基于離散觀測的隨機系統(tǒng)非周期性間歇控制

汪海洋, 宋公飛,2,3

(1.南京信息工程大學自動化學院，南京 210000； 2.華東理工大學能源化工過程智能制造教育部重點實驗室，上海 200000; 3.江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術協(xié)同創(chuàng)新中心，南京 210000)

0 引言

隨著人工智能的興起，隨機系統(tǒng)已被廣泛應用于各種智能系統(tǒng)，所以隨機系統(tǒng)的穩(wěn)定性引起了人們廣泛、密切的關注[1]。當隨機系統(tǒng)中的系數(shù)不滿足線性增長條件時，稱其為非線性隨機系統(tǒng)。文獻[2]利用M矩陣理論，得到了一般非線性隨機系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性的一組條件，但是其控制器為連續(xù)時間控制器。在某些實際情況下，與連續(xù)時間控制器相比，基于離散時間觀測設計的反饋控制器在精度和速率方面具有突出的優(yōu)勢[3-6]。文獻[7]利用基于離散時間觀測的反饋控制，研究了非線性混合隨機系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定性。但需要指出的是，上述文獻中所提出的隨機穩(wěn)定都是基于經(jīng)典反饋控制器。近年來，間歇性控制器越來越受到關注[8-14]，它將時間分為工作時間和休息時間兩部分?？刂破鞴ぷ鲿r間工作，休息時間關閉，并以這種方式來回切換。與傳統(tǒng)的反饋控制器相比，間歇控制器可以有效地延長控制器的工作壽命。并且，非周期性間歇控制器在提高控制精度和降低工作成本方面更為出色。文獻[15]提出了一種基于離散時間狀態(tài)觀測的非周期間歇控制方法使得神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)達到指數(shù)同步；文獻[16]針對受控系統(tǒng)的擾動提出了基于離散時間觀測的間歇控制方法，使得系統(tǒng)達到隨機穩(wěn)定。但都沒有通過離散觀測的間歇控制方法針對隨機系統(tǒng)設計控制器使其穩(wěn)定，關于這一主題的文獻也很少。

本文設計基于離散觀測的非周期性間歇控制器使得隨機系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定，并且利用Lyapunov函數(shù)方法嚴格證明了在離散觀測的非周期性間歇控制下系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的判據(jù)條件。

1 模型描述與預備知識

1.1 模型描述

考慮一個非線性隨機系統(tǒng)，其形式為

dx(t)=F(x(t),t,r(t))dt+G(x(t),t,r(t))dw(t)t≥t0

(1)

式中：x(t)∈Rn，表示系統(tǒng)狀態(tài)；r(t)表示一個馬爾可夫鏈，在有限空間S={1,2,…，N}中取值；F∶Rn×R+×S→Rn和G∶Rn×R+×S→Rn×m，表示連續(xù)的非線性函數(shù)；w(t)∈Rn，表示標量布朗運動；t0為初始時間。為了使這個不穩(wěn)定的隨機系統(tǒng)變得穩(wěn)定，考慮加上一個基于離散時間觀測的非周期性間歇控制器，則形式變成

dx(t)=[F(x(t),t,r(t))+U(x(δ(t)),t,r(t))]dt+

G(x(t),t,r(t))dw(t)t≥t0

(2)

控制器U(x(δ(t)),t,r(t))的形式為

(3)

式中：Ki表示控制增益矩陣；x(δ(t))=x([t/τ]τ)，表示離散觀測，τ>0，表示兩次連續(xù)觀測之間的持續(xù)時間，[t/τ]表示t/τ的整數(shù)部分；ti,ti+1為相鄰2個控制周期的起始時刻；si為相鄰控制起始時刻的時間間隔，根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)決定。

1.2 預備知識

假設1 存在兩個正實數(shù)h1,h2,使得

|F(x,i,t)-F(y,i,t)|≤h1|x-y|

(4)

|G(x,i,t)-G(y,i,t)|≤h2|x-y|

(5)

其中,(x,y,i,t)∈Rn×Rn×S×R+，并且有F(0,i,t)=0,G(0,i,t)=0。

假設2 存在兩個正標量α,β且0≤α≤β，則有

(6)

假設3 對于每個i∈{1,2,…，n}，?x∈R有

(7)

tr[G(t,r(t),x(t))TVxx(t,r(t),x(t))G(t,r(t),x(t))]≤

(8)

(9)

成立。

證明 假設t∈[vτ,(v+1)τ)，其中v≥0，令δ(t)=vτ，則有

x(t)-x(δ(t))=x(t)-x(vτ)=

(10)

E|x(t)-x(δ(t))|2≤

[6τ(τH1+H2)+3τ2Hk]E|x(vτ)|2

(11)

(12)

從而可知對于引理1的證明是完整的。

2 指數(shù)穩(wěn)定性

通過Lyapunov理論的分析方法，得到式(1)系統(tǒng)在滿足指數(shù)穩(wěn)定性時的條件。

證明 選取Lyapunov函數(shù)V(x(t),t,r(t))=xT(t)·x(t)，當t∈(ti,si]時,

dV(x(t),r(t))=LV(x(t),r(t))dt+dM(t)

(13)

其中M(t)表示一個鞅且M(0)=0。

LV(x(t),t,r(t))=

2xT(t)[F(x(t),t,r(t))+Kix(δ(t))]+

tr[G(x(t),t,r(t))TVxx(t,r(t),x(t))G(x(t),t,r(t))]+

(14)

