認真解讀每章教材　培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)

李樹臣　郭煥

【摘 要】解讀教材有助于設計課堂教學方案，提高課堂教學效率，培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).通過解讀教材，整體性把握教材是教學中體現(xiàn)知識之間相互聯(lián)系，突出數(shù)學本質(zhì)的基礎(chǔ);準確找出一章內(nèi)容能發(fā)展的核心能力，可以在教學中有的放矢地強化對相關(guān)數(shù)學能力的培養(yǎng);找到一章內(nèi)容可以“凸顯”的數(shù)學思想，才能在教學中結(jié)合教學內(nèi)容讓學生感悟到有關(guān)的數(shù)學思想.

【關(guān)鍵詞】整體解讀;數(shù)學能力;數(shù)學思想

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）提出的“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”[1]是課程基本理念的核心，其本質(zhì)在于通過數(shù)學教育實現(xiàn)提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)的“終極目標”.實現(xiàn)這個目標的主要載體是教材，數(shù)學教學的第一要務是認真研讀教材.本文以青島版教材九（上）第四章“一元二次方程”為例，談談“立意于”培養(yǎng)核心素養(yǎng)的角度應怎樣解讀一章教材.

1 解讀教材的整體性

《課標（2011年版）》提出，教材編寫“應當體現(xiàn)整體性，注重突出核心內(nèi)容，注重內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，注重體現(xiàn)學生學習的整體性”[1].筆者經(jīng)過反復研讀“一元二次方程”一章的教材內(nèi)容，認為本章是從以下三個方面落實整體性原則的.

1.1 以方程思想“統(tǒng)領(lǐng)”本章內(nèi)容

模型思想是《課標（2011年版）》提出的核心詞，方程思想屬于重要的模型思想之一.初中階段學生學習的方程包括：一元一次方程、二元一次方程組、分式方程和一元二次方程.每種具體方程都是用下面的流程引導學生學習的（圖1）.

這個流程分為“方程概念—方程解法—方程應用”三部分，方程思想“隱含”在方程概念的形成過程以及建立方程模型解決實際問題的過程之中[2].學生每學習一種具體方程，就感悟一次方程思想，符合《課標（2011年版）》倡導的“螺旋上升”的原則要求.

本章內(nèi)容始終圍繞“建立方程模型—求解方程模型—應用方程模型”的“主線”展開的：

首先，教材在4.1節(jié)“一元二次方程”中從學生熟悉的生活現(xiàn)實和數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)，精心選取了三個案例作為問題情境，引導學生在思考、探索、交流等活動中給出了一元二次方程的概念，這是一個建立數(shù)學模型的過程.然后，用3節(jié)課的時間研究了一元二次方程的三種具體解法（配方法、公式法、因式分解法），這是求解模型的過程.最后，在4.7節(jié)“一元二次方程的應用”中通過4道例題，引導學生經(jīng)歷了列一元二次方程解應用題的具體步驟（含檢驗），使學生經(jīng)歷了完整的數(shù)學建模過程（圖2）.

1.2 注意知識之間的關(guān)聯(lián)

無論數(shù)學教材編寫，還是數(shù)學教學都要重視知識之間的關(guān)聯(lián)，突出數(shù)學的本質(zhì).通過研讀本章教材發(fā)現(xiàn)關(guān)于一元二次方程解法的“呈現(xiàn)”方式不同于傳統(tǒng)的教材.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，對于這個“一般式”都可以通過配方轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n的形式，由平方根的意義根據(jù)（x+m）2=n可以推出x+m=±n，這種處理方式的優(yōu)點主要表現(xiàn)在下面兩點：

（1）學生易于理解

這種處理方式回避了傳統(tǒng)教材中的“直接開平方”給學生造成思維困惑的“可能”.如果對方程（x+m）2=n（n≥0）兩邊同時開平方將得到±（x+m）=±n，學生不好理解這樣的表現(xiàn)形式和結(jié)果.而利用“平方根”的意義，由（x+m）2=n可直接推出x+m=±n，學生容易接受這種方法.

（2）返璞歸真，凸現(xiàn)了數(shù)學的本質(zhì)

本章從平方根的意義入手直接推導出的一元二次方程的求根公式，是解一元二次方程的通法.在得到通法后，又研究了特殊系數(shù)的一元二次方程的簡便解法——因式分解法，理順了通法與特殊方法的關(guān)系.

