射流泵混合能力的FTLE評(píng)價(jià)方法

趙凱，程懷玉，龍新平，季斌，賴旭*

(1.水資源與水電工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(武漢大學(xué))，湖北 武漢 430072；2.水射流理論與新技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072)

射流泵是一種利用湍射流的湍動(dòng)擴(kuò)散作用來傳遞能量和質(zhì)量的特種流體機(jī)械與混合反應(yīng)設(shè)備.射流泵內(nèi)的混合通常是通過高速射流卷吸低速流體在射流邊界層內(nèi)由旋渦誘導(dǎo)產(chǎn)生的摻混，是一種強(qiáng)剪切條件下的流動(dòng)混合，相比其他混合方式，其混合能更加充分.在實(shí)際工程生產(chǎn)領(lǐng)域射流泵式混合裝置得到了廣泛的應(yīng)用[1].國內(nèi)外專家學(xué)者對(duì)如何評(píng)價(jià)射流泵的混合程度進(jìn)行了相關(guān)研究，比如畢榮山等[2]利用2股流體的濃度來評(píng)價(jià)流體混合程度；SUBRAMANIAN等[3]使用平均速度剖面來描述自由射流與受限射流的混合程度；KAMRAN等[4]取平均軸向速度的徑向分布圖來反映混合程度的變化；PERUMAL等[5]利用動(dòng)量修正系數(shù)來反映截面上的混合程度.但是，這些成果的研究對(duì)象均局限于2種流體介質(zhì)，當(dāng)將其運(yùn)用于射流泵混合研究時(shí)，僅僅能表征射流與被卷吸流2股流體之間的混合.由于射流泵作為一種混合設(shè)備時(shí)一般存在于循環(huán)運(yùn)行的裝置中，在循環(huán)過程中更多的是在對(duì)已初步混合的流體進(jìn)行進(jìn)一步的摻混，此時(shí)若仍僅考慮射流與被卷吸流2股宏觀流體之間的混合，而不考慮流體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間的混合，則無法全面反映射流泵作為一種混合設(shè)備的性能.因此，提出一種研究對(duì)象為流體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)而不局限于射流與被卷吸流的混合評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)于提高射流泵混合效率具有重要意義.

有限時(shí)間李雅普諾夫指數(shù)[6](FTLE)是由經(jīng)典李雅普諾夫指數(shù)變形而來的一種向量場(chǎng)分析技術(shù)，表征的是一段時(shí)間內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)與其周圍質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡之間的平均分離程度[7].目前，已有大量學(xué)者將FTLE引入流體力學(xué)的研究中，比如雷鵬飛等[8]基于FTLE場(chǎng)的脊線所定義的LCS，提取了圓柱瞬時(shí)啟動(dòng)過程中流動(dòng)分離和旋渦演化時(shí)的物質(zhì)運(yùn)輸作用；SHADDEN等[9]通過FTLE脊線確定射流啟動(dòng)渦環(huán)的邊界，并清晰地刻畫了流體被卷吸到渦環(huán)的過程；LIN等[10]使用FTLE方法研究了可壓縮渦環(huán)(CVRs)的形成過程.

以上研究表明FTLE在識(shí)別流體結(jié)構(gòu)、分析流場(chǎng)特征方面具有獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值.而FTLE所具有的表征質(zhì)點(diǎn)間平均分離程度的物理意義能很好地反映位于質(zhì)點(diǎn)位置的混合能力，因此將其引入射流泵混合能力的評(píng)價(jià)具有天然優(yōu)勢(shì).

為研究射流泵作為一種混合設(shè)備所具有的混合特性，文中對(duì)一典型射流泵開展混合能力的研究，旨在提出一種計(jì)算以及評(píng)價(jià)的方法，為具有相似物理性質(zhì)的流體混合研究提供參考.

