碳優(yōu)化

碳減排過程涉及很多需要優(yōu)化的問題，數(shù)學(xué)在這一方面大有可為，但在實(shí)際中，問題要復(fù)雜得多，優(yōu)化要應(yīng)用更復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具，如數(shù)學(xué)規(guī)劃、泛函分析和最優(yōu)控制中的哈密頓—雅可比—貝爾曼方程（HJB方程）。碳優(yōu)化幾乎在雙碳行動(dòng)的所有領(lǐng)域都很活躍。

碳減排肯定是要花錢的，而且花了錢也沒有立竿見影。這也從某種程度抑制了人們的減排動(dòng)力。政府就要有所作為，一方面發(fā)放一定的排放許可，一方面對(duì)排放超標(biāo)的企業(yè)進(jìn)行處罰。所以對(duì)于國(guó)家或者一個(gè)企業(yè)，這里就有一個(gè)減排的最優(yōu)控制問題，如何花最少的錢達(dá)到減排達(dá)標(biāo)的效果。數(shù)學(xué)最拿手的就是處理這類最優(yōu)控制問題。數(shù)學(xué)中有很多方法，要做的事就是建立數(shù)學(xué)模型，搞清楚優(yōu)化目標(biāo)和控制變量，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)方法控制變量，求到最優(yōu)的效果，以達(dá)到目的。

假設(shè)一個(gè)國(guó)家通過簽訂國(guó)際公約的方式，或者一個(gè)企業(yè)接受減排要求約定在給定期限內(nèi)降低其碳排放量到一定限額以內(nèi)，否則到期需要為超過限額的碳排放量支付罰款。那么在此期間，他們就需要采取一定措施降低國(guó)內(nèi)或企業(yè)的碳排放量?？紤]到碳減排的成本，該國(guó)或企業(yè)需要選取適當(dāng)?shù)奶紲p排策略，使得減排過程中的總費(fèi)用和到期由于超額碳排放產(chǎn)生的罰款總和最小。能采取的措施有很多選擇，數(shù)學(xué)可以幫助決策者做出最優(yōu)的決策。

對(duì)政府和企業(yè)來說，最優(yōu)投資的含義就更復(fù)雜些，但可以認(rèn)為是在有限資金下最優(yōu)分配資金進(jìn)行碳投資。如政府有一筆定量投資減碳，是投在綠色能源？植樹造林？減排技術(shù)革新？還是培養(yǎng)教育低碳人才？亦或分配這筆資金使之取得的減排效果最好。即便是投在綠色能源，那么是風(fēng)能還是水能，在什么地方，用什么技術(shù)和設(shè)備才能使投資最小而效果最好都是優(yōu)化問題。

在這些優(yōu)化控制中，數(shù)學(xué)的優(yōu)化方法大有可為。主要有：線性規(guī)劃、微積分最值、泛函分析、微分方程等。

具體到一個(gè)企業(yè)，生產(chǎn)是企業(yè)活動(dòng)的基礎(chǔ)。但要生產(chǎn)就有碳排，碳排有限制，為減排就要投資，這又會(huì)影響企業(yè)利潤(rùn)，如何平衡？下面通過一個(gè)例子來說明如何應(yīng)用數(shù)學(xué)來解決這個(gè)問題。

例1 一個(gè)企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品，收益與生產(chǎn)量成正比，比例系數(shù)為α。同時(shí)，生產(chǎn)過程產(chǎn)生碳排放，排放的多少與生產(chǎn)量成正比，比例系數(shù)β。如果碳排放超過許可Q，企業(yè)將面臨高額罰款。為了解決碳排放問題，企業(yè)有兩個(gè)選擇：或者縮小生產(chǎn)規(guī)模以控制碳排放在許可范圍內(nèi)，或者投資減排。投資費(fèi)用與減排量的平方成正比，其比例系數(shù)為γ。制定最優(yōu)的減排方案使得碳排放在許可范圍內(nèi)，并且收益最大，開銷最小。

