數(shù)學(xué)啟蒙教育的偏與正：基于和人教育理論的思考

李方紅

“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”的說(shuō)法對(duì)數(shù)學(xué)的價(jià)值雖有夸大，但在培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、邏輯推理、模型建構(gòu)、系統(tǒng)思維、質(zhì)疑批判、實(shí)踐創(chuàng)新等方面有著不可替代的作用。針對(duì)各級(jí)招生評(píng)價(jià)指標(biāo)的導(dǎo)向和對(duì)數(shù)學(xué)啟蒙教育的過(guò)度重視與不當(dāng)方法，有必要深度剖析，診斷是非，厘清數(shù)學(xué)啟蒙教育的正途。

一、數(shù)學(xué)啟蒙教育之“偏”

（一）玩游戲培養(yǎng)興趣

很多家長(zhǎng)深知興趣對(duì)孩子成長(zhǎng)的重要性，積木、拼圖、數(shù)獨(dú)、魔方、九連環(huán)、華容道……成了孩子數(shù)學(xué)啟蒙的工具。這些操作性與思維性結(jié)合的游戲?qū)ε囵B(yǎng)孩子的協(xié)調(diào)性、專(zhuān)注力、記憶力、推理能力等大有裨益，但認(rèn)為孩子玩好這些游戲就是數(shù)學(xué)啟蒙則有失偏頗。數(shù)學(xué)教育有培養(yǎng)人力、傳承文化、服務(wù)生活的三重價(jià)值，[1]僅靠玩游戲培養(yǎng)學(xué)習(xí)力的做法，缺乏習(xí)慣引導(dǎo)、方法啟迪、精神涵養(yǎng)、性格潤(rùn)育等，難以落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，也不能全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（二）自然式放養(yǎng)

少數(shù)家長(zhǎng)認(rèn)為最好的教育就是基于自然主義的“放養(yǎng)教育”，孩子入學(xué)前，只要吃好、玩好、睡好、身體好就行。這樣可能會(huì)錯(cuò)過(guò)孩子數(shù)感培養(yǎng)的關(guān)鍵期（3歲左右），[2]失掉為孩子后續(xù)正式學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)的機(jī)會(huì)。自然主義并非不管不問(wèn)、不導(dǎo)不引、不育不潤(rùn)，而是指遵循兒童身心成長(zhǎng)的自然規(guī)律。

（三）興趣班越早越好

很多家長(zhǎng)擔(dān)心孩子輸在起跑線(xiàn)，在沒(méi)有厘清培養(yǎng)思路時(shí)，病急亂投醫(yī)，跟著大眾走，把孩子交給各種培訓(xùn)機(jī)構(gòu)。社會(huì)上多數(shù)興趣班都是超前或超綱學(xué)習(xí)，且僅教知識(shí)，忽略學(xué)習(xí)方法、習(xí)慣的培養(yǎng)，漠視精神和興趣情感的熏陶，抹殺孩子的好奇心與求知欲。

（四）數(shù)學(xué)啟蒙就是教計(jì)算

很多家長(zhǎng)認(rèn)為孩子會(huì)20以?xún)?nèi)加減運(yùn)算，數(shù)學(xué)啟蒙教育就做好了。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科，運(yùn)算僅是其中一部分，運(yùn)算的前置知識(shí)應(yīng)是數(shù)和數(shù)量的關(guān)系，單純教計(jì)算，忽視前置知識(shí)基礎(chǔ)的孕育和計(jì)算的生長(zhǎng)根基，無(wú)異于揠苗助長(zhǎng)。

玩游戲、自然放養(yǎng)、早上興趣班、只教計(jì)算等走進(jìn)了以偏概全、不明規(guī)律、揠苗助長(zhǎng)、流于表面的誤區(qū)，其本質(zhì)是家長(zhǎng)對(duì)教育教學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)啟蒙基本方法的不明就里，所以亟待糾偏歸正。

二、和人教育理念下的數(shù)學(xué)啟蒙教育解構(gòu)

