大規(guī)模圖例的最大團(tuán)問(wèn)題算法分析

王曉峰，于 卓，趙 健，曹澤軒

（1.北方民族大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，銀川 750021；2.北方民族大學(xué) 圖像圖形智能處理國(guó)家民委重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，銀川 750021；3.西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，西安 710127）

0 概述

最大團(tuán)問(wèn)題（Maximum Clique Problem，MCP）是圖論中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，同時(shí)也是一類非確定性多項(xiàng)式（Non-deterministic Polynomial，NP）難問(wèn)題，被廣泛應(yīng)用在故障診斷［1］、生物信息學(xué)［2］、計(jì)算機(jī)視覺(jué)［3］、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析［4］等領(lǐng)域。在社交網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題中，團(tuán)代表了緊密聯(lián)系的團(tuán)體，研究最大團(tuán)及其松弛模型（Clique Relaxation，CR）能夠?qū)ι鐣?huì)網(wǎng)絡(luò)映射關(guān)系做出理論性分析［4］。在生物信息領(lǐng)域，比較蛋白質(zhì)之間的結(jié)構(gòu)相似度是生物領(lǐng)域的重要任務(wù)，由于蛋白質(zhì)之間的結(jié)構(gòu)相似可以通過(guò)氨基酸序列轉(zhuǎn)化而來(lái)的匹配圖近似模擬，因此在對(duì)比蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)問(wèn)題中可以將其轉(zhuǎn)化為最大團(tuán)問(wèn)題，并推測(cè)未知蛋白質(zhì)功能［2］。所以，最大團(tuán)問(wèn)題具有較高的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。但隨著最大團(tuán)在真實(shí)世界的應(yīng)用發(fā)展，部分領(lǐng)域在求解最大團(tuán)問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)求解效率差、得不到最優(yōu)解的情況。研究發(fā)現(xiàn)，與傳統(tǒng)最大團(tuán)研究測(cè)試用圖例不同，真實(shí)世界所映射出的圖模型通常為大規(guī)模無(wú)向圖，這類圖通常密度低，頂點(diǎn)數(shù)量巨大，并具有小世界屬性［5］、冪律分布［6］、聚類［7］等共同的統(tǒng)計(jì)特征。因此，在此類大規(guī)模圖模型中研究最大團(tuán)具有重要意義。

為解決大規(guī)模最大團(tuán)問(wèn)題，研究人員利用大數(shù)據(jù)技術(shù)，使用MapReduce［8］、Pregel［9］等面向海量數(shù)據(jù)和密集型計(jì)算的并行處理框架求解大規(guī)模最大團(tuán)問(wèn)題。這些框架具有較好的容錯(cuò)性和可擴(kuò)展性，且提供了簡(jiǎn)單的處理方法和功能強(qiáng)大的編程模型。

本文對(duì)大規(guī)模最大團(tuán)問(wèn)題研究算法進(jìn)行分析，通過(guò)算法分類的方法總結(jié)各種算法的優(yōu)點(diǎn)與不足，對(duì)主要算法進(jìn)行對(duì)比分析，并提供未來(lái)解決方案與研究方向。

1 最大團(tuán)問(wèn)題定義及數(shù)學(xué)表示

給定圖G=(V，E)，V表示頂點(diǎn)集，E表示邊集。C是V的子集（C?V），如果C中任意的2 個(gè)頂點(diǎn)vi，vj∈C，均有(vi，vj)∈E，則稱C為G的一個(gè)團(tuán)。團(tuán)C的大小指C包含的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)|C|。由C構(gòu)成的子圖G[C]是G的完全子圖。最大團(tuán)問(wèn)題是指在G中尋找包含頂點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的一個(gè)團(tuán)。

最大團(tuán)問(wèn)題也被稱為最大獨(dú)立集問(wèn)題，獨(dú)立集是指在圖G中兩兩頂點(diǎn)之間沒(méi)有邊相連。頂點(diǎn)數(shù)最多的集合即為最大頂點(diǎn)獨(dú)立集。當(dāng)圖G轉(zhuǎn)化為，即轉(zhuǎn)化為G的補(bǔ)圖時(shí)，圖G的最大團(tuán)問(wèn)題即為的最大頂點(diǎn)獨(dú)立集問(wèn)題。

最大團(tuán)問(wèn)題作為一個(gè)組合優(yōu)化問(wèn)題，可以進(jìn)行等價(jià)描述，整型規(guī)劃問(wèn)題的描述如下：

設(shè)t：(0，1)n→2v，?x∈{0，1}n，?S∈2v，則x=t-1(S)={xi：1=1，2，…，n}，其中，n為圖的頂點(diǎn)數(shù)。minf(x)=，s.t：xi+xj≤1，?(i，j)∈，x∈{0，1}n。如果x*是最優(yōu)解，那么集合C=t(x*)是圖G的最大團(tuán)，且|C|=-f(x*)。由于xi xj∈{0，1}，因此xi+xj≤1，?(i，j)∈，其中為圖G邊的補(bǔ)集。圖1 所示是一個(gè)由6 個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成最大團(tuán)為3 的圖。

圖1 最大團(tuán)為3 的無(wú)向圖Fig.1 Undirected graph with maximum clique 3

2 基于常規(guī)算法的最大團(tuán)求解方法

求解最大團(tuán)問(wèn)題的常規(guī)算法大致分為3 類：精確算法，啟發(fā)式算法和分布式算法。

1）精確算法主要有枚舉法［10］、回溯法［11］、分支限界法［12］等。這類算法能求得精確解，但時(shí)間復(fù)雜度相對(duì)較大［13］。例 如HOSSEINIAN 等［13］提出利用MCP 的整數(shù)（線性）規(guī)劃結(jié)合拉格朗日松弛技術(shù)，導(dǎo)出最大團(tuán)的界，結(jié)合分支限界法得到一種新的精確算法。PLACHETTA 等［12］指出分支限界法可滿足求解器減少分支的需求，能夠通過(guò)最大團(tuán)與頂點(diǎn)覆蓋的映射方法進(jìn)行回溯求解。

