一般邊界條件下矩形疊層板面內(nèi)振動(dòng)研究

蔡志東， 鐘銳， 劉濤， 王青山

(1.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長沙 410083； 2.中南大學(xué) 高性能綜合制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖南 長沙 410083)

復(fù)合材料結(jié)構(gòu)由于其高強(qiáng)度、高模量和低密度的特點(diǎn)，越來越被工程領(lǐng)域所重視，尤其在土木工程、車輛工程、海洋工程以及航空工程等領(lǐng)域被廣泛運(yùn)用[1-5]，而復(fù)合材料矩形疊層板結(jié)構(gòu)作為基礎(chǔ)構(gòu)件，在工程領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛。在實(shí)際應(yīng)用過程中，矩形疊層板結(jié)構(gòu)需要適應(yīng)各種復(fù)雜工況，因此其在前期設(shè)計(jì)過程中的振動(dòng)特性預(yù)測(cè)對(duì)于設(shè)計(jì)人員的工況匹配研究至關(guān)重要。目前，矩形疊層板結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性的相關(guān)研究較多，但是大部分都是研究橫向彎曲振動(dòng)，對(duì)于高頻的面內(nèi)振動(dòng)特性研究相對(duì)較少。然而在工程應(yīng)用中，矩形板的面內(nèi)振動(dòng)也起著極為重要的作用，如直線型超聲電機(jī)的研究[6]、超高速飛行器的研制、耦合板結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量傳輸研究[7]等。因此，建立一種適用于一般邊界條件下矩形疊層板結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)特性分析模型顯得尤為迫切。

Bardell等[8]整理了板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)的研究文獻(xiàn)，總結(jié)了幾類經(jīng)典邊界條件下板結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)模態(tài)，并獲得了精確的振動(dòng)數(shù)據(jù)；Farag等[9]研究了對(duì)邊固支邊界條件下的板結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動(dòng)特性；Gorman[10-12]采用疊加方法對(duì)自由邊界條件下彈性板面內(nèi)振動(dòng)固有特性進(jìn)行了建模分析，并進(jìn)一步對(duì)簡(jiǎn)支、固支以及彈性邊界條件下板結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動(dòng)特性研究進(jìn)行了拓展。史冬巖等[13]采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法(improved fourier series method,IFSM)對(duì)矩形板在任意邊界下的面內(nèi)自由振動(dòng)特性進(jìn)行了研究，結(jié)合Rayleigh-Ritz法將矩形板的面內(nèi)問題轉(zhuǎn)變成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)特征值求解問題。杜敬濤等[14]采用二維改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法對(duì)彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)耦合位移場(chǎng)函數(shù)進(jìn)行構(gòu)建，并開展了相關(guān)試驗(yàn)測(cè)量進(jìn)行驗(yàn)證分析。目前，對(duì)于矩形疊層板的自由振動(dòng)分析也取得了較多的成果：費(fèi)雷拉等[15]通過多二次徑向基函數(shù)法和一階剪切變形理論(first-order shear deformation theory，F(xiàn)SDT)求解運(yùn)動(dòng)方程，研究了對(duì)稱層壓復(fù)合板的自由振動(dòng)。Ngo-Cong等[16]基于FSDT提出了一種徑向基函數(shù)配置方法。Ye等[17]在FSDT的基礎(chǔ)上，開發(fā)了一種修正的傅里葉解決方案，用于分析中等厚度的復(fù)合層板的自由振動(dòng)；Qin等[18]提出了一種Jacobi-Ritz分析方法，用于在任意邊界條件下對(duì)復(fù)合矩形疊層板的自由振動(dòng)進(jìn)行分析。

