具有雙邊時延和丟包的無時間戳網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的狀態(tài)鎮(zhèn)定①

吳興臣 劉 斌 胡 勇

(*武漢科技大學(xué)冶金自動化與檢測技術(shù)教育部工程研究中心 武漢430081）

(**湖北省冶金過程系統(tǒng)科學(xué)重點實驗室 武漢430081）

(***北京控制工程研究所 北京100190）

0 引言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(networked control system,NCS)因其有著布線少、效率高、靈活性與可靠性高,且簡化了系統(tǒng)的安裝和維護等優(yōu)點,成為了國內(nèi)外眾多學(xué)者的研究熱點[1]。同時NCS 在復(fù)雜工業(yè)領(lǐng)域的工程控制、現(xiàn)代交通領(lǐng)域、基于信息網(wǎng)絡(luò)的運動控制系統(tǒng)(如無人機、智能車),以及運輸領(lǐng)域內(nèi)的協(xié)調(diào)控制(公路車輛調(diào)度、飛機控制調(diào)度)等各種控制領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用前景[2]。但是網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)也存在一些不可忽視的問題。由于信息是通過通訊網(wǎng)絡(luò)進行傳輸,所以網(wǎng)絡(luò)帶寬的限制、負載的數(shù)量、控制系統(tǒng)各傳感器、執(zhí)行器、控制器等節(jié)點工作方式的不同都會對系統(tǒng)產(chǎn)生不同程度的影響。同時在網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中,各式各樣的數(shù)據(jù)不可避免地會發(fā)生排隊等候與碰撞丟失,導(dǎo)致產(chǎn)生了網(wǎng)絡(luò)阻塞、時延,數(shù)據(jù)包亂序及丟失等現(xiàn)象,這些都會導(dǎo)致控制系統(tǒng)的性能降低,甚至不穩(wěn)定。因此,考慮具有時延、丟包等數(shù)據(jù)傳輸異常現(xiàn)象下NCS 的穩(wěn)定性問題成為了目前主要的研究方向[3]。

近年來,許多學(xué)者從不同角度對NCS 的設(shè)計問題進行了研究。當(dāng)數(shù)據(jù)包帶有時間戳?xí)r,系統(tǒng)可根據(jù)時間戳信息進行控制器參數(shù)及觀測器參數(shù)設(shè)計[4]。然而,當(dāng)數(shù)據(jù)不帶有時間戳?xí)r,由于網(wǎng)絡(luò)通道中數(shù)據(jù)傳輸?shù)碾S機性,幾乎不可能去預(yù)測時延以及丟包的詳細信息。近年來有學(xué)者提出用伯努利隨機變量和具有條件概率的馬爾可夫過程來描述隨機發(fā)生的時延及丟包,使得具有隨機時延、丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)變得易于分析[5-6]。

針對NCS 中存在時延或丟包的情形,文獻[7]研究了網(wǎng)絡(luò)攻擊導(dǎo)致丟包的智能電網(wǎng)狀態(tài)估計問題,在數(shù)據(jù)包帶有時間戳的前提下分析了網(wǎng)絡(luò)攻擊導(dǎo)致數(shù)據(jù)丟失的特性,并設(shè)計了濾波器實時對丟失的數(shù)據(jù)進行補償,基于改進的無跡卡爾曼濾波得到了非線性系統(tǒng)的實時動態(tài)狀態(tài)估計值。針對同時存在時延和丟包的情況,文獻[8]用一組伯努利分布隨機變量描述傳感器到濾波器的時延和丟包現(xiàn)象,在無時間戳的情況下,基于Riccati 差分方程和Lyapunov 差分方程得到了最小方差意義下的最優(yōu)線性濾波器的解,并給出了穩(wěn)態(tài)濾波器存在的充分條件。文獻[9]在帶有時間戳的前提下提出了一種基于預(yù)測的Luenberger 觀測器,根據(jù)沒有丟包的時刻計算當(dāng)前以及未來一段時間的估計值,并基于Lyapunov函數(shù)推導(dǎo)了相應(yīng)的觀測器及冗余控制器設(shè)計方法。文獻[10]考慮了一個具有丟包及其他約束條件的魯棒網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),引入一組伯努利隨機變量序列來描述具有丟包上限的不確定性系統(tǒng),并設(shè)計了一種魯棒濾波器來補償丟包造成的影響。文獻[11]將系統(tǒng)建模為具有伯努利隨機分布變量的狀態(tài)空間模型,提出了一種具有固定攻擊周期導(dǎo)致系統(tǒng)丟包的干擾模型,同時考慮系統(tǒng)的固有丟包,研究了網(wǎng)絡(luò)干擾攻擊下的信息物理系統(tǒng)的狀態(tài)反饋穩(wěn)定問題。文獻[12]研究了一類在反饋信道和前向信道中存在網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延和數(shù)據(jù)包丟失的離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的有限時間鎮(zhèn)定問題,利用預(yù)測控制方法,提出了一種新的有限時間狀態(tài)反饋和輸出反饋鎮(zhèn)定控制器,可對時延和數(shù)據(jù)包丟失進行主動補償,并在有限時間內(nèi)使系統(tǒng)穩(wěn)定。

