基于CEV模型的一類資產(chǎn)負(fù)債管理問題*

周香英

(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000)

資產(chǎn)負(fù)債管理是商業(yè)銀行、保險公司、基金公司等金融機(jī)構(gòu)進(jìn)行風(fēng)險管理的重要手段，以有限的資金，在兼顧安全性、流動性、獲利性及分散性的情況下，進(jìn)行最適當(dāng)?shù)馁Y產(chǎn)與負(fù)債的匹配.負(fù)債對金融機(jī)構(gòu)影響深遠(yuǎn)，在負(fù)債下若能進(jìn)行合理的投資, 不僅有利于金融機(jī)構(gòu)扭虧為贏，使公司更好地發(fā)展，也有利于個人達(dá)到自身效益最大化. 因此，資產(chǎn)負(fù)債管理問題在學(xué)界已引起眾多學(xué)者的關(guān)注. Sharper和Tint[1]首次運用Markowitz[2]的均值-方差投資組合理論研究資產(chǎn)負(fù)債管理問題，為從投資組合選擇角度研究資產(chǎn)負(fù)債管理問題奠定了理論基礎(chǔ).之后，隨著連續(xù)時間優(yōu)化控制方法的發(fā)展，在Sharper和Tint[1]的基礎(chǔ)上，又有大量的文獻(xiàn)研究了連續(xù)時間下基于均值-方差準(zhǔn)則的資產(chǎn)負(fù)債管理問題[3-5].在最優(yōu)投資的經(jīng)典理論研究中，除了均值-方差準(zhǔn)則，還有期望效用準(zhǔn)則.20世紀(jì)50年代，Von Neumann和Morgenstern基于公理化的假設(shè)，利用邏輯和分析工具建立了期望效用理論框架[6]，具體來說是針對不確定性的投資環(huán)境和可能出現(xiàn)的結(jié)果，定義不同的效用函數(shù).近年來，也有不少學(xué)者研究基于期望效用準(zhǔn)則下的資產(chǎn)負(fù)債管理問題[7-9].

然而，上述文獻(xiàn)中風(fēng)險資產(chǎn)的價格假定服從經(jīng)典的幾何布朗運動模型.在幾何布朗運動模型中，風(fēng)險資產(chǎn)價格的波動率為常數(shù)，其不能很好地描繪實際市場引伸波幅的不對稱性.常彈性方差(CEV)模型是幾何布朗運動模型的一個自然擴(kuò)充，它考慮了資產(chǎn)價格的時間依賴性，能更好地描繪實際金融市場資產(chǎn)價格的波動率.CEV模型最早由Cox和Ross提出，被廣泛應(yīng)用于衍生產(chǎn)品期權(quán)定價中[10-11].鑒于CEV模型考慮了風(fēng)險資產(chǎn)波動率與其市場價格的相互關(guān)系，近年來有不少學(xué)者研究了CEV模型下的資產(chǎn)負(fù)債管理問題.常浩等[12]研究了CEV模型下基于二次效用最大化的資產(chǎn)負(fù)債管理問題，并利用Legendre變換-對偶方法得到了最優(yōu)投資策略的顯式表達(dá)式；劉小濤和劉海龍[13]將隨機(jī)資金流看作一個外生負(fù)債，在完全市場環(huán)境(負(fù)債過程能夠完全用風(fēng)險資產(chǎn)對沖)下運用Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方法和隨機(jī)分析技術(shù)得到了最優(yōu)投資策略的顯式表達(dá)式.Zhang和Chen[14]利用倒向隨機(jī)微分方程方法研究了基于均值-方差準(zhǔn)則的資產(chǎn)負(fù)債管理問題，并在完全市場環(huán)境下得到了有效投資策略和有效邊界的顯式表達(dá)式.需要指出的是，這些工作大都是在完全市場環(huán)境下考慮的.