綜上，目前對(duì)于矩形疊層板的面振動(dòng)特性研究對(duì)于橫向振動(dòng)而言還相對(duì)匱乏，且已有的面內(nèi)振動(dòng)研究多集中于理論分析層面，相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究較為少見。為此，本文基于能量法推導(dǎo)了矩形疊層板結(jié)構(gòu)的控制微分方程，結(jié)合勒讓德多項(xiàng)式和人工彈簧技術(shù)，建立矩形疊層板的數(shù)值分析模型。將求解結(jié)果與有限元法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文方法的正確性。同時(shí)，開展矩形板的面內(nèi)振動(dòng)試驗(yàn)，采用試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性。此外，本文針對(duì)矩形疊層板的面內(nèi)振動(dòng)特性展開參數(shù)化研究，分析比較纖維鋪設(shè)角和纖維疊層數(shù)等參數(shù)對(duì)面內(nèi)振動(dòng)特性的影響，總結(jié)了各個(gè)參數(shù)對(duì)矩形疊層板的面內(nèi)振動(dòng)特性的影響規(guī)律。

1 矩形疊層板的模型建立

1.1 模型描述

圖1所示為本文建立的一般邊界條件下矩形疊層板面內(nèi)振動(dòng)模型，其長度為a，寬度為b，厚度為h，纖維層數(shù)為Nk，建立坐標(biāo)系的x軸、y軸和z軸分別與該矩形疊層板的長、寬、高方向相重合。此外，θ表示矩形疊層板第k層的纖維基本方向與x軸之間的夾角。為了將矩形疊層板的面內(nèi)振動(dòng)模型統(tǒng)一化，采用人工彈簧技術(shù)，也就是圖示中的2組線性彈簧系數(shù)(kt(t=u，v))對(duì)邊界條件進(jìn)行等效模擬，通過設(shè)置各邊界約束彈簧的剛度值即可輕松得到不同的邊界條件。

圖1 彈性邊界條件下矩形疊層板面內(nèi)振動(dòng)模型Fig.1 In-plane vibration model of laminated rectangular plate with elastic boundary conditions

1.2 模型描述

根據(jù)線彈性理論，矩形疊層板在任意點(diǎn)的法向應(yīng)變和剪切應(yīng)變可以表示為：

(1)

式中u(x,y)和v(x,y)分別為矩形疊層板在x方向和y方向的面內(nèi)位移。在胡克定律的基礎(chǔ)上，矩形疊層板的應(yīng)力可以表示為：

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：Nxx和Nyy表示法向力；Nxy表示剪切力。

(6)

式中Aij表示延伸剛度，根據(jù)層彈性系數(shù)進(jìn)行確定。

矩形疊層板的應(yīng)變能可以表示為：

(7)

在本研究中，采用人工彈簧技術(shù)來等效處理一般邊界條件。因此，與邊界彈簧有關(guān)的勢(shì)能為：

(ku,xLu2+kv,xLv2)|x=a]dy+

(ku,yLu2+kv,yLv2)|y=b]dx

(8)

式中：kt,x0、kt,xL、kt,y0和kt,yL(t=u，v)分別是邊界x=0，x=a，y=0和y=b邊界處的彈簧剛度。矩形疊層板面內(nèi)振動(dòng)引起的總動(dòng)能為：

(9)

1.3 振動(dòng)求解

在建立矩形疊層板的結(jié)構(gòu)勢(shì)能、結(jié)構(gòu)動(dòng)能以及邊界勢(shì)能的基礎(chǔ)上，矩形疊層板的拉格朗日能量函數(shù)可以表示為：

L=T-U+V

(10)

在能量法求解過程中，位移容許函數(shù)對(duì)于結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的求解至關(guān)重要。常見的用于構(gòu)建結(jié)構(gòu)位移場(chǎng)的函數(shù)主要有改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)與正交多項(xiàng)式(即第一類和第二類切比雪夫多項(xiàng)式、勒讓德多項(xiàng)式、特征正交多項(xiàng)式等)[19]，Qin等[19]在石墨烯圓柱殼的自由振動(dòng)特性的研究中發(fā)現(xiàn)：正交多項(xiàng)式擁有相似的計(jì)算效率和收斂性，且都優(yōu)于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)。因此，對(duì)于矩形疊層板的面內(nèi)振動(dòng)的位移變量u(x,y)和v(x,y)，本文選取勒讓德多項(xiàng)式進(jìn)行表示：

(11)

(12)

式中：Umn和Vmn是未知的位移未知擴(kuò)展系數(shù)；Pm(x)和Pn(y)分別是x方向上的階數(shù)m和y方向上的階數(shù)n的勒讓德多項(xiàng)式；M和N分別代表Pm(x)和Pn(y)階數(shù)的最大值。勒讓德多項(xiàng)式的具體表達(dá)式為：

