直線AC，并寫出與之對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．[1]

此問題的兩個小題實質(zhì)是同一個問題，命題者為了使試題有一定的梯度，降低試題的難度設(shè)置了兩個問題．所作直線AC要求滿足∠ABC=90°，△ABC與△AOC的面積相等兩個限制條件，即使用分析法假設(shè)直線AC已經(jīng)作好，因為點A和點C都是動點，很難確定點A,C的位置，由∠ABC=90°直觀地猜想，當(dāng)四邊形OABC是矩形時，顯然也滿足△ABC與△AOC的面積相等，從而問題(1)就很容易解決．問題(2)的解決依然依賴幾何直觀，因為問題中只有點O和點B是定點，當(dāng)AC是線段OB的垂直平分線時，OA=AB，OC=BC，由等邊對等角易得∠ABC=∠AOC=90°，△ABC與△AOC的面積也相等．

從這兩個問題的解決過程來看，由特殊情形入手，通過直觀猜想發(fā)現(xiàn)問題的解決策略，再運用邏輯推理證明猜想的正確性，從而解決復(fù)雜的尺規(guī)作圖問題，這種方法貫穿于整個幾何的學(xué)習(xí)過程中.教師在教學(xué)過程中，要有意識加強(qiáng)示范和引導(dǎo)，更多地創(chuàng)設(shè)有利于培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的情境，潛移默化地讓學(xué)生形成把直觀猜想與推理論證相結(jié)合的習(xí)慣，為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造打下堅實的基礎(chǔ)．

3.3 培養(yǎng)科學(xué)思辨與創(chuàng)新思維的精神

尺規(guī)作圖問題的結(jié)果是確定的幾何圖形，但是實現(xiàn)結(jié)果的方法往往是多樣的，表現(xiàn)出較大的靈活性，構(gòu)圖方法創(chuàng)新性強(qiáng)，解決問題的過程伴隨著分析、推理、判斷等思維活動，能夠通過作圖認(rèn)識問題的本質(zhì)，辨別思維的對錯與優(yōu)劣．

案例3用尺規(guī)作圖作圓的內(nèi)接正三角形．

蘇科版九年級下冊“正多邊形與圓”一節(jié)中，教材“數(shù)學(xué)實驗室”問題設(shè)置：用尺規(guī)作圖畫圓的內(nèi)接正六邊形，再讓學(xué)生畫圓的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正十二邊形．把問題直接改編為用尺規(guī)作圖作圓的內(nèi)接正三角形，缺少了作正六邊形的思維腳手架，解決問題需要有創(chuàng)新構(gòu)圖能力和創(chuàng)新思維的方法．

方法1 如圖4，在⊙O上任取一點A，以點A為圓心、OA為半徑畫弧與⊙O交于點B，再以點B為圓心、OA為半徑畫弧交⊙O于點C，以此方法依次作點D,E，則△ACE為⊙O的內(nèi)接正三角形．

圖4 圖5 圖6

方法2 如圖5，經(jīng)過圓心O作任意一條直徑AB，以點A為圓心、OA為半徑畫弧與⊙O交于點C，以點B為圓心、CB為半徑畫弧交⊙O于點D，則△BCD就是所要作的⊙O的內(nèi)接正三角形．

方法3 如圖6，經(jīng)過圓心O作任意一條直徑AB，以點A為圓心、OA為半徑畫弧與⊙O交于點C,D，則△BCD為⊙O的內(nèi)接正三角形．

方法2先畫了60°的圓周角，從而可以構(gòu)造120°的圓心角，然后利用在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，作出圓的內(nèi)接等邊三角形．方法1是把問題先轉(zhuǎn)化為畫圓的內(nèi)接正六邊形，然后間隔一個頂點連結(jié)就完成作圖，其本質(zhì)依然是構(gòu)造120°的圓心角，利用圓的性質(zhì)來作正多邊形．方法3也是構(gòu)造120°的圓心角，從整體的視角出發(fā)構(gòu)圖，畫法簡潔，思維的創(chuàng)新度高．通過畫法的對比，可以有效提高學(xué)生的思辨能力和思維方式．在尺規(guī)作圖問題教學(xué)中，建議教師對教材中的問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木幓蛘吒淖兂尸F(xiàn)的方式，鼓勵學(xué)生思維創(chuàng)新，在思維的比較和碰撞中提高思辨能力，提升核心素養(yǎng)．

尺規(guī)作圖問題不僅能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，在培養(yǎng)學(xué)生的思辨意識和理性精神方面也有其獨特的作用，同時還能傳播數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，值得數(shù)學(xué)教育者的深入研究和探討，希望此文能引起同行更為深入的研究．