教科書的這種安排方式實際上是還原了數(shù)學史的本來面目.當初在研究方程時，最先遇到的不可能是特殊系數(shù)的方程，而是一般系數(shù)的方程.這種安排方式“還原”了歷史，只有這樣安排才能回歸到人類發(fā)現(xiàn)一元二次方程求根公式的歷史.

教材的這種處理結(jié)構(gòu)嚴謹、富于內(nèi)在的邏輯性，符合《課標（2011年版）》倡導的利用知識“生長點”與“延伸點”的要求，突出了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了整體性要求.2 解讀核心能力

著名的數(shù)學家喬治·波利亞指出“任何學問都包括知識和能力兩個方面，能力比起知識來要重要的多，因此學校的目的應該是發(fā)展學生本身的內(nèi)涵能力，而不是僅僅傳授知識”[3].數(shù)學能力是核心素養(yǎng)的重要組成部分，包含多種具體能力.

“一元二次方程”的內(nèi)容是培養(yǎng)多種核心能力的載體，這些核心能力主要指運算能力（含估算能力）和問題解決能力.教師在解讀教材時要把培養(yǎng)具體數(shù)學能力的“知識點”準確找出來，這樣才能在引導學生學習具體內(nèi)容時有針對性的加強對有關(guān)能力的培養(yǎng).

2.1 數(shù)學運算能力

數(shù)學運算能力是《課標（2011年版）》提出的“十大”核心概念之一，運算能力主要是指能夠根據(jù)運算法則和運算律正確地進行運算的能力[1].它是在不斷地運用數(shù)學概念、法則、公式，經(jīng)過一定數(shù)量的練習而逐步形成和發(fā)展起來的.

在本章中培養(yǎng)、提高學生數(shù)學運算能力的載體有二：一是解一元二次方程的過程;二是估算一元二次方程近似根的過程.在教授這兩個方面的內(nèi)容時，既要重視知識點的教學，更要重視運算能力的培養(yǎng).

案例1 求根公式的推導過程（具體推導過程省略）.

教學價值 一元二次方程ax2+bx+c=0求根公式的探索、推導過程，實際上是配方法的一般化和符號化，這是由特殊到一般的過程.由于方程中含有字母系數(shù)，使得求根過程包含了較多整式、分式和二次根式的運算，增加了學生推導的難度，是培養(yǎng)學生數(shù)學運算能力的良好“機會”.這個推導過程具有多方面的教學意義：

（1）由求根公式x=-b±b2-4ac2a可以看出，一元二次方程的根完全由它的系數(shù)a，b，c確定.當b2-4ac≥0時，把一元二次方程各項的系數(shù)代入公式，就可以通過計算得出方程的根.因此，求根公式x=-b±b2-4ac2a是一元二次方程的“通解公式”，從這個意義上講，公式法具有方法論的意義.

（2）仔細觀察一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式x=-b±b2-4ac2a可以發(fā)現(xiàn)，在一元二次方程的求根公式中，含有加、減、乘、除、乘方、開方六種代數(shù)運算，是比較復雜的代數(shù)運算，學生推導公式的過程有助于數(shù)學運算能力的提高.

（3）公式體現(xiàn)了運用符號進行數(shù)學表達的形式美和簡潔美，對學生也是一種美的熏陶.

教學導引

（1）引導學生用配方法解方程2x2+3x-1=0，復習配方法的一般過程.

（2）怎樣用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0呢？

（3）師生共同用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程ax2+bx+c=0，配方時，教師應引導學生關(guān)注方程左、右邊的變形，通過交流，讓他們明白每步變形的目的和依據(jù).

（4）在得出（x+b2a）2=b2-4ac4a2后，教師應提醒學生注意兩點：

①當b2-4ac≥0時，b2-4ac4a2是非負數(shù);

②非負數(shù)b2-4ac4a2有兩個互為相反數(shù)的平方根±b2-4ac4a2，化簡時，由于a可正可負，分母上的4a2本應等于±2a（a>0時，取正號;a<0時，取負號），但因為式子前面已有符號“±”，所以無論a>0還是a<0，最終結(jié)果都可寫成±b2-4ac2a.

估算能力是數(shù)學能力不可或缺的重要組成成分.數(shù)學估算能力是在數(shù)學知識的學習和應用知識解決問題的過程中形成、發(fā)展和提高的，離開“過程”無法培養(yǎng)學生的估算能力.估算的意思是大致推算，近義詞是預算、估計等.

《課標（2011年版）》非常重視對學生“估算”能力的培養(yǎng)，共提及“估算”13次，“估計”61次，如“掌握必要的運算（包括估算）技能”“經(jīng)歷估計方程解的過程”[1].