(13)

式中：i≥2；χ∈[-1,1]。

特別注意的是，由于勒讓德多項(xiàng)式的求解區(qū)域與結(jié)構(gòu)求解域不一致，因此在代入求解之前需要進(jìn)行x=ξxχx+ζx和y=ξyχy+ζy的線性坐標(biāo)變換，其中ξx=ζx=a/2，ξy=ζy=b/2。

在結(jié)構(gòu)位移容許函數(shù)建立的基礎(chǔ)上，將其代入方程(10)，采用里茲法位移未知擴(kuò)展系數(shù)Umn和Vmn求極值即可獲得矩形疊層板的面內(nèi)振動(dòng)特性求解方程：

(K-Mω2)A=0

(14)

式中：K、M和A分別表示剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和未知系數(shù)的向量。通過求解方程(14)，可以獲得矩形疊層板的自然頻率和相關(guān)特征向量，然后代入方程(10)即可獲得相對(duì)應(yīng)的面內(nèi)振動(dòng)模態(tài)振型。

2 數(shù)值與試驗(yàn)結(jié)果分析

本文已經(jīng)對(duì)矩形疊層板的面內(nèi)自由振動(dòng)特性求解方程進(jìn)行了描述，在獲得理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，本文首先進(jìn)行模型收斂性研究，確定邊界剛度值與多項(xiàng)式截?cái)嘀?，隨后開展數(shù)值仿真研究，并將計(jì)算結(jié)果與ABAQUS算得的結(jié)果和矩形板的面內(nèi)振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在此基礎(chǔ)上展開參數(shù)化研究，討論各參數(shù)對(duì)矩形疊層板面內(nèi)振動(dòng)特性的影響規(guī)律。

2.1 模型收斂性研究

正如前面的建模過程可知，對(duì)于矩形疊層板的邊界條件模擬是通過在邊界位置處引入了線性彈簧來進(jìn)行等效處理。但是對(duì)于固定邊界的等效需要設(shè)置一個(gè)合理大小的彈簧剛度值來進(jìn)行近似處理，所以有必要開展邊界剛度的收斂性研究，相關(guān)的計(jì)算結(jié)果如圖2所示。在圖2中，給出了2種纖維敷設(shè)方案的矩形疊層板，方案分別為[0°/30°/0°]和[45°/-45°/45°/-45°]。結(jié)構(gòu)參數(shù)為1 m×1 m×0.05 m，材料參數(shù)為：E1=150 GPa；E2=10 GPa；G12=5 GPa；G13=5 GPa；G23=6 GPa。ku和kv分別代表矩形疊層板沿x軸與y軸方向的邊界剛度值，坐標(biāo)值分別取以10為底ku和kv的對(duì)數(shù)值，采用等高線云圖表現(xiàn)頻率的收斂性，剛度值分別從104變化到1014。

圖2 邊界剛度值收斂性分析Fig.2 Convergence analysis of boundary stiffness value

從圖2中可以看出，當(dāng)邊界彈簧ku以及kv的剛度值在107～1010N/m內(nèi)變化時(shí)，頻率參數(shù)隨之變化(圖中綠色區(qū)域)，此時(shí)可將其定義為彈性邊界(E)；而當(dāng)結(jié)構(gòu)的邊界剛度值在1010～1014N/m變化時(shí)，頻率參數(shù)已基本收斂(圖中紅色區(qū)域)，對(duì)應(yīng)的邊界可視為固定支撐邊界(C)；而剛度值為0時(shí)(圖中藍(lán)色區(qū)域)，可將邊界定義為自由邊界(F)。