和人教育的核心理念是“和乎人性，和而不同，和美生活”，[3]強(qiáng)調(diào)一切教育教學(xué)活動(dòng)都需遵循人成長(zhǎng)的規(guī)律而展開(kāi)，做到因材施教、因地制宜、因人而異、因時(shí)而變，將統(tǒng)一性與差異性、集體性與個(gè)性化有機(jī)整合，讓每個(gè)學(xué)生都成為最優(yōu)秀的自己，享受和美的幸福生活。這需要教育做到由表及里的追問(wèn)與把捉，做到由此及彼的統(tǒng)一，擁有由近及遠(yuǎn)的全局設(shè)計(jì)與終身發(fā)展的長(zhǎng)遠(yuǎn)視野。

學(xué)科育人價(jià)值不僅傳承文化，也要培養(yǎng)人力與服務(wù)生活，溝通數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，真正激發(fā)其學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力。學(xué)科育人科學(xué)規(guī)律、兒童身心發(fā)展規(guī)律、學(xué)生人力培養(yǎng)規(guī)律、數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展規(guī)律構(gòu)成了數(shù)學(xué)啟蒙教育的理論根基?；谒拇笠?guī)律展開(kāi)的教育設(shè)計(jì)與實(shí)施是啟蒙教育的基本原則，學(xué)科育人要回應(yīng)人力培養(yǎng)、文化傳承、服務(wù)生活的綜合育人價(jià)值；身心發(fā)展規(guī)律是回答孩子身心發(fā)展的特點(diǎn)，啟蒙教育的方式方法呈現(xiàn)的是采取怎樣的策略與措施問(wèn)題；人力培養(yǎng)規(guī)律回應(yīng)怎樣讓學(xué)生從學(xué)會(huì)到想學(xué)、會(huì)學(xué)、學(xué)好的學(xué)習(xí)生發(fā)性問(wèn)題，即怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要哪方面的關(guān)鍵能力與核心品格。如果把學(xué)科發(fā)展比作菜肴，學(xué)習(xí)機(jī)制就是做菜的基本功與方法，學(xué)科發(fā)展規(guī)律厘清了數(shù)學(xué)學(xué)科最核心的內(nèi)容、它們之間的關(guān)系，又如何在啟蒙教育階段予以適切滲透等問(wèn)題。

學(xué)科育人是價(jià)值論探討，身心發(fā)展是啟蒙教育的實(shí)踐觀(guān)依據(jù)，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，有序?qū)W習(xí)，實(shí)現(xiàn)兒童更好成長(zhǎng)（單位時(shí)間內(nèi)更好地成長(zhǎng)）；人力培養(yǎng)是學(xué)習(xí)的方法論闡釋?zhuān)粚W(xué)科發(fā)展是學(xué)科成長(zhǎng)的本體論解讀。四者相互生成，相互促進(jìn)，共同為學(xué)生更好成長(zhǎng)奠基。

從和人教育理論視野切入，基于數(shù)學(xué)啟蒙教育現(xiàn)實(shí)問(wèn)題與歸正方向分析，數(shù)學(xué)啟蒙教育的總體歸正涉及以下四個(gè)方面。見(jiàn)圖1。

圖1 數(shù)學(xué)啟蒙教育的偏與正

三、數(shù)學(xué)啟蒙教育之“正”

（一）價(jià)值論：助力學(xué)生和美生活

數(shù)學(xué)啟蒙應(yīng)從關(guān)注外顯結(jié)果的“偏”走向由外向內(nèi)，由表及里的生發(fā)性、根基性、內(nèi)隱性的啟蒙“正”途，應(yīng)從外在驅(qū)動(dòng)的興趣培養(yǎng)走向關(guān)注內(nèi)在生發(fā)的需求。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，感受其價(jià)值，激發(fā)探究數(shù)學(xué)的本源初心，讓學(xué)習(xí)變得真實(shí)而有趣。