通過研讀整套青島版教材發(fā)現(xiàn)，本套教材中讓學生“經(jīng)歷估計方程解的過程”的內(nèi)容有二：一是在學習了一元一次方程后安排了1課時;二是在本章教材中，掌握了一元二次方程的概念后，設計了“估計方程x2+（x+7）2=112的根”的學習內(nèi)容.

在具體教學時，教師要充分利用好本課時的估算內(nèi)容，讓學生在嘗試、猜測、思考、交流等活動中，學習估計一元二次方程根的方法，提高自己的估算能力，并且感悟“二分法”和逐次逼近的思想.

2.2 問題解決的能力

《課標（2011年版）》強調(diào)要培養(yǎng)學生“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力”[1]，這是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分.問題解決能力是在解決數(shù)學問題的過程中形成和發(fā)展起來的，這個過程離不開學生思考、探索、建立模型等活動，因此，培養(yǎng)學生問題解決能力的同時有助于提高相關(guān)的數(shù)學能力.

一元二次方程一章的主要內(nèi)容是“一元二次方程→解法→應用”，培養(yǎng)學生問題解決能力主要體現(xiàn)在兩個“過程”之中：

（1）建立一元二次方程概念的過程

教材在建立一元二次方程概念時，體現(xiàn)了“生活→數(shù)學”的過程：首先從學生生活中選取了兩個代數(shù)實例，引導學生通過思考、探索、交流等活動，得到兩個方程表達式.然后從幾何角度設計了“已知三條線段成比例，求兩條線段之比”的問題，教材采用間接設元的方法，通過設AB=1和AC=x，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，得到了方程表達式.教學時要引導學生體會這個問題中間接設元法的作用.最后讓學生觀察這三個方程的共同特征，抽象、概括出一元二次方程的定義，并且給出一元二次方程的通式ax2+bx+c=0.

（2）一元二次方程的應用過程

在探索得到一元二次方程的解法后，教材引導學生經(jīng)歷“數(shù)學→生活”的過程：在4.7“一元二次方程的應用”中，選取了4道應用題，讓學生經(jīng)歷建立一元二次方程模型解決實際問題的完整過程，再一次體會到“方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”[1]，提高了問題解決的能力，增強了學生的模型觀念和應用意識.

在后面練習、習題和綜合復習題中，又給出了近20道讓學生通過建立一元二次方程模型解決的實際問題，這些題目都有生活背景.在學生通過閱讀題意，找出等量關(guān)系，把實際問題抽象成一元二次方程模型后才能解決.這些實際問題都有助于培養(yǎng)學生的問題解決能力.

案例2 輪船會不會遇到臺風？（選自教材綜合練習）

一艘輪船以20海里/時的速度由西向東航行.途中接到臺風警報，臺風中心正以40海里/時的速度由南向北移動，距臺風中心2010海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬于臺風區(qū).測得臺風中心此時位于輪船正南方向100海里處，如果這艘輪船繼續(xù)航行，會不會遇到臺風？如果會，求輪船最初遇到臺風的時間;如果不會，請說明理由.

教學導引 本題比較抽象，為了降低學生思考的難度，我們分理解題意和建立、求解模型兩個層次引導學生開展探索活動：

1.在理解題意層次，我們用下面幾個小問題引導學生去分析、思考：

（1）如果設輪船最初遇到臺風的時間為th，此時，輪船由原來的位置向移動了海里.臺風由原來的位置向移動了海里.

（2）畫出此時（輪船初次遇到臺風）的臺風區(qū)示意圖. 圖3

學生在分析、思考上述之后，不難畫出輪船最初遇到臺風時的臺風區(qū)示意圖（圖3）.

2.在建立、求解模型層次，我們用下面幾個小問題引導學生進一步思考、探索：

（3）觀察圖3，把直角三角形模型的三條邊分別用相關(guān)的代數(shù)式子表示出來.

（4）利用勾股定理，你能得到關(guān)于t的方程嗎？

化簡整理得到t2-4t+3=0，解得t1=1或t2=3（不合題意舍去）.

設計意圖 本題是以輪船行駛過程中能否遇到“臺風”為背景，考查學生通過建立一元二次方程模型解決實際問題的能力.從學生解答的過程看，通過閱讀題意、分析題意，把輪船最初遇到臺風時的問題抽象成圖3所示的直觀簡易圖是“難點”.有了這個“直角三角形模型”，并正確確定出這個直角三角形的三邊，再利用勾股定理把“幾何模型”轉(zhuǎn)化為一元二次方程模型“t2-4t+3=0”是關(guān)鍵的一步.

