基于狀態(tài)觀測器的四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制

熊志豪， 鄧 濤， 鄭宇惟， 周 鑫， 吳玉澤

(1.重慶交通大學(xué)，a.機(jī)電與車輛工程學(xué)院； b.航空學(xué)院，重慶 400000； c.綠色航空技術(shù)研究院，重慶 401000；2.綠色航空能源動力重慶市重點實驗室，重慶 401000)

0 引言

近年來，隨著微處理器、傳感器等電子元件的小型化以及生產(chǎn)成本的不斷降低，小型無人機(jī)的發(fā)展得到了越來越多的關(guān)注和研究。其中，四旋翼無人機(jī)憑借結(jié)構(gòu)簡單、可懸停以及機(jī)動性強(qiáng)等優(yōu)勢在環(huán)境監(jiān)測、基礎(chǔ)設(shè)施監(jiān)管、軍事偵察、航空攝影、農(nóng)業(yè)植保等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。

為保證四旋翼無人機(jī)按計劃完成指定任務(wù)，需要對其進(jìn)行高精度的軌跡跟蹤控制。然而，四旋翼無人機(jī)具有非線性、欠驅(qū)動、強(qiáng)耦合、多變量等特性，并且容易受到地面效應(yīng)、陣風(fēng)等外界干擾的影響，使得高品質(zhì)飛行控制器的設(shè)計與實現(xiàn)面臨較大的挑戰(zhàn)。針對四旋翼無人機(jī)的飛行控制問題，已有許多學(xué)者使用不同的控制方法進(jìn)行了大量的研究，如線性二次調(diào)節(jié)器[2]、反步控制[3]、模型預(yù)測控制[4]、自適應(yīng)控制[5]、滑?？刂芠6]等。盡管以上方法能在一定程度上改善四旋翼無人機(jī)的飛行性能，但仍然存在對系統(tǒng)模型的精度要求高、對系統(tǒng)未建模動態(tài)的適應(yīng)性不強(qiáng)、工程實踐性較差或者在仿真時未考慮電機(jī)的動態(tài)特性、對四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)角進(jìn)行了小擾動假設(shè)等問題。

對此，本文提出一種基于狀態(tài)觀測器的全局快速終端滑模控制算法應(yīng)用于四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤控制。其中，全局快速終端滑?？刂埔肓藥в蟹蔷€性函數(shù)的終端滑模面，使得系統(tǒng)的跟蹤誤差能夠在有限時間內(nèi)收斂，并且其控制律中不含有不連續(xù)的切換項，從而能夠避免抖振現(xiàn)象的發(fā)生；擴(kuò)張狀態(tài)觀測器可以實時觀測系統(tǒng)的“總擾動”并在線補(bǔ)償，以觀測器的估計值來替代控制律中的系統(tǒng)模型信息以及傳感器的線速度和角速度信號，可以有效地增強(qiáng)控制器對四旋翼無人機(jī)模型不確定性以及外部干擾的魯棒性能。最后，本文通過對系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析以及數(shù)值仿真結(jié)果驗證了所提控制算法的有效性。

1 四旋翼無人機(jī)模型建立

本文選取的研究對象為“X”型結(jié)構(gòu)的四旋翼無人機(jī)，即機(jī)頭與機(jī)架之間的夾角為45°。為了描述四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)和位置，需要建立與地球中心固連的地球坐標(biāo)系(oexeyeze)和與四旋翼無人機(jī)固連的機(jī)體坐標(biāo)系(obxbybzb)，如圖1所示。

圖1 四旋翼無人機(jī)的結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)系

假設(shè)1 四旋翼無人機(jī)是均勻?qū)ΨQ的剛體。

假設(shè)2 四旋翼無人機(jī)的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量為常量。

假設(shè)3 四旋翼無人機(jī)的幾何中心即其重心。

1.1 動力學(xué)及運(yùn)動學(xué)模型

(1)

1.2 控制效率模型

控制效率模型描述的是四旋翼無人機(jī)在螺旋槳轉(zhuǎn)速輸入下產(chǎn)生的拉力和力矩。對于“X”型結(jié)構(gòu)的四旋翼無人機(jī)，螺旋槳旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的總拉力f和總力矩τ與螺旋槳轉(zhuǎn)速的關(guān)系可表示為

(2)

式中：cT為螺旋槳拉力系數(shù)；CM為螺旋槳扭矩系數(shù)。

1.3 電機(jī)模型

一般情況下，四旋翼無人機(jī)所使用的無刷直流電機(jī)的動態(tài)響應(yīng)過程可以簡化為一階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可表示為

(3)