數(shù)學(xué)的價(jià)值體現(xiàn)在趣、美、用三方面。[5]啟蒙階段，要讓幼兒走出家門(mén)、走出紙筆世界、走出社區(qū)、走進(jìn)生活、走進(jìn)社會(huì)，去感受數(shù)學(xué)的廣泛存在，體悟數(shù)學(xué)無(wú)處不在，隨處可用?；谟變旱恼J(rèn)知能力與身心特點(diǎn)進(jìn)行浸潤(rùn)式啟發(fā)，基于浸入性、泛在性、啟發(fā)性、探索性等教育原則，即不刻意出示與營(yíng)造，不講授解說(shuō)，讓孩子去感受、體驗(yàn)、探索、體悟。例如，1 歲時(shí)，父母把孩子帶到兒童樂(lè)園，他看到很多花、很多人……回到家，對(duì)比身邊人，爸媽可嘗試與孩子一起對(duì)話(huà)，今天兒童樂(lè)園人真多，家里人真少。在孩子充分感受后，家長(zhǎng)可進(jìn)行大小比較關(guān)系的啟蒙，是數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值的原始啟蒙。

（二）實(shí)踐觀(guān)：實(shí)現(xiàn)兒童更好成長(zhǎng)

孩子產(chǎn)生原始探究欲后，接下來(lái)應(yīng)在浸潤(rùn)基礎(chǔ)上積極引導(dǎo)，使其養(yǎng)成有序?qū)W習(xí)、科學(xué)學(xué)習(xí)的良好行為習(xí)慣。從行為主義分析，學(xué)習(xí)即行為程式的不斷優(yōu)化，包括各器官的協(xié)調(diào)參與，看、聽(tīng)、思、做、說(shuō)等行為的參與，不斷完善生理器官的機(jī)能，累積更優(yōu)的行為程式，實(shí)現(xiàn)自身成長(zhǎng)。從認(rèn)知建構(gòu)主義探析，學(xué)習(xí)是“情境-內(nèi)化-順應(yīng)-平衡-外化”的認(rèn)知建構(gòu)過(guò)程，關(guān)注情境的表象依附，強(qiáng)調(diào)新舊認(rèn)知的聯(lián)系，注重讓學(xué)生不斷表達(dá)輸出等。從社會(huì)學(xué)視野檢視，學(xué)習(xí)包含系列社會(huì)化過(guò)程，教育學(xué)領(lǐng)域建立目標(biāo)-課程-學(xué)習(xí)-評(píng)價(jià)-研究的系統(tǒng)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。金字塔及艾賓浩斯遺忘曲線(xiàn)等理論，指出復(fù)述表達(dá)、實(shí)踐、復(fù)習(xí)總結(jié)等習(xí)慣有利于學(xué)習(xí)效率與質(zhì)量的提升。

基于以上理論，讓幼兒建立縱向有序、橫向有質(zhì)的優(yōu)質(zhì)學(xué)習(xí)行為程式，預(yù)、學(xué)、結(jié)、練、用、創(chuàng)、展、評(píng)八環(huán)學(xué)習(xí)習(xí)慣就是對(duì)此的回應(yīng)。[6]八環(huán)是學(xué)習(xí)過(guò)程的完整生態(tài)描述，是學(xué)生多種器官的協(xié)同參與，更切合高質(zhì)學(xué)習(xí)的基本程式。預(yù)，即學(xué)習(xí)的驅(qū)動(dòng)、計(jì)劃、準(zhǔn)備；學(xué)，即通過(guò)多元路徑、多種方式、多樣形式展開(kāi)，如自主與合作、課內(nèi)與課外、發(fā)現(xiàn)與接受、意義與無(wú)意義、正式與非正式、線(xiàn)上與線(xiàn)下、主題與隨性學(xué)習(xí)等；結(jié)，即及時(shí)總結(jié)與梳理、自省與復(fù)述、實(shí)現(xiàn)過(guò)渡學(xué)習(xí)、建立系統(tǒng)認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)；用，即及時(shí)以用致學(xué)、以學(xué)致用、在做中學(xué)、在做中提升；創(chuàng)，即實(shí)踐研究與創(chuàng)新探索；展，即多參加各種展示自己的活動(dòng)，在活動(dòng)中交流互生，在活動(dòng)中歷練成長(zhǎng)。評(píng)，即最后的成長(zhǎng)反饋與未來(lái)發(fā)展預(yù)見(jiàn)與建議咨詢(xún)。八環(huán)融合了一切做事行為的基本程式和良好習(xí)慣，即“預(yù)-規(guī)劃，學(xué)-思考，用-實(shí)踐與持恒，篤行與超越，結(jié)-總結(jié)”，八環(huán)也關(guān)注了對(duì)學(xué)生計(jì)劃、執(zhí)行、堅(jiān)持與反思習(xí)慣的培養(yǎng)。