作為以上工作的延伸與拓展，本文考慮了CEV模型下基于指數(shù)期望效用準(zhǔn)則的一類資產(chǎn)負(fù)債管理問題，負(fù)債過程除了與風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程存在相關(guān)性外，還會受其它因素的影響.運用投資組合選擇理論和優(yōu)化控制理論建立資產(chǎn)負(fù)債管理問題相對應(yīng)的優(yōu)化控制問題.隨后，利用隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃原理推導(dǎo)出價值函數(shù)所滿足的HJB方程，并通過分析與求解得到最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的顯式表達(dá)式.最后，基于顯式表達(dá)式，著重分析負(fù)債對最優(yōu)投資策略和投資效用的影響.

1 模型建立

假設(shè){W1(t),W2(t)}是定義在完備概率空間{Ω,F,P}上相互獨立的二維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，F(xiàn)={Ft}t∈[0,T]是由{W1(t),W2(t)}所產(chǎn)生的信息流，T>0表示投資終止時間.除此之外，假定金融市場是無摩擦、無交易成本，但允許賣空和借貸.在有限的時間[0,T]內(nèi)，投資者可以投資金融市場上的兩種資產(chǎn):無風(fēng)險資產(chǎn)(銀行存款)和風(fēng)險資產(chǎn)(股票)，其中無風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程B(t)在t時刻服從如下微分方程：

(1)

其中常數(shù)r>0表示無風(fēng)險利率.風(fēng)險資產(chǎn)(股票)的價格過程S(t)在t時刻服從CEV模型，即

(2)

其中μ1表示瞬時期望收益率且μ1>r,σ1Sβ(t)表示風(fēng)險資產(chǎn)的瞬時波動率，常數(shù)β是彈性系數(shù)通常假定β≤0(當(dāng)β>0時，瞬時波動率是股票價格的增函數(shù)，這與實際不符).

注1在式(2)中，如果β=0，那么CEV模型就退化為經(jīng)典的幾何布朗運動模型；如果β=-1，那么CEV模型就轉(zhuǎn)化為Ornstein-Uhlenbeck過程；如果β=-1/2，那么CEV模型就轉(zhuǎn)化為Cox-Ingersoll-Ross (CIR)過程.

記π(t)為t時刻投資者投資到風(fēng)險資產(chǎn)股票的資金額，Xπ(t)表示投資策略π(t)下投資者在時刻t的資產(chǎn)，Xπ(t)-π(t)表示t時刻投資者投資到無風(fēng)險資產(chǎn)上的資金額.根據(jù)投資組合選擇理論，可以得到投資者的資產(chǎn)變化過程，即

(3)

其中Xπ(0)=x0>0.

在金融投資中，債務(wù)是投資者所面臨的一個普遍而重要的問題.與許多文獻(xiàn)不同，本文假設(shè)投資者在時間區(qū)間[0,T]內(nèi)面臨一個不可控的與隨機(jī)波動有關(guān)的外生負(fù)債L(t)，其演化過程服從如下隨機(jī)微分方程：

dL(t)=μ2dt+bSβ(t)dW1(t)+σ3dW2(t),L(0)=l0>0,

(4)

其中參數(shù)μ2，b和σ3都是常數(shù)，W2(t)是一個與W1(t)無關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)一維布朗運動.因此，在投資存有負(fù)債的過程中，投資者的凈財富過程Yπ(t)=Xπ(t)-L(t)滿足如下隨機(jī)微分方程：

dYπ(t)=[π(t)(μ1-r)+r(Yπ(t)+L(t))-μ2]dt+[σ1π(t)-b]Sβ(t)dW1(t)-σ3dW2(t),

(5)

其中Yπ(0)=x0-l0>0.

注2為了簡化模型，眾多資產(chǎn)負(fù)債管理的文獻(xiàn)直接將負(fù)債過程吸收到資產(chǎn)的動態(tài)過程中，即

[π(t)(μ1-r)+rXπ(t)-μ2]dt+[σ1π(t)-b]Sβ(t)dW1(t)-σ3dW2(t).

與方程(5)相比，隨機(jī)變量L(t)并沒有出現(xiàn)在投資者的財富動態(tài)過程中，進(jìn)而導(dǎo)致后續(xù)更簡單的優(yōu)化模型.

