基于序列二次規(guī)劃算法的相變材料光熱參數(shù)反演研究

孫雙成，李 林，黃志華，陳楊凡

(1.國家先進軌道交通裝備創(chuàng)新中心,湖南 株洲 412001；2.株洲國創(chuàng)軌道科技有限公司,湖南 株洲 412001；3.重慶大學 能源與動力工程學院,重慶 400044)

相變材料具有較高潛熱，可以通過自身相態(tài)的變化，實現(xiàn)能量的儲存和釋放，因而廣泛地應用于太陽能儲能、建筑節(jié)能、新能源系統(tǒng)散熱等領域[1-2]。相變材料的光學特性參數(shù)和熱物性參數(shù)是研究材料內(nèi)部光熱傳輸與轉換的基礎，光熱參數(shù)準確測量對于儲能系統(tǒng)設計和調(diào)控、散熱系統(tǒng)優(yōu)化設計至關重要[3-4]。

相變材料光熱參數(shù)難以直接測量，需要根據(jù)材料表面的響應信息，利用數(shù)值優(yōu)化算法反演獲得[5]。相變材料內(nèi)部傳熱過程涉及導熱、輻射、相變等多種換熱方式，耦合傳熱正問題求解耗時較長[6]。而在光熱參數(shù)反演過程中，需要反復調(diào)用傳熱正問題，導致優(yōu)化過程求解效率較低，高精度、高效率的反演優(yōu)化方法是相變材料光熱參數(shù)反演的關鍵。

求解耦合傳熱反問題的數(shù)值優(yōu)化方法可分為兩類：人工智能算法和梯度優(yōu)化方法。人工智能算法具有模型簡單、全局收斂等特點，在換熱系統(tǒng)優(yōu)化和參數(shù)反演方面已取得較多應用。例如，Mazhar等[7]采用微粒群優(yōu)化算法反演了相變材料的比熱容、相變潛熱和熔化溫度；李軍等[8]采用遺傳算法對多機型換熱系統(tǒng)的熱電負荷進行優(yōu)化分配，達到節(jié)能的目的；Wei等[9]采用改進的量子微粒群優(yōu)化算法反演了石蠟相變材料的光譜復折射率；Ren等[10]采用改進的煙花算法反演了熔鹽相變材料的導熱系數(shù)和吸收系數(shù)；方興等[11]采用彩虹量子微粒群算法反演了液滴群粒徑分布。然而，人工智能算法方法需要的迭代次數(shù)較多，收斂速度慢，而且反演結果存在一定隨機性。

梯度優(yōu)化方法是一類高效的優(yōu)化問題求解方法，該方法沿著目標函數(shù)梯度方向進行搜索，通過使目標函數(shù)最小化確定材料的物性參數(shù)。例如，Lachheb等[12]采用Levenberg-Marquardt法反演了石蠟/石墨相變材料的導熱系數(shù)和熱擴散系數(shù)；Didier等[13]采用共軛梯度法反演了相變材料的導熱系數(shù)、比熱容和相變潛熱。實驗表明，梯度優(yōu)化方法在相變材料物性參數(shù)反演方面具有收斂速度快、結果穩(wěn)定性好等優(yōu)點。但這些優(yōu)化方法對優(yōu)化初值依賴性強，當計算初值選取不當時可能無法獲得全局最優(yōu)解。

序列二次規(guī)劃(Sequential Quadratic Programming，SQP)算法具有超線性收斂能力，可快速獲得優(yōu)化問題的解，并且全局收斂能力強，因而廣泛地應用于參數(shù)識別[14]、醫(yī)學成像[15]、幾何優(yōu)化[16]等領域。結果表明，SQP算法在優(yōu)化精度和收斂速度方面都明顯優(yōu)于共軛梯度法、微粒群優(yōu)化算法等數(shù)值優(yōu)化方法。然而，至今還未見利用SQP算法反演相變材料光學特性參數(shù)和熱物性參數(shù)的研究。

本文以固-液相變材料為研究對象，引入SQP算法同時反演材料的光學特性參數(shù)和熱物性參數(shù)，提高物性參數(shù)測量的精度和效率。為了提高SQP算法的全局收斂能力，引入恰當罰函數(shù)對迭代可行解進行評估，保證優(yōu)化模型的全局收斂性。