例如，幼兒3 歲左右，可與他們一起制作一本充滿(mǎn)童趣的學(xué)習(xí)冊(cè)，用來(lái)記錄其學(xué)到的知識(shí)與解決問(wèn)題的方法，記錄他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一些快樂(lè)瞬間，累積積極情感。[7]還可以在家里開(kāi)一個(gè)我來(lái)講數(shù)學(xué)的小型宣講會(huì)，各個(gè)成員每周分享自己的學(xué)習(xí)收獲，與孩子一起制定詳細(xì)的獎(jiǎng)勵(lì)制度，可采取代幣制鼓勵(lì)孩子的點(diǎn)滴發(fā)現(xiàn)與進(jìn)步。

（三）方法論：優(yōu)化學(xué)生生長(zhǎng)基因

學(xué)生在有序?qū)W習(xí)的基礎(chǔ)上，應(yīng)追求高質(zhì)量學(xué)習(xí)，這需要把握數(shù)學(xué)的規(guī)律，為學(xué)生植入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的優(yōu)質(zhì)基因?；谝?guī)律，探明“原點(diǎn)”與“根基”，播下良好的學(xué)習(xí)種子，這個(gè)種子就是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)背后的科學(xué)精神、研究方法、數(shù)學(xué)思想（普適性的思考方法）、學(xué)習(xí)方法、解題方法等。掌握科學(xué)研究方法，如實(shí)驗(yàn)法，用“猜想、實(shí)驗(yàn)、結(jié)論、驗(yàn)證、應(yīng)用”可以探索很多數(shù)學(xué)規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型。小學(xué)階段，常見(jiàn)的研究方法包括調(diào)查、實(shí)驗(yàn)、文獻(xiàn)、個(gè)案、實(shí)踐等。有求真創(chuàng)新的精神，便有探索的韌勁。

數(shù)學(xué)思想是建構(gòu)新知、問(wèn)題解決、做題解題、生活實(shí)踐等的普適性思考方法，是對(duì)思考行為與方法的高度概括。如，轉(zhuǎn)化的思想，即把未知轉(zhuǎn)化成已知，通過(guò)已知解決未知，這個(gè)思考方法在學(xué)習(xí)平行四邊形面積、人類(lèi)解決能源不足問(wèn)題、對(duì)百分?jǐn)?shù)的理解上都能用到。例如，今年收入比去年提高10%，即去年收入與今年收入的比是10：11，把百分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成比。小學(xué)數(shù)學(xué)思想依據(jù)思想產(chǎn)生根源與適用范疇分成三類(lèi)，本質(zhì)性思想、認(rèn)識(shí)論思想、數(shù)學(xué)內(nèi)容板塊具化的方法論思想。模型思想、符號(hào)化思想屬于本質(zhì)性數(shù)學(xué)思想；認(rèn)知論有操作、數(shù)形結(jié)合、推理、轉(zhuǎn)化與化歸、代數(shù)、變換、整體、類(lèi)比、分類(lèi)討論、枚舉、假設(shè)、極限、優(yōu)化、演繹推理等數(shù)學(xué)思想；函數(shù)、方程、集合、周期、概率統(tǒng)計(jì)等是各板塊具化的方法論思想。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，指基于學(xué)科特性，基于學(xué)習(xí)本質(zhì)規(guī)律，高質(zhì)學(xué)習(xí)機(jī)制的系列學(xué)習(xí)方法。解題方法聚焦具體的解題程式，小學(xué)階段可按思維分層，看得見(jiàn)、推得出、想得明三類(lèi)。操作、嘗試、畫(huà)圖、舉例、枚舉、代入、假設(shè)、感覺(jué)、生活經(jīng)驗(yàn)等讓數(shù)學(xué)解題更直觀(guān)、看得見(jiàn)的方法；推理、對(duì)比、排除、正反推、公式是等較為抽象的方法，通過(guò)對(duì)信息的深度解構(gòu)深究數(shù)理本質(zhì)的解題方法是最抽象的方法。

