基于排隊(duì)論的食堂疫情防控措施的有效性分析*

萬心玥，胡 佳，孫湫娟，歐陽天利，王青蕓

(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000)

1 引言

排隊(duì)論[1]，是研究系統(tǒng)隨機(jī)聚散現(xiàn)象和隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)工作過程的數(shù)學(xué)理論和方法.運(yùn)用排隊(duì)論原理和方法，通過對服務(wù)對象到來及服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)分析，可求解生活中存在的諸多排隊(duì)問題.

目前，關(guān)于排隊(duì)論的應(yīng)用通常基于幾種典型的排隊(duì)論模型，例如M/M/C模型[2].關(guān)于應(yīng)用在食堂窗口的排隊(duì)論模型，王葉韻[3]、劉蕊[4]等選擇的是多服務(wù)臺(tái)模型中的M/M/C模型，該方法嚴(yán)格要求服務(wù)強(qiáng)度小于1.而本文的食堂排隊(duì)模型在高峰期內(nèi)過載，排隊(duì)更符合C個(gè)M/M/1模型，方秀男[5]介紹了一種服務(wù)強(qiáng)度大于1的M/M/C計(jì)算模型，但是C個(gè)M/M/1模型的狀況下，計(jì)算結(jié)果不符合實(shí)際. 周侃[6]借鑒SIPP法的基本思想,用L個(gè)M/M/1/1損失制排隊(duì)模型來刻畫各個(gè)子排隊(duì)過程來研究排隊(duì)過程中的過載狀態(tài)，適用于輕微過載的排隊(duì)模型，更適用于我們的數(shù)據(jù).所以，結(jié)合M/M/1模型，將其推廣到食堂的排隊(duì)模型中.

2 數(shù)據(jù)來源及數(shù)據(jù)處理

食堂刷卡機(jī)數(shù)據(jù)由贛南師范大學(xué)現(xiàn)代教育技術(shù)中心提供，收集了贛南師范大學(xué)6個(gè)食堂在學(xué)生隔離期即2020年5月25日至6月7日以及對應(yīng)正常情況下2019年5月的食堂刷卡機(jī)收款數(shù)據(jù).由于6個(gè)食堂情形比較相似，下面以南苑一食堂為例.

圖1 2019年及2020年部分日期刷卡人數(shù)

首先，對收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，將南一食堂的刷卡機(jī)數(shù)據(jù)篩選出來.定義高峰時(shí)段為每單位時(shí)間刷卡數(shù)大于該日刷卡數(shù)的第三分位數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，每天有3個(gè)高峰期，計(jì)算2019年第三四分位數(shù)為468(圖1(a)中水平直線)，2020年第三四分位數(shù)為82.25(圖1(b)中水平直線).

3 排隊(duì)論模型

同學(xué)們相繼到達(dá)食堂是一種經(jīng)典的隨機(jī)過程，打菜窗口是服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)臺(tái)，每個(gè)打菜窗口服務(wù)時(shí)間獨(dú)立且服務(wù)效率無差別，同學(xué)和打菜窗口構(gòu)成了一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng).當(dāng)?shù)竭_(dá)食堂的同學(xué)人數(shù)小于窗口數(shù)量，同學(xué)無需排隊(duì)；當(dāng)同學(xué)人數(shù)大于窗口數(shù)量，同學(xué)要在窗口前排隊(duì)，不考慮其他因素使隊(duì)伍中同學(xué)中途離開的情況，正常情況下同學(xué)排隊(duì)隊(duì)伍可視為無限制，疫情防控下排隊(duì)因需間隔1 m，排隊(duì)隊(duì)伍有限制，窗口實(shí)行先到先服務(wù)原則.

宏觀角度上，令連續(xù)2個(gè)顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的時(shí)間間隔為到達(dá)間隔時(shí)間；單位時(shí)間到達(dá)的期望數(shù)量為平均到達(dá)率λ，即每段間隔時(shí)間平均有λ位顧客進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)；單位時(shí)間每個(gè)服務(wù)窗口的服務(wù)效率為μ，即每段間隔時(shí)間內(nèi)平均服務(wù)μ位顧客，λ與μ的變化直接影響到排隊(duì)系統(tǒng)隊(duì)伍的長短和等待時(shí)間[2].多個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)論模型有以下兩種形式：

圖2 M/M/C模型 圖3 c個(gè)M/M/1模型

圖2所示的排隊(duì)論是所有人排成1個(gè)隊(duì)伍，當(dāng)有空閑窗口隊(duì)列的第1個(gè)顧客就去窗口接受服務(wù).根據(jù)贛南師范大學(xué)食堂實(shí)際情況，如圖3所示，入隊(duì)后不能換隊(duì)，排隊(duì)論模型為c個(gè)M/M/1模型.