1 射流泵數(shù)值模擬

1.1 射流泵結(jié)構(gòu)與性能參數(shù)

研究對(duì)象選用章君強(qiáng)[11]試驗(yàn)所用射流泵模型，其結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 射流泵結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

射流泵主要結(jié)構(gòu)參數(shù)包括工作管直徑Din、噴嘴出口直徑Dn、喉管直徑Dth、擴(kuò)散管出口直徑Dout、喉嘴距Lnt、喉管長度Lth、吸入室的收縮角α、擴(kuò)散管的擴(kuò)散角β.具體取值見表1.

表1 射流泵主要結(jié)構(gòu)尺寸

在研究射流泵內(nèi)部流動(dòng)規(guī)律時(shí)，由于射流具有自模性，常使用量綱為一的性能參數(shù)計(jì)算射流泵基本性能，以獲得更為普遍的規(guī)律，常用的量綱為一的性能參數(shù)包括流量比q、壓力比h和效率η，各參數(shù)定義為

(1)

(2)

(3)

式中:Q為體積流量；P為流體總壓；p為流體靜壓；ρ為流體密度；u為斷面平均流速；z為高程；下標(biāo)in，s，out分別表示射流泵的工作流體、被吸流體和混合流體.

1.2 控制方程與湍流模型

射流泵內(nèi)部流動(dòng)為湍流流動(dòng)[12]，控制方程為連續(xù)性方程和Navier-Stokes方程，湍流模擬采用LES方法，其控制方程為

(4)

(5)

式中：ρ為流體密度，μ為流體的動(dòng)力黏度.式(5)中最后一項(xiàng)τij為亞格子(subgrid-scale stress，SGS)應(yīng)力項(xiàng)，文中采用WALE模型(Wall-Adapting Local Eddy-Viscosity Model)對(duì)SGS項(xiàng)進(jìn)行求解.WALE模型由NICOUD等[13]提出，該模型能夠返回正確的SGS黏度的壁面漸進(jìn)特性，且能夠較好地重現(xiàn)層流向湍流的轉(zhuǎn)捩過程，目前已經(jīng)被較多研究者用于數(shù)值模擬研究[14-15].

1.3 邊界條件與計(jì)算設(shè)置

射流泵的工作流體和被吸流體入口都設(shè)置為速度入口，出口設(shè)置為壓力出口，其余邊界設(shè)置為無滑移壁面.其中計(jì)算域內(nèi)的流體介質(zhì)均設(shè)置為25 ℃水.文中計(jì)算工況數(shù)據(jù)均來自章君強(qiáng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)[11]，具體如表 2所示.

表2 計(jì)算工況

文中用SSTk-ω模型計(jì)算穩(wěn)態(tài)初場(chǎng)，再使用LES計(jì)算非穩(wěn)態(tài)流動(dòng).其中SGS模型選用WALE模型，WALE常數(shù)采用默認(rèn)值0.5.用直接壓力-速度耦合方法求解瞬態(tài)的LES控制方程，控制方程中的對(duì)流項(xiàng)用高階格式求解，時(shí)間積分項(xiàng)用二階后向歐拉算法來求解.時(shí)間步長取1.0×10-5s，計(jì)算收斂標(biāo)準(zhǔn)為10-5，內(nèi)迭代次數(shù)為30.

1.4 計(jì)算域與網(wǎng)格劃分

為確保管道內(nèi)的流動(dòng)發(fā)展穩(wěn)定，消除進(jìn)出口對(duì)喉管和吸入室等重要位置的數(shù)值模擬計(jì)算準(zhǔn)確度的影響，將三通管道處流動(dòng)簡(jiǎn)化成同軸受限軸對(duì)稱流動(dòng)，計(jì)算域如圖2所示，工作流體管道、被吸流體管道以及出流管道均為管徑的8倍.

圖2 射流泵計(jì)算域

運(yùn)用ICEM CFD軟件，采用六面體單元的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格對(duì)計(jì)算域模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分.如圖3所示，由于射流剪切層速度梯度較大，流動(dòng)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，對(duì)吸入室與喉管部分區(qū)域的網(wǎng)格進(jìn)行了加密處理.