幼兒?jiǎn)⒚山逃龝r(shí)，家長(zhǎng)要對(duì)方法論有系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，但不可直接告知，要采取潤(rùn)的方式讓孩子在具體的情境、學(xué)習(xí)中體悟。

（四）本體論：夯實(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)啟蒙教育的載體與外化成果集中表現(xiàn)為對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知與知識(shí)結(jié)構(gòu)的探究與掌握，是過(guò)程與結(jié)果的統(tǒng)一，即研究數(shù)學(xué)規(guī)律，學(xué)會(huì)相關(guān)知識(shí)，了解相關(guān)文化，體悟相關(guān)方法，學(xué)會(huì)相關(guān)應(yīng)用等。數(shù)學(xué)啟蒙還能讓學(xué)生研究與掌握數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容“原生性”的根基知識(shí)。

小學(xué)數(shù)學(xué)分成四大板塊，即數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐。數(shù)與代數(shù)是基礎(chǔ)與前置知識(shí)，是數(shù)學(xué)啟蒙教育的核心內(nèi)容，包括“數(shù)、代數(shù)式、數(shù)量關(guān)系、數(shù)的運(yùn)算”四部分，小學(xué)階段將這些內(nèi)容在每?jī)?cè)書(shū)中呈螺旋上升安排，即按“整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、代數(shù)、百分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)”有序遞升編排，數(shù)量關(guān)系按“大小比較關(guān)系、和的關(guān)系、差的關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系、相除關(guān)系”有序呈現(xiàn)，數(shù)的運(yùn)算按“加法、減法、乘法、除法、混合運(yùn)算”漸進(jìn)設(shè)計(jì)，且將其在每?jī)?cè)中分步呈現(xiàn)。運(yùn)算是數(shù)量關(guān)系的符號(hào)表征（如3 與2 和的關(guān)系，合起來(lái)是多少，用加法符號(hào)及運(yùn)算過(guò)程來(lái)表征）。其中數(shù)的認(rèn)識(shí)要注意“基數(shù)與序數(shù)、數(shù)量與分率（百分?jǐn)?shù)）、正數(shù)與負(fù)數(shù)、整數(shù)與分?jǐn)?shù)小數(shù)、數(shù)與字母代數(shù)、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)”等的關(guān)系與區(qū)別，只有理解數(shù)的含義，才能理解數(shù)量關(guān)系與數(shù)的運(yùn)算。啟蒙階段，在學(xué)科知識(shí)內(nèi)容、學(xué)科發(fā)展基礎(chǔ)方面，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注幼兒的數(shù)感、數(shù)量關(guān)系與基本運(yùn)算的表象建立，即理解數(shù)表示什么意思，關(guān)系與運(yùn)算是什么意思，是怎么有序產(chǎn)生的。

幼兒階段重在啟蒙，不是習(xí)得系統(tǒng)的知識(shí)。實(shí)踐操作中，要注重潤(rùn)化、表象、思考、表達(dá)，循序漸進(jìn)、點(diǎn)到為止。數(shù)有兩種基本含義，一是基數(shù)，二是序數(shù)?；鶖?shù)表示數(shù)量多少，序數(shù)表示順序。序數(shù)是數(shù)量集合后的一種順序表示，如第一名，第二名，第三名。生活中數(shù)量多少與對(duì)應(yīng)數(shù)字組成對(duì)應(yīng)關(guān)系的建立就是最初的數(shù)感，數(shù)的觀(guān)念與表象建立的過(guò)程經(jīng)歷情境——操作——替物——圖示——符號(hào)——抽象（概念）——應(yīng)用的基本過(guò)程。