針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)存在時延、丟包等傳輸異常的問題,現(xiàn)在已經(jīng)有了大量的研究,但目前的文獻大多未綜合考慮多方面的問題,存在一定的局限性。如文獻[4]、[6]、[10]中均要求數(shù)據(jù)包帶有時間戳,使得估計器與控制器可以根據(jù)時延及丟包的情況預(yù)測并在線計算估計值與控制量。文獻[9]、[11]、[13]只考慮存在時延或丟包的情況,文獻[7]和[8]只考慮了單邊存在時延和丟包的情況。實際網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的傳輸機制錯綜復(fù)雜,需要考慮如何建立前向通道及反饋通道同時存在數(shù)據(jù)傳輸異?，F(xiàn)象的系統(tǒng)模型,以及后續(xù)的觀測器及控制器設(shè)計問題。

基于以上情況,本文考慮一類雙邊存在時延和丟包的無時間戳網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器及控制器的設(shè)計。首先,引入兩組伯努利隨機分布變量來描述前向通道和反饋通道存在隨機時延和丟包的特性,其中數(shù)據(jù)包不帶有時間戳,并通過增廣矩陣的方式建立系統(tǒng)模型?；贚yapunov 函數(shù)以及線性矩陣不等式方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性,得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件,最后通過仿真實驗驗證了方法的有效性。

1 問題描述及系統(tǒng)模型建立

本文考慮一類存在時延與丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(如圖1),傳感器將系統(tǒng)輸出y(k) 通過網(wǎng)絡(luò)通道傳送給觀測器,觀測器接收得到具有時延和丟包的輸出數(shù)據(jù)(k),并通過分析得到系統(tǒng)的狀態(tài)觀測值(k),控制器計算狀態(tài)觀測值得到控制量(k),并通過網(wǎng)絡(luò)通道傳送至執(zhí)行器,執(zhí)行器接收得到具有時延和丟包的數(shù)據(jù)u(k)。其中,隨機網(wǎng)絡(luò)時延和丟包存在于前向通道(控制器-執(zhí)行器)與反饋通道(傳感器-觀測器)中。傳感器、控制器與執(zhí)行器均為時間驅(qū)動,傳感器采樣周期為T。

圖1 具有雙邊隨機時延與丟包的系統(tǒng)模型

本文中,Rn和Rm×n分別表示n維和m×n維實歐幾里德空間;給定向量ω∈Rn,‖ω‖ 代表歐幾里得范數(shù);Z+代表正整數(shù)集;I和0 分別表示具有適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣和零矩陣;Pr[·]表示隨機事件發(fā)生的概率;E[·]表示隨機變量的數(shù)學(xué)期望;對于矩陣A,[A]T表示A的轉(zhuǎn)置矩陣;λmax(A) 和λmin(A) 分別表示A的最大特征值和最小特征值;A＞0 和A＜0 分別表示矩陣A正定和負定;矩陣中的符號*表示對稱項。

設(shè)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下:

其中,x(k)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài),y(k)∈Rp是系統(tǒng)輸出,u(k) ∈Rm是系統(tǒng)輸入。A∈Rn×n,B∈Rn×m,C∈Rp×n是已知的合適維度的矩陣。在傳感器-觀測器通道以及控制器-執(zhí)行器通道中,節(jié)點驅(qū)動方式采用時間驅(qū)動,因此數(shù)據(jù)包時延為采樣周期整數(shù)倍,且假定時延上限為d。

針對系統(tǒng)中存在的不確定性時延及丟包,本文采用兩組伯努利隨機分布變量來描述具有隨機時延及丟包的數(shù)據(jù)傳輸特性。定義兩組獨立不相關(guān)的伯努利隨機變量分別表示k時刻反饋通道與前向通道中的數(shù)據(jù)包傳輸?shù)牟淮_定性:

其中,i=0,1,2,…,d表示k時刻接收值的延時周期數(shù);j=1,2 分別代表反饋通道與前向通道;∈[0,1]已知,表示延時概率。表示延時i個采樣周期,觀測器與執(zhí)行器接收到傳輸值的概率為表示延時i個采樣周期,觀測器與執(zhí)行器未接收到傳輸值的概率為1。