2）啟發(fā)式算法主要為遺傳算法、蟻群算法、貪婪算法等。這類算法通過(guò)借鑒一些自然現(xiàn)象以及人類思維方式的指導(dǎo)來(lái)展開(kāi)，對(duì)精確算法的時(shí)間復(fù)雜度進(jìn)行了改善，但存在容易陷入局部最優(yōu)及無(wú)法找到精確解［14］的缺點(diǎn)。例如BABKIN 等［14］將遺傳算法與禁忌搜索算法相結(jié)合來(lái)研究最大團(tuán)問(wèn)題，使種群多樣性增加，加快跳出局部最優(yōu)解并獲得全局最優(yōu)解。JI 等［15］提出一種基于多目標(biāo)蟻群算法和新的團(tuán)表示方案來(lái)檢測(cè)重疊社區(qū)。

3）分布式算法主要為最大積置信傳播算法和m-tree算法，此類算法通過(guò)將最大團(tuán)問(wèn)題的線性規(guī)劃方程，利用消息傳遞的分布式性質(zhì)進(jìn)行并行計(jì)算，從而縮短求解時(shí)間，提高算法效率。例如文獻(xiàn)［16］提出一種改進(jìn)的分布式最大權(quán)獨(dú)立集算法，使用最大積信念傳播算法框架，啟發(fā)式地提出了一種相鄰節(jié)點(diǎn)間交換信息的計(jì)算方法，使算法可以在環(huán)型無(wú)向圖內(nèi)進(jìn)行消息傳遞與消息計(jì)算，彌補(bǔ)了置信傳播算法求解此類問(wèn)題在環(huán)形圖中收斂困難的缺陷。表1結(jié)合求解最大團(tuán)問(wèn)題的研究［17-19］給出了基于常規(guī)算法的最大團(tuán)求解方法對(duì)比。

表1 基于常規(guī)算法的最大團(tuán)求解方法對(duì)比Table 1 Comparison of maximum clique solution methods based on conventional algorithms

3 大數(shù)據(jù)環(huán)境下的大規(guī)模圖例最大團(tuán)算法

傳統(tǒng)最大團(tuán)算法主要使用頂點(diǎn)數(shù)量在幾千以內(nèi)的隨機(jī)生成圖、人工構(gòu)造圖數(shù)據(jù)集以及以DIMACS 和BHOSLIB 為代表的中小規(guī)模標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試數(shù)據(jù)集。而真實(shí)世界中大規(guī)模圖例無(wú)論在頂點(diǎn)規(guī)模還是在圖結(jié)構(gòu)特征上均存在明顯區(qū)別，因此傳統(tǒng)求解最大團(tuán)算法在大規(guī)模圖例中并不適用。例如CBB［20］算法、MaxCLQ［21］算法、MMCQ［22］算法、IncMaxCLQ［23］等算法對(duì)DIMACS數(shù)據(jù)集中的圖例有較好的效果，但難以處理數(shù)量達(dá)到百萬(wàn)級(jí)的真實(shí)世界大規(guī)模圖。針對(duì)大規(guī)模圖例的MCP求解問(wèn)題，由于數(shù)據(jù)量巨大且計(jì)算復(fù)雜，部分研究人員利用大數(shù)據(jù)計(jì)算平臺(tái)與計(jì)算框架對(duì)圖例進(jìn)行簡(jiǎn)化預(yù)處理和并行搜索處理以提高求解效率。在求解大規(guī)模圖例的MCP問(wèn)題中，主要使用的大數(shù)據(jù)技術(shù)為MapReduce編程框架［24］、Spark 分布式內(nèi)存計(jì)算框架以及Hadoop分布式云計(jì)算平臺(tái)［9］。圖2 給出了利用MapReduce 進(jìn)行并行計(jì)算的流程。

圖2 MapReduce 并行調(diào)度流程Fig.2 MapReduce parallel scheduling process

3.1 大規(guī)模圖例最大團(tuán)問(wèn)題的圖劃分方法

在大數(shù)據(jù)背景下，將大數(shù)據(jù)計(jì)算平臺(tái)與圖劃分方法相結(jié)合以求解大規(guī)模圖例的最大團(tuán)是一種有效的方法。所謂圖劃分方法就是通過(guò)將大規(guī)模圖例劃分為多個(gè)小規(guī)模的子圖圖例，使其他搜索算法可以精確快速求解的方法。圖劃分方法分為預(yù)處理階段和搜索階段2 個(gè)階段。如圖3 所示為一般圖劃分求解大規(guī)模圖例最大團(tuán)的方案。

圖3 一般圖劃分求解大規(guī)模圖例的方案Fig.3 Scheme for solving large-scale graph by dividing general graph

為解決傳統(tǒng)模式下求解大規(guī)模圖例最大團(tuán)過(guò)程中存在的存儲(chǔ)大規(guī)模圖例問(wèn)題與單機(jī)處理圖數(shù)據(jù)問(wèn)題，文獻(xiàn)［25］提出一種基于MapReduce 的計(jì)算方法，通過(guò)圖著色進(jìn)行子圖劃分，并使用分支定界法獨(dú)立計(jì)算不同分區(qū)的最大團(tuán)數(shù)并選出最優(yōu)解。圖劃分作為求解的關(guān)鍵一步，劃分后的子圖是否有利于求解直接影響搜索速率。針對(duì)子圖劃分的改進(jìn)，文獻(xiàn)［26］提出一種新的多圖層劃分求解最大方法（Parallel Multilayer Graph Partitioning method for Solving Maximum Clique，PMGP_SMC）來(lái)提高求解效率，提出多圖層劃分（Multi-layer Graph Partitioning，MGP）算法，將MGP 算法與Spark 的GraphX 圖計(jì)算相結(jié)合，并基于大數(shù)據(jù)平臺(tái)的并行計(jì)算方法提出并行多圖層劃分（Parallel MGP，PMGP）方法。

文獻(xiàn)［27］針對(duì)大規(guī)模圖例求解效率提出一種基于并行約束規(guī)劃的最大團(tuán)識(shí)別研究算法BMT，使用多層劃分方法并加入任務(wù)時(shí)間預(yù)測(cè)函數(shù)，提出基于任務(wù)時(shí)間預(yù)測(cè)模型的并行圖劃分方法，該預(yù)測(cè)模型f(|G|，ρ(G))與g(ρ(G))是頂點(diǎn)數(shù)目和圖密度的多項(xiàng)式函數(shù)，g(ρ(G))是圖的密度二次函數(shù)，定義為ρ(G)2+bρ(G)+c，同時(shí)對(duì)函數(shù)f(|G|，ρ(G))進(jìn)行泰勒展開(kāi)，得到時(shí)間預(yù)測(cè)模型如式（1）所示：