定義1如果投資組合管理策略{π(t)}t∈[0,T]滿足：

記Π為所有可行策略組成的集合.對任意可行策略π(t)∈Π，投資者的目標(biāo)是最大化終端財富的期望效用，即建立如下優(yōu)化問題：

(6)

其中U(·)是滿足條件U′(·)>0和U″(·)<0的效用函數(shù)，用來度量投資者對風(fēng)險的偏好程度.鑒于指數(shù)效用函數(shù)在保險精算領(lǐng)域已得到廣泛的應(yīng)用，本文考慮具有常數(shù)絕對風(fēng)險厭惡(Constant absolute risk aversion , CARA)的指數(shù)效用函數(shù)，即

(7)

其中正常數(shù)q是絕對風(fēng)險厭惡系數(shù).

2 模型求解

根據(jù)隨機(jī)控制理論，優(yōu)化問題(6)的值函數(shù)V(t,y,l,s)可定義為：

(8)

其中V(T,y,l,s)=U(Y(T)).除此之外，如果V(t,y,l,s)足夠光滑，那么它滿足如下HJB方程：

(9)

其中Vt，Vs，Vss，Vl，Vll，Vy，Vyy，Vys，Vyl和Vsl分別是V=V(t,y,l,s)關(guān)于t，y，l和s的一階及二階偏導(dǎo)數(shù).

假設(shè)HJB方程(9)有解并滿足Vy>0和Vyy<0，則由極值的一階條件，得到最優(yōu)投資策略π*(t)滿足如下等式：

(10)

將式(10)代入HJB方程(9)并經(jīng)過較為繁瑣的計算后，得到如下二階非線性偏微分方程：

(11)

為了得到最優(yōu)投資策略的顯式表達(dá)式，需要值函數(shù)(8)具體的形式.通過效用函數(shù)和邊界條件的形式，我們猜測值函數(shù)的具體形式為

(12)

其中f(T,l)=-l和g(T,s)=0.

將等式(12)代入方程(11)并經(jīng)過繁瑣的計算后，可以得到

其中f是f(t,l)的簡寫，ft，fl和fll分別是關(guān)于t及l(fā)的一階及二階偏導(dǎo)數(shù).進(jìn)一步地，由邊界條件f(T,l)=-l和g(T,s)=0，則可得到如下偏微分方程終值問題：

(13)

(14)

下面求解偏微分方程終值問題(13)和(14)以給出值函數(shù)的顯式表達(dá)式.對于終值問題(13)和(14)，我們有如下結(jié)論：

引理1終值問題(13)的解是：

f(t,l)=A1(t)l+A2(t),

(15)

證明將式(15)代入終值問題(13)并結(jié)合邊界條件f(T,l)=-l，得到

(16)

(17)

接下來，分別利用常微分方程的變量分離法和常數(shù)變易法分別求解問題(16)和(17)，即可得到A1(t)和A2(t).

引理2終值問題(14)的解是：

g(t,s)=A3(t)s-2β+A4(t),

(18)

證明將式(18)代入終值問題(14)并結(jié)合邊界條件g(T,s)=0，得到

(19)

(20)

接下來，利用常微分方程的常數(shù)變易法分別求解問題(19)和(20)，即可得到A3(t)和A4(t).

基于引理1和引理2的結(jié)論，將式(12)的偏導(dǎo)數(shù)Vy，Vyy，Vys和Vyl代入式(10)，我們可以得到如下結(jié)論：

定理1指數(shù)效用下，優(yōu)化問題(6)的最優(yōu)投資策略是：

(21)

注4若不考慮負(fù)債，即當(dāng)μ2=0，b=0和σ3=0時，則有

(22)

3 模型參數(shù)的靈敏度分析

鑒于許多文獻(xiàn)研究了CEV模型中的參數(shù)和風(fēng)險厭惡系數(shù)q對最優(yōu)投資策略的影響，本小節(jié)著重分析負(fù)債和彈性系數(shù)β對投資者最優(yōu)投資策略和投資效用的影響.不失一般性，各參數(shù)的取值如下：

r=0.03，μ1=0.12，σ1=16.16，β=-1，S0=67(元)，q=0.05，

μ2=0.03，b=2，σ3=0.14，x0=1 000 000(元)，l0=67 000(元)，t=0，T=1(年)，

其中CEV模型中的參數(shù)S0，β，μ1，σ1的取值參考Yuen等[15]的工作.由式(2)和(21)，可以得到上述基本參數(shù)下，風(fēng)險資產(chǎn)股票價格的變化過程及投資者投資到相應(yīng)股票的數(shù)量額.