1 耦合傳熱模型

以一維固-液相變材料為研究對象，材料受熱相變過程中，其內(nèi)部可分為固相區(qū)、糊狀區(qū)和液相區(qū)，如圖1所示。

圖1 相變材料內(nèi)部傳熱過程示意圖

相變過程中，采用基于焓法的能量方程描述相變材料內(nèi)部傳熱過程，可表示為[17]

(1)

式中ρ——材料的密度；

λ——材料的導熱系數(shù);

T——溫度;

t——時間;

qr——輻射熱流密度;

H——材料的總焓[18]

H=cpT+flL

(2)

式中cp——比熱容;

L——相變潛熱;

fl——液相率。

將上式代入能量方程，得

(3)

輻射換熱源項可根據(jù)下式計算

(4)

式中κa——吸收系數(shù);

n——折射率;

Ib——黑體輻射強度;

I——材料內(nèi)部輻射強度。

可通過求解下述輻射傳遞方程獲得[13]

(5)

式中βe——衰減系數(shù);

n——折射率;

κs——散射系數(shù);

Ω′——光的入射方向;

Ω——散射光傳播方向;

Φ——散射相函數(shù)。

為了便于分析，取參考溫度Tref，將能量方程和輻射傳遞方程無量綱化，無量綱參數(shù)如表1所示。無量綱化的能量方程和輻射傳遞方程可表示為

表1 無量綱化參數(shù)

(6)

(7)

采用有限體積法求解上述能量方程和輻射傳遞方程。為了驗證本文求解模型的準確性，將計算結果與文獻[18]結果進行對比，如圖2所示。從圖中可以看出，本文模擬結果與文獻吻合良好，證明本文數(shù)值求解模型具有較高可靠性。

圖2 正問題可靠性驗證

2 序列二次規(guī)劃算法

SQP算法是一種高效的數(shù)值優(yōu)化方法，具有超線性收斂能力。對于相變材料光熱參數(shù)反演問題，采用材料表面的瞬態(tài)溫度作為測量信息，則待優(yōu)化的目標函數(shù)可建立為如下形式

(8)

式中p——待反演的光熱參數(shù);

tm——測量時間;

下角標est和mea——利用反演參數(shù)和真實參數(shù)計算得到的相變材料表面溫度。

相變材料光熱參數(shù)反演問題可轉化為如下最小化問題

minFobj(p)
s.t.ci=0i∈E={1,2,…,m}

(9)

式中ci——約束條件;

m——約束條件的個數(shù)。

優(yōu)化過程中，需要將上述目標函數(shù)最小化問題轉化為如下二次規(guī)劃子問題

(10)

式中k——迭代次數(shù);

d——搜索方向;

H——拉格朗日方程Hessian矩陣的近似。

在上述優(yōu)化過程中，僅能保證算法收斂至局部最優(yōu)值。為了提高SQP算法的全局收斂能力，引入如下罰函數(shù)進行一維搜索[15]

(11)

式中r——罰因子。

待反演光熱參數(shù)按照下式更新

pk+1=pk+αkpk

(12)

式中a——搜索步長。

根據(jù)下式計算

(13)

式中 0

當滿足下述條件之一時，可認為反演得到的參數(shù)向量即為光熱參數(shù)測量結果

k=kmax

(14)

Fr(pk)<ε

(15)

式中kmax和ε——最大迭代次數(shù)和收斂精度。

SQP算法反演相變材料光熱參數(shù)的流程圖如圖3所示。

圖3 相變材料光熱參數(shù)反演流程圖

3 結果與討論

本節(jié)將利用SQP算法對相變材料的光學特性參數(shù)和熱物性參數(shù)進行反演。為了評估反演結果的準確性，引入如下相對誤差

(16)

式中 角標est和exa——相變材料光熱參數(shù)的反演結果和真值。

3.1 相變材料光學特性參數(shù)反演

首先，采用SQP算法對相變材料的散射反照率w和折射率n進行反演，其他參數(shù)設置為：環(huán)境溫度Θa=0.3，對流換熱系數(shù)h*=0.01，導熱輻射耦合換熱系數(shù)Ncr=0.05，斯蒂芬數(shù)St=0.5，入射熱流q*=0.5，收斂精度ε=10-6。當散射反照率ω和折射率n取不同真值時，SQP算法反演結果如表2所示，真實光學特性參數(shù)和反演結果對應的表面溫度分布如圖4所示。

