解答三角函數(shù)運(yùn)算問(wèn)題的幾個(gè)小技巧

朱靜

三角函數(shù)運(yùn)算問(wèn)題主要包括求值問(wèn)題和化簡(jiǎn)問(wèn)題，主要考查三角函數(shù)的基本公式和恒等變換的技巧. 這類(lèi)問(wèn)題雖然簡(jiǎn)單，但對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算和分析能力有較高的要求.下面主要談一談解答三角函數(shù)運(yùn)算問(wèn)題的幾個(gè)小技巧.

一、取特殊值

特殊值法通常適用于解答選擇題、填空題.運(yùn)用特殊值法解題的關(guān)鍵在于選擇合適的特殊值.一般地，可根據(jù)題意選取-1、0、1這樣的特殊值，將其代入題設(shè)中進(jìn)行求解，就能快速求得問(wèn)題的答案.

例1.設(shè)f（x）=asin（πx+α）+bcos（πn+β），則f（2007）=________.

可見(jiàn)，運(yùn)用特殊值法解題，能夠大大地簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提升解題的效率.

二、湊配

配湊法指的是通過(guò)恒等變形，把三角函數(shù)式配湊成某一個(gè)代數(shù)式的倍數(shù)或平方式，從而求得問(wèn)題的答案.在解題時(shí)，可根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行配湊;也可根據(jù)數(shù)量特征進(jìn)行配湊;還可根據(jù)定理、公式進(jìn)行配湊.在配湊時(shí)，要注意將已知關(guān)系式與目標(biāo)式關(guān)聯(lián)起來(lái)，通過(guò)拆角、補(bǔ)角、湊系數(shù)等方式使二者逐步靠攏.

分析：觀察已知關(guān)系式和所求目標(biāo)式，可知β=（α+β）-α，需靈活運(yùn)用兩角和的余弦公式和誘導(dǎo)公式來(lái)進(jìn)行恒等變換.

又α，β均為銳角，

因此0<α<α+β<π，cosα>cos（α+β），

在運(yùn)用配湊法解題時(shí)，要注意將已知角與所求角、已知關(guān)系式與所求目標(biāo)式關(guān)聯(lián)起來(lái)，合理進(jìn)行配湊，再選擇合適的公式求解.

三、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合法是解答三角函數(shù)問(wèn)題的常用方法.在解題時(shí)，可結(jié)合函數(shù)的圖象選擇一些特殊點(diǎn)，如最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、與x或y軸的交點(diǎn)，將其坐標(biāo)代入題設(shè)中，以便明確函數(shù)的解析式、性質(zhì);也可根據(jù)函數(shù)的解析式畫(huà)出函數(shù)的圖象，通過(guò)分析圖象，明確函數(shù)的對(duì)

稱(chēng)軸、最值、單調(diào)性，從而求函數(shù)式的值.

所以ω=3，

求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形，明確函數(shù)的周期、對(duì)稱(chēng)軸、最值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此求得函數(shù)的解析式以及f（0）的值.將數(shù)形結(jié)合起來(lái)，不僅可以使抽象的三角函數(shù)問(wèn)題變得更加直觀，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題的過(guò)程.

相比較而言，特殊值法最為簡(jiǎn)單，但是適用范圍較窄;配湊法和數(shù)形結(jié)合法的適用范圍較廣.對(duì)于選擇題、填空題而言，特殊值法和數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)越性更加明顯.