基于重整化群的艦艇末端反導(dǎo)火力配置優(yōu)化研究?

楊紹清 梁新宇 黃 義

（海軍大連艦艇學(xué)院 大連 116018）

1 引言

水面艦艇的末端反導(dǎo)一直是各國海軍高度重視的一個(gè)課題［1～2］，特別是反艦導(dǎo)彈的飽和攻擊和高超音速反艦導(dǎo)彈攻擊，是水面艦艇的很大威脅，因此如何在一個(gè)重要的區(qū)域中實(shí)現(xiàn)有效的防御則成為水面艦艇末端反導(dǎo)的一個(gè)重要的課題。本文利用重整化群優(yōu)化原理［3］，對艦艇及編隊(duì)三維作戰(zhàn)空域的末端反導(dǎo)防御問題進(jìn)行了研究，提出了一種新的水面艦艇末端反導(dǎo)火力優(yōu)化配置方法，可為水面艦艇及編隊(duì)末端反導(dǎo)火力配置提供決策依據(jù)。

2 重整化群優(yōu)化原理

重整化群（renormalization group）方法是20世紀(jì)70年代初Wilson［3］提出的一種方法，是建立在系統(tǒng)具有明顯分形結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，通過重復(fù)使用一個(gè)重整化遞歸關(guān)系，將一個(gè)具有較大相關(guān)尺度的原始系統(tǒng)，變換到一個(gè)統(tǒng)一的相關(guān)尺度上，從而研究系統(tǒng)的臨界現(xiàn)象并實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)優(yōu)化。

基于重整化群的優(yōu)化原理可以描述如下［12］：

1）設(shè)在尺度L0的情況下，系統(tǒng)某物理量大小為p0；

2）通過將尺度進(jìn)行粗化，可以計(jì)算出在尺度2L0的情況下，系統(tǒng)的物理量為p1；

3）再進(jìn)行粗化，可以計(jì)算出在尺度4L0的情況下，系統(tǒng)的物理量為p2；

4）一般地，在尺度為2nL0時(shí)系統(tǒng)的物理量的大小為pn；

5）定義變換T，則上述粗化過程可表示為T（p0）→p1，T（ p1）→p2，T（p2）→p3，…，T（pn-1）→pn，…。每一次變換，對應(yīng)的尺度變化為 L0→2L0，2L0→4L0，…，2（n-1）L0→2nL0，…；

6）如果對于變換T，存在一個(gè)正整數(shù)N滿足：T（pn）=pn+1=pn，n ≥ N，則稱pn為T的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，在臨界狀態(tài)中，不動(dòng)點(diǎn)通常對應(yīng)臨界點(diǎn)［10］。

利用不同尺度獲得系統(tǒng)物理量的過程稱為重整化，而變換T的集合定義為半群，是一個(gè)代數(shù)學(xué)概念［4］。設(shè)S是非空集合，在S中定義了二元乘法運(yùn)算*，滿足結(jié)合率，即

則稱S為半群。

考慮T的重整化作用，且變換T集合中的各元素必然滿足結(jié)合率，因此，物理學(xué)家將這一半群稱為重整化群。

3 末端反導(dǎo)火力配置優(yōu)化方法

3.1 基本假設(shè)

設(shè)某水面艦艇部隊(duì)要進(jìn)行海上末端反導(dǎo)作戰(zhàn)，為了問題的簡化，給出以下兩個(gè)假設(shè)。

1）要防御的總區(qū)域是一個(gè)邊長為L的立方體，艦艇（編隊(duì)）配置的各火力單元集中位于總防御區(qū)域底部中心，該立方體稱為總防御區(qū)域。參見圖1。

圖1 總防御區(qū)域

2）各火力單元對各自負(fù)責(zé)的防御單元的防御效果相同。

圖1中的圓點(diǎn)表示一個(gè)防御單元的中心，這個(gè)防御單元的實(shí)際大小由火力單元的戰(zhàn)技性能、技術(shù)狀態(tài)、毀傷能力和任務(wù)要求等決定。根據(jù)這一假設(shè)防御單元符合邊長為l的立方體，l小于總防御區(qū)域的邊長L。

3.2 任務(wù)描述

艦炮末端反導(dǎo)的任務(wù)就是要對從總防御區(qū)域除底部外的其他5個(gè)面來襲的導(dǎo)彈進(jìn)行有效的攔截，因此，防御任務(wù)指標(biāo)可以用艦炮對總防御區(qū)域5個(gè)面的控制程度來描述。對總防御區(qū)域的控制程度可以分成三類，即弱控制、強(qiáng)控制和無控制［5］，各類控制的含義如下。

1）弱控制是指部隊(duì)對總防御區(qū)域的一個(gè)方向上具有防御能力，即防御單元布滿總防御區(qū)域5個(gè)面中的1個(gè)面。

2）強(qiáng)控制是指部隊(duì)對總防御區(qū)域的兩個(gè)方向上具有防御能力，即防御單元布滿總防御區(qū)域5個(gè)面中的兩個(gè)面?？梢姡瑢偡烙鶇^(qū)域的強(qiáng)控制必然也是弱控制［9］。