其中：k用來(lái)控制模型自由度，即泰勒函數(shù)展開(kāi)級(jí)數(shù)；ai，j、b和c為未知變量系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證得出。

BMT 算法通過(guò)時(shí)間預(yù)測(cè)函數(shù)實(shí)現(xiàn)了2 個(gè)需求：

1）有效圖分割。將復(fù)雜圖分割為更易求解的若干更小且獨(dú)立子圖，使Spark 集群中計(jì)算節(jié)點(diǎn)可獨(dú)立計(jì)算，降低通信開(kāi)銷。

2）保證各點(diǎn)負(fù)載均衡。通過(guò)預(yù)測(cè)時(shí)間模型估算求解時(shí)間，決定圖分割的深度。將子圖分配給Spark集群計(jì)算節(jié)點(diǎn)，每個(gè)計(jì)算節(jié)點(diǎn)采用約束規(guī)劃的方法對(duì)分割產(chǎn)生的子問(wèn)題分別進(jìn)行建模和求解，實(shí)現(xiàn)最大團(tuán)問(wèn)題的并行化處理，提高大規(guī)模圖例下的最大團(tuán)問(wèn)題求解速率。

對(duì)于子圖中的局部搜索問(wèn)題，文獻(xiàn)［28］提出Random_BLS 算法，通過(guò)聯(lián)合局部搜索和自適應(yīng)擾動(dòng)策略來(lái)探索解空間，但算法的搜索多樣性較差。文獻(xiàn)［29］提出PBLS 算法能夠解決搜索不全面問(wèn)題，提高算法搜索解的多樣性，PBLS 算法加入了懲罰因子，根據(jù)懲罰值與禁忌值對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行選擇優(yōu)化搜索階段多樣性。由于迭代次數(shù)固定，小規(guī)模子圖和大規(guī)模子圖求解時(shí)間相同，導(dǎo)致總求解速度慢。文獻(xiàn)［27］對(duì)PBLS 算法進(jìn)行改進(jìn)，提出可以根據(jù)子圖大小自動(dòng)設(shè)定迭代次數(shù)的SPBLS 算法，該算法使用迭代公式模型增加PBLS 的靈活性，提高了算法的執(zhí)行效率，使SPBLS 算法根據(jù)子圖規(guī)模自動(dòng)設(shè)置迭代次數(shù)，從而降低總求解時(shí)間，提高求解效率。SPBLS 算法的迭代公式模型如式（2）所示：

其中：T表示最大迭代數(shù)；N表示圖中節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；m是取值范圍為10～100 的常量；c是取值范圍為在0～1 的常量。當(dāng)所求節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多時(shí)，SPBLS 求解最大團(tuán)所需的次數(shù)越多，當(dāng)求得的迭代次數(shù)為小數(shù)時(shí)，迭代次數(shù)向上取整。

上述措施主要針對(duì)圖劃分方法，對(duì)大規(guī)模圖例的預(yù)處理和搜索子圖進(jìn)行改進(jìn)，有效增強(qiáng)劃分后子圖的可搜索性，提高求解速率，避免了在求解過(guò)程的復(fù)雜緩慢計(jì)算。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，對(duì)原始圖例進(jìn)行多次劃分、利用大數(shù)據(jù)并行計(jì)算平臺(tái)能顯著降低算法的搜索時(shí)間復(fù)雜度［30］，但也帶來(lái)了計(jì)算平臺(tái)固有的缺陷，在使用大數(shù)據(jù)技術(shù)求解最大團(tuán)問(wèn)題時(shí)，MapReduce 并不總對(duì)求解有正面影響。當(dāng)子圖數(shù)量大且重復(fù)數(shù)據(jù)多時(shí)，需要多次的迭代進(jìn)行求解，但MapReduce 的多次調(diào)用需要消耗巨大的內(nèi)存空間，因此不利于提高求解速率。為此，算法在改進(jìn)時(shí)還應(yīng)該考慮多層劃分時(shí)多次迭代所使用的內(nèi)存空間。當(dāng)前有效的解決方法是使用Spark 的GraphX 這一類即使進(jìn)行多次迭代，但耗費(fèi)內(nèi)存較小的并行計(jì)算平臺(tái)進(jìn)行多層劃分［27］，這類并行計(jì)算平臺(tái)可以有效減少迭代次數(shù)，雖然增加了計(jì)算次數(shù)但相較于使用MapReduce進(jìn)行多次迭代，求解速率更快。表2所示為圖劃分方法的對(duì)比分析結(jié)果。

表2 不同圖劃分方法的對(duì)比分析結(jié)果Table 2 Comparative analysis results of different graph division methods

3.1.1 PMGP_SMC 算法結(jié)果分析

由表3 可知，PSGP_SMC 算法與PMGP_SMC 算法在求解精度上均能滿足枚舉算法PMGP_MCE 所求得的精確解。

表3 不同算法求解大規(guī)模圖例最大團(tuán)的結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of the results of solving the largest clique of large-scale graph with different algorithms

由圖4可知，PMGP_SMC 算法在總運(yùn)行時(shí)間上有明顯優(yōu)勢(shì)，特別是在email-Enron中表現(xiàn)最為明顯。結(jié)合總運(yùn)行時(shí)間對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在求解精度相同的條件下，圖劃分時(shí)間較長(zhǎng)的PMGP_SMC算法的子圖搜索時(shí)間遠(yuǎn)優(yōu)于PSGP_SMC 算法。這是由于多層圖劃分雖然耗費(fèi)較多時(shí)間，但是所搜索到的子圖更適合子圖搜索，能夠使子圖快速求解。此外，自適應(yīng)迭代函數(shù)針對(duì)使用圖劃分方法后產(chǎn)生較多子圖的大規(guī)模圖例有更高的求解速率。針對(duì)結(jié)合圖劃分方法，本文主要改進(jìn)方向?yàn)槿绾问箞D劃分后的子圖得到更優(yōu)解，以及如何在多個(gè)子圖中快速求解。對(duì)于子圖較多、求解較復(fù)雜的情況可以同時(shí)將2 種計(jì)算方式布置在大數(shù)據(jù)并行計(jì)算平臺(tái)中，從而提高求解速度。