圖3 射流泵網(wǎng)格

1.5 網(wǎng)格無關(guān)性分析

以數(shù)量分別為215萬、460萬和820萬的3套網(wǎng)格，選取典型工況GK4進(jìn)行了網(wǎng)格無關(guān)性分析.表3為壓力比h和效率η的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果，表中n為網(wǎng)格數(shù)，δh和δη分別為h和η的計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)誤差.3組網(wǎng)格的數(shù)值模擬結(jié)果都較為接近，均與試驗(yàn)值的誤差不超過10%，分析造成該誤差的原因在于仿真計(jì)算時(shí)將三通管道簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱流動(dòng)，該簡(jiǎn)化造成了仿真條件比試驗(yàn)條件下的流動(dòng)損失偏小，因此仿真的被吸管入口總壓Ps偏小，從而壓力比h偏大.

表3 網(wǎng)格無關(guān)性分析

2 FTLE計(jì)算原理與程序開發(fā)

2.1 FTLE定義與計(jì)算

對(duì)于某個(gè)時(shí)變流場(chǎng)，指定位置x，時(shí)刻t以及時(shí)間偏移量T，則其FTLE是一個(gè)標(biāo)量值，代表該流場(chǎng)中在t時(shí)刻位于x處的相鄰粒子，在經(jīng)過時(shí)間T后的平均分離程度，計(jì)算式定義[16]為

(6)

式中：λ(Δ)為柯西-格林形變張量Δ的最大特征值，Δ為粒子流形空間梯度張量與其轉(zhuǎn)置相乘得到的對(duì)稱矩陣，計(jì)算式為

(7)

式中：FtT(x)為在時(shí)刻t位于x處的粒子，在流場(chǎng)中經(jīng)過T后所在的位置，稱為粒子流形.

湍流流場(chǎng)中FTLE的計(jì)算常使用有限空間差分法.該方法在數(shù)值模擬網(wǎng)格足夠密集的情況下具有較高精度，其關(guān)鍵在于對(duì)式(7)中粒子流形的空間梯度張量進(jìn)行離散.采用虛擬鄰近節(jié)點(diǎn)的離散思想，使用虛擬鄰近節(jié)點(diǎn)輔助計(jì)算梯度張量.具體如圖 4所示，若需要計(jì)算位于節(jié)點(diǎn)(i,j,k)處的FTLE，首先在該節(jié)點(diǎn)沿x，y，z3個(gè)坐標(biāo)軸方向上以指定差分距離取6個(gè)虛擬鄰近節(jié)點(diǎn)，作為輔助計(jì)算節(jié)點(diǎn).

圖4 虛擬鄰近節(jié)點(diǎn)

然后對(duì)位于虛擬鄰近節(jié)點(diǎn)上的粒子進(jìn)行粒子追蹤，求其時(shí)間偏移量T之后的空間位置，并代入粒子流形的空間梯度張量在三維空間離散后的計(jì)算式，即

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：xi,j,k(t)，yi,j,k(t)，zi,j,k(t)為在t時(shí)刻位于編號(hào)為(i,j,k)的節(jié)點(diǎn)處的粒子的坐標(biāo)分量；xi,j,k(t+T)，yi,j,k(t+T)，zi,j,k(t+T)為在t時(shí)刻位于三維空間中編號(hào)為(i,j,k)的節(jié)點(diǎn)處的粒子在流場(chǎng)中經(jīng)過時(shí)間偏移量T后所在的位置的坐標(biāo)分量.

2.2 粒子追蹤計(jì)算

粒子追蹤是FTLE求解的前提，也是影響計(jì)算速度的主要因素[16].對(duì)于流場(chǎng)中的粒子運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的一般形式為

(12)

式中：x為粒子所在流場(chǎng)的空間位置；V為與時(shí)間相關(guān)的速度矢量場(chǎng).

討論數(shù)值解法時(shí)，采用求解初值問題的經(jīng)典顯式四階龍格-庫塔格式進(jìn)行求解的差分格式為

(13)

由于數(shù)值模擬得到的是離散的速度矢量場(chǎng)，使用反距離加權(quán)插值法獲取任意位置的粒子速度，其基本思想是距離越近，其屬性越相似.插值公式為

(14)

式中：ui為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的速度矢量；di為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)到插值點(diǎn)的歐氏距離；ε為系數(shù),一般取2.