2 控制器設(shè)計

本文采用的控制策略是由位置控制器和姿態(tài)控制器串聯(lián)而成的兩級串級控制器結(jié)構(gòu)，外環(huán)為位置控制器，內(nèi)環(huán)為姿態(tài)控制器。其中，外環(huán)位置控制器的輸入為期望軌跡Pd=[xdydzd]T，輸出為期望拉力fd以及期望的滾轉(zhuǎn)角φd和俯仰角θd；內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制器的輸入為φd,θd以及期望的偏航角ψd，輸出為期望的力矩τd=[τxdτydτzd]T。接下來基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器以及全局快速終端滑?？刂扑惴▽λ男頍o人機(jī)的軌跡跟蹤控制器進(jìn)行設(shè)計，控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 四旋翼無人機(jī)串級控制結(jié)構(gòu)

2.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計

以滾轉(zhuǎn)角通道為例設(shè)計擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，其余通道的設(shè)計方法類似。假設(shè)四旋翼無人機(jī)的俯仰角和滾轉(zhuǎn)角都很小，根據(jù)式(1)，滾轉(zhuǎn)角φ的微分方程可表示為

(4)

(5)

利用式(5)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，可設(shè)計三階線性ESO在線估計系統(tǒng)狀態(tài)變量[8]，即

(6)

(7)

式中，ωo為觀測器帶寬。

2.2 位置控制器設(shè)計

位置控制可分為高度控制通道和水平控制通道兩個通道。位置系統(tǒng)狀態(tài)方程可表示為

(8)

(9)

以水平通道x為例，定義水平位置跟蹤誤差

ex=xd-x

(10)

設(shè)計全局快速終端滑動模態(tài)為[10]

(11)

式中：α0,β0∈R+；p0>q0>0，且都為奇數(shù)?；贓SO的滑?？刂坡蔀?/p>

(12)

同理可得水平通道y以及高度通道z的虛擬控制律為

(13)

(14)

(15)

由式(9)可以反解出期望的總拉力fd、期望的滾轉(zhuǎn)角φd以及期望的俯仰角θd分別為

(16)

(17)

(18)

2.3 姿態(tài)控制器設(shè)計

姿態(tài)控制通道的控制信號指令來源于位置控制器輸出的期望滾轉(zhuǎn)角φd和期望俯仰角θd，以及期望偏航角ψd。根據(jù)式(12)可得姿態(tài)控制通道的控制律為

(19)

(20)

3 穩(wěn)定性分析

本章以姿態(tài)控制器中滾轉(zhuǎn)角φ的控制回路為例對閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，其余通道的穩(wěn)定性分析過程與其類似。首先應(yīng)保證滾轉(zhuǎn)角控制回路中擴(kuò)張狀態(tài)觀測器觀測系統(tǒng)狀態(tài)的速度足夠快，之后再根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)來證明滾轉(zhuǎn)角控制回路的穩(wěn)定性。

定理1存在足夠大的觀測器帶寬ωo，使得對式(4)被控對象所構(gòu)建的式(6)線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的觀測誤差是漸近收斂的。

定理2由式(4)被控對象、式(6)ESO以及式(19)控制器組成的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

證明 取閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

V=Vs+Vo

(21)

式中，Vs，Vo分別表示滾轉(zhuǎn)角控制器和觀測器的Lyapunov函數(shù)。選取控制器的Lyapunov函數(shù)為

(22)

根據(jù)式(11)全局快速終端滑動模態(tài)可得

(23)

將滾轉(zhuǎn)角微分方程式(4)以及式(19)滾轉(zhuǎn)角通道的控制律代入可得

(24)

(25)

(26)

則有

(27)

(28)

式中，α為任意常數(shù)。

(29)

取φ>1/2，則有

(30)

由式(30)可知，系統(tǒng)跟蹤誤差有界，且隨著φ取值的增大而減小。

4 仿真分析

為驗證本文提出的控制策略在四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制中的有效性，在Matlab/Simulink環(huán)境下對四旋翼無人機(jī)進(jìn)行了數(shù)值仿真實驗，四旋翼無人機(jī)的模型參數(shù)如表1所示[12]。

表1 四旋翼無人機(jī)模型參數(shù)

為了對比驗證本文提出的控制算法在四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制中的抗外部干擾性能，分別使用串級PID控制算法、串級滑?？刂?SMC)算法以及本文提出的基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的串級全局快速終端滑?？刂?以下稱TSMC-ESO)算法的控制結(jié)果進(jìn)行對比。表2所示為TSMC-ESO控制算法的控制參數(shù)。

表2 控制器參數(shù)

仿真實驗中要求四旋翼無人機(jī)做螺旋上升運(yùn)動，其參考路徑設(shè)置為

Pd=[0.5cos(t/2)0.5cos(t/2)2+t/10]T。

(31)