圖4 不同算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison of experimental results of different algorithms

3.1.2 BMT 算法結(jié)果分析

與BMC 算法相比，BMT 算法使用了多層圖劃分方法且啟發(fā)式地提出了時(shí)間預(yù)測(cè)函數(shù)。由圖5（a）、圖5（b）可知，BMT 算法在相同圖分割次數(shù)下得到的子圖數(shù)量較少，但是平均子圖頂點(diǎn)數(shù)目小于BMC 算法，說(shuō)明BMT 算法在相同分割條件下對(duì)圖中求解最大團(tuán)所連接的無(wú)效邊有更好的刪除效果。圖5（c）、圖5（d）展示了BMT 算法分別使用了1、3、6 這3 種數(shù)量的處理器（4 核16 GB 內(nèi)存，1 個(gè)主節(jié)點(diǎn)，6 個(gè)從節(jié)點(diǎn)）進(jìn)行處理圖劃分，可以看出對(duì)大規(guī)模圖例并行處理能夠大幅縮短運(yùn)行時(shí)間，而對(duì)小規(guī)模圖例并不適合使用并行處理，因?yàn)樘幚砥鞯脑龆酂o(wú)法帶來(lái)求解速率的提升，且在高密度圖中最少需要3層劃分才能優(yōu)于BMC 算法。BMT算法對(duì)處理器有較高的要求，并且此次算法實(shí)驗(yàn)所使用的圖例密度均為0.9的高密度圖，且頂點(diǎn)數(shù)范圍為125～1 500，泛化性較弱。

圖5 2 種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig 5 Comparison of experimental results of two algorithm

3.2 大規(guī)模圖例最大團(tuán)問(wèn)題的core 方法

k-core 的概念由WATTS 提出，并且指出k-core 可用來(lái)幫助識(shí)別網(wǎng)絡(luò)中緊密相連的組，以及可以表示結(jié)構(gòu)性質(zhì)和層次性質(zhì)［32］。k-core 算法通過(guò)逐漸遞增k值來(lái)挖掘圖中的最大團(tuán)，同時(shí)也可以作為一種社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析作用于中心性分析和社區(qū)檢測(cè)。文獻(xiàn)［33］根據(jù)網(wǎng)絡(luò)分析問(wèn)題提出一種共享內(nèi)存算法，該算法用于多核平臺(tái)的k-core 分解，在求解大規(guī)模最大團(tuán)問(wèn)題上對(duì)圖例類型有較好的泛化性。支限界法作為求解最大團(tuán)問(wèn)題最主流的算法，使用k-core 縮小最大團(tuán)上界并對(duì)候選集進(jìn)行剪枝來(lái)提高求解速率。在分支限界法中，文獻(xiàn)［34］提出一種針對(duì)大型稀疏圖的快速并行最大團(tuán)（Parallel Maximum Clique，PMC）算法。PMC算法在查詢前利用啟發(fā)式算法獲得初始團(tuán)，然后采用分支定界的方法，使用圖著色方法與k-core 結(jié)構(gòu)估計(jì)最大團(tuán)的上界，并搜索樹(shù)剪枝。在并行搜索的過(guò)程中，根據(jù)搜索到的結(jié)果對(duì)最大團(tuán)的上界和下界進(jìn)行更新，使PMC 算法在求解時(shí)可以縮小求解空間，提高求解速率。文獻(xiàn)［35］同樣使用剪枝方法，利用k-core 算法提出新的剪枝策略和搜索區(qū)域限制策略，該算法結(jié)合圖著色的上界估計(jì)，將搜索區(qū)域限制在根據(jù)core 值得到的每個(gè)子問(wèn)題的頂點(diǎn)子集內(nèi)，通過(guò)剪枝操作對(duì)無(wú)法形成比當(dāng)前團(tuán)更大的子問(wèn)題進(jìn)行刪除，從而加快求解過(guò)程。但不足的是，該算法與PMC 算法相比，所使用的圖例規(guī)模不夠大。對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)圖［36］，文獻(xiàn)［37］提出一種利用初始啟發(fā)算法改進(jìn)的搜索算法，該算法在得到初始團(tuán)大小后，通過(guò)k-core 算法結(jié)合剪枝策略減小圖的尺寸，并基于貪婪算法對(duì)選定的頂點(diǎn)及其鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行圖著色，提升搜索過(guò)程的求解速率。

由于core結(jié)構(gòu)對(duì)于化簡(jiǎn)大規(guī)模圖模型有顯著效果，隨著研究的發(fā)展，研究人員發(fā)現(xiàn)k-community對(duì)化簡(jiǎn)大規(guī)模圖例有同樣好的效果。針對(duì)這2種化簡(jiǎn)方法，文獻(xiàn)［38］提出FC算法，利用2種團(tuán)松弛結(jié)構(gòu)，將網(wǎng)絡(luò)實(shí)例減少到現(xiàn)有求解器可處理的尺寸，同時(shí)保持求解最優(yōu)性。在團(tuán)松弛的過(guò)程中，利用貪婪式啟發(fā)算法求解最大團(tuán)問(wèn)的下界（ωlower），并利用二進(jìn)制搜索算法或線性搜算法求解最大團(tuán)上界（ωupper），得到1個(gè)最小整數(shù)k，使（k+1）-core或k-community為圖G的1個(gè)空集。通過(guò)core的屬性將（k+1）標(biāo)為團(tuán)數(shù)的上界，并使用k-community重復(fù)修改原始圖的整個(gè)邊集。通過(guò)線性策略從k=ωlower-2開(kāi)始增加到k來(lái)搜索問(wèn)題上界。因?yàn)閗是遞增的，所以在尋找k-community中被刪除的任何邊在（k+1）-community中也將被刪除，并且整個(gè)圖不需要在每次迭代中重復(fù)使用。再次使用搜索算法找到圖例的最大(ωupper-1)-core或者(ωupper-2)-community，如果圖中上界足夠小，則可以通過(guò)精確算法求解最大團(tuán)的下界。