生活中有計(jì)數(shù)的需要，最初用石子一一對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)，但不便捷，后來(lái)發(fā)展到結(jié)繩、記號(hào)或畫(huà)圈，最后發(fā)明了用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個(gè)數(shù)字表示對(duì)應(yīng)的數(shù)量。10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字就是一種符號(hào)抽象，再進(jìn)一步到概念抽象。0～9 這10 個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字比作英語(yǔ)里的基本字母，到了10，這個(gè)數(shù)量異常關(guān)鍵，若繼續(xù)發(fā)明其他數(shù)字來(lái)表示無(wú)限的數(shù)量顯然太麻煩，這個(gè)發(fā)明的過(guò)程不要直接講解，讓孩子去探索、嘗試?；蛘吲c數(shù)學(xué)家達(dá)成共識(shí)，順勢(shì)引導(dǎo)；或者偏離，適時(shí)啟發(fā)。原來(lái)到了10，數(shù)學(xué)家發(fā)明了十位，即新的計(jì)數(shù)單位“十”。數(shù)位就像更高級(jí)別的座位一樣，數(shù)字0～9 坐在那里，升級(jí)了，就表示0 個(gè)10、2 個(gè)10 等。數(shù)位與計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率要通過(guò)形象的比喻，以及豐富的表象讓學(xué)生慢慢建立。數(shù)位比作座位，計(jì)數(shù)單位比作賦予這個(gè)座位的不同權(quán)力。國(guó)王坐在皇位上，可號(hào)令天下，臣子坐在對(duì)應(yīng)座位，只能執(zhí)行決定，出謀劃策等。個(gè)位是最低級(jí)的座位，上面的權(quán)力是數(shù)字幾就表示幾個(gè)1，十位比個(gè)位高一個(gè)級(jí)別，權(quán)力是數(shù)字幾就表示幾個(gè)10，且隨著個(gè)位上臣子的功績(jī)提升，若滿(mǎn)10，即10 個(gè)1，就向上十位進(jìn)一，變成一到十位。這樣用10 就表示了10個(gè)，同樣的12表示1個(gè)10和2個(gè)1，表示12，依此類(lèi)推。

“數(shù)字是數(shù)的組成基礎(chǔ)，包括0～9這10個(gè)數(shù)字；數(shù)位是數(shù)字的座位，計(jì)數(shù)單位是對(duì)應(yīng)座位上數(shù)字的權(quán)力，個(gè)位上，表示幾個(gè)1，十位上，表示幾個(gè)10；下一數(shù)位上的數(shù)字若滿(mǎn)10，則升級(jí)到上一數(shù)位上用數(shù)字1表示。”即把“數(shù)位、計(jì)數(shù)單位、滿(mǎn)10 進(jìn)1”這樣的一套十進(jìn)位值制記數(shù)法轉(zhuǎn)化成學(xué)生可借助生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系的形象化認(rèn)知，依托不同的數(shù)及對(duì)應(yīng)數(shù)量物體的反復(fù)感知，讓學(xué)生真正建立清晰的表征理解。

家長(zhǎng)只需在生活中找各種數(shù)量（先認(rèn)識(shí)10以?xún)?nèi)的量）的物體，讓孩子直觀(guān)感受量，再一一對(duì)應(yīng)畫(huà)圈，用對(duì)應(yīng)的數(shù)表示數(shù)量，讓其慢慢體會(huì)數(shù)可以表示多物的量，一物多量用多數(shù)表示。數(shù)量關(guān)系包括大小比較、和、差、乘、除等。這些關(guān)系的內(nèi)容（結(jié)果）計(jì)算產(chǎn)生了數(shù)的運(yùn)算。啟蒙一定要加強(qiáng)對(duì)四則運(yùn)算及各運(yùn)算表示含義的理解和體驗(yàn)。通過(guò)操作、畫(huà)圖、符號(hào)、表達(dá)、應(yīng)用，從形象到抽象漸進(jìn)過(guò)度，從理解到計(jì)算慢慢衍生，從計(jì)算到解決問(wèn)題逐步推進(jìn)，從數(shù)學(xué)到生活適切融入，切不可急功近利，囫圇吞棗，拔苗助長(zhǎng)。

