指向數(shù)學高階思維的問題群設計與思考

【摘 要】問題群是指為了實現(xiàn)某種目標，從教學整體視角設計系列化問題，它有助于培養(yǎng)學生的高階思維.教師需要理解高階思維的內涵，遵循問題群設計的原則，可以從五個環(huán)節(jié)設計：設問，在情境中激發(fā)學習動機;追問，在歸因時具身體驗知識;變問，在建構中深度理解新知;尋問，在質疑中形成高階思維;自問，在創(chuàng)新中實踐學習價值.

【關鍵詞】高階思維;問題群;具身體驗

1 提出問題

2021年下學期，筆者對本區(qū)域內45所初中進行了聽課調研，部分課堂仍停留在傳統(tǒng)講授法，教學效益較低，僅引發(fā)學生的淺層學習.主要表現(xiàn)為三個方面：一是課堂教學專注于知識的獲得，難有活學活用，奉行以知識為主線，很少讓學生在體驗中學習，如“一次函數(shù)”一節(jié)中，教師用了五分鐘給出本節(jié)課概念，余下的四十分鐘反復地做題講題;二是停留在教材表層，沒有深入知識內核，教學蛻變?yōu)榉栃问降慕虒W，窄化為具體知識的教學，迷戀給學生具體的問題模型，如“反比例函數(shù)”一節(jié)中，教師對反比例、正比例的本質不清楚，僅要求學生根據(jù)函數(shù)表達式式進行判斷，甚至有的教師認為反比例函數(shù)是隨著x增加y減少;三是教學情境難以觸及學生的興趣、情感和思維，教學內容游離于學生心靈之外，僅發(fā)生在學生的脖子以上，如“位置的確定”一節(jié)中，教師通過遠洋航行時，船只位置體現(xiàn)經(jīng)緯度定位，班級大多數(shù)學生對此似懂非懂，難以理解，感覺所學知識離自己很遙遠.

以上三種教學現(xiàn)象，說明部分教師需要更新教學理念，深入把握教材，理解學生的認知特征，培養(yǎng)學生的數(shù)學高階思維.2 指向數(shù)學高階思維的問題群設計

問題群是指為了實現(xiàn)某種目標，從教學整體視角設計的系列化問題.問題群設計有助于培養(yǎng)學生的高階思維.下面以八年級“反比例函數(shù)”為例進行問題群設計.

2.1 設問，在情境中激發(fā)學習動機

學習動機也稱為內驅力，主要包括認知內驅力、自我提高內驅力和附屬內驅力.認知內驅力屬成長性動力，是在學習者要求理解和掌握知識需要的基礎上產(chǎn)生的，指向學習活動本身;自我提高內驅力與人的尊重感相聯(lián)系，其誘因是某種地位、榮譽，如努力學習以取得好名次;附屬內驅力對中小學生的學習作用也很明顯，如教師、家長等人那里獲得贊許或認可，甚至是懲罰[2].在初中數(shù)學課堂教學中，重點是激發(fā)學生的認知內驅力.

片段1 “反比例函數(shù)”的設問導入.

數(shù)學與生活 分別寫出下列問題中兩個變量之間的關系式.

1.一輛汽車從南京開往上海

（1）若速度是60km/h，那么行駛的路程skm隨時間th變化而變化;

（2）若汽車已經(jīng)行駛了50km，保持（1）中的速度，那么行駛的總路程skm隨時間th變化而變化;

（3）南京到上海的路程約300km，全程所用時間th隨速度vkm/h變化而變化.

2.一個面積為6400m2的長方形，長am隨寬bm的變化而變化;

3.實數(shù)m與n的積為-200，m隨n的變化而變化.

設計意圖 首先，情境問題要簡單明了，能夠讓學生很快表達.其次，情境問題要涉及新知與舊知，兩者間具有一定的關聯(lián)性.還有，情境問題可以是生活問題，也可以是數(shù)學類問題.

據(jù)此分析教學導入：①上述兩個變量間的關系，均為函數(shù)表達式，分別是s=60t，s=60t+50，t=300v，a=6400b，m=-200n;②其中前兩個函數(shù)，是學生已學內容（正比例函數(shù)、一次函數(shù)），目的是幫助學生回歸舊知，后三個為新知，引發(fā)學生認知沖突，激發(fā)學生求知欲;③將三類函數(shù)混合在一起，目的是檢驗舊知，類比新知;④所選的三個情境問題，與學生的認知水平相符，第一題是行程問題，第二題是平面幾何問題，第三個是數(shù)學問題;⑤得出反比例函數(shù)的概念，形如y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù).