針對(duì)大規(guī)模稀疏圖的特征，文獻(xiàn)［39］描述了一種利用core 算法對(duì)邊界進(jìn)行優(yōu)化的分支定界求解稀疏圖問(wèn)題最大團(tuán)的算法（Branch-and-Bound Maximum Clique algorithm of Sparse graphs Problem，BBMCSP），BBMCSP算法在預(yù)處理階段可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)有效減少問(wèn)題的規(guī)模，并在搜索階段通過(guò)遞歸搜索求解最大團(tuán)。與BBMCSP 算法不同的是，PMC 算法使用了一個(gè)輔助列表來(lái)存儲(chǔ)不能作為解的一部分頂點(diǎn)，而B(niǎo)BMCSP 算法則使用確定的核心數(shù)作為初始節(jié)點(diǎn)，只對(duì)根節(jié)點(diǎn)進(jìn)行剪枝操作，使剩余節(jié)點(diǎn)可以通過(guò)core 值來(lái)判斷邊界。新算法在遞歸搜索過(guò)程中利用并行性降低求解時(shí)間，且算法結(jié)構(gòu)比PMC 算法更清晰簡(jiǎn)單。

上述算法主要針對(duì)k-core 算法對(duì)分支限界法進(jìn)行了改進(jìn)，有效增強(qiáng)了分支限界法的剪枝操作，顯著減少了算法的搜素空間與搜索難度，避免了內(nèi)存浪費(fèi)。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，使用分支限界法求解大規(guī)模最大團(tuán)問(wèn)題是對(duì)最優(yōu)解無(wú)用頂點(diǎn)的冗余刪除，即剪枝操作，為此使用k-core 算法有助于分析圖中頂點(diǎn)結(jié)構(gòu)，從而快速剪枝。對(duì)于這一思路的相關(guān)操作，有研究人員使用k-community 方法，同樣取得了優(yōu)異的剪枝效果。在求解過(guò)程中，k-community 方法對(duì)密集圖的處理效果低于圖劃分方法，但在大規(guī)模稀疏圖中卻表現(xiàn)優(yōu)異。圖6為使用core 算法求解大規(guī)模最大團(tuán)問(wèn)題的一般流程。

圖6 core 算法求解大規(guī)模圖例最大團(tuán)問(wèn)題的一般流程Fig.6 General process of core algorithm to solve the maximum clique problem of large scale graph

3.2.1 PMC 算法結(jié)果分析

圖7（a）展示了在30個(gè)困難的社交和網(wǎng)絡(luò)圖例中分別使用完整算法、無(wú)core 算法、無(wú)Degenerace 排序算法的效果對(duì)比。由圖7（a）可知，完整算法與不使用core算法之間的差別很小，但完整算法與不使用Degeneracr排序算法有較大差別，當(dāng)速度差因子為2.5 時(shí)完整算法可以求解全部的難解圖例，而不使用Degeneracr算法則只能求解大約78%的圖例。這說(shuō)明PMC算法有利于處理這類部分頂點(diǎn)度數(shù)大的社交與網(wǎng)絡(luò)圖例，并且在度數(shù)較大圖中算法對(duì)于Degeneracr排序依賴性較大，對(duì)core算法依賴性較低。對(duì)于求解困難的并行DIMACS-Hard圖例，從圖7（b）中可知完整算法與不使用core 算法的求解效果相差巨大，當(dāng)速度差因子為0.4 時(shí)完整算法基本能夠解決所有并行難解圖例，而不使用core 算法在速度差因子為2.7 時(shí)才能全部求解并行難解圖例，說(shuō)明core 算法在并行化計(jì)算求解難解圖問(wèn)題上效果更好。

圖7 不同算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of experimental results of different algorithm

3.2.2 BBMCSP 算法結(jié)果分析

圖7（c）所示為BBMCSP 算法和PMC 算法在頂點(diǎn)為0～300 萬(wàn)的測(cè)試圖例中的對(duì)比結(jié)果。BBMCSP算法在初始解不相同的情況下的所有求解結(jié)果均優(yōu)于PMC 算法。其中在大規(guī)模數(shù)目點(diǎn)的soc-dogster中求解速度表現(xiàn)最好，算法求解效率比PMC 算法高出數(shù)個(gè)量級(jí)。在具有相同初始解和不同初始解的平均情況下，BBMCSP 算法比PMC 算法效率提高了428 倍。尤其是與具有相同初始解的BBMCSP 算法相比，擁有不相同初始解的BBMCSP 算法具有更高的求解效率［39］。與PMC 算法對(duì)比發(fā)現(xiàn)，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界所對(duì)應(yīng)的大規(guī)模稀疏圖，BBMCSP 算法的平均求解效率高于PMC 算法。

3.3 大規(guī)模圖例最大團(tuán)問(wèn)題的精確算法

文獻(xiàn)［40］提出在MapReduce 框架下使用排序的并行枚舉團(tuán)（Parallel Enumeration of Cliques using Ordering，PECO）算法。PECO 算法只枚舉不重復(fù)的最大團(tuán)，不添加已刪除的重復(fù)最大團(tuán)和非最大團(tuán)，減少了重復(fù)搜索步驟。PECO 算法提升求解效率的關(guān)鍵在于圖的頂點(diǎn)總排序，可以使求解之前的工作分配均衡，并且消除處理器間的冗余工作。PECO 算法提出了度排序、三角排序、字典排序和隨機(jī)排序4 種方法，在現(xiàn)實(shí)生活所映射的大規(guī)模稀疏圖中基于度數(shù)排序和三角排序的表現(xiàn)最好，既減少了枚舉時(shí)間，又有利于負(fù)載平衡。