根據(jù)假設1、假設2得

2xT(t)Ki(x(t)-x(δ(t)))≤

2xT(t)Ki(x(t)-x(δ(t)))≤

η1x2(t)-2xT(t)Ki(x(t)-x(δ(t)))

(15)

根據(jù)廣義伊藤公式

eθ tV(x(t),t,r(t))=eθ t0V(x(t0),t0,r(t0))+

(16)

將式(15)代入式(16)得

eθ tEV(x(t),t,r(t))≤eθ t0EV(x(t0),t0,r(t0))+

x(δ(s))|)ds

(17)

2KiE(|x(s)||x(s)-x(δ(s))|)≤

(18)

綜上，有

eθ tEV(x(t),t,r(t))≤eθ t0EV(x(t0),t0,r(t0))+

(19)

再令θ=2λτ-η1，可得θ+η1-2λτ=0，則

E[eθ tV(x(t),t,r(t))]≤E[eθ t0V(x(t0),t0,r(t0))]

(20)

用類似的方法，當t∈(s0,t1]時,

eθ tV(x(t),t,r(t))=eθ s0V(x(s0),s0,r(s0)+

(21)

等式兩邊同取期望，則有

E[eθ tV(x(t),t,r(t))]≤E[eθ s0V(x(s0),s0,r(s0))]+

(22)

對式(22)使用Gronwall不等式，得到

E[eθ tV(x(t),t,r(t))]≤

E[eθ s0V(x(s0),s0,r(s0))e(θ+η2)(t-s0)]

(23)

根據(jù)式(23)可得

E[eθ s0V(x(s0),s0,r(s0))]e(θ+η2)(t-s0)≤

E[eθ t0V(x(t0),t0,r(t0))e(θ+η2)(t-s0)]

(24)

所以，就有當t∈(s0,t1]時，

E[eθ tV(x(t),t,r(t))]≤

E[eθ s0V(x(s0),s0,r(s0))]e(θ+η2)(t-s0)≤

E[eθ t0V(x(t0),t0,r(t0))]e(θ+b2)(t-s0)

(25)

同樣，當t∈(t1,s1]時，

E[eθ tV(x(t),t,r(t))]≤

E[eθ s0V(x(t1),t1,r(t1))]≤

E[eθ t0V(x(t0),t0,r(t0))e(θ+η2)(t1-s0)]

(26)

當t∈(s1,t2]時，

E[eθ tV(x(t),t,r(t))]≤

E[eθ s1V(x(s1),s1,r(s1))]e(θ+η2)(t-s1)≤

E[eθ t0V(x(t0),t0,r(t0))]e(θ+η2)(t1-s0)+(θ+η2)(t-s1)

(27)

重復類似的過程，對于任何t∈(ti,si]，i=1,2,…，都有

E[eθ tV(x(t),t,r(t))]≤

(28)

對于任何t∈(si,ti]，i=1,2,…，則有

E[eθ tV(x(t),t,r(t))]≤

(29)

因此，得到

E[eθ tV(x(t),t,r(t))]≤

(30)

且有

EV(x(t),t,r(t))≤

(31)

根據(jù)定義1，可以得到

E|x(t)|2≤

(32)

E|x(t)|2≤Me-γt

(33)

由此可得，式(1)的隨機系統(tǒng)是均方指數(shù)穩(wěn)定的。定理1 證畢。

當si-ti=α和ti+1-ti=β時，該控制就被稱為周期性間歇控制。然后，可以有如下推導結果。

推論1 在前面所提假設滿足的情況下，有

e(θ+η2)(β-α)

(34)

這意味著式(2)通過基于離散觀測的周期性間歇控制在均方數(shù)上呈指數(shù)穩(wěn)定。

3 數(shù)值仿真

通過數(shù)值模擬來證明所得到的非周期性間歇控制器的有效性，考慮一個混合非線性隨機系統(tǒng)有如下形式

dx(t)=A(r(t))x(t)dt+B(r(t))x(t)dw(t)t≥t0

(35)

設置初值r(0)=1,x1(0)=-2,x2(0)=1。通過軟件仿真可得此時式(1)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，仿真如圖1所示。

圖1 無非周期性間歇控制器的隨機系統(tǒng)狀態(tài)響應

為使式(1)系統(tǒng)保持穩(wěn)定，設計基于離散觀測的非周期性間歇控制器，形式如式(3)所示，設置控制增益為-10，非周期性間歇控制器參數(shù)為α=0.3和β=0.5。通過定理1計算，令τ=0.000 01，加入控制器后，經(jīng)過軟件仿真可得系統(tǒng)是均方指數(shù)穩(wěn)定的，結果如圖2所示。

圖2 離散觀測非周期性間歇控制器的隨機系統(tǒng)狀態(tài)響應

4 結束語

本文利用基于離散觀測的非周期性間歇控制方法研究了混合隨機系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定問題。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定理論，利用適當?shù)碾x散觀測非周期性間歇控制律，導出了保證不穩(wěn)定混合隨機系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的判據(jù)條件。另外，通過在控制函數(shù)中替換適當?shù)闹?，再根?jù)已設定的條件推導出基于離散觀測周期性間歇控制的穩(wěn)定問題。最后，通過數(shù)值模擬驗證了該控制方法的有效性。鑒于不連續(xù)控制器在工程實際中應用領域廣泛,相信基于離散觀測的非周期性間歇控制法可成為隨機系統(tǒng)控制或同步的一種新穎而有效的方法。