2.2 追問，在歸因時具身體驗知識

設問呈現(xiàn)新知，追問深化新知.面對新概念新知識，僅停留在表面的形式定義，遠不是真正掌握，還需要理解其內涵特征與外延關系，其中內涵是新知識獨特的基因，外延是新知識存在的價值.

數(shù)學教學中，教師可以在新知關鍵點進行追問，用于提煉其內涵特征;在學生理解困頓時進行追問，用于培養(yǎng)其思維;在例題求解中追問，用于培養(yǎng)其能力;在思維轉折處追問，用于培養(yǎng)其素養(yǎng).通過追問，增加學生對新知理解的廣度、深度、高度和厚度，鼓勵學生合理質疑和深度反思，促進高階思維發(fā)展.

片段2 “反比例函數(shù)”的追問歸因.

例1 辨析下列關系式中，哪些y是x的反比例函數(shù)、正比例函數(shù)、一次函數(shù)？說明理由.并說出反比例函數(shù)中“反比例”的意義.

設計意圖 通過設問與追問，得出反比例函數(shù)的形式、特征、本質意義，追問可以由學生或老師提出，但完成應由學生體驗后完成，讓學生感受新知的形成與發(fā)展過程.

本例的追問共有四個目標：①通過辨析讓學生進一步鞏固反比例函數(shù)的概念;②通過追問（說明理由）總結出反比例函數(shù)常見形式為（1）分式的形式：y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）;（2）積的形式：xy=k（k為常數(shù)，k≠0）;（3）負指數(shù)的形式：y=kx-1（k為常數(shù)，k≠0）;③三種形式可以相互等價轉化，在反比例函數(shù)的分式形式中，左側為y，右側可變形成分式形式，其中分母為x，分子為常數(shù);④進一步追問得出反比例的意義，即若x變化為kx，則y變化為1ky，兩者的系數(shù)呈反比關系，故稱為反比例函數(shù).

2.3 變問，在建構中深度理解新知

數(shù)學教學需要完成數(shù)學體系的建構.這種建構是與已經(jīng)學習的知識結合，形成新問題，變問常以變式教學的形式給出.變問是從已解決的數(shù)學問題出發(fā)，改變問題的情境、條件、目標，重新提出新問題，這些新問題緊扣新舊知識之間的聯(lián)系與差異，通過新問題的理解、分析、解決，在原有的知識體系中建構新的數(shù)學概念、數(shù)學思想、數(shù)學方法，在“變”與“不變”中，逐步把學生的學習引向深度，形成學科一般觀念，發(fā)展高階思維能力[3].

片段3 “反比例函數(shù)”的變問建構.

例2 填空

（1）已知函數(shù)y=3xm-7是反比例函數(shù)，則m=;

（2）若函數(shù)y=（m-3）x-1是反比例函數(shù)，則m=;

（3）若函數(shù)y=（m+1）xm2-2是反比例函數(shù)，則m=.

小結 求解這類題目根據(jù)的是反比例函數(shù)的哪一個形式？（負指數(shù)的形式：y=kx-1（k為常數(shù)，k≠0）.）

例3 已知y與x成反比例，并且x=3時y=7，求：（1）y和x之間的函數(shù)關系式;（2）當x=13時，求y的值;（3）y=7時，x的值.

小結 求反比例函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法，先設其解析式為y=kx（且k≠0），然后再求出k的值即可.

設計意圖 變問目的是將新知與舊知建立相互聯(lián)系，通過這種聯(lián)系，實現(xiàn)新學知識的結構化.

本片段中，例2是反比例函數(shù)與多項式綜合變式，強化的是反比例的指數(shù)形式;例3是如何求解反比例函數(shù)中的應用，突出待定系數(shù)法.例2注重知識的直接應用，例3則關注知識應用中的思想方法.具體表現(xiàn)為：①例2的三個小問，分別對應反比例函數(shù)中的指數(shù)為多項式、系數(shù)為多項式、以及指數(shù)系數(shù)均為多項式，其解題依據(jù)是反比例函數(shù)的負指數(shù)的形式：y=kx-1（k為常數(shù)，k≠0）;②例3的三個小問，分別是待定系數(shù)法的應用、自變量與應變量的對應關系、應變量與自變量的對應關系.