從圖1中可以看出，在股票價格波動比較大(σ1=16.16)的情況下，投資者在大部分情況下賣空風(fēng)險資產(chǎn)股票，持有無風(fēng)險資產(chǎn)，這是合符常識的.

圖1 基本參數(shù)下股票價格的變化過程及 對應(yīng)投資到風(fēng)險資產(chǎn)股票的金額

3.1 參數(shù)對最優(yōu)投資策略的影響

由式(21)關(guān)于b求偏導(dǎo)數(shù)，可得到：

(23)

這表明當(dāng)σ1>0時，投資到風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)資金額π*(t)與負(fù)債過程參數(shù)b正相關(guān)；當(dāng)σ1<0時，投資到風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)資金額π*(t)與負(fù)債過程參數(shù)b負(fù)相關(guān).下面給出指數(shù)效用下不同參數(shù)b和彈性系數(shù)β對最優(yōu)投資策略的影響.

從圖2中可以看出，在其它參數(shù)不變的情況下，參數(shù)b的值決定著債務(wù)波動率的大小.參數(shù)b越大意味著投資者的負(fù)債在增加，為了降低負(fù)債，投資者將更多的資金投資于風(fēng)險資產(chǎn)股票.另外，由圖2可以看出，彈性系數(shù)β=-1下投資者的初始投資策略相對于β=0下的投資策略是比較激進(jìn)的，主要還是用于對沖源自于債務(wù)的風(fēng)險.

圖2 參數(shù)b和彈性系數(shù)β對最優(yōu)投資策略的影響

3.2 參數(shù)對投資效用的影響

基于引理1的結(jié)論，對式(12)分別關(guān)于參數(shù)μ2，σ3和b求偏導(dǎo)，可以得到

(24)

(25)

從式(24)和(25)可以看出：投資者的投資效用關(guān)于μ2和σ3是單調(diào)遞減的，這是符合實際的.下面通過數(shù)值模擬分析法分析不同參數(shù)b與β對投資者投資效用的影響，如圖3所示：

圖3 β不同下投資效用隨參數(shù)b的變化圖

由圖3可以看出，投資者的投資效用隨著參數(shù)b的變大而下降，主要原因是b越大意味著投資者的負(fù)債在增加.除此之外，投資效用則會隨著彈性系數(shù)β的變大而下降.

4 結(jié)論

鑒于CEV模型能比較準(zhǔn)確地刻畫金融市場上的“波動率微笑”現(xiàn)象和投資者在實際投資過程中存有負(fù)債，本文構(gòu)建了CEV模型下的一類資產(chǎn)負(fù)債管理問題，投資過程的負(fù)債除了受風(fēng)險資產(chǎn)價格的動態(tài)過程影響外，還會受其它因素的影響.在指數(shù)期望效用準(zhǔn)則下，利用隨機(jī)控制理論和函數(shù)變換法得到了最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的顯式表達(dá)式，為模型計算的有效性和參數(shù)估計提供了方便, 是本文的主要創(chuàng)新點.在顯式表達(dá)式的基礎(chǔ)上，著重分析了負(fù)債與彈性系數(shù)β對最優(yōu)投資策略和投資效用的影響.數(shù)值結(jié)果表明：負(fù)債會極大地影響投資者的投資效用，為降低負(fù)債，投資者會采取比較激進(jìn)的措施，即將更多的資金投資到風(fēng)險資產(chǎn)上；彈性系數(shù)β越小，投資者的投資策略比較激進(jìn).而投資者的投資效用則會隨著β的變大而下降.這些結(jié)論可以為有負(fù)債的個體投資者以及商業(yè)銀行, 保險公司, 投資基金等金融機(jī)構(gòu)有效地管理資產(chǎn)和控制債務(wù)風(fēng)險提供理論依據(jù).