接下來，開展勒讓德多項(xiàng)式收斂性研究，將截?cái)嘀礛和N從2取值到12得到的收斂性結(jié)果如圖3所示，結(jié)構(gòu)邊界條件分別為C-C-C-C、F-F-F-F和C-F-C-F邊界，結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)與圖2保持一致，纖維敷設(shè)角度為[45°/-45°/45°/-45°]。從圖中可以看出，隨著截?cái)嘀礛和N的增加，計(jì)算結(jié)果迅速收斂，當(dāng)截?cái)嘀颠_(dá)到12時(shí)，與截?cái)嘀禐?0時(shí)的誤差均小于0.5‰。雖然從理論上講，當(dāng)截?cái)嘀禑o限大時(shí)，計(jì)算結(jié)果可以完全等于精確分析結(jié)果。但是，考慮到實(shí)際的硬件計(jì)算資源和計(jì)算效率，通常需要選擇一個(gè)合理的截?cái)嘀怠Ｒ虼?，在后續(xù)算例分析中，勒讓德多項(xiàng)式的截?cái)嘀颠x定為M=N=12。

圖3 勒讓德多項(xiàng)式截?cái)嘀凳諗啃苑治鯢ig.3 Convergence analysis of truncation value of Legendre polynomial

2.2 模型正確性研究

表2給出了矩形疊層板在本文求解分析模型和有限元分析模型下所獲得的前6階自然固有頻率，結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)與圖2保持一致。對(duì)于結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性而言，模態(tài)振型可以直觀反映出結(jié)構(gòu)的固有特性，因此圖4還給出了本文方法與有限元法所得到的模態(tài)振型對(duì)比圖。通過表1數(shù)據(jù)和圖4可知，采用本文方法計(jì)算所得的數(shù)值與ABAQUS仿真得到的結(jié)果吻合較好，數(shù)值誤差較小。因此，可以驗(yàn)證本文所提出的方法對(duì)矩形疊層板面內(nèi)自由振動(dòng)計(jì)算的有效性。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該模型的正確性，本文開展了實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析，搭建了如圖5中所示的振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)。試驗(yàn)件采用鋁板材激光加工而成，尺寸為a×b×h=1 250 mm×1 127 mm×10 mm，彈性模量為E=70 GPa，泊松比μ=0.33。在鋁板頂邊兩端加工有2個(gè)吊裝孔，通過彈性繩將矩形鋁板吊裝在臺(tái)架上，從而實(shí)現(xiàn)了試驗(yàn)件的自由約束邊界條件設(shè)置。測(cè)試方法選用單點(diǎn)面內(nèi)激勵(lì)多點(diǎn)拾振，激勵(lì)點(diǎn)選擇為1號(hào)測(cè)點(diǎn)的x方向，將矩形鋁板的表面被均勻劃分為10×10個(gè)網(wǎng)格，共計(jì)121個(gè)測(cè)點(diǎn)，在測(cè)點(diǎn)處布置三向加速度計(jì)，按照編號(hào)依次挪動(dòng)傳感器位置測(cè)量各測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)數(shù)據(jù)。

對(duì)于每次測(cè)量采用力錘進(jìn)行敲擊，拾取被測(cè)點(diǎn)x、y方向上的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，并保存在數(shù)據(jù)與采集分析系統(tǒng)中，力錘敲擊的激勵(lì)力信號(hào)數(shù)據(jù)也被同步保存在系統(tǒng)中。每個(gè)測(cè)點(diǎn)測(cè)量5次數(shù)據(jù)，系統(tǒng)自動(dòng)求取平均值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，以減少試驗(yàn)誤差。測(cè)試完成后，通過東華DHDAS軟件輔助工具處理試驗(yàn)中產(chǎn)生的激勵(lì)與響應(yīng)數(shù)據(jù)，最終可以得到該矩形鋁板的面內(nèi)模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果。

表1 固支邊界下矩形疊層板固有頻率參數(shù)對(duì)比

采用本文方法預(yù)測(cè)與試驗(yàn)測(cè)試的得到前8階面內(nèi)模態(tài)頻率對(duì)比如表2所示。通過表2可知，采用本文方法得到預(yù)測(cè)值也可以很好地與試驗(yàn)測(cè)量值吻合，前8階面內(nèi)模態(tài)頻率的誤差普遍在1%以內(nèi)，最大誤差不超過2%。綜合分析試驗(yàn)結(jié)果，可以進(jìn)一步論證本文所建立的矩形疊層板面內(nèi)自由振動(dòng)模型的準(zhǔn)確性。

