自適應(yīng)離散分數(shù)階漸進正則化方法*

黃靜月，羅興鈞，張 榮

(贛南師范大學 數(shù)學與計算機科學學院， 江西 贛州 341000)

1 引言

本文目的是采用有效的自適應(yīng)策略，用于投影離散求解第一類不適定線性算子方程

Ax=y,

(1)

本文的目的是構(gòu)造一個算法，使得近似解的最佳精度階達到O(δν/(1+ν))，且與標準方法相比，所需要的離散信息更少.注意到，在Galerkin方法框架內(nèi)，經(jīng)濟地使用離散信息的問題已經(jīng)在文獻[4]中得到了考慮.隨后的研究[5-8]表明，從計算量的角度來看，標準的Galerkin并不是最佳方法.研究發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造用于求解某些類別的方程(1)的有效有限維算法的問題，與自適應(yīng)離散化方法有關(guān).對于一般的Tikhonov方法，文獻[4]構(gòu)造了第一個自適應(yīng)離散化方案，該方案僅在0<ν≤1時才保證最佳精度.眾所周知，對于ν>1，一般的Tikhonov方法會出現(xiàn)飽和，即當ν增加時，精確度保持不變.為了克服這一缺點，我們應(yīng)該嘗試使用具有更高限定條件的正則化方法.為此，文獻[9]提出了Showalter正則化方法.在文獻[10]中，作者發(fā)展了一種新的分數(shù)階漸近方法作為正則化方法.該方法將生成解x(t)作為分數(shù)階漸近正則化(Fractional Asymptotical Regularization，F(xiàn)AR)的精確解，由此給出：

(2)

方程(2)的唯一解為

xδ(t)=gθ(t,A*A)A*yδ.

(3)

其中表示FAR方法的生成函數(shù)gθ(t,λ)有以下形式

rθ(t,λ)=1-λtθEθ,θ+1(-λtθ)=Eθ,1(-λtθ)=Eθ(-λtθ),

(4)

文獻[10]指出，在對精確解施加光滑性假設(shè)的情況下，帶有θ∈(1,2)的FAR產(chǎn)生了一種加速最優(yōu)正則化方法，即與一般的Landweber迭代相比，可以在大約θ的迭代根數(shù)下獲得最優(yōu)收斂速度.

2 符號和基本假設(shè)

對于每一個i∈，令Wi是Xi-1在Xi中的正交補.對于固定的n∈,有以下分解Xn=X0⊕⊥W1⊕⊥…⊕⊥Wn,定義s(n)∶= dimXn，w(i)∶= dimWi，則有s(n)～2n，w(i)～2i.假設(shè)Wi的一組基底為{wij,j∈w(i)}，這表明Xn=span{wij∶(i,j)∈Un}，其中Un∶={(i,j)∶j∈w(i),i∈n+1}.

對于每一個n∈0，由Pnf=∑(i,j)∈Un(f,wij)wij，f∈X定義的Pn是從X到有限維子空間Xn?X的一系列正交投影.為了保證近似解的收斂性，需要知道算子A的光滑性.為此，對于某些正常數(shù)r，令η∶= 2-r，并提出以下假設(shè)：

(H1)存在一個正常數(shù)cr≥1，使得，

在本文中，我們將采用以下符號

x(t)∶=gθ(t,A*A)A*y,xδ(t)=gθ(t,A*A)A*yδ,

(5)

(6)

其中An是A的有限維近似.在方程(1)的離散化下，用形式為

(Awij,wkl),(y,wkl)

(7)

的有限內(nèi)積來表示原始問題的系數(shù)，即算子和方程的右端項分別表示為

這里U∶= {(i,j)∶j∈w(i),i∈0}.用較少的離散信息(7)的算法被認為是更經(jīng)濟的.注意到，本文所提的求解(1)的有效算法，指的是：對于任意ν>0達到最優(yōu)精度階O(δν/(1+ν))；經(jīng)濟地使用形式(7)的信息.

