引入啟發(fā)信息的粒子群算法在低碳TSP中的應(yīng)用*

申曉寧，潘紅麗，陳慶洲，游 璇，黃 遙

(1.南京信息工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,江蘇 南京 210044；2.江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,江蘇 南京 210044；3.江蘇省大數(shù)據(jù)分析技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210044)

1 引言

眾所周知，二氧化碳(CO2)是引起溫室效應(yīng)的主要因素，美國國家海洋和大氣局NOAA(National Oceanic and Atmospheric Administration)稱，在所有造成全球變暖的溫室氣體中，CO2占63%。根據(jù)國際能源署IEA(International Energy Agency)的數(shù)據(jù)，2019年全球碳排放量的增長約為330億噸。除了發(fā)電供熱，全球第二大二氧化碳排放量貢獻(xiàn)者便是交通運(yùn)輸，交通運(yùn)輸產(chǎn)生的二氧化碳占全球二氧化碳排放量的23%，而交通運(yùn)輸總碳排放量的主要來源是道路運(yùn)輸[1]。因此，對于車輛路徑的優(yōu)化不僅要考慮耗時(shí)最少和路徑最短，同時(shí)也要考慮低碳環(huán)保這一要素。

旅行商問題TSP(Traveling Salesman Problem)[2]可以被看作車輛路徑問題VRP(Vehicle Routing Problem)的特例，即單一車輛的VRP。TSP的應(yīng)用極其廣泛，VRP[3]、機(jī)器人路徑規(guī)劃[4]等工程問題都可以轉(zhuǎn)化成TSP進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[3]將TSP的解進(jìn)行拆分并將其轉(zhuǎn)化為VRP的解。文獻(xiàn)[5]使用啟發(fā)式算法求解VRP，為每輛車分配客戶點(diǎn)并通過求解TSP確定該車的最優(yōu)路徑。此外，TSP還可以作為并行機(jī)器調(diào)度問題中的一個(gè)排序子問題[6]。目前，關(guān)于TSP的研究大多將總的行駛距離最短作為優(yōu)化目標(biāo)。然而，隨著環(huán)境狀況每日愈下，污染物排放和燃料消耗所造成的環(huán)境治理成本越來越高，人們在交通運(yùn)輸領(lǐng)域也開始考慮“綠色物流”的踐行。國家在“十四五規(guī)劃綱要”中也提出了廣泛形成綠色生產(chǎn)生活方式的要求和碳排放總量持續(xù)減少，生態(tài)環(huán)境持續(xù)改善的目標(biāo)。為響應(yīng)這一號(hào)召，近年來，一些學(xué)者將TSP與環(huán)境問題相結(jié)合，以降低能源消耗，減少CO2排放，緩解溫室效應(yīng)為優(yōu)化目標(biāo)。Wang等[1]研究了能耗最小化的TSP，采用改進(jìn)的分支定界方法最小化車輛的載重與行駛距離的乘積，但該方法僅在小規(guī)模問題中能夠獲得最優(yōu)解。Kaabachi等[7]研究了一類帶時(shí)間窗的綠色TSP，將蟻群算法與局部搜索相結(jié)合，確定車輛速度從而將燃油消耗降至最低。文獻(xiàn)[8]建立了一個(gè)最小化碳排放量的TSP模型，考慮了載重對碳排放的影響，并采用改進(jìn)的蛙跳算法進(jìn)行求解。然而，上述方法都存在著群體多樣性喪失快、求解精度低和問題啟發(fā)信息利用少等缺點(diǎn)。為了改善這一現(xiàn)象，本文在低碳TSP現(xiàn)有工作的基礎(chǔ)上，建立符合實(shí)際的低碳旅行商問題LCTSP(Low-Carbon Traveling Salesman Problem)的數(shù)學(xué)模型，并考慮在群智能算法中設(shè)計(jì)一系列問題特征驅(qū)動(dòng)的改進(jìn)策略，以提高算法的多樣性和求解精度。

群智能優(yōu)化算法是能夠有效求解NP-hard問題[9]的一類算法，Kennedy等[10]于1995年提出的粒子群算法PSO(Particle Swarm Optimization)便是其中的典型代表。它通過初始化、適應(yīng)度評價(jià)、速度和位置更新等階段產(chǎn)生較優(yōu)后代，實(shí)現(xiàn)進(jìn)化迭代。與其余群智能算法相比，PSO還依靠粒子速度完成搜索，并且在迭代進(jìn)化中只有最優(yōu)粒子把信息傳遞給其他粒子，搜索速度更快。此外，PSO還具有記憶性、自我學(xué)習(xí)能力和社會(huì)學(xué)習(xí)能力，搜索精度也更高。大量學(xué)者對PSO算法的改進(jìn)及其應(yīng)用做了深入研究。Xia等[11]提出了一種三重檔案粒子群算法，該算法通過選擇合適的學(xué)習(xí)樣本建立粒子學(xué)習(xí)模型。文獻(xiàn)[12]提出一種自適應(yīng)多策略行為粒子群優(yōu)化算法，為群體中的每個(gè)粒子提供多種行為進(jìn)化策略。Marinakis等[13]采用包含3種自適應(yīng)策略的多自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法求解帶時(shí)間窗的車輛路徑問題。文獻(xiàn)[14]提出Beam-PSO優(yōu)化算法，解決了一類多行程車輛路徑問題。因此，本文選擇PSO算法作為所提模型的基本求解算法，結(jié)合問題的啟發(fā)信息，提出一種基于啟發(fā)信息的離散粒子群算法HDPSO(Heuristic Discrete Particle Swarm Optimization)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提算法具有更高的求解精度。