表2 光學特性參數(shù)反演結果

圖4 光學參數(shù)反演表面溫度分布

從反演結果可以看出，SQP算法可以準確地反演相變材料的散射反照率和折射率，反演結果和真實參數(shù)對應的表面溫度分布吻合良好，最大反演誤差僅為0.1%，表明SQP算法在相變材料光學特性參數(shù)反演方面具有較高的可靠性。

3.2 相變材料熱物性參數(shù)反演

相變材料內(nèi)部能量方程無量綱化后，主要熱物性參數(shù)包括導熱輻射耦合換熱系數(shù)Ncr和斯蒂芬數(shù)St。材料的散射反照率和折射率分別設置為ω=0.5和n=1.0，其它參數(shù)與3.1相同。采用SQP算法反演相變材料的Ncr和St，結果如表3和圖5所示。從計算結果可以看出，對于不同的Ncr和St，SQP算法都可以得到準確的計算結果，最大反演誤差為0.3%，表明SQP算法可以準確地確定相變材料的熱物性參數(shù)。

表3 熱物性參數(shù)反演結果

圖5 熱物性參數(shù)反演表面溫度分布

3.3 相變材料光熱參數(shù)同時反演

在工程應用中，相變材料的光學特性參數(shù)和熱物性參數(shù)可能都是未知的，需要對光熱參數(shù)進行同時反演。

相變材料的光熱參數(shù)真值設置為：散射反照率ω=0.5，折射率n=1.0，Ncr=0.05，斯蒂芬數(shù)St=0.5，利用SQP算法同時反演上述四個物性參數(shù)，結果如表4所示。

表4 光學特性和熱物性參數(shù)同時反演結果

從計算結果可以看出，四個光熱參數(shù)同時反演誤差比光學特性參數(shù)和熱物性參數(shù)單獨反演時的誤差略大，這主要是由于多個物性參數(shù)同時反演時增加了反問題的不適定性，優(yōu)化難度增大。但即使是四個參數(shù)同時反演，最大相對誤差僅為0.5%，表明SQP算法可以準確地反演獲得相變材料的光學特性參數(shù)和熱物性參數(shù)。

3.4 測量誤差的影響

在實際工程應用，測量誤差不可避免，因此需要研究隨機測量誤差對反演結果的影響?？紤]高斯分布的隨機測量誤差，表面測量信號可表示為

Θw1,mea=Θw1,exa+σζ

(17)

式中V——區(qū)間[0,1]內(nèi)均勻分布的隨機數(shù);

s——標準誤差，可表示為

(18)

式中g——測量誤差，分母中的2.576對應99%置信度區(qū)間。

相變材料的光熱參數(shù)設置與3.3節(jié)相同。當在測量信號中添加不同測量誤差時，反演結果如表5所示。從計算結果可以看出，隨著測量誤差的增加，光熱參數(shù)反演誤差增大。當測量誤差增加至5%時，最大反演誤差僅為2.9%，表明SQP算法在相變材料光熱參數(shù)反演方面具有較強的魯棒性。

表5 不同測量誤差反演結果

4 結論

本文研究了固-液相變材料光熱參數(shù)反演問題。采用有限體積法求解相變材料內(nèi)部包含相變過程的輻射導熱耦合換熱問題，并利用計算得到的表面溫度作為測量信息建立目標函數(shù)。采用SQP算法優(yōu)化目標函數(shù)，反演獲得相變材料的光學特性參數(shù)和熱物性參數(shù)。主要得出以下結論：

(1)SQP算法可以準確地反演得到相變材料的光學特性參數(shù)和熱物性參數(shù)，最大反演誤差為0.3%。

(2)光熱參數(shù)同時反演的相對誤差比單獨反演誤差略大，最大反演誤差為0.5%，仍具有很高的反演精度。

(3)當隨機測量誤差增加至5%時，最大反演誤差為2.9%，SQP算法具有較強的魯棒性。