在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)之中,攜帶時間戳的數(shù)據(jù)包由于其自身的信息通常處理較為方便,但在帶寬有限的情況下,往往數(shù)據(jù)會不攜帶數(shù)據(jù)包從而緩解傳輸壓力。本文中數(shù)據(jù)未攜帶時間戳,故只知道數(shù)據(jù)分布的先驗概率,即式(2),假設(shè)數(shù)據(jù)攜帶時間戳,則每個時刻的伯努利隨機變量(k) 已知。

根據(jù)以上定義,現(xiàn)以反饋通道為例,假設(shè)系統(tǒng)中存在隨機時延及丟包,此時觀測器接收系統(tǒng)輸出值模型可通過引入上述一組伯努利變量,表示為

式(3)描述了網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中可能存在的有界延遲和多個丟包現(xiàn)象。設(shè)置時延上限d=2,表1 可表示反饋通道中(k) 取值與觀測器接收數(shù)據(jù)值的關(guān)系。

表1 反饋通道數(shù)據(jù)包傳輸表

從表1 可知,根據(jù)每個時刻(k) 取值的不同,觀測器接收值y(k)不同,其中y(1)、y(3)、y(8)和y(9)正常傳輸,y(4)延時一步傳輸,y(2)延時兩步傳輸,y(5)、y(6)和y(7)數(shù)據(jù)包丟失。

同理,執(zhí)行器接收的控制量u(k)模型可引入上述另一組伯努利變量,表示為

具有雙邊隨機時延與丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(如圖1 中虛線框中所示)可描述如下:

將式(3)和式(4)轉(zhuǎn)化為

上式可轉(zhuǎn)化為

其中i=0,1,2,…,d -1;zi(k)∈Rp;φi(k)∈Rm;zi(k)、φi(k) 分別表示觀測器與執(zhí)行器接收到經(jīng)過i個采樣周期時延之后的k時刻數(shù)據(jù)值。

將狀態(tài)增廣為

式(5)中所描述的具有雙邊隨機時延與丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)可重構(gòu)為

2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

為了實現(xiàn)控制目標(biāo),設(shè)計式(12)中的觀測器與式(13)中的控制器。

定義觀測誤差如下:

聯(lián)立式(12)和(13),系統(tǒng)式(11)可改寫為

由于系統(tǒng)式(15)是隨機參數(shù)系統(tǒng),因此引入均方指數(shù)穩(wěn)定性的概念。

定義1定義η(k)=[XT(k)eT(k)]T,對于系統(tǒng)式(15),當(dāng)滿足以下條件時,是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

其中,η(0) ∈Rn,k∈Z+,β ＞0,α∈(0,1)。

同時,根據(jù)文獻[13],有以下引理1、引理2 和引理3 成立。

引理 1對于給定的李雅普諾夫函數(shù)V(η(k)),當(dāng)存在ω ＞0,0＜λ ＜1,υ ＞0 使得滿足ω‖η(k)‖2≤V(η(k)) ≤υ‖η(k)‖2,E{V(η(k))| η(k -1)}＜λV(η(0)),可得到:

引理3對于全列秩的矩陣B,存在奇異值分解(singular value decomposition,SVD)如下:

其中,U∈R(n+m)×(n+m),V∈Rm×m是正交矩陣,∑=diag{w1,w2,…,wm},其中wi(i=1,2,…,m)是矩陣B的非零奇異值,矩陣U1∈R(n+m)×m,U2∈R(n+m)×n。

定理1考慮存在雙邊隨機時延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)式(15),給定控制器增益矩陣K和觀測器增益矩陣L,如果存在對稱正定矩陣P和Q滿足以下矩陣不等式,則系統(tǒng)式(15)是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

證明定義η(k)=[XT(k)eT(k)]T,針對系統(tǒng)式(15)構(gòu)建Lyapunov 函數(shù)為

式(20)左右各乘矩陣diag{I,I,P-1,Q-1} 可得到:

令a=max{a0,a1,…,ak-1},則有:

綜上,在定理1 中的不等式(20)條件成立時,系統(tǒng)式(15)均方指數(shù)穩(wěn)定。

3 系統(tǒng)觀測器及控制器參數(shù)設(shè)計

雖然定理1 得到了系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件,但是矩陣不等式(20)帶有非線性項,不能用線性矩陣不等式的方法求解,本文使用奇異值分解法將不等式中的非線性項進行線性化處理,從而得到標(biāo)準的LMI形式。

定理2考慮存在雙邊隨機時延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)式(15),如果存在對稱正定矩陣P和Q以及矩陣X、Y和ˉP、P1、P2滿足以下矩陣不等式,則系統(tǒng)是均方指數(shù)穩(wěn)定的。同時,控制器增益矩陣K和觀測器增益矩陣L滿足式(31)。

證明根據(jù)引理3 與式(30)可得:

將式(32)帶入(33)可得:

由式(34)可得:

根據(jù)式(35)可得:

因此,控制器和觀測器參數(shù)如下:

將(30)、(31)帶入式(29)中,可得到不等式(20),滿足定理1,系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定。

4 數(shù)值仿真

考慮一個開環(huán)臨界穩(wěn)定的二階離散系統(tǒng):

實驗1在系統(tǒng)式(38)中引入上限為d=2 的隨機時延與隨機丟包,設(shè)定反饋通道時延分別為0、1、2 個采樣周期時接收到傳輸值的概率為,前向通道時延分別為0、1、2 個采樣周期時接收到傳輸值的概率為

根據(jù)定理1 和定理2 提出觀測器和控制器設(shè)計方法,通過求解線性矩陣不等式(29),可以得到如下控制器和觀測器參數(shù)。

此時系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線與觀測誤差曲線如圖2所示。

圖2(a)給出了系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線,圖2(b)給出了系統(tǒng)狀態(tài)估計誤差曲線。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線與估計誤差曲線

實驗2設(shè)定反饋通道時延分別為0、1、2 個采樣周期時接收到傳輸值的概率參數(shù)分別為,前向通道時延分別為0、1、2 個采樣周期時接收到傳輸值的概率參數(shù)分別為

實驗2 中的傳輸概率設(shè)定條件,相對實驗1 中的設(shè)定,隨機時延與丟包概率增大。通過求解線性矩陣不等式(29)可得到控制器和觀測器參數(shù):

此時系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線與觀測誤差曲線如圖3所示。

圖3(a)給出了系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線,圖3(b)給出了系統(tǒng)狀態(tài)估計誤差曲線。通過實驗1 和實驗2對比可知,當(dāng)系統(tǒng)時延及丟包概率增大時,狀態(tài)響應(yīng)曲線超調(diào)量有所增加,且收斂速度變慢。

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線與估計誤差曲線

實驗3設(shè)定反饋通道參數(shù)=1,前向通道參數(shù),此時系統(tǒng)時延為2 倍采樣周期的定時延,此時系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖4 所示。

由圖4 可得,對于系統(tǒng)式(38),所能容忍最大的時延上限為d=2,此時狀態(tài)響應(yīng)臨界穩(wěn)定。

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線(時延為2 倍采樣周期)

實驗4在系統(tǒng)式(39)中設(shè)定反饋通道時延分別為0、1、2 個采樣周期時接收到傳輸值的概率為,前向通道時延分別為0、1、2個采樣周期時接收到傳輸值的概率為。此時相當(dāng)于無時延及丟包現(xiàn)象,通過求解線性矩陣不等式(29),可以得到如下控制器和觀測器參數(shù)。

此時系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線與觀測誤差曲線如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線與估計誤差曲線

圖5(a)給出了系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線,圖5(b)給出了系統(tǒng)狀態(tài)估計誤差曲線。由圖可知,當(dāng)不存在時延和丟包時,所設(shè)計的控制器及觀測器可使系統(tǒng)穩(wěn)定。

實驗5現(xiàn)引入上限為d=2 的隨機時延與隨機丟包,設(shè)定反饋通道時延分別為0、1、2 個采樣周期時接收到傳輸值的概率為=0.3,前向通道時延分別為0、1、2 個采樣周期時接收到傳輸值的概率為0.4。

根據(jù)定理1 和定理2 提出觀測器和控制器設(shè)計方法,通過求解線性矩陣不等式(29),可以得到如下控制器和觀測器參數(shù)。

此時系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖6 所示。

圖6 系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖6 給出了系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線,說明了當(dāng)前時延及丟包參數(shù)設(shè)定下,系統(tǒng)不穩(wěn)定。針對不同的被控對象,本文方法適用的時延及丟包上限不同。

從以上的仿真結(jié)果可知,考慮具有雙邊隨機時延與丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),采用本文所提出的建模方法及控制策略,在一定的時延及丟包上限范圍內(nèi),可以使系統(tǒng)狀態(tài)估計誤差收斂,且系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)能較快地收斂到穩(wěn)定狀態(tài)。

5 結(jié)論

本文對存在雙邊隨機時延與丟包網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的控制器及觀測器進行設(shè)計。首先,引入兩組隨機分布的伯努利變量對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)進行建模,描述了系統(tǒng)中存在的有界時延與丟包現(xiàn)象,通過引入新的狀態(tài)變量構(gòu)造了一個具有隨機參數(shù)的增廣系統(tǒng)。之后對增廣系統(tǒng)進行李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,得到了系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定的充分條件,并通過線性矩陣不等式方法設(shè)計了觀測器與控制器參數(shù)。最后通過仿真實驗證明了該方法的有效性。與其他的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)相比,該方法更具一般性,可得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的觀測器與狀態(tài)反饋控制器。