2 低碳旅行商問題

2.1 低碳旅行商問題的模型

與傳統(tǒng)TSP不同，LCTSP的優(yōu)化目標(biāo)是確定車輛在運(yùn)輸過程中碳排放量最小的路線。由于運(yùn)輸過程中載重量不斷變化，車輛行駛相同的距離，碳排放量可能是不同的。因此，LCTSP模型有著更強(qiáng)的實(shí)用性，更滿足 “節(jié)能減排”的理念。假設(shè)LCTSP共有n個(gè)節(jié)點(diǎn)(包括倉庫和客戶點(diǎn))，貨車在運(yùn)輸過程中以勻速運(yùn)動(dòng)且燃燒效率不變，建立LCTSP的數(shù)學(xué)模型如式(1)～式(6)所示：

(1)

(2)

s.t.Xij=1 or 0,i≠j

(3)

(4)

(5)

(6)

其中，式(1)表示LCTSP的目標(biāo)，即最小化一次運(yùn)貨過程中所有節(jié)點(diǎn)之間路徑段的碳排放量之和，第i、j個(gè)節(jié)點(diǎn)間路徑段的碳排放量為節(jié)點(diǎn)間的直接距離dij與對應(yīng)距離的碳排放量系數(shù)ε(Mij)的乘積；式(2)給出ε(Mij)與節(jié)點(diǎn)間的載重量Mij的函數(shù)關(guān)系[9]；式(3)～式(6)為模型的約束條件，其中式(3)～式(5)保證貨車能經(jīng)過所有節(jié)點(diǎn)且每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅經(jīng)過一次，Xij表示貨車是否選擇節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的路徑，Xij=1表示選擇，Xij=0表示未選擇；式(6)防止貨車超載，保證各客戶節(jié)點(diǎn)總的需求量不超過載重量，mi(i=2,3,…,n)表示除倉庫點(diǎn)之外每個(gè)節(jié)點(diǎn)的需求量，M1表示貨車從倉庫出發(fā)時(shí)的載重量，M0表示貨車的最大載重量限制。

2.2 模型有效性的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型的正確性和有效性，即LCTSP模型能夠在對車輛行駛距離影響較小的情況下大幅度減少碳排放量，本節(jié)分別實(shí)驗(yàn)了以最短行駛距離為目標(biāo)的經(jīng)典TSP和以最小碳排放為目標(biāo)的LCTSP。在公開數(shù)據(jù)集TSPLIB[15]中10個(gè)不同規(guī)模實(shí)例的基礎(chǔ)上，隨機(jī)生成載重和各客戶節(jié)點(diǎn)的需求量信息。2種模型的對比結(jié)果如表1所示(實(shí)例名稱中的數(shù)字表示TSP的規(guī)模)。其中，經(jīng)典TSP中的最短行駛距離在TSPLIB中是已知的，碳排放量則是將最短行駛距離對應(yīng)的最優(yōu)路徑代入2.1節(jié)LCTSP模型中的目標(biāo)(即式(1)和式(2))計(jì)算得出的；LCTSP中的碳排放量是采用本文3.1節(jié)提出的HDPSO算法求解LCTSP數(shù)學(xué)模型得出的最優(yōu)碳排放量值，再通過其對應(yīng)的最優(yōu)路徑求出行駛距離。表中還給出了與經(jīng)典TSP相比，LCTSP行駛距離或碳排放量的增加或減少百分比，“↑”表示增加，“↓”表示減少。

從表1中可以看出，與經(jīng)典TSP相比，雖然LCTSP模型在總的行駛距離上有所增加，但在10個(gè)實(shí)例中，有6個(gè)增加的百分比都小于1%，其余4個(gè)實(shí)例增加的百分比也均小于7%，這表示該模型對行駛距離的影響總體很小。在碳排放量方面，LCTSP模型相比經(jīng)典TSP減少的幅度很大。例如，在實(shí)例gr14和fri26上，它們的運(yùn)輸距離之差為0，但是碳排放量卻分別減少了17.65%和12.65%；在大規(guī)模實(shí)例pr152上，雖然運(yùn)輸距離增加了6.70%，但是碳排放量卻減少了11.21%。這些數(shù)據(jù)表明，LCTSP模型正確且有效，它以低碳作為性能指標(biāo)，能夠在保持車輛行駛距離較短的同時(shí)大幅度減少碳排放量，實(shí)現(xiàn)了“綠色運(yùn)輸”。