1.加法運(yùn)算。加法是求兩個(gè)數(shù)和的關(guān)系而誕生的一種運(yùn)算。正確的引導(dǎo)方法是讓孩子經(jīng)歷“合起來(lái)需要——合起來(lái)是多少的問(wèn)題解決——合起來(lái)符號(hào)表示——加法含義”這樣形象到抽象漸進(jìn)的過(guò)程。例如，今天媽媽買(mǎi)了3 個(gè)蘋(píng)果，奶奶又帶來(lái)5 個(gè)，一共多少個(gè)？孩子想的辦法一般是動(dòng)手操作，把3 個(gè)蘋(píng)果和5 個(gè)蘋(píng)果合起來(lái)，數(shù)一數(shù)，媽媽可以追問(wèn)，如果不合起來(lái)，你能解決嗎（最近發(fā)展區(qū)不斷激發(fā)孩子思維進(jìn)階）？小朋友冥思苦想，通常會(huì)想到畫(huà)圈代替合起來(lái)。如果不畫(huà)圈呢？用數(shù)和符號(hào)來(lái)表示，3在這里表示3個(gè)蘋(píng)果，5表示5個(gè)蘋(píng)果，加號(hào)表示合起來(lái)，等號(hào)表示得多少，8表示結(jié)果，孩子在經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程建立豐富的表象后，便能將實(shí)際合起來(lái)的過(guò)程與加法算式符號(hào)抽象建立對(duì)應(yīng)聯(lián)結(jié)。小學(xué)階段只有四則運(yùn)算，解決問(wèn)題難度的提升主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是數(shù)的變化。六年級(jí)還會(huì)有加法運(yùn)算的解決問(wèn)題，變成了分?jǐn)?shù)、小數(shù)之間的運(yùn)算；二是多種運(yùn)算的融合。表現(xiàn)為多步運(yùn)算，習(xí)題設(shè)計(jì)中要利用“你想要的偏不給”的策略，需要先通過(guò)其他運(yùn)算求中間條件。例如，一年級(jí)的一道解決問(wèn)題：男生22人，女生20人，一共多少人。此題在三年級(jí)變化為男生22人，女生比男生少2人，班級(jí)一共多少人。求總數(shù)，先要知道女生人數(shù)，偏不給，那就先求女生人數(shù)。這樣由一步變成了兩步；三是情境的復(fù)雜性。一年級(jí)都是花草，六年級(jí)便是家國(guó)天下。

2.減法運(yùn)算。減法是加法的逆運(yùn)算，表示從總數(shù)中去掉一部分，求剩下多少。包括典型的去掉求剩下問(wèn)題，求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）多少。例如，媽媽今天煮了10個(gè)湯圓，爸爸吃了4個(gè)，碗里剩下幾個(gè)。孩子通過(guò)動(dòng)手操作、畫(huà)圖，用10表示總數(shù)，“-”表示去掉，4表示4個(gè)，“=”表示得，6表示剩下6個(gè)。減法算式僅是一種符號(hào)表征，讓學(xué)生知道“-”表示去掉，“=”表示得數(shù)是多少。學(xué)生開(kāi)始只能通過(guò)“操作、畫(huà)圖、扳手指”等形象化的計(jì)算來(lái)理解運(yùn)算，最后總結(jié)哪兩個(gè)數(shù)組合得10，并背誦湊10的數(shù)對(duì)?！耙痪乓痪藕门笥?，二八二八手拉手，三七三七一起走……”這是形象到抽象的思維升級(jí)過(guò)程，也是“操作——圖示——符號(hào)表征——理解符號(hào)含義——多法計(jì)算——口訣記憶”的過(guò)程，切不可拔苗助長(zhǎng)，不經(jīng)歷探索與表征理解，直接讓孩子背口訣。

3.乘法運(yùn)算。乘法是幾個(gè)相同加數(shù)相加的簡(jiǎn)便計(jì)算，即特殊加法的簡(jiǎn)便計(jì)算。7×3=表示3 個(gè)7 的和是多少，7 個(gè)3 的和是多少。包括典型的求幾個(gè)幾的問(wèn)題，以及求一個(gè)數(shù)的幾倍（實(shí)際上也是幾個(gè)幾），六年級(jí)是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾。