3）無控制是指部隊(duì)對總防御區(qū)域無控制能力，既不是強(qiáng)控制，又不是弱控制的，則為無控制［6］。

3.3 火力配置優(yōu)化重整化群方法

3.3.1 總防御區(qū)域的分形特征

重整化群方法的前提是需要系統(tǒng)具有分形結(jié)構(gòu)［7］。總防御區(qū)域中防御單元的邊長逐漸變小時(shí)，防御單元的數(shù)量將逐漸增大，因此總防御區(qū)域可以看成是不同測度下具有自相似性的防御單元組成的，因而可以用分形維進(jìn)行描述。

式（1）中，D總是處于 0～3之間，故有0＜P0≤1。

3.3.2 強(qiáng)弱控制概率計(jì)算

強(qiáng)弱控制概率用于定量描述任務(wù)需求，就是重整化群方法中要求解的物理量［8］。

為求解問題方便，先考慮以邊長為2l的立方體作為總防御區(qū)域的弱控制和強(qiáng)控制時(shí)的概率。設(shè)Pw1為對總防御區(qū)域弱控制概率，Ps1為對總防御區(qū)域強(qiáng)控制概率，W為弱控制事件，S為強(qiáng)控制事件，Ai(i=1，2，…，8)為總防御區(qū)域中有i個(gè)防御單元得到控制的事件，則根據(jù)全概率公式有［11］：

則在各種情況下弱控制和強(qiáng)控制概率如下。

1）總防御區(qū)域中有1、2或3個(gè)防御單元得到控制時(shí)，無法形成弱控制和強(qiáng)控制，故：

2）總防御區(qū)域中有4個(gè)防御單元得到控制時(shí)，共有C84種組合方式，形成每種方式的概率為當(dāng)總防御區(qū)域1個(gè)面中的4個(gè)防御單元得到同時(shí)控制時(shí)，可形成弱控制，因此，弱控制有5種方式；顯然，在此情況下無強(qiáng)控制。故有：

其中，P0參見式（1）。

3）總防御區(qū)域中有5個(gè)防御單元得到控制時(shí)，共有C85種組合方式，形成每種方式的概率為當(dāng)總防御區(qū)域1防御面中的4個(gè)防御單元得到同時(shí)控制時(shí)，可形成弱控制，剩下的1個(gè)防御單元位于該防御面相對面的4個(gè)位置中任一位置即可，而共有5個(gè)防御面，因此，弱控制有20種方式；顯然，在此情況下無強(qiáng)控制。故有：

4）總防御區(qū)域中有6個(gè)防御單元得到控制時(shí)，共有C86種組合方式，形成每種方式的概率為

根據(jù)得到控制的6個(gè)防御單元不同位置情況可分析強(qiáng)弱控制概率。1）當(dāng)?shù)玫娇刂频?個(gè)防御單元位于總防御區(qū)域頂部，其余兩個(gè)防御單元位于總防御區(qū)域底部的同一邊上時(shí)，頂部和1個(gè)側(cè)面同時(shí)得到控制，從而形成強(qiáng)控制，由于有4個(gè)側(cè)面，所以有4種強(qiáng)控制方式；如果其余兩個(gè)防御單元位于總防御區(qū)域底部的不同邊上時(shí)，即位于底部的對角時(shí)，只有頂部得到控制，因此，只能形成弱控制，共有兩種弱控制方式；由于強(qiáng)控制也是弱控制，因此，共有4種方式強(qiáng)控制，6種方式弱控制；2）當(dāng)?shù)玫娇刂频?個(gè)防御單元位于總防御區(qū)域側(cè)面，相鄰兩個(gè)側(cè)面都得到控制時(shí)將形成強(qiáng)控制，共有4種控制方式，側(cè)面與頂部形成的強(qiáng)控制已經(jīng)計(jì)算過；而弱控制是其余兩個(gè)防御單元位于相對側(cè)面的對角和下邊時(shí)，1個(gè)側(cè)面共有3種方式，4個(gè)側(cè)面共有12種方式；因此，共有4種強(qiáng)控制，16種弱控制；3）當(dāng)?shù)玫娇刂频?個(gè)防御單元位于總防御區(qū)域底部時(shí)，其余兩個(gè)位于頂部的同一邊，則形成弱控制，共有4種方式，在此情況下無強(qiáng)控制。

綜上所述，在總防御區(qū)域中有6個(gè)防御單元得到控制時(shí)，弱控制方式有26種，強(qiáng)控制方式有8種。故有：3.3.3 尺度粗化及概率變換方程與求解

根據(jù)P0，由式（4）可以計(jì)算出了 Pw1，此時(shí)總防御區(qū)域變長為L而防御單元邊長為l；將總防御區(qū)域和防御單元邊長分別變?yōu)?L和2l，則此時(shí)根據(jù)式（2）可得總防御區(qū)域的弱控制概率為；類似地，用重整化群的方法，反復(fù)增大區(qū)域，由式（4）和（5）可以得到以下關(guān)系：