Table 1 Results comparison of classic TSP and LCTSP

3 求解LCTSP的HDPSO算法

針對所建LCTSP模型，本文提出一種基于啟發(fā)信息的離散粒子群算法HDPSO。本節(jié)給出HDPSO的算法框架，并詳細(xì)介紹采用的新型離散個(gè)體生成算子和改進(jìn)策略。

3.1 HDPSO算法框架

HDPSO算法求解LCTSP模型的框架如圖1所示。HDPSO主要由4個(gè)模塊組成:(1)初始化;(2)種群中新個(gè)體的生成;(3)個(gè)體極值和全局極值的更新;(4)個(gè)體極值和全局極值的局部搜索。具體實(shí)現(xiàn)步驟如算法1所示。

Figure 1 The framework of HDPSO to solve LCTSP 圖1 HDPSO求解LCTSP的框架圖

算法1基于啟發(fā)信息的離散粒子群算法

Input:N(種群規(guī)模)、n(城市規(guī)模)、Y(鄰域數(shù)量)、Pr(逆轉(zhuǎn)變異選擇概率)、α(優(yōu)先卸貨城市點(diǎn)比例)、K(相似度閾值)。

Output:Xg(最優(yōu)個(gè)體)。

01:隨機(jī)生成N個(gè)體Xi(i=1,2,…,N) ，計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度fitness(Xi);

02:確定種群的全局極值Xg和每個(gè)個(gè)體的個(gè)體極值Xip;

03:Whiletermination criterion not fulfilleddo

04:fori=1 toNdo

05:Xi←m_Mutate(Xi,Pr);/*個(gè)體多元變異(交換、逆轉(zhuǎn)、插入)*/

06:Xinew←Greedy_Crossover(Xi,Xip);/*個(gè)體與個(gè)體極值貪婪交叉生成新個(gè)體Xinew*/

07:iffitness(Xinew) ≤fitness(Xi)

08:Xi=Xinew;

09:Xinew←Greedy_Crossover(Xi,Xg);/*個(gè)體與全局極值貪婪交叉生成新個(gè)體Xinew*/

10:iffitness(Xinew)≤fitness(Xi)

11:Xi=Xinew;

12:iffitness(Xi)≤fitness(Xip)

13:Xip=Xi;//更新個(gè)體極值

14:iffitness(Xi)≤fitness(Xg)

15:Xg=Xi;//更新全局極值

16:Xip←p_unload(Xip,α);/*基于優(yōu)先卸貨啟發(fā)信息對個(gè)體極值進(jìn)行局部搜索*/

17:Xip(round(α*n)+1:n) ←Reversion(Xip(round(α*n)+1:n));/*未卸貨的剩余位進(jìn)行逆轉(zhuǎn)變異*/

18:endfor

19:Xg←Gbest_Search(X,Xg,Y,K,N);/*基于種群相似度對全局極值進(jìn)行精細(xì)化搜索,X表示個(gè)體集合*/

20:endwhile

21:OutputXg

3.2 新型離散個(gè)體生成算子

標(biāo)準(zhǔn)PSO算法是針對連續(xù)優(yōu)化問題設(shè)計(jì)的，粒子的速度和位置更新如式(7)和式(8)所示：

(7)

(8)

3.2.1 保持“慣性”的個(gè)體多元變異策略

個(gè)體多元變異策略實(shí)現(xiàn)方法的偽代碼如下所示：

m_Mutate(X,Pr)

Input:逆轉(zhuǎn)變異的概率Pr、個(gè)體X。

Output:變異后的新個(gè)體Xnew。

01:Ps=Pi=(1-Pr)/2;

02:index←Roulette(Ps,Pr,Pi);/*基于輪盤賭選擇變異方式的序號(hào)*/

03:ifindex==1

04:Xnew←Swap(X)；//交換變異

05:elseifindex==2

06:Xnew←Reversion(X)；//逆轉(zhuǎn)變異

07:elseifindex==3

08:Xnew←Insertion(X)；//插入變異

09：OutputXnew

首先，根據(jù)輸入的逆轉(zhuǎn)變異概率Pr計(jì)算交換變異和插入變異的概率Ps和Pi(第1行);接著，基于輪盤賭選擇變異方式的序號(hào)(第2行);若為方式1，則對個(gè)體進(jìn)行交換變異(第3～4行);若為方式2，則對個(gè)體進(jìn)行逆轉(zhuǎn)變異(第5～6行);若為方式3，則對個(gè)體進(jìn)行插入變異(第7～8行)。最后輸出變異后的新個(gè)體。