在精確算法求解大規(guī)模稀疏圖的最大團(tuán)問(wèn)題上，使用最多的方法為分支限界法，對(duì)于上界的求解最大團(tuán)問(wèn)題，文獻(xiàn)［41］通過(guò)對(duì)最大團(tuán)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，將最大團(tuán)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同是NP 難問(wèn)題的MaxSAT 問(wèn)題進(jìn)行上界估計(jì)［42］，并提出針對(duì)大規(guī)模稀疏圖的最大團(tuán)（shot for Large MaxClique，LMC）算法。LMC 算法由2 個(gè)子程序構(gòu)成，1 個(gè)預(yù)處理程序Initialize 和1 個(gè)主查詢程序SearchMaxClique。LMC使用單個(gè)預(yù)處理程序完成PMC算法和BBMCSP 算法的3 項(xiàng)任務(wù)，并對(duì)原始圖G進(jìn)行預(yù)處理，在搜索樹(shù)第1 層子圖中調(diào)用Initialize 程序進(jìn)行預(yù)處理，改進(jìn)順序染色的上界，并估計(jì)準(zhǔn)確度［43］。從程序的時(shí)間復(fù)雜度來(lái)比較，LMC算法的時(shí)間復(fù)雜度O(|E|)［41］優(yōu)于PMC 算法與BBMCSP 算法的時(shí)間復(fù)雜度O(|E|×Δ(G))［34］，其中Δ(G)是G中頂點(diǎn)的最大度數(shù)。對(duì)于空間結(jié)構(gòu)，LMC 算法使用空間效率更高的鄰接表代替鄰接矩陣，在搜索階段，LMC 算法通過(guò)將動(dòng)態(tài)函數(shù)與漸進(jìn)MaxSAT 算法［42］相結(jié)合，生成結(jié)合漸進(jìn)MaxSAT推理的動(dòng)態(tài)排序最大團(tuán)求解器（Dynamic ordering MaxClique Solver，DoMC1）算法［44］提高求解效率。

在求解大規(guī)模的最大團(tuán)問(wèn)題上，并行計(jì)算是一個(gè)非常重要的方法。文獻(xiàn)［45］提出一種基于并行核且使用watched 方法的最大團(tuán)求解算法BBMCW，該算法可以直接編碼在內(nèi)存中，通過(guò)使用2 個(gè)新指針?lè)謩e監(jiān)視第1 個(gè)和最后1 個(gè)塊位，有效地將集合操作限制在較少的頂點(diǎn)上，從而減少空位塊操作的數(shù)量，降低性能損失并減少BBMCW 算法的偽計(jì)算次數(shù)。此外，當(dāng)圖例的稀疏性較高時(shí)，BBMCW 算法使用標(biāo)準(zhǔn)的順序貪婪著色計(jì)算邊界顏色，從而減少求解規(guī)模，增加求解時(shí)間。這種技術(shù)也可以應(yīng)用在SAT 領(lǐng)域，當(dāng)子句的文字很少時(shí)，可以看作是稀疏的，從而提高求解速率。

在大規(guī)模圖例求解最大團(tuán)問(wèn)題的算法中，需要對(duì)算法以及圖例自身結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究。2020年WALTEROs和BUCHANAN［46］發(fā)現(xiàn)一些大規(guī)模圖例在滿足某種關(guān)系時(shí)，最大團(tuán)問(wèn)題是好解的，有些則是難解的。已知g=(d+1)-ω，其中：ω為團(tuán)數(shù)；d為Degeneracy 度，d值可通過(guò)k-core 計(jì)算。已知當(dāng)g<10 時(shí)，求解最快；當(dāng)g在10～100 之間時(shí)，效果良好；當(dāng)g>100 后求解較為困難，求解難度與頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)無(wú)關(guān)。因此，根據(jù)g的結(jié)構(gòu)變化提出Main 算法［46］，通過(guò)構(gòu)建Degeneracy 度排序的方法，利用最大團(tuán)與最大頂點(diǎn)獨(dú)立集之間的關(guān)系，對(duì)特殊的子圖使用最大頂點(diǎn)獨(dú)立集的算法求解。結(jié)果顯示，在g∈[10，100)之間的求解效率優(yōu)于文獻(xiàn)［46］中所提到的3 類算法。

上述算法主要針對(duì)精確算法求解大規(guī)模圖例最大團(tuán)問(wèn)題進(jìn)行了補(bǔ)充，分別從3 個(gè)角度使用精確算法對(duì)最大團(tuán)問(wèn)題進(jìn)行分析。經(jīng)典的分支限界法通過(guò)對(duì)與已給出的圖結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，獲取圖結(jié)構(gòu)信息以進(jìn)行有效的剪枝操作，從而達(dá)到有效預(yù)處理的目的，提高求解速率。由于大多數(shù)精確算法都是基于圖結(jié)構(gòu)自身的分支定界法，近年來(lái)研究?jī)?nèi)容較多，算法更新改進(jìn)較為困難。對(duì)于NP 難問(wèn)題的轉(zhuǎn)移求解，LMC算法展示出了較好的效果。LMC 算法將圖結(jié)構(gòu)信息轉(zhuǎn)化為MaxSAT 問(wèn)題，對(duì)其進(jìn)行沖突檢測(cè)來(lái)推導(dǎo)上界估計(jì)，并啟發(fā)式地給出了基于其他NP 難問(wèn)題的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化方法的求解算法。圖著色、最大頂點(diǎn)獨(dú)立集、頂點(diǎn)覆蓋等問(wèn)題對(duì)分析最大團(tuán)問(wèn)題也存在啟發(fā)式的意義，但是NP 難問(wèn)題的轉(zhuǎn)變?nèi)允荖P 難問(wèn)題，對(duì)于有效信息的轉(zhuǎn)化利用則是問(wèn)題的研究難點(diǎn)。對(duì)于圖結(jié)構(gòu)的相變研究，Main 算法通過(guò)已發(fā)現(xiàn)的相變規(guī)律設(shè)計(jì)了更高效的算法，因此，構(gòu)建相變表達(dá)式與分析相變技術(shù)是未來(lái)可以研究的重要方向。