我們來分析一下這個(gè)問題。出于企業(yè)盈利考慮，當(dāng)然生產(chǎn)越多越好，但生產(chǎn)多，帶來的碳排放就越大。碳排放的許可限制了企業(yè)的生產(chǎn)量。但如果企業(yè)花些錢投資減排，可以擴(kuò)大生產(chǎn)量，但投資將增加成本，那么投資多少才可達(dá)到最優(yōu)？

下圖可以更直觀地表述問題。參數(shù)取為α=β=γ=1，Q=c=0。圖中實(shí)線即企業(yè)收益P，虛線即企業(yè)減排成本B。則對(duì)于給定生產(chǎn)量x（橫坐標(biāo)），實(shí)線超過虛線的部分即企業(yè)凈收益。則最優(yōu)解即使得兩條線“距離最遠(yuǎn)”的點(diǎn)。

得到的最優(yōu)解有若干參數(shù)。根據(jù)結(jié)果和參數(shù)分析，可以得到如下結(jié)果：

首先最優(yōu)生產(chǎn)量x*比Q/β來得大，這意味著，碳排投資是必要的，扣除碳排費(fèi)用，在碳排上限的限制下，企業(yè)可以獲得更大的收益。

最優(yōu)生產(chǎn)量x*隨β增大而減小，這意味著企業(yè)增進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)，減少生產(chǎn)中碳排率可以有進(jìn)一步擴(kuò)大生產(chǎn)的空間，使得企業(yè)獲益更大。

最優(yōu)生產(chǎn)量x*隨γ增大而減小，這提示企業(yè)增進(jìn)碳排技術(shù)，減少減排消耗率可以有進(jìn)一步擴(kuò)大生產(chǎn)的空間，使得企業(yè)獲益更大。

最優(yōu)生產(chǎn)量x*隨α增大而增加，這表明生產(chǎn)收益率始終是重要的。

如果考慮更多的因素，如碳排放量是隨機(jī)的，企業(yè)可以購(gòu)買碳排權(quán)，而市場(chǎng)價(jià)也是隨機(jī)的等等，那么數(shù)學(xué)模型會(huì)更復(fù)雜。

對(duì)政府或其他投資者來說，除了低碳行動(dòng)，還可以對(duì)一些碳項(xiàng)目進(jìn)行投資。如果可以投資的一些項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)和收益都清楚的話，投資者可以選擇在風(fēng)險(xiǎn)一定的情況下，使組合投資項(xiàng)目達(dá)到收益最高的結(jié)果，或者在收益水平一定的情況下，調(diào)整投資組合使得自己的投資風(fēng)險(xiǎn)最低。也可以結(jié)合這兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)或加上其他投資目標(biāo)構(gòu)造投資組合以達(dá)目標(biāo)。同樣來看個(gè)例子。

例2 某市要評(píng)估5個(gè)碳減排項(xiàng)目，初始投資資金是有限的5000萬，以后每年的維護(hù)資金是800萬。項(xiàng)目只有選擇完全投資或者完全不投資，收益預(yù)期和產(chǎn)生的減碳排效益及初始資金即維護(hù)資金如下表所示?？紤]如何安排投資項(xiàng)目使得在可運(yùn)行資金范圍內(nèi)使得產(chǎn)生的碳排放效果最好。

然后通過直接計(jì)算或計(jì)算機(jī)計(jì)算，可以算出最佳的方案是所有的資金都投A項(xiàng)目，即投5個(gè)A項(xiàng)目，每年可碳減10個(gè)單位。但如果有限制條件，每個(gè)項(xiàng)目最多投一個(gè)，則問題可歸為0-1規(guī)劃，計(jì)算結(jié)果為投A、C、D項(xiàng)目，每年可碳減5.5個(gè)單位。