3.2.2 跟蹤極值的貪婪交叉算子

為了引導(dǎo)個(gè)體朝著最優(yōu)解的方向移動(dòng)，本文根據(jù)LCTSP的特征設(shè)計(jì)了一種跟蹤極值的貪婪交叉算子。首先，交叉是兩個(gè)離散個(gè)體之間的信息交互，因此它可以用于個(gè)體與個(gè)體極值以及個(gè)體與全局極值之間的信息交流。其次，將載重與距離信息同時(shí)引入算子中，保證個(gè)體的“貪婪性”,即個(gè)體順序訪問的城市都是碳排放量相對較少的城市，該算子的設(shè)計(jì)不僅使得PSO適用于求解LCTSP這類離散問題，同時(shí)也提升了算法的收斂速度。

貪婪交叉的實(shí)現(xiàn)偽代碼如下所示：

Greedy _Crossover (Xpbest,X)

Input:個(gè)體極值Xpbest、個(gè)體X。

Output:新個(gè)體Xnew。

01:Xnew←0;

02:選擇倉庫點(diǎn)作為起始城市S;

03:將S加入Xnew并從Xpbest和X中刪除S;

04:從Xpbest和X中選擇城市S的左右相鄰城市作為候選城市{SLp,SRp,SLX,SRX};

05:從 {SLp,SRp,SLX,SRX}選擇城市S′，使得S′和S之間的路徑碳排放量最小；

06:將S′加入Xnew并從Xpbest和X中刪除S′;

07:whileXis not emptydo

08:ifS′∈{SLp,SLX}

09: 將S′設(shè)為下一個(gè)出發(fā)城市S;

10: 在S的左候選城市{SLp,SLX}中選擇新的S′作為下一個(gè)訪問的城市，使得S′與S之間的路徑碳排放量最小;

11:else

12: 將S′設(shè)為下一個(gè)出發(fā)城市S;

13: 從S的右候選城市{SRp,SRX}中選擇新的S′作為下一個(gè)訪問的城市，使得S′與S之間的路徑碳排放量最小;

14:endif;

15: 將 S′加入Xnew并從Xpbest和X中刪除S;

16:endwhile

17:OutputXnew

該算子以個(gè)體與個(gè)體極值進(jìn)行交互為例，個(gè)體與全局極值的交互同理。

首先以倉庫點(diǎn)作為新個(gè)體的出發(fā)城市S(第2～3行)。從城市S的左右相鄰城市{SLp,SRp,SLX,SRX}中選擇城市S′,使得城市S′與城市S構(gòu)成碳排放量最少的路徑段(第4～6行)。第8行區(qū)分了兩種情況:一是下一個(gè)訪問的城市S′屬于城市S的左側(cè)相鄰城市集合，此時(shí)由于從個(gè)體極值Xpbest和個(gè)體X中刪除了S，城市S′右側(cè)相鄰城市為空，將S′設(shè)為下一個(gè)出發(fā)城市S，從S的左候選城市{SLp,SLX}中選擇新的S′作為下一個(gè)訪問的城市(第8～10行);二是S′是從城市S的右側(cè)相鄰城市集合中選擇的，此時(shí)，城市S′左側(cè)城市為空，將S′設(shè)為下一個(gè)出發(fā)城市S，從S的右候選城市相鄰城市集合{SRp,SRX}中選擇新的S′作為下一個(gè)訪問的城市(第11～13行)。為了避免重復(fù)訪問某些城市，只從當(dāng)前未選擇城市中選擇下一個(gè)訪問的城市。第8～14行重復(fù)執(zhí)行，直到訪問了所有城市并生成了新的個(gè)體。

3.3 考慮優(yōu)先卸貨的個(gè)體極值局部搜索策略

由式(7)可知，個(gè)體極值和全局極值是參與信息交互的主要信息源，隨著迭代的進(jìn)行，種群越來越相似，跳出局部最優(yōu)解的能力也越來越弱，最終將導(dǎo)致算法搜索停滯，而局部搜索是一種跳出局部最優(yōu)的有效方法?；谏鲜龇治霾⒔Y(jié)合問題的啟發(fā)信息，本文提出考慮優(yōu)先卸貨的個(gè)體極值局部搜索PU_PLS(Priority-Unloading Personal best Local Search)策略。從個(gè)體極值的前α*n位中依次貪婪選取相距最近的城市，避免在行駛初期因?yàn)檩d重過大造成大量的CO2排放。此外，對個(gè)體極值中剩下的(1-α)*n位進(jìn)行逆轉(zhuǎn)變異，以增加搜索的多樣性，有效地避免種群陷入局部最優(yōu)。