2.4 尋問，在質疑中形成高階思維

高階思維建立在科學素養(yǎng)之上，科學素養(yǎng)主要表現(xiàn)為理性思維、批判質疑與科學探究三個方面，其中理性思維與批判質疑是科學探究的起點.

理性思維包括傳統(tǒng)學科素養(yǎng)中的知識與技能、運用科學思維方式解決問題的能力，表現(xiàn)為掌握、使用和運用所學知識與方法進行思維活動.主要內容包括：崇尚真知，能理解和掌握基本的科學原理和方法;尊重事實和證據(jù)，有實證意識和嚴謹?shù)那笾獞B(tài)度;邏輯清晰，能運用科學的思維方式認識事物、解決問題、指導行為等.

批判質疑需要建立在一定科學知識和技術積累之上，批判性地多角度思考和發(fā)現(xiàn)問題，合理評估各種可能的選擇并做出最優(yōu)的決策，最終科學有效地解決問題.教學活動中，教師需要培養(yǎng)學生問題意識和批判質疑態(tài)度，引導他們獨立思考、獨立判斷、大膽嘗試，多角度、辯證地分析問題，積極尋求有效的問題解決方法[4].

片段4 “反比例函數(shù)”的尋問質疑.

課堂鞏固 閱讀以下材料，并回答問題

已知矩形面積是30cm2，若長寬分別是acm，bcm，

如圖1，b與a的函數(shù)圖象大致是怎樣的？并說明理由.

自我評估 對于反比例函數(shù)知識，你學習了什么內容？還需要研究哪些內容？

如圖2，幾何畫板演示（教師操作）.

設計意圖 ①通過尋問，學生類比一次函數(shù)學習過程，依據(jù)所掌握的程序性知識，對本節(jié)課內容進行總結回顧，提出問題：反比例函數(shù)圖象與性質是什么？它與以前所學函數(shù)有哪些區(qū)別？接下來研究什么？這樣設計，一方面與本節(jié)課開頭的問題情境呼應，另一方面承上啟下，引出后續(xù)課題，激發(fā)學生進一步探究的興趣;②給學生足夠的時間進行質疑，培養(yǎng)學生敢于理性分析、批判質疑的能力.

2.5 自問，在創(chuàng)新中實踐學習價值

創(chuàng)新人才培養(yǎng)的核心要素有五個方面，分別為基礎知識、身體素質、創(chuàng)新精神、創(chuàng)新能力、創(chuàng)新人格[5].前兩個要素是顯性的，后三個要素是隱性的，傳統(tǒng)教育更加關注基礎知識的傳遞與身體素質的培養(yǎng)，對于隱性的創(chuàng)新精神、創(chuàng)新能力與創(chuàng)新人格關注較少.三個隱性要素一方面形成于前兩個顯性要素的生成過程中，另一方面又促進顯性要素的形成.

基礎教育中的創(chuàng)新人才培養(yǎng)，需要學生擁有良好自我感知能力與自問引導能力.首先，建立師生平等公平的教學氛圍，避免出現(xiàn)過于權威;其次，在課程目標中以學生本位進行價值取向，通過定義學生在每個年級需要學習的知識、概念和技能，鼓勵和幫助每個學生取得更高成就;再次，通過校園活動促進學生全面發(fā)展，利用學校充足的資源和教師的支持，指導學生探究自己感興趣的問題，檢驗自己的想法是否可行;最后，加強與大學、公司的合作，擴展和創(chuàng)新人才培養(yǎng)的邊界[6].

片段5 “反比例函數(shù)”的自問實踐.

課后作業(yè) 尋找反比例函數(shù)模型的生活實例，并運用所學知識解釋現(xiàn)象、解決問題.

設計意圖 通過開放性問題，培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維分析問題、用數(shù)學的語言表達世界的能力.充分調動學生的學習自主性，將任務式作業(yè)改變?yōu)樘骄啃宰鳂I(yè).