3 輔助估計

引理1[10-11]若θ∈(0,2)，β是任意實數(shù)，Cθ是一個實常數(shù)，則對所有z∈R+，有

|Eθ,β(-z)|≤Cθ/(1+|z|),

(8)

|Eθ(-z)|≤Cθ/(1+|z|),

(9)

|Eθ(-z)|≤3.

(10)

引理2對x+∈Mν,ρ，以下3個不等式

(11)

(12)

以及

(13)

成立.這里

證明從方程(4)可以得到x+-x(t)=rθ(t,A*A)x+,y-Ax(t)=rθ(t,AA*)Ax+.結(jié)合上面2個方程，推導出

為了估計|cν,t(w)|的值，應(yīng)用Holder不等式，得到

為了得到第2個關(guān)系式，取

這里對于0<ν<1有γ(ν,θ)=Cθνν(1-ν)1-ν；對于1≤ν<2有γ(ν,θ)≤Cθ.引理2證明完畢.

引理3對任意λ,μ∈[0,1]，以下估計式成立

|rθ(t,μ)-rθ(t,λ)|≤Cθtθ|λ-μ|/θ,

(14)

|μrθ(t,μ)-λrθ(t,λ)|≤(3+Cθ/θ)|λ-μ|.

(15)

證明容易看出

(16)

以及

(17)

引理4對任意λ,μ∈[0,1]，以下估計式成立

|λ(rθ(t,μ)-rθ(t,λ))|≤(Cθ/θ+6)|λ-μ|,

(18)

(19)

引理5若條件(H1)和(H2)成立，x+∈Mν,ρ，則對任意t>0，有以下估計式成立

證明容易得到

(20)

現(xiàn)在估計(20)右端所有項.由(12)可知

(21)

接著估計第2項

(22)

(23)

另一方面

(24)

由(20)-(24)可知，結(jié)論成立.

引理6對任意t>0，有以下式子成立

(25)

證明容易得到關(guān)系式

Ax(t)-y=h1+h2+h3,

(26)

(27)

以及

(28)

由(26)-(28)得(25)成立，即證.

4 收斂性分析

為了介紹用于求解方程(1)的離散化方案，借助Un-k來構(gòu)造離散算子An,n=1,2,…，得到

(29)

這里P-1=0.注意到，該方案在文獻[4]中已經(jīng)被用于離散第一類算子方程(不適定問題).該離散化使用了2n+1維的離散化空間，但只計算了標準離散化PnAPn所需的一小部分標量積.

接下來需要給出以下引理.

引理7若(H1)成立，選取參數(shù)n=n(l)滿足

(30)

證明容易看出

(31)

與文獻[4]所述一樣，我們給出如下參數(shù)選擇策略.

準則1給定數(shù)據(jù)：yδ，δ；初始化：其中，c∶= [(6+Cθ/θ)Cθ/θ]1/2/4;迭代：l=1,2,…

(32)

(yδ,wij),(i,j)∈Un,

(33)

(Awij,wkl),(i,j),(k,l)∈Un,i+k≤n.

(34)

(35)

(36)

(37)

證明從引理5和引理7可知

(38)

考慮(11)和引理8，得到

利用引理8和(13)發(fā)現(xiàn)

將上式代入(38)得

定理2準則1中，計算離散信息(33)和(34)的非零內(nèi)積個數(shù)為O((n+1)2n).

顯然，若采用全投影算法求解(1)，則內(nèi)積的計算量為O(22n)，由此可以看出，當n比較大時，全投影算法計算量大.因此，壓縮投影算法是有效的減少了計算量.

5 結(jié)語

本文采用有效的自適應(yīng)投影離散方法，用于求解第一類算子方程.該方法將分數(shù)階漸近正則化與自適應(yīng)投影方法相結(jié)合，與標準投影方法相比，減少了系數(shù)矩陣非零內(nèi)積的計算個數(shù)，并且，確保了近似解的最優(yōu)收斂率. 帶有θ∈(1,2)的FAR產(chǎn)生了一種加速最優(yōu)正則化方法，即與一般的Landweber迭代相比，可以在大約θ的迭代根數(shù)下獲得最優(yōu)收斂速度.