PU_PLS的實(shí)現(xiàn)方法如圖2所示。假設(shè)①點(diǎn)為車輛的出發(fā)點(diǎn)。首先，從①點(diǎn)出發(fā)，依次選擇距離前一點(diǎn)最近的城市優(yōu)先卸貨，直至確定好前α*n個(gè)節(jié)點(diǎn)，并用它們替代原個(gè)體極值的前α*n位。接著，確定當(dāng)前個(gè)體極值回路中的缺少城市和重復(fù)城市，并用缺少城市依次替代重復(fù)城市。最后，為了防止算法過度貪婪，在剩下的(1-α)*n位中隨機(jī)產(chǎn)生2個(gè)變異點(diǎn)，并在這兩點(diǎn)之間進(jìn)行逆轉(zhuǎn)變異，產(chǎn)生新的個(gè)體極值。

Figure 2 Schematic diagram of personal best local search operation considering priority unloading圖2 考慮優(yōu)先卸貨的個(gè)體極值局部搜索過程示意圖

3.4 考慮同化程度的全局極值精細(xì)化搜索策略

在粒子群優(yōu)化算法中，每一個(gè)新個(gè)體的生成都需要與全局極值進(jìn)行信息交互，因此，全局極值的優(yōu)劣很大程度上決定了個(gè)體的搜索質(zhì)量，也主導(dǎo)了種群的走向。針對這一現(xiàn)象，本文提出考慮同化程度的全局極值精細(xì)化搜索ASS_GRS(ASSimilation Global best Refined Search)策略,采用2-Opt算子對全局極值進(jìn)行局部搜索，判斷種群與全局極值的相似程度，當(dāng)種群的相似度高于閾值時(shí)，表示該種群已被同化，此時(shí)選擇點(diǎn)插法對個(gè)體極值進(jìn)一步挖掘，以改變個(gè)體交互的信息源。該策略根據(jù)種群相似度及時(shí)調(diào)整信息交互源，不僅提高了搜索精度，也降低了種群的同化速度。

ASS_GS的實(shí)現(xiàn)偽代碼如下所示:

Gbest_Search(X,Xgbest,Y,K,N)

Input:個(gè)體X，全局極值Xgbest，鄰域解數(shù)量Y,相似度閾值K，種群規(guī)模N。

Output:全局極值Xgbest。

01:Xgbest←2_opt(Xgbest,Y);/*利用2-Opt對全局極值進(jìn)行優(yōu)化*/

02:forq=1 toNdo

03：smq←similar(Xq,Xgbest);/*計(jì)算群體中的個(gè)體與全局極值之間的相似度*/

04:ifminq(smq)>K

05:Xgbest←Dot_Insertion(Xgbest);/*點(diǎn)插法優(yōu)化全局極值*/

06:OutputXgbest

首先，將2-Opt算子[17]作用在全局極值上(第1行)。接著判斷種群中每個(gè)個(gè)體與全局極值的相似度。假設(shè)種群中第q個(gè)個(gè)體與全局極值的相似度為smq，將其定義為第q個(gè)個(gè)體和全局極值取值相同的位數(shù)與總位數(shù)之比，如式(9)所示：

q=1,2,…,N；i=1,2,…,n

(9)

Figure 3 Diagram of point-interpolation圖3 點(diǎn)插法過程示意圖

3.5 復(fù)雜度分析

對HDPSO算法的時(shí)間復(fù)雜度分析如下：初始種群個(gè)體極值和全局極值的確定為O(Nn)，新個(gè)體生成為O(Nn)，個(gè)體極值和全局極值的更新為O(N)，考慮優(yōu)先卸貨的個(gè)體極值局部搜索為O(Nn)，考慮同化程度的全局極值精細(xì)化搜索為O(Nn)。綜上,HDPSO算法總的時(shí)間復(fù)雜度為上述結(jié)果中的最大值O(Nn)。對HDPSO算法的空間復(fù)雜度分析如下：種群初始化時(shí)產(chǎn)生N個(gè)n維的個(gè)體,其空間復(fù)雜度為O(Nn)，因?yàn)樗惴ㄖ袀€(gè)體更新都在原有個(gè)體上替換，不需要占用新的運(yùn)算空間，所以算法的空間復(fù)雜度為O(Nn)。相較于基本PSO算法的時(shí)間復(fù)雜度O(Nn)和空間復(fù)雜度O(Nn)，本文所提HDPSO算法的計(jì)算復(fù)雜度未增加。