根據(jù)國內(nèi)外的研究顯示，當(dāng)平均服務(wù)強(qiáng)度處于70%～80%時(shí)，服務(wù)機(jī)構(gòu)能保持最佳的工作水平和服務(wù)質(zhì)量[7].所以，有必要使系統(tǒng)維持一個(gè)合理的服務(wù)強(qiáng)度ρ(ρ<1)，保證食堂較高的服務(wù)效率和服務(wù)質(zhì)量.

3.1 2019年正常情況

設(shè)平均開放pos機(jī)數(shù)為c，正常情況下平均每天開放pos機(jī)數(shù)為38臺(tái)，而窗口的工作人員平均每天只有20名，即一個(gè)工作人員平均負(fù)責(zé)多條隊(duì)伍，則取c=20；一個(gè)窗口前最多可以容納的排隊(duì)人數(shù)為15人，那個(gè)整個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的容量K=15×38=570人.

根據(jù)折線圖特點(diǎn)，初步判斷每個(gè)用餐時(shí)段進(jìn)入南一食堂的人數(shù)服從泊松分布，對單位時(shí)間進(jìn)入食堂的人數(shù)進(jìn)行Pearsonχ2檢驗(yàn).

假設(shè)每個(gè)人都是相互獨(dú)立的，學(xué)生對菜色無特殊偏好，且每個(gè)窗口的服務(wù)效率隨機(jī)且無差別，服從同種分布.根據(jù)數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)，將每天分成3個(gè)時(shí)間段，除去高峰期間，食堂并不擁擠，所以只關(guān)注以下3個(gè)時(shí)間段：早餐高峰期：07：00-08：30，午餐高峰期：11：00-12：30，晚餐高峰期：17：00-18：00，分別統(tǒng)計(jì)每1分鐘進(jìn)入食堂的人數(shù)，早餐數(shù)據(jù)見表1，則設(shè)早餐時(shí)間段原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為：

H0:進(jìn)入食堂的人數(shù)服從泊松分布;H1:進(jìn)入食堂的人數(shù)不服從泊松分布

表1 2019年早餐每分鐘進(jìn)入南一食堂的人數(shù)次數(shù)的頻數(shù)

午餐和晚餐同理，則Pearsonχ2檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示：

表2 2019年進(jìn)入食堂人數(shù)分布檢驗(yàn)結(jié)果

結(jié)果全部接受原假設(shè)，即早中晚三餐每分鐘到達(dá)食堂的人數(shù)全部服從泊松分布.

設(shè)N(t)表示在時(shí)間區(qū)間[0,t)內(nèi)到達(dá)的學(xué)生，隨機(jī)變量{N(t)=N(s+t)-N(s)}服從泊松分布，時(shí)間間隔T則服從指數(shù)分布.

通過計(jì)算，得到早中晚三餐的每個(gè)服務(wù)窗口的到達(dá)速率與服務(wù)效率：

整個(gè)食堂窗口空閑的概率P0=1-ρ，由于0≤P0≤1，則P0→0，表明高峰期食堂沒有空閑的窗口.

表3 2019年南一食堂排隊(duì)論模型結(jié)果

即早餐高峰期，平均每隊(duì)隊(duì)伍長達(dá)14人，學(xué)生等待時(shí)間大概7 min～8 min；午餐高峰期，平均每隊(duì)隊(duì)伍長達(dá)29人，人數(shù)爆滿，超過了排隊(duì)系統(tǒng)容量，學(xué)生等待時(shí)間大概17 min；晚餐高峰期，平均每隊(duì)隊(duì)伍長12人，學(xué)生等待時(shí)間大約8 min.

3.2 2020年隔離期間

14 d內(nèi)每天開放的pos機(jī)見表4，平均每天開放13臺(tái),即c=13；一個(gè)窗口前最多可以容納的排隊(duì)人數(shù)為13人，那個(gè)整個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的容量K=13c=169人.