圖4 本文方法與有限元法得到的前3階陣型圖對(duì)比Fig.4 Comparison of the first three-order array diagram obtained by present method and the finite element method

圖5 矩形板面內(nèi)振動(dòng)模態(tài)測(cè)試系統(tǒng)Fig.5 In-plane vibration mode test system of rectangular plate

表2 前8階面內(nèi)模態(tài)頻率預(yù)測(cè)與測(cè)量結(jié)果對(duì)比

2.3 參數(shù)化研究

通過現(xiàn)有文獻(xiàn)調(diào)研可知，對(duì)于矩形疊層板振動(dòng)特性研究目前大多數(shù)都是研究低頻的彎曲振動(dòng)，對(duì)于高頻振動(dòng)的面內(nèi)自由振動(dòng)的研究還十分鮮有。因此為了豐富現(xiàn)有研究成果，本小節(jié)在上述收斂性和有效性研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步開展參數(shù)化研究，主要包括纖維鋪設(shè)角和纖維疊層數(shù)等因素。

為研究材料纖維鋪設(shè)角的變化對(duì)矩形疊層板振動(dòng)特性的影響，選取了2組纖維鋪設(shè)方案：[0°/α°/0°]和[0°/α°/0°/α°]，其中敷設(shè)角度α°從0°到90°變化。對(duì)于每種敷設(shè)方案，選取了3種不同的邊界條件CCCC、FFFF和CFCF，幾何和材料屬性與表1相同，選取前3階模態(tài)頻率進(jìn)行參數(shù)化結(jié)果展示，如圖6所示。從圖中可知，各邊界下2種不同鋪設(shè)方案的鋪設(shè)角變化對(duì)結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)頻率的影響具有相似的規(guī)律，且對(duì)于CCCC及CFCF邊界，頻率隨著鋪設(shè)角的增大，總體上呈現(xiàn)出增大的趨勢(shì)，而對(duì)于FFFF邊界，其變化大體是先增大后減少的趨勢(shì)，這主要是由于不同邊界條件對(duì)于結(jié)構(gòu)的剛度影響存在差別引起的。

為研究纖維層數(shù)對(duì)矩形疊層板面內(nèi)自由振動(dòng)的影響，對(duì)不同纖維層數(shù)下的面內(nèi)自由振動(dòng)頻率進(jìn)行分析計(jì)算。如圖7所示，矩形疊層板采用奇數(shù)層纖維鋪設(shè)角度為0°，偶數(shù)層層數(shù)的纖維鋪設(shè)角為90°的纖維鋪設(shè)方案，隨著纖維層數(shù)Nk取值的不同，纖維敷設(shè)層數(shù)也隨著發(fā)生相應(yīng)的變化，結(jié)構(gòu)邊界條件分別為CCCC、FFFF和CFCF，選取前3階模態(tài)頻率進(jìn)行參數(shù)化結(jié)果展示。從圖7中可以看出，隨著纖維層數(shù)的增大，偶數(shù)層的模態(tài)頻率保持一致，這是因?yàn)閯偠认禂?shù)不隨偶數(shù)層數(shù)目Nk的變化而改變。而奇數(shù)層的改變，會(huì)導(dǎo)致剛度系數(shù)隨之發(fā)生變化，因此其對(duì)應(yīng)的頻率參數(shù)也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的波動(dòng)。

圖6 不同纖維敷設(shè)方案前3階面內(nèi)頻率隨鋪設(shè)角變化規(guī)律Fig.6 Variation of frequency parameters with laying angle under different lamination schemes

3 結(jié)論

1)對(duì)比分析3種方法得到的數(shù)據(jù)結(jié)果，證明了本文計(jì)算方法的正確性和有效性。

2)由于不同邊界條件對(duì)于結(jié)構(gòu)的剛度影響，矩形疊層板的纖維鋪設(shè)角變化對(duì)結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)頻率有較大影響。

3)矩形疊層板的頻率參數(shù)會(huì)隨著鋪設(shè)層數(shù)的變化而發(fā)生波動(dòng)。

4)通過本文的研究可以對(duì)未來進(jìn)一步的更復(fù)雜的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)在高頻區(qū)域的振動(dòng)特性研究提供一定的理論基礎(chǔ)。