4 實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證所提HDPSO算法和改進(jìn)策略的有效性，本節(jié)采用Matlab R2017b軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，計(jì)算機(jī)處理器參數(shù)為Intel(R) Core(TM) i5-5500U CPU@ 2.40 GHz，8 GB運(yùn)行內(nèi)存。設(shè)計(jì)3組實(shí)驗(yàn)：(1)針對所提策略中引入的新參數(shù)，選取不同的數(shù)值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比，確定最優(yōu)的參數(shù)取值；(2)改進(jìn)策略的有效性驗(yàn)證；(3)將所提HDPSO算法與文獻(xiàn)中6種代表性算法進(jìn)行對比，以驗(yàn)證所提算法的性能。本節(jié)所有實(shí)驗(yàn)采用與2.2節(jié)相同的10個(gè)LCTSP實(shí)例。

4.1 參數(shù)分析

HDPSO算法中的粒子群規(guī)模N和鄰域解數(shù)量Y分別是標(biāo)準(zhǔn)PSO和2-Opt算子中的常用參數(shù)。本文實(shí)驗(yàn)取文獻(xiàn)中的常用值N=200,Y=10[17,19]。而逆轉(zhuǎn)變異選擇概率Pr、優(yōu)先卸貨城市點(diǎn)比例α和相似度閾值K為新引入的參數(shù)，需要對這3個(gè)參數(shù)進(jìn)行取值分析。由于它們的取值均在[0,1]，因此以0.1為間隔在[0,1]上選取不同的參數(shù)值，對HDPSO算法的求解精度進(jìn)行對比。在依次分析每個(gè)新引入?yún)?shù)時(shí)，固定粒子群算法自身參數(shù)(例如粒子群規(guī)模等)的取值不變。為減少隨機(jī)性影響，算法在每一參數(shù)取值下分別運(yùn)行30次。以規(guī)模為51的測試實(shí)例eil51為例，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。其中，Best表示30次運(yùn)行搜索到的最佳碳排放量，Avg表示30次運(yùn)行求得的平均碳排放量,Best和Avg的最佳值均加粗表示。

由表2可知，對于逆轉(zhuǎn)變異選擇概率Pr，當(dāng)Pr等于0或1時(shí)，HDPSO的求解結(jié)果最差;當(dāng)Pr=0時(shí)，表明此時(shí)算法中不存在逆轉(zhuǎn)變異，而逆轉(zhuǎn)變異是相對其他2種變異方式更加具有問題特征啟發(fā)性的變異方式;當(dāng)Pr=1時(shí)，表明此時(shí)算法中只存在逆轉(zhuǎn)變異，而無其他2種變異方式，從而縮小了個(gè)體的搜索范圍，導(dǎo)致種群多樣性的流失;當(dāng)Pr∈[0.4,0.8]時(shí),最優(yōu)解Best的值是相同的，均值A(chǔ)vg在Pr=0.6時(shí)最小，此時(shí)算法更加穩(wěn)定。對于優(yōu)先卸貨城市點(diǎn)比例α，當(dāng)α=0時(shí)，算法未采用考慮優(yōu)先卸貨的個(gè)體極值局部搜索策略，求解精度較差；當(dāng)α=1時(shí)，由于過度貪婪，種群極易陷入局部最優(yōu)?？紤]卸貨具有依次選取最近城市這一規(guī)則，α越高，則種群中的個(gè)體越相似?；谏鲜龇治?，α應(yīng)取大于0的較小值，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果上也得到了：當(dāng)α∈[0.2,0.4]時(shí)，HDPSO搜索到的最優(yōu)解Best最好，且在α=0.2時(shí)均值A(chǔ)vg最小。對于相似度閾值K，極端的取值會(huì)使算法的求解能力變得很差:當(dāng)K=0時(shí)，表示每一次迭代都需要對全局極值進(jìn)行點(diǎn)插法優(yōu)化，增加了種群的同化概率；當(dāng)K=1時(shí)，表示種群的相似度一直不會(huì)滿足閾值條件，此時(shí)，考查群體同化程度的機(jī)制和點(diǎn)插法策略均將失效。由表2可知，當(dāng)K∈[0.6,0.8]時(shí)，HDPSO求得的Best最好，且在K=0.6時(shí)的均值A(chǔ)vg最小。綜上，對所提算法HDPSO引入的3個(gè)新參數(shù)的最佳取值如下：Pr=0.6,α=0.2,K=0.6。后文實(shí)驗(yàn)均采用這組參數(shù)值，以最大目標(biāo)評價(jià)次數(shù)MAXFE為100 000作為算法的終止條件。