3.3.1 LMC 算法結(jié)果分析

圖8（a）所示為L(zhǎng)MC 算法與PMC 算法、BBMCSP算法的搜索解對(duì)比結(jié)果。對(duì)比算法求解時(shí)間可知，無(wú)論LMC 算法在初始解相同或是在小于其他兩類算法的情況下，對(duì)大規(guī)模圖例子圖的搜索速度均優(yōu)于其他兩類算法。尤其是在圖例twitter_mpi 中，LMC 的初始解小于其他兩類算法，但求解時(shí)間為149.5 s，而其他兩類算法則在5 h 內(nèi)無(wú)法找到正確解。說(shuō)明MaxSAT 方法在求解最大團(tuán)問(wèn)題上對(duì)于初始解的依賴性較低，有利于搜索最大團(tuán)的上界估計(jì)。通過(guò)對(duì)原始圖進(jìn)行化簡(jiǎn)，子圖中的頂點(diǎn)數(shù)顯著降低，且當(dāng)原圖的密度較低時(shí)，如圖8（b）所示，子圖第1 層數(shù)目的化簡(jiǎn)與原始圖頂點(diǎn)數(shù)目存在正相關(guān)的關(guān)系。但當(dāng)原始圖密度較高時(shí)，第1 層化簡(jiǎn)的密度仍然很大，說(shuō)明MaxSAT 推理上界方法對(duì)求解大規(guī)模最大團(tuán)問(wèn)題有較好的效果，但在高密度圖中預(yù)處理結(jié)果較差，求解時(shí)間不穩(wěn)定。

圖8 不同算法在預(yù)處理階段的結(jié)果對(duì)比Fig 8 Comparison of results of different algorithm in pretreatment stage

3.3.2 Main 算法結(jié)果分析

通過(guò)設(shè)置Main 算法中不同核間距g［46］的大小，驗(yàn)證大規(guī)模圖例中g(shù)對(duì)求解速度的影響，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9 所示。由圖9可知，當(dāng)g<10時(shí)，求解速度最快；當(dāng)g在10～100之間，求解速度適中；當(dāng)g>100后，求解較為困難。提出一個(gè)新的因素用來(lái)衡量圖模型是否可解，并在實(shí)驗(yàn)結(jié)果中驗(yàn)證核間距的正確性，求得該圖例是成為難解圖結(jié)構(gòu)的相變點(diǎn)。通過(guò)g在0～100 之間的求解效率優(yōu)于文中所提到的3類算法［46］可以看出頂點(diǎn)數(shù)與邊數(shù)的大小無(wú)關(guān)，與圖模型的結(jié)構(gòu)相關(guān)，即無(wú)論頂點(diǎn)和邊為多少，只要不接近所提出相變點(diǎn)位置的大規(guī)模最大團(tuán)問(wèn)題，就都是好解的。

圖9 參數(shù)g 對(duì)不同算法求解速度的影響Fig 9 Influence of parameter g on the speed of different algorithms

4 大規(guī)模最大團(tuán)算法總結(jié)分析

近年來(lái)，在求解圖例規(guī)模大、計(jì)算復(fù)雜度高的最大團(tuán)問(wèn)題中涌現(xiàn)出了很多優(yōu)秀的算法，在應(yīng)用過(guò)程中展示了一定的優(yōu)勢(shì)，但也暴露出了一些自身的局限性，將這些算法進(jìn)行總結(jié)分析，結(jié)果如表4 所示。

表4 大規(guī)模圖例的最大團(tuán)問(wèn)題算法的對(duì)比分析Table 4 Comparative analysis of algorithms for maximum clique problem based on large-scale lgraph

續(xù)表

基于大規(guī)模圖例求解最大團(tuán)問(wèn)題時(shí)需要先對(duì)原始圖例進(jìn)行預(yù)處理，將大規(guī)模圖例轉(zhuǎn)化為多個(gè)小規(guī)模子圖或單個(gè)多剪枝化簡(jiǎn)圖，使其有利于子圖搜索解。為簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)計(jì)算復(fù)雜度并增強(qiáng)計(jì)算效率，使用大數(shù)據(jù)并行計(jì)算平臺(tái)進(jìn)行多線程并行操作，逐步轉(zhuǎn)化為可求解規(guī)模圖例。

目前對(duì)于求解大規(guī)模圖例最大團(tuán)問(wèn)題的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)在預(yù)處理上，一般分為2 種處理方式：

1）將大規(guī)模圖例劃分為多個(gè)小規(guī)模圖例，主要基于單層圖劃分和多層圖劃分，且劃分方法為圖著色劃分。單層圖劃分有較快的劃分速度，能更大限度地保持原有圖結(jié)構(gòu)，但劃分時(shí)間較長(zhǎng)。多層劃分則劃分較慢但劃分后的子圖更利于搜索解，且在時(shí)間函數(shù)約束下更有利于求解密集圖。由于大規(guī)模圖例劃分的復(fù)雜性和密集性，因此主要使用MapReduce 方法進(jìn)行并行計(jì)算獲得多個(gè)子圖。因?yàn)镸apReduce 方法不適用于多層圖劃分，所以采用更有利于圖計(jì)算的Spark 集群框架進(jìn)行多層劃分。

2）將大規(guī)模圖例基于k-core 進(jìn)行剪枝操作，轉(zhuǎn)化為小規(guī)模圖例。k-core 方法能夠有效地反應(yīng)圖的度數(shù)和團(tuán)數(shù)量的關(guān)系，有利于分支限界法的剪枝操作，化簡(jiǎn)大規(guī)模圖，提高求解速率。對(duì)于分支限界法的研究，部分研究人員利用MaxSAT 問(wèn)題的子句沖突與最大團(tuán)問(wèn)題上界估計(jì)的關(guān)聯(lián)關(guān)系，使用編碼公式將最大團(tuán)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最大可滿足問(wèn)題后，通過(guò)求解子句沖突集進(jìn)行最大團(tuán)的快速剪枝，從而提高上界精度與預(yù)處理速度，MaxSAT 方法在大規(guī)模稀疏圖中的處理效果提升顯著。