這樣就可以得到圖2和圖3中所示的情況。對于弱控制和強(qiáng)控制，分別符合以下的關(guān)系式：

從圖2和圖3中可以看出，x=0和x=1是弱控制和強(qiáng)控制的可靠的不動(dòng)點(diǎn)。但在0和1之間它們各自有不同的不可靠的不動(dòng)點(diǎn)。弱控制概率的不動(dòng)點(diǎn)約為PWC=0.7634，強(qiáng)控制概率的不動(dòng)點(diǎn)為PSC=0.9391。

圖2 弱控制圖y=f(x)和y=x

圖3 強(qiáng)控制圖y=g(x)和y=x

3.3.4 應(yīng)用舉例

1）問題描述

設(shè)某一水面艦艇或編隊(duì)要執(zhí)行末端反導(dǎo)任務(wù)，總防御區(qū)域邊長為L=10km，火力單元作戰(zhàn)能力范圍為l=5km，一個(gè)火力單元能夠有效控制各不相同的兩個(gè)防御單元，試問需要多少個(gè)火力單元才能夠?qū)崿F(xiàn)末端反導(dǎo)的弱控制和強(qiáng)控制？

2）問題求解

分別考慮水面艦艇或編隊(duì)有不同個(gè)火力單元情況。

（1）兩個(gè)火力單元

兩個(gè)火力單元可以有效控制4個(gè)防御單元，因此，N(l)=4。

根據(jù)給定的總防御區(qū)域L=10km和防御單元的作戰(zhàn)能力范圍l=5km及相應(yīng)的防御單元數(shù)量N（l）=4，可以估計(jì)出防御單元分布的分形維：

對總防御區(qū)域強(qiáng)弱控制的初始概率為

根據(jù)上述求解，弱控制的臨界概率為PWC=0.7634，由于P0＜PWC而無法實(shí)現(xiàn)弱控制。

實(shí)際上，當(dāng)對總防御區(qū)域的弱控制概率大于Pwc時(shí)，對總防御區(qū)域的弱控制將向好的方向轉(zhuǎn)化，當(dāng)在Pwc以下時(shí)，向壞的方向轉(zhuǎn)化。這一過程與弱控制概率迭代計(jì)算過程類似，參見圖4。

圖4 弱控制概率迭代計(jì)算過程

（2）3個(gè)火力單元

可以有效控制6個(gè)防御單元，P0=0.75，P0＜PWC，仍然不能夠很好地實(shí)現(xiàn)弱控制。

（3）4個(gè)火力單元

可以有效控制8個(gè)防御單元，P0=1，P0＞PSC=0.9391，這情況下不僅能夠很好地實(shí)現(xiàn)弱控制，也能很好地實(shí)現(xiàn)強(qiáng)控制。

3）結(jié)果與分析

根據(jù)上述計(jì)算可以得出，當(dāng)艦艇或編隊(duì)配有4個(gè)和4個(gè)以上的火力單元時(shí)，則能夠?qū)崿F(xiàn)末端反導(dǎo)的強(qiáng)控制；當(dāng)艦艇或編隊(duì)配有3個(gè)和3個(gè)以下的火力單元時(shí)，則能夠很好地完成末端反導(dǎo)任務(wù)。

實(shí)際上，當(dāng)對總防御區(qū)域的初始控制概率P0大于強(qiáng)控制臨界概率Psc時(shí)，對總防御區(qū)域的強(qiáng)控制將向好的方向轉(zhuǎn)化；當(dāng)對總防御區(qū)域的初始控制概率P0小于弱控制臨界概率PWC時(shí)，對總防御區(qū)域?qū)⑾驘o控制轉(zhuǎn)化；而當(dāng)PWC＜P0＜PSC時(shí)，將無法實(shí)現(xiàn)強(qiáng)控制，但能夠很好地實(shí)現(xiàn)弱控制，且向好的弱控制轉(zhuǎn)化比向好的強(qiáng)控制轉(zhuǎn)化要容易。

4 結(jié)語

本文在對水面艦艇末端反導(dǎo)作戰(zhàn)任務(wù)進(jìn)行定量分析的基礎(chǔ)上，利用重整化群思想，給出了一種新的水面艦艇末端反導(dǎo)火力單元的配置方法。通過艦載武器火力單元的戰(zhàn)術(shù)與技術(shù)性能，確定火力單元能夠有效控制的防御單元的方向、大小和空間形狀；通過防御單元的數(shù)量和總防御區(qū)域的大小，可以確定初始控制概率；根據(jù)初始控制概率與總防御區(qū)域強(qiáng)弱控制轉(zhuǎn)化的臨界概率的大小關(guān)系，可以得到艦艇及編隊(duì)完成任務(wù)的情況，進(jìn)而優(yōu)化火力配置和兵力部署方案。