3 指向數(shù)學高階思維的問題群思考

3.1 理解數(shù)學高階思維

高階思維是相對于低階思維而言，自身并沒有精確的范疇界定.理解高階思維可以借鑒初中學習數(shù)學概念的形式定義，通過內涵特征、行為表現(xiàn)兩個方面來辨析學生是否形成了高階思維.

高階思維的內涵特征：①抽象化的思維結構，即學生的思維不依賴于舉事例、列舉等具體描述，而是高度符號化推演;②整體性的信息組織，學生的思維不局限于某一個概念方法，而是可以進行廣泛地聯(lián)想;③合理性的邏輯判斷，學生的思維具有明顯的邏輯特征，即使是合情推理也有據(jù)可循;④基于理性的質疑反思，面對新情境學生能夠提出自己的見解，面對已有的經(jīng)驗，學生能夠通過自我質疑優(yōu)化，同時不斷反思，努力擴充自己的認知視域.

美國教育家布盧姆將思維過程具體化為六個教學目標，由低到高分別為記憶、理解、應用、分析、評價、創(chuàng)造.前三個目標為低階思維，后三個目標為高階思維，前者是后者的基礎.進一步將高階思維具體化，分析包括區(qū)別（識別、辨別、聚焦）、組織（整合、概括）、歸因（解構、判斷），評價包括檢查（協(xié)調、檢測、監(jiān)督、測試）、評論（診斷），創(chuàng)造包括生成（假設、表征）、計劃（設計、篩選）、貫徹（執(zhí)行、建構）[1].

學生高階思維的培養(yǎng)離不開教師的教學，數(shù)學教學離不開問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決，因此，高質量問題群有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學高階思維.3.2 指向數(shù)學高階思維的問題群設計原則

問題群設計需要遵循五個原則：一是先低后高原則，所有的高階思維都建立在低階思維基礎之上，記憶與理解以及適量的練習是必不可少的;二是具身性原則，問題群的主體是學生，學生能否將問題作為自己必須解決的對象，是高階思維能否形成的要素;三是整體性原則，問題群中的問題間相互具有很強的邏輯關系，通過邏輯推理、數(shù)學運算等可以將所有的問題聯(lián)結成一個系統(tǒng);四是聯(lián)結性原則，問題群既要對知識進行歸因溯源，實現(xiàn)新知與舊知的自然融合，又要預留知識的發(fā)展出口，為更新的知識留有生長點;五是創(chuàng)新性原則，自覺應用所學知識分析現(xiàn)象解決問題，并能創(chuàng)造性地提出問題.4 結束語

問題是數(shù)學的心臟，問題質量的高低直接影響教學效果的優(yōu)劣.以數(shù)學高階思維為目標的問題群設計，需要以學生為主體，教師為主導，既要注重問題的結果，又要注重問題的形成、分析與解決過程，在幫助學生掌握知識的同時，培養(yǎng)能力、形成素養(yǎng)、實現(xiàn)創(chuàng)新.

參考文獻

[1]王帥.國外高階思維及其教學方式[J].上海教育科研，2011（09）：31-34.

[2]楊芳.學習動機的激發(fā)與課堂教學的優(yōu)化[J].中國教育學刊，2002（02）：42-44.

[3]李昌官.走向素養(yǎng)為本的數(shù)學變式教學[J].課程·教材·教法，2021（08）：98-104.

[4]王泉泉，魏銘，劉霞.核心素養(yǎng)框架下科學素養(yǎng)的內涵與結構[J].北京大學學報（社會科學版），2019（02）：52-58.

[5]康小明.基礎教育階段創(chuàng)新人才培養(yǎng)的理論構建及政策啟示[J].基礎教育論壇，2016（12）：22-26.

[6]陳晨.美國基礎教育創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式研究[J].外國中小學教育，2018（01）：8-14.

作者簡介 張陽（1976—），男，江蘇宿遷人，中學高級教師，蘇州市學科帶頭人;主要研究數(shù)學教育.

基金項目 江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃重點課題“高中生數(shù)學批判質疑能力的實踐研究”（B-b/2018/02/56）;江蘇省中小學教學研究課題“數(shù)學現(xiàn)象視角下的概念教學”（2019JK13-ZB37）;江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃課題“基于學 習時空重構的初中數(shù)學創(chuàng)新實驗的開發(fā)與研究”（c-c/2021/02/26）.