考慮到四旋翼無人機(jī)在實際飛行過程中經(jīng)常受到地效干擾以及陣風(fēng)擾動的影響，分別在6個狀態(tài)變量x，y，z，φ，θ和ψ中加入以下時變函數(shù)來模擬外部的干擾：d1=0.5sin(πt/10)，d2=0.5cos(πt/10)，d3=0.5cos(πt/10)，d4=0.5sin(πt/10)+0.1，d5=0.5cos(πt/10)+0.1，d6=0.5sin(πt/10)+0.2。

此外，為了對3種控制算法的控制效果進(jìn)行定量比較，分別計算了四旋翼無人機(jī)在每一種控制算法下位置變量x，y，z的平方誤差積分(ISE)，以此來衡量四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制的精度。ISE值越小，說明累計誤差越小，跟蹤精度越高。ISE的計算方法如下

(32)

式中：ts和tf分別代表仿真開始時間和結(jié)束時間；e(t)為狀態(tài)變量的跟蹤誤差。

圖3～5所示為PID,SMC以及TSMC-ESO控制算法下的四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤仿真結(jié)果對比圖，表3所示為3種控制算法的ISE值。

表3 3種控制算法的ISE值

圖3 軌跡跟蹤仿真結(jié)果

從圖3和圖4中可以看出，在基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的全局快速終端滑模控制算法下的四旋翼無人機(jī)跟蹤軌跡最為平滑且無明顯的波動現(xiàn)象，而在PID控制算法和滑模控制算法下的四旋翼無人機(jī)跟蹤軌跡出現(xiàn)了較為明顯的波動。

圖4 位置通道跟蹤對比

這一點可以從3個位置變量的ISE值得到印證。從表3中的ISE值可以看出，在水平位置變量x和y中，在TSMC-ESO控制算法下的四旋翼無人機(jī)的ISE值最低。相較于PID算法和SMC算法，在TSMC-ESO算法下的ISE值在x方向分別下降了52.30%和4.47%，在y方向分別下降了99.64%和60.61%。這說明使用TSMC-ESO算法的四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤精度最高，跟蹤誤差最小，即具有更好的抗干擾性能；同時也說明了本文提出的控制算法具有良好的解耦性能，這得益于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器實時在線估計并補(bǔ)償系統(tǒng)“總擾動”的功能。

四旋翼無人機(jī)滾轉(zhuǎn)角、俯仰角以及偏航角的跟蹤效果如圖5所示。結(jié)果表明，在有時變干擾的情況下，由于傳統(tǒng)滑?？刂扑惴ㄖ写嬖谇袚Q項，串級SMC中位置控制器輸出的期望滾轉(zhuǎn)角信號φd和期望俯仰角信號θd出現(xiàn)了嚴(yán)重的抖振現(xiàn)象，這為執(zhí)行器的工作帶來了巨大的挑戰(zhàn)，其在仿真開始5 s后的波動范圍均為±0.16 rad。與之相比，全局快速終端滑?？刂扑惴ㄖ袩o切換項，因此φd和θd的抖振現(xiàn)象得以消除，其5 s后的波動范圍均為±0.07 rad，與串級SMC算法相比振幅下降了56.25%。串級PID下的φd，θd在5 s后的波動范圍均為±0.04 rad。與串級PID相比，TSMC-ESO控制算法的性能仍然還有改進(jìn)空間。此外，在串級PID、串級SMC以及串級TSMC-ESO控制算法下，四旋翼無人機(jī)偏航角ψ的波動范圍分別為±0.012 rad，±0.010 rad和±0.002 rad，這說明串級TSMC-ESO算法下的四旋翼無人機(jī)偏航角跟蹤精度優(yōu)于另外兩種算法。

圖5 姿態(tài)通道跟蹤對比

5 結(jié)束語

針對四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤控制問題，本文設(shè)計了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的全局快速終端滑?？刂扑惴?。該算法具有以下特點：1)通過引入擴(kuò)張狀態(tài)觀測器來實現(xiàn)實時觀測并補(bǔ)償系統(tǒng)內(nèi)外擾動的功能，較好地解決了四旋翼無人機(jī)姿態(tài)控制回路中存在的非線性、多變量、強(qiáng)耦合問題，提高了四旋翼無人機(jī)控制系統(tǒng)對內(nèi)外部干擾的魯棒性；2)通過采用帶有非線性函數(shù)的終端滑模面，使得系統(tǒng)跟蹤誤差能夠在有限時間內(nèi)收斂，并且其控制律中不含有不連續(xù)的切換項，從而能夠避免抖振現(xiàn)象的發(fā)生。該算法為四旋翼無人機(jī)的飛行控制算法設(shè)計提供了一種新的思路。在下一步研究中，將進(jìn)一步改善所提控制算法的輸出抖振現(xiàn)象并將其部署至四旋翼無人機(jī)平臺上以驗證其實際性能。