Table 2 Results comparison with different parameters on the eil51 example

4.2 改進(jìn)策略的有效性驗(yàn)證

4.2.1 新型離散個(gè)體生成算子的有效性驗(yàn)證

為檢驗(yàn)3.2節(jié)設(shè)計(jì)的新型離散個(gè)體生成算子NDO的有效性，將HDPSO算法中的算子NDO分別替換為現(xiàn)有文獻(xiàn)中基于隨機(jī)交換序列的個(gè)體生成算子RES(Random Exchange Sequence)[20]和基于部分映射交叉的個(gè)體生成算子PMX(Partially Mapped cross)[21]，將由此得到的2種算法與HDPSO進(jìn)行對比。每種算法仍是獨(dú)立運(yùn)行30次。表3統(tǒng)計(jì)了3種算法在10個(gè)規(guī)模不同實(shí)例上的最優(yōu)值(Best)和平均值(Avg)。為顯著對比3種算子的優(yōu)劣，本文引入顯著水平為0.05的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)對30次實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)測試，其中，“+”表示NDO顯著優(yōu)于對比算子，“=”表示兩者無明顯差異，“-”表示NDO顯著劣于對比算子。

表3選擇了10個(gè)規(guī)模遞增的LCTSP實(shí)例測試3種算子的有效性。可以看出，隨著問題規(guī)模的增大，RES和PMX的尋優(yōu)能力明顯不能滿足求解精度的需要，搜索到的路徑解具有較大的碳排放量，但NDO仍具有較好的表現(xiàn)：與RES和PMX相比，NDO分別在9個(gè)(除小規(guī)模實(shí)例gr24以外)和8個(gè)實(shí)例(除小規(guī)模實(shí)例gr24和fri26以外)上獲得了更優(yōu)的最優(yōu)值Best，在全部10個(gè)實(shí)例上取得了最佳的平均值A(chǔ)vg。同時(shí)，統(tǒng)計(jì)測試結(jié)果顯示，在所有實(shí)例上，NDO均顯著優(yōu)于RES和PMX。原因主要在于NDO將低碳旅行商問題的啟發(fā)信息與PSO算法的結(jié)構(gòu)相融合，使個(gè)體多元變異保留了標(biāo)準(zhǔn)PSO中的“慣性”，同時(shí)貪婪交叉實(shí)現(xiàn)了個(gè)體與個(gè)體極值和全局極值之間信息的交互。個(gè)體多元變異有利于維護(hù)群體的多樣性，而利用貪婪思想盡可能提取個(gè)體、個(gè)體極值和全局極值中的有效信息，保證了算法的求解精度和收斂速度。但是，貪婪思想易導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)，出現(xiàn)早熟收斂，因此也需要配合其他一些改進(jìn)策略進(jìn)一步提升算法性能。

Table 3 Statistics of solving results of three discrete individual generating operators

4.2.2 2種改進(jìn)策略的有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證2.3節(jié)考慮優(yōu)先卸貨的個(gè)體極值局部搜索策略PU_PLS和3.4節(jié)考慮同化程度的全局極值精細(xì)化搜索策略ASS_GS的有效性，在HDPSO算法中分別刪除其中一種策略，產(chǎn)生2種只有單一策略的算法(HDPSO-PU_PLS和HDPSO-ASS_GS)。將它們與HDPSO進(jìn)行對比，以分析每種改進(jìn)策略對HDPSO性能的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示。

由表4可知，綜合運(yùn)用了2種改進(jìn)策略的HDPSO算法在求解精度上有了大幅度提升。HDPSO-PU_PLS和HDPSO-ASS_GS分別在前3個(gè)和前5個(gè)中小規(guī)模實(shí)例上與HDPSO算法的最優(yōu)值Best一致，在剩余的中大規(guī)模實(shí)例上搜索到的Best值均劣于HDPSO算法。對于平均值A(chǔ)vg，刪除單一策略后的2種算法在所有10個(gè)實(shí)例上均劣于HDPSO算法。同時(shí)，統(tǒng)計(jì)測試結(jié)果表明，在絕大多數(shù)實(shí)例上，HDPSO算法刪除單一策略后會(huì)導(dǎo)致求解性能顯著變差。究其原因，首先，策略PU_PLS引入了LCTSP問題的啟發(fā)信息對個(gè)體極值進(jìn)行局部搜索，這有利于增強(qiáng)算法對解空間的探索能力;其次，策略ASS_GS考慮種群相似度，對全局極值進(jìn)行精細(xì)化搜索，保證了信息交互的質(zhì)量，提升了個(gè)體的求解精度；最后，基于種群相似度及時(shí)調(diào)整交互信息源的思想也有助于降低種群同化速度?？傊鲜鰧?shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提改進(jìn)策略存在的必要性和有效性。

Table 4 Results comparison between HDPSO algorithms and algorithms those single strategy

4.3 HDPSO算法的性能驗(yàn)證

為驗(yàn)證HDPSO算法在求解LCTSP時(shí)的性能，將HDPSO算法與現(xiàn)有算法進(jìn)行對比。由于目前文獻(xiàn)中幾乎沒有直接求解LCTSP的算法，因此，實(shí)驗(yàn)復(fù)現(xiàn)了6種具有代表性的求解TSP的算法，將它們分別應(yīng)用于本文建立的LCTSP模型，并與HDPSO算法進(jìn)行對比。