碳減排不是說減就可以減的。一家企業(yè)要減排，就要引進(jìn)和它生產(chǎn)方式有關(guān)的技術(shù)，購(gòu)買相應(yīng)的設(shè)備。一般來說，減排越早越好，但也不盡然。減排技術(shù)在不斷發(fā)展，引進(jìn)技術(shù)的費(fèi)用可能越來越低，在引進(jìn)的時(shí)間，企業(yè)要付出沉沒成本，即一旦錢花出去了就不能收回，同時(shí)也失去了等待的機(jī)會(huì)。所以，如何選擇最優(yōu)的引進(jìn)技術(shù)時(shí)間，是一個(gè)數(shù)學(xué)的優(yōu)化問題。金融數(shù)學(xué)中處理實(shí)物期權(quán)的方法可以借鑒。

例如，一家企業(yè)擬引進(jìn)一項(xiàng)技術(shù)，引進(jìn)前后描述碳排放的隨機(jī)過程發(fā)生了變化?？梢约俣ㄌ寂怕氏陆盗?，但是引進(jìn)時(shí)企業(yè)要付出沉沒成本，引進(jìn)后還要支出管理費(fèi)用。沉沒成本也是一個(gè)隨機(jī)過程，可能隨著時(shí)間而變化。那么從今天來看，從最經(jīng)濟(jì)的角度，什么時(shí)候引入這項(xiàng)技術(shù)有可能是最好的。這個(gè)問題可以建一個(gè)數(shù)學(xué)模型，并轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)中所謂的HJB方程或者自由邊界問題來討論。

雙碳運(yùn)動(dòng)，人人有責(zé)。對(duì)于個(gè)人來說，不是喊喊口號(hào)就是支持雙碳，要身體力行實(shí)施減碳。然而，現(xiàn)代生活講究效率，減碳并不是要降低生活質(zhì)量，而是要在這之間找到平衡，安排自己在能完成工作和正常生活的前提下選擇最減排的方案。這也是普通人可以做到的。再看一個(gè)例子。

例3 某人公干，希望低碳出行。下表顯示使用各種交通工具的碳排放數(shù)據(jù)，以及出行速度和旅費(fèi)。如果目的地與出發(fā)地相距400千米，要求兩天來回，路上時(shí)間每天只能花2小時(shí)，飛機(jī)可飛行350千米，火車可行駛380千米，飛機(jī)和火車中途不可以下車，也不可以同時(shí)乘，單程旅費(fèi)限制200元。如何選擇交通工具，使得完成任務(wù)的同時(shí)碳排放最少？

數(shù)學(xué)在碳優(yōu)化方面的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這幾個(gè)方面，方法也不止所提及的幾種，但我們已可以從中理解數(shù)學(xué)在碳優(yōu)化方面的強(qiáng)大優(yōu)勢(shì)。

上述事例只是數(shù)學(xué)應(yīng)用的幾個(gè)方面，總之，隨著雙碳運(yùn)動(dòng)的進(jìn)行，數(shù)學(xué)將越來越顯示出她的強(qiáng)大力量，并在雙碳這個(gè)領(lǐng)域長(zhǎng)袖善舞，發(fā)揮著至關(guān)重要又不可取代的作用。

2020年筆者總結(jié)了近十年關(guān)于碳減排方面的數(shù)學(xué)研究工作，包括筆者兩位博士生的博士論文的內(nèi)容，出版了一本科普書《碳減排數(shù)學(xué)模型與應(yīng)用》，其中詳細(xì)而具體地闡述了本文提到的碳減排方方面面的數(shù)學(xué)應(yīng)用。

最后，希望數(shù)學(xué)可以為減排、為優(yōu)化控制、為科學(xué)管理、為地球減負(fù)……為人類做出更大的貢獻(xiàn)。也更熱切地希望碳減排的議題受到各行各業(yè)、從政府到百姓更加強(qiáng)烈的重視，身體力行，同心合力減排。

因?yàn)榈厍蛑挥幸粋€(gè)，我們只能同舟共濟(jì)！

[1]梁進(jìn)，楊曉麗，郭華英. 碳減排數(shù)學(xué)模型與應(yīng)用. 北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2020.

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