4.除法運(yùn)算。除法是乘法的逆運(yùn)算。2×6=12 12÷2=（），人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材安排二年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)除法，12÷2=（）的生活原型是共有12 個(gè)蛋糕，平均分成2 份，求每份是多少？或12 個(gè)蛋糕，每2 個(gè)為1 份，能平均分成幾份？除法運(yùn)算本質(zhì)是表示平均分。兩種分法，一是平均分成幾份，求每份多少。二是每多少個(gè)為1份，能平均分成幾份。如何理解除法是乘法的逆運(yùn)算，可以通過(guò)實(shí)物合與分的直觀(guān)例子來(lái)理解。如每盤(pán)5 個(gè)餃子，有3 盤(pán)，一共多少個(gè)？求3 個(gè)5，5×3=15（個(gè)）。反過(guò)來(lái)，一共有15 個(gè)，平均分成3 盤(pán)，每盤(pán)多少個(gè)？15÷3=5。（除法的計(jì)算基礎(chǔ)是乘法，即用積除以其中一個(gè)因數(shù)。）

綜上，四則運(yùn)算之間的關(guān)系如圖2。

圖2 小學(xué)階段數(shù)學(xué)四則運(yùn)算關(guān)系

5.四則混合運(yùn)算。二年級(jí)開(kāi)始四則混合運(yùn)算，四年級(jí)學(xué)習(xí)運(yùn)算定律。混合運(yùn)算要注意“運(yùn)算順序、運(yùn)算定律、運(yùn)算規(guī)范”。順序是基礎(chǔ)，定律是為了簡(jiǎn)算，簡(jiǎn)算是運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行變式湊整。

數(shù)感與數(shù)的運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)四大板塊內(nèi)容的根基石，也是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與知識(shí)結(jié)構(gòu)的原生點(diǎn)，是數(shù)學(xué)學(xué)科自身發(fā)展的邏輯基礎(chǔ)，也滲透著數(shù)學(xué)研究的方法論基本原理，是數(shù)學(xué)啟蒙教育的內(nèi)容載體，數(shù)學(xué)啟蒙的外顯結(jié)果。

價(jià)值論基于立體育人的內(nèi)驅(qū)力激發(fā)與行為發(fā)起，實(shí)踐觀(guān)基于幼兒身心特點(diǎn)的行為縱向組織，方法論基于學(xué)習(xí)機(jī)制與數(shù)學(xué)學(xué)科生發(fā)機(jī)制的行為橫向優(yōu)化向高質(zhì)學(xué)習(xí)，本體論基于學(xué)科發(fā)展的原生點(diǎn)而展開(kāi)學(xué)習(xí)過(guò)程的認(rèn)知載體與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成長(zhǎng)與否的外顯結(jié)果，是學(xué)好與成長(zhǎng)的外顯指標(biāo)。四者有序回應(yīng)了想學(xué)、在學(xué)、會(huì)學(xué)、學(xué)好更好成長(zhǎng)的深度學(xué)習(xí)問(wèn)題，對(duì)應(yīng)的價(jià)值論、實(shí)踐觀(guān)、方法論、本體論全生態(tài)地展露了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全生長(zhǎng)鏈條。鏈接“趣美用價(jià)值體悟；八環(huán)有序?qū)W習(xí)習(xí)慣；精神、研究方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)學(xué)法、解題方法等內(nèi)隱學(xué)力；數(shù)感與數(shù)運(yùn)算的原點(diǎn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)”恰是數(shù)學(xué)學(xué)科自身發(fā)展與學(xué)生學(xué)習(xí)由內(nèi)及外的生長(zhǎng)態(tài)。數(shù)學(xué)啟蒙將真正實(shí)現(xiàn)以生活為情境，在有序行動(dòng)中潤(rùn)化精神、思想與方法，夯實(shí)人力基礎(chǔ)與學(xué)科發(fā)展基礎(chǔ)，助力學(xué)生更好成長(zhǎng)。