4.3.1 與經(jīng)典算法的對比

選取3種經(jīng)典搜索算法(模擬退火SA(Simulated Annealing)法[22]、禁忌搜索TS(Tabu Search)算法[23]和遺傳GA(Genetic Algorithm)算法[24]與HDPSO算法進(jìn)行對比。算法的參數(shù)設(shè)置如表5所示，每種算法運(yùn)行30次，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表6所示。

Table 5 Parameters setting of SA,TS and GA

由表6可見，在小規(guī)模實(shí)例gr24，fri26和bays29上，SA,TS,GA和HDPSO的最優(yōu)值Best一致;在其余7個(gè)實(shí)例上，HDPSO能獲得更優(yōu)的Best。對于所有實(shí)例,HDPSO的平均值A(chǔ)vg都優(yōu)于SA和TS的，僅在gr24上的平均值與GA的相同。通過顯著水平為0.05的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，HDPSO在所有實(shí)例上的求解結(jié)果均顯著優(yōu)于SA和TS的；與GA相比，HDPSO僅在小規(guī)模實(shí)例pr24和fri26上的結(jié)果與GA的無顯著差異，而在其它所有實(shí)例上均顯著更優(yōu)。綜上，相較于SA,TS和GA，HDPSO表現(xiàn)出了更高的求解精度。

Table 6 Experimental results comparison of HDPSO,SA,TS and GA

4.3.2 與新型代表性算法的對比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提算法的性能，從近期文獻(xiàn)中選擇了基于粒子群算法+蟻群算法+3-Opt算法的混合算法PSO+ACO+3-Opt[19]、蜘蛛猴DSMO(Discrete Spider MOnkey)算法[2]和改進(jìn)遺傳算法IGA(Improved Genetic Algorithm)[25]與HDPSO算法進(jìn)行對比。算法的參數(shù)設(shè)置如表7所示，每種算法運(yùn)行30次，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表8所示。

Table 7 Parameters setting of comparative algorithms

由表8可見，與其它3種新型算法相比，本文HDPSO算法在絕大多數(shù)實(shí)例(尤其是中大規(guī)模實(shí)例)上取得了最佳的最優(yōu)值Best和平均值A(chǔ)vg。顯著水平為0.05的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果表明，HDPSO分別在9個(gè)、10個(gè)和7個(gè)實(shí)例上顯著優(yōu)于PSO+ACO+3-Opt,DSMO和IGA，而僅在實(shí)例att48上顯著劣于IGA。

Table 8 Results comparison between HDPSO and algorithms from recent literatures

上述各組實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文HDPSO算法對于不同規(guī)模的LCTSP的綜合性能優(yōu)于各類對比算法。主要原因有：HDPSO算法融入了問題特定的啟發(fā)信息，使得個(gè)體向最優(yōu)解的移動(dòng)更有針對性;新型離散個(gè)體生成算子提升了算法的求解精度，加快了算法的收斂速度;考慮優(yōu)先卸貨的個(gè)體極值局部搜索策略對個(gè)體極值進(jìn)行局部搜索，在防止算法早熟收斂的同時(shí)增強(qiáng)了對解空間的探索能力；全局極值精細(xì)化搜索策略基于種群相似度及時(shí)調(diào)整信息交互源，降低了種群同化速度，保證了信息交互的質(zhì)量。綜上，本文HDPSO算法的求解精度高且穩(wěn)定性好。

5 結(jié)束語

針對當(dāng)前碳排放污染日益嚴(yán)峻的社會(huì)現(xiàn)象，本文研究了低碳旅行商問題LCTSP。所做工作和結(jié)論如下：(1)建立LCTSP的數(shù)學(xué)模型，并驗(yàn)證了模型的有效性。(2)針對LCTSP的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種新型離散個(gè)體生成算子，對個(gè)體自身采用多元變異策略，保持個(gè)體的“慣性”，同時(shí)采用貪婪交叉策略實(shí)現(xiàn)個(gè)體與個(gè)體極值和全局極值之間信息的交互。同時(shí)，為了解決由于個(gè)體生成的貪婪性導(dǎo)致的種群早熟收斂問題，提出考慮優(yōu)先卸貨的個(gè)體極值局部搜索策略和考慮種群同化程度的全局極值精細(xì)化搜索策略。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提2種策略與個(gè)體生成算子的結(jié)合極大地提升了算法的求解精度，刪除任意一種策略都會(huì)顯著降低HDPSO的性能。(3)將本文算法與文獻(xiàn)中6種具有代表性的算法進(jìn)行對比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，HDPSO算法在求解精度和穩(wěn)定性方面優(yōu)于所有對比算法，能在絕大多數(shù)不同規(guī)模的問題中搜索到碳排放量最小的全局最優(yōu)路徑。