2.3 FTLE計(jì)算程序

根據(jù)上述FTLE計(jì)算原理與粒子追蹤算法，利用C++編程語言完成了FTLE計(jì)算程序的開發(fā).計(jì)算程序分為預(yù)處理、粒子追蹤以及FTLE求解3個(gè)模塊.圖5為程序運(yùn)行的主要流程.

圖5 程序流程圖

3 射流泵混合能力評(píng)價(jià)

3.1 射流泵混合能力評(píng)價(jià)方法

由FTLE所反映的鄰近粒子間平均分離程度的物理意義可知，每個(gè)取樣點(diǎn)的FTLE計(jì)算結(jié)果能夠代表該位置具有的混合能力，因此使用高分辨率的FTLE場(chǎng)可以直觀地表達(dá)射流泵混合能力空間分布特征.為進(jìn)一步探究不同流量比工況下的射流泵混合能力差異，將垂直于軸線截面的FTLE平均值作為射流泵在該位置的平均混合能力，并基于平均混合能力分析不同軸向位置的混合能力差異.

由于FTLE的計(jì)算結(jié)果為基于某一個(gè)時(shí)間段的速度矢量場(chǎng)進(jìn)行的計(jì)算，計(jì)算結(jié)果為瞬時(shí)混合能力，因此需要考慮運(yùn)行過程中的射流泵的混合能力隨時(shí)間變化的情況.計(jì)算GK4工況下在如圖6所示的典型截面1，2，3上基于不同時(shí)間段的FTLE，結(jié)果如圖7所示.其中圖7a為各典型截面上的FTLE場(chǎng)分布情況，雖然不同時(shí)刻的FTLE場(chǎng)存在細(xì)節(jié)上的差異，但總體形態(tài)特征相似，不影響基于FTLE場(chǎng)的定性研究.圖7b為圖7a對(duì)應(yīng)的各截面上的平均混合能力am隨時(shí)間T變化情況，可以發(fā)現(xiàn)截面平均混合能力也基本維持穩(wěn)定.

圖6 典型截面位置

圖7 基于不同時(shí)間段的FTLE計(jì)算結(jié)果

使用FTLE場(chǎng)描述混合能力空間分布特征，以及使用截面FTLE平均值代表不同軸向位置的平均混合能力時(shí)，其隨時(shí)間產(chǎn)生的差異均可以忽略不計(jì).因此，使用瞬態(tài)的FTLE計(jì)算結(jié)果對(duì)穩(wěn)定運(yùn)行的射流泵的混合能力進(jìn)行評(píng)價(jià).

3.2 射流泵混合能力空間分布特征

圖8為GK4工況下軸線以及垂直軸線的各截面上的FTLE場(chǎng).圖9為平均混合能力am沿軸向距離x變化情況.在噴嘴出口位置截面(x=3 mm)上，強(qiáng)混合能力區(qū)域主要集中在射流與被卷吸流的剪切層，分布集中且面積較小，隨著射流向下發(fā)展，混合能力較弱的被卷吸區(qū)域隨收縮室的收縮而不斷被縮小，同時(shí)射流剪切層的強(qiáng)混合能力區(qū)域不斷擴(kuò)散，此階段平均混合能力沿軸向迅速增強(qiáng)，進(jìn)入喉管后，強(qiáng)混合能力區(qū)域繼續(xù)發(fā)展直至充滿整個(gè)截面(x=28 mm)，此階段平均混合能力增強(qiáng)速率逐漸放緩，并在強(qiáng)混合能力區(qū)域完全擴(kuò)散時(shí)達(dá)到最大值.此后除了靠近內(nèi)壁面區(qū)域維持較強(qiáng)的混合能力，其他區(qū)域的混合能力總體呈現(xiàn)不斷衰減的趨勢(shì)，平均混合能力沿軸向不斷減小.