本題有助于培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學運算能力、數(shù)學抽象能力、建立模型的能力等素養(yǎng)，對于發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識也具有積極的意義，還有助于學生加深對數(shù)形結(jié)合思想的認識.總之，本題是一道適宜提高學生綜合素養(yǎng)的好題目，教師在教學中要充分利用好這個題目.3 解讀數(shù)學思想方法

數(shù)學思想是數(shù)學素養(yǎng)的重要組成部分，已被《課標（2011年版）》作為學生必須掌握的“四基”之一.數(shù)學知識是顯性的知識，數(shù)學思想是“隱性”的知識，它以具體的知識為載體.我們在數(shù)學知識的教學中，不僅要讓學生掌握具體的數(shù)學知識，更重要的是要讓學生認識、理解、感悟到“隱含”在具體的知識之中的數(shù)學思想和方法，這對于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)至關(guān)重要.

為此，教師在研讀一章教材時，一定要把本章教材所隱含的數(shù)學思想“挖掘”出來，這樣才能在引導學生學習具體知識時，有意的去強化這些相應的數(shù)學思想和方法.

一元二次方程一章自始至終體現(xiàn)著“模型思想”，另外，本章還涉及到兩種主要數(shù)學思想.

3.1 轉(zhuǎn)化的思想

笛卡爾曾說過一句話：“一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，一切數(shù)學問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，而一切代數(shù)問題又都可以轉(zhuǎn)化為方程問題.因此，一旦解決了方程問題，一切問題將迎刃而解.”可見轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學思想.

在數(shù)學學習中處處用到轉(zhuǎn)化，本章中解一元二次方程的根本思路就是利用數(shù)學方法將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程：

配方法實質(zhì)上是把一元二次方程ax2+bx+c=0轉(zhuǎn)化為方程（x+m）2=n，然后利用平方根的意義得到x+m=±n，從而通過降次把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程;

公式法實質(zhì)上是把一元二次方程ax2+bx+c=0的求解問題轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式-b±b2-4ac2a的值;

因式分解法通過“降次”，把一元二次方程的求解問題轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程的問題.

前面案例2中，通過一系列的數(shù)學活動得到一元二次方程t2-4t+3=0后，該方程最簡單的解法是利用因式分解法，由t2-4t+3=0得到（t-1）（t-3）=0，從而轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程t-1=0或t-3=0.

3.2 分類討論的思想

當人們面臨的問題不能用統(tǒng)一的方法處理或不能用同一種形式表述時，常常把問題涉及的范圍按照一定的標準分為若干小的范圍，然后逐一進行討論，最后把各個小范圍研究的結(jié)論歸納匯總，得出原問題的答案.這種處理問題的過程就利用了分類討論的思想方法.

由一元二次方程根的判別式符號判別一元二次方程根的情況就體現(xiàn)了分類討論的思想，即

①當b2-4ac>0時，方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根;

②當b2-4ac=0時，方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根;

③當b2-4ac<0時，方程ax2+bx+c=0沒有實數(shù)根.

這種分類有助于學生體會一元二次方程解的情況是由b2-4ac的符號決定的，由此引出一元二次方程根的判別式的概念.4 結(jié)語

解讀教材是教師的一種基本能力，究竟怎樣解讀或者說讀出哪些內(nèi)容一直是年輕教師比較疑惑的問題.本文我們以“一元二次方程”為例論述了解讀一章教材應重點關(guān)注的三個方面，旨在幫助年輕教師更好的把握教材，作好教學設計，提高課堂教學效率，從而不斷提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

當然，對于不同領(lǐng)域的具體教材，解讀的側(cè)重點也不一樣，我們將繼續(xù)探討這個問題.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]李樹臣.引導學生在過程中感悟數(shù)學思想——兼談學生感悟方程思想的根本過程[J].中學數(shù)學雜志，2020（04）：1-5.

[3]秦治安.提高中學生數(shù)學解題能力的途徑[J].教育教學論壇，2013（32）：113-114.

作者簡介 李樹臣（1962—），男，山東沂南人，中學正高級教師;全國義務教育初中數(shù)學教材（青島版）核心作者，中國人民大學《復印報刊資料·初中數(shù)學教與學》編委，湖北大學《中學數(shù)學》特約編委，《山東教育》特約記者.郭煥（1989—），女 ，山東梁山人，中學一級教師.