5 未來(lái)展望

本文旨在對(duì)近年來(lái)有關(guān)大規(guī)模圖例求解最大團(tuán)問(wèn)題的研究進(jìn)行了分析與綜述，重點(diǎn)分析了各類算法的特點(diǎn)與優(yōu)劣性。深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)作為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)，在解決組合優(yōu)化問(wèn)題上展示出了求解速度快、模型泛化能力強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，例如文獻(xiàn)［48］利用GNN+RL 方法求解圖著色問(wèn)題，文獻(xiàn)［49］通過(guò)GNN+監(jiān)督式訓(xùn)練求解最小支配集問(wèn)題，文獻(xiàn)［50］基于GNN+RL 解決最小頂點(diǎn)覆蓋集問(wèn)題，均表現(xiàn)出顯著的求解效果，與傳統(tǒng)方法相比是一種全新的求解方式，也是一類新型的交叉學(xué)科［51］。雖然深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)及其應(yīng)用已經(jīng)取得了一定進(jìn)展，現(xiàn)有研究也展示出了在深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)、解決圖上組合和優(yōu)化問(wèn)題上的優(yōu)勢(shì)［52-53］，但大規(guī)模組合優(yōu)化問(wèn)題的求解速度仍有待提高。因此，對(duì)基于深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法解決經(jīng)典組合優(yōu)化問(wèn)題的算法進(jìn)行改進(jìn)，擴(kuò)大求解規(guī)模，使其可以解決大規(guī)模圖例的難解問(wèn)題是未來(lái)一個(gè)很好的研究方向［51］。

針對(duì)深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)難以求解大規(guī)模圖例最大團(tuán)的問(wèn)題、傳統(tǒng)方法求解大規(guī)模圖例最大團(tuán)問(wèn)題的數(shù)據(jù)計(jì)算量復(fù)雜問(wèn)題、分支限界法中的上界精確推理問(wèn)題以及圖結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題，有如下可借鑒技術(shù)：

1）使用分層式強(qiáng)化學(xué)習(xí)將大規(guī)模圖例進(jìn)行預(yù)處理，劃分為多個(gè)可解子問(wèn)題，并進(jìn)行分層式學(xué)習(xí)策略，再將子問(wèn)題進(jìn)行組合，形成全局最優(yōu)策略，從而解決大規(guī)模圖例的最大團(tuán)問(wèn)題。

2）針對(duì)大規(guī)模圖例的數(shù)據(jù)計(jì)算復(fù)雜問(wèn)題，目前使用最多的是大數(shù)據(jù)平臺(tái)下的分布式計(jì)算平臺(tái)，該平臺(tái)能夠提高計(jì)算效率，但同時(shí)也帶來(lái)一些不足，例如MapReduce 多次迭代將消耗較多內(nèi)存空間。針對(duì)內(nèi)存消耗問(wèn)題，可以結(jié)合量子計(jì)算方法對(duì)具有高復(fù)雜度的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解。量子計(jì)算根據(jù)量子力學(xué)疊加原理使量子信息單元的狀態(tài)能夠處于多種可能性的疊加狀態(tài)，從而使量子信息處理從效率上相比于經(jīng)典信息處理有更大的潛質(zhì)［54］。此外，還可以將分布式計(jì)算平臺(tái)應(yīng)用于求解大規(guī)模數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的其他組合優(yōu)化問(wèn)題中。

3）針對(duì)分支限界法的上界精確推理問(wèn)題，LMC 算法在求解大規(guī)模圖例最大團(tuán)問(wèn)題上效果良好。由于精確估計(jì)上界對(duì)分支定界法的求解速率有決定性影響［23］，因此利用MaxSAT 在編碼后的圖結(jié)構(gòu)中進(jìn)行尋找沖突子句從圖，從而縮小最大團(tuán)問(wèn)題上界至關(guān)重要［44］。與MaxSAT 問(wèn)題相對(duì)，MinSAT 問(wèn)題的目標(biāo)是確定一個(gè)命題公式的最少可滿足子句數(shù)量，MaxSAT 問(wèn)題與最大團(tuán)的上界緊密相連。所以，在下一步研究中，可以以MaxSAT求解最大團(tuán)為啟發(fā)，對(duì)MinSAT算法進(jìn)行改進(jìn)，使其有利于求解大規(guī)模圖例的最大團(tuán)問(wèn)題［55］。

4）針對(duì)圖結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題，在Main 算法中，研究人員啟發(fā)式地提出度量圖結(jié)構(gòu)難度的參數(shù)g并作出了有效的說(shuō)明與分析，驗(yàn)證了圖結(jié)構(gòu)難解度的相變點(diǎn)。對(duì)于圖結(jié)構(gòu)分析而言，樹(shù)寬［56］與結(jié)構(gòu)熵［57］均為分析圖結(jié)構(gòu)的有力工具。結(jié)構(gòu)熵可以反映網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)復(fù)雜性，樹(shù)寬則是在樹(shù)分解階段利用最大團(tuán)的大小判斷樹(shù)的寬度，反映圖的復(fù)雜性。這2 種結(jié)構(gòu)在一定條件下均反映最大團(tuán)的結(jié)構(gòu)與難解程度。對(duì)求解大規(guī)模圖例的最大團(tuán)問(wèn)題，下一步可以通過(guò)對(duì)圖結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，定義新的相變表達(dá)式，求得難解相變點(diǎn)，從圖結(jié)構(gòu)的角度分析最大團(tuán)的求解難度，并設(shè)計(jì)相應(yīng)結(jié)構(gòu)算法，從而提高求解效率。

通過(guò)上述分析，基于大規(guī)模圖例的最大團(tuán)問(wèn)題具有較大的研究空間與研究潛力，值得繼續(xù)研究。

6 結(jié)束語(yǔ)

求解大規(guī)模圖例的最大團(tuán)問(wèn)題是將常規(guī)最大團(tuán)理論應(yīng)用于真實(shí)世界的關(guān)鍵方法，具有重要的研究意義。本文對(duì)基于常規(guī)圖例求解最大團(tuán)問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹與總結(jié)，對(duì)基于大規(guī)模圖例求解最大團(tuán)問(wèn)題從算法分類的角度進(jìn)行綜述，詳細(xì)介紹了將目前主流算法與大數(shù)據(jù)技術(shù)相結(jié)合的求解方法，闡述了各類算法的優(yōu)點(diǎn)與不足。此外，分析了目前基于大規(guī)模復(fù)雜圖例求解最大團(tuán)問(wèn)題的難點(diǎn)及解決方案，通過(guò)對(duì)算法進(jìn)行對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，目前在計(jì)算優(yōu)化和難解問(wèn)題映射求解上仍有一定的進(jìn)步空間。在求解大規(guī)模圖例最大團(tuán)問(wèn)題中，下一步將繼續(xù)研究結(jié)合分層深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)的劃分方法和分析圖結(jié)構(gòu)的相變方法。