圖8 各截面FTLE場(chǎng)

圖9 平均混合能力沿軸向變化

根據(jù)射流泵混合能力空間分布特征可將流域內(nèi)混合狀態(tài)歸納為3類：剪切層處的高混合能力區(qū)域不斷擴(kuò)散的混合發(fā)展?fàn)顟B(tài)、高混合能力區(qū)域擴(kuò)散至整個(gè)截面的混合完全發(fā)展?fàn)顟B(tài)、總體混合能力不斷減弱的混合衰減狀態(tài).

3.3 流量比對(duì)射流泵混合能力的影響

圖10為GK1—GK5工況沿軸線截面的FTLE場(chǎng).在流量比q越小的工況，由剪切層發(fā)展的高混合能力區(qū)域能更好地保持形態(tài)，擴(kuò)散趨勢(shì)并不明顯，處于混合發(fā)展?fàn)顟B(tài)的流域越長.隨著流量比q增大，高混合能力區(qū)域擴(kuò)散得越來越劇烈，導(dǎo)致處于混合發(fā)展?fàn)顟B(tài)的流域縮短，混合完全發(fā)展?fàn)顟B(tài)越來越靠近上游，在GK5(q=0.902)工況，射流幾乎在剛進(jìn)入喉管后就達(dá)到了混合完全發(fā)展?fàn)顟B(tài).從整體上，雖然流量比的增大使得射流泵能迅速達(dá)到混合能力較強(qiáng)的混合完全發(fā)展?fàn)顟B(tài)，但此后的混合衰減過程也更為迅速，導(dǎo)致了整體處于較強(qiáng)混合能力的流域長度較短.

圖10 GK1—GK5軸截面FTLE場(chǎng)

從GK1—GK5工況平均混合能力am隨軸向距離x變化的情況進(jìn)行定量分析也可以發(fā)現(xiàn)同樣的規(guī)律.如圖 11所示，雖然流量比增大可以加快平均混合能力的增強(qiáng)，但由于增長速度過快，并且在此后平均混合能力減小的速率也相對(duì)更快，因此能夠維持具有高強(qiáng)度平均混合能力流域的長度很短；相反在小流量比情況下，雖然平均混合能力增長較慢，但這也導(dǎo)致了喉管內(nèi)相當(dāng)長的一段流域處于接近最高平均混合能力的狀態(tài)，并且達(dá)到最高點(diǎn)后衰減的速率也相對(duì)較慢，進(jìn)一步地延長了高混合能力流域的長度.

圖11 GK1—GK5平均混合能力沿軸向變化

4 結(jié) 論

通過數(shù)值模擬得到射流泵內(nèi)部流動(dòng)的離散速度矢量場(chǎng).提出了一種虛擬鄰近節(jié)點(diǎn)FTLE求解方法，并使用C++完成了求解程序設(shè)計(jì).基于該求解程序計(jì)算提供的FTLE場(chǎng)，提出了一種射流泵混合能力評(píng)價(jià)方法，使用此評(píng)價(jià)方法深入分析了一種典型射流泵的混合能力，得到了以下結(jié)論：

1)穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)下的射流泵的FTLE場(chǎng)的總體形態(tài)特征不受時(shí)間影響，各位置的平均混合能力隨時(shí)間變化很小，可以利用瞬態(tài)的FTLE計(jì)算結(jié)果對(duì)穩(wěn)定運(yùn)行中的射流泵混合能力進(jìn)行評(píng)價(jià).

2)處于混合發(fā)展?fàn)顟B(tài)的流域內(nèi)隨著剪切層處的高混合能力區(qū)域不斷擴(kuò)散，平均混合能力逐漸增強(qiáng)；在混合完全發(fā)展?fàn)顟B(tài)時(shí)平均混合能力達(dá)到最強(qiáng)，在混合衰減狀態(tài)，各處的混合能力總體衰減，平均混合能力不斷減弱.

3)流量比從平均混合能力大小以及變化趨勢(shì)2個(gè)方面來影響射流泵的混合.流量比越大，平均混合能力沿軸向增長越快，衰減越快，射流泵內(nèi)持續(xù)高強(qiáng)度混合能力的流域長度越短.