表4 2020/5/25-2020/6/7南一食堂每日開放pos機(jī)數(shù)

高峰期除晚餐時(shí)間比2019正常情況多0.5 h，早餐和中餐一樣.根據(jù)學(xué)校防疫規(guī)定，南一食堂就餐錯(cuò)峰表如表5所示：

表5 隔離期間南一食堂錯(cuò)峰領(lǐng)餐表

表6 2020年隔離期間模型結(jié)果

根據(jù)2020年隔離期間平均每天刷卡數(shù)，求得：

μ1≈4.13人/10 min，μ2≈4.15人/10 min，μ3≈4.14人/10 min

整個(gè)食堂窗口空閑的概率P0=1-ρ，由于0≤P0≤1，則P0→0，即在高峰期，食堂沒有空閑的窗口.

即三餐高峰期食堂窗口都沒有空閑，平均排隊(duì)長度分別為6人、6人、7人，三餐排隊(duì)等待時(shí)間大約都為13 min.

對比2019年和2020年隔離期間，能夠看出，盡管學(xué)校施行的分流錯(cuò)峰領(lǐng)餐措施有效地控制了人流量，但是沒有考慮到每個(gè)寢室代表的領(lǐng)餐時(shí)間增加對食堂服務(wù)效率的影響，導(dǎo)致窗口數(shù)設(shè)置不合理，領(lǐng)餐時(shí)間大大增加.

4 結(jié)論與討論

2019年的模型結(jié)果顯示，窗口服務(wù)強(qiáng)度很高，且大于1，表明高峰期出現(xiàn)了顧客到達(dá)而服務(wù)臺(tái)沒有空閑的情況，與后面食堂窗口空閑概率為0相符合.尤其是中午用餐高峰期，人流量太大，人數(shù)超出了排隊(duì)系統(tǒng)容量.

造成高峰期的原因主要是學(xué)生上下課時(shí)間基本統(tǒng)一，而學(xué)校上下課時(shí)間是固定的，不可改變，為了提高服務(wù)效率和服務(wù)質(zhì)量，增加窗口數(shù)是最為可行的方法.南一食堂平均每天開放的窗口數(shù)是38個(gè)，窗口的工作人員只有20名，意味著1名工作人員最多會(huì)負(fù)責(zé)2個(gè)窗口.經(jīng)調(diào)查，1名工作人員平均收入8元/h，所以要使工作人員數(shù)最少，同時(shí)服務(wù)強(qiáng)度達(dá)到70%-80%之間.

假定高峰期可以另外招小時(shí)短工，未滿1 h按1 h算，λ0為食堂總?cè)藬?shù)到達(dá)速率，構(gòu)建食堂在高峰期支付工資w與窗口數(shù)c的函數(shù):w=8/60LsWq=(2λ0/c)/15(μ-λ0/c)2，即滿足服務(wù)強(qiáng)度在70%-80%條件的窗口數(shù)中，窗口越多，食堂成本越低.則早餐和晚餐應(yīng)多派7位工作人員在窗口打餐，午餐多派6名，對比采取措施之前(表2)，排隊(duì)長由之前的12-29人減短到4-5人，排隊(duì)時(shí)長由7 min-17 min縮減到3 min左右，食堂成本從320元降到了216元(早、晚餐)和208元(中餐)，既提高了服務(wù)效率，又有效降低了成本.采取的措施后的結(jié)果如表7所示.

表7 正常情況下優(yōu)化結(jié)果

另外，由于同學(xué)對菜品的不清楚，在食堂隨意走動(dòng)，更加劇了擁擠程度，表明窗口上方LED顯示屏的菜名并沒有很好地起到作用，可以考慮用菜品的實(shí)拍圖代替菜名，更加直觀.

2020年隔離期間，派寢室代表去打飯，由于每一棟寢室是一批次打飯，導(dǎo)致一時(shí)間進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)的人數(shù)過多，服務(wù)強(qiáng)度太大，高峰期窗口空閑概率為0.且一個(gè)人要打4份飯菜，排隊(duì)時(shí)間太長，服務(wù)質(zhì)量太低.同樣，最可行的方法和采取措施之后的結(jié)果如表8.三餐都應(yīng)多開放7個(gè)窗口，平均隊(duì)長能降低到7人，平均等待時(shí)間能縮短到10 min左右，食堂成本從208元降到160元.

表8 隔離期間優(yōu)化結(jié)果