沖擊載荷下結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計與動態(tài)響應分析

史峰源，李世強，劉志芳

（1. 太原理工大學 機械與運載工程學院，應用力學研究所, 山西, 太原 030024；2. 太原理工大學 山西省材料強度與結(jié)構(gòu)沖擊重點實驗室, 山西, 太原 030024）

拓撲優(yōu)化的目的是運用結(jié)構(gòu)拓撲信息尋求結(jié)構(gòu)材料在給定設計域內(nèi)的最佳材料分布，從而滿足一個或多個設計約束的同時最大化或最小化某些設計目標[1]. 拓撲優(yōu)化是研究結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓撲形式的優(yōu)化問題，在優(yōu)化的過程中去除多余或者影響小的材料從而構(gòu)建滿足約束條件的最優(yōu)結(jié)構(gòu). 目前，比較成熟的連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法主要有均勻化方法[2?3]（homogenization method）、變密度法[4?5]（solid isotropic material penalization，SIMP）、水平集方法[6?7]（level set method）以及漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法[7?8]（evolutionary structural optimization，ESO）等. 漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法作為拓撲優(yōu)化的一種重要方法，最早是由XIE 等[8]基于結(jié)構(gòu)通過逐漸刪除低應力材料而使結(jié)構(gòu)進化到最優(yōu)的概念的基礎(chǔ)上提出的. 漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法不會產(chǎn)生中間密度，優(yōu)化過程中會得到清晰的拓撲構(gòu)型，但漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法只能不斷刪除低應力單元，QUERIN等[9?10]提出了雙向漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法（BESO），不但可以逐漸刪除低應力單元，同時也可以逐漸添加已經(jīng)被刪除的單元. 這樣既能刪減單元同時又可以添加單元，解決了最初只能刪減單元的問題.HUANG 等[11]提出了解的收斂性與網(wǎng)格無關(guān)的一種BESO 方法，這種方法結(jié)合了靈敏度濾波和利用歷史信息穩(wěn)定優(yōu)化方案，使優(yōu)化過程更加高效平穩(wěn)，在結(jié)構(gòu)設計問題中表現(xiàn)出了良好的性能. 目前，雙向漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法已經(jīng)顯示出高效和穩(wěn)健的優(yōu)化性能，成為一種無論是在學術(shù)研究還是工程應用中都廣泛使用的設計方法[12].

從SIGMUND[13]開始將楊氏模量、導電率或?qū)崧什煌膬煞N材料同時引入設計域，在某些情況下用以顯著提升結(jié)構(gòu)特性，從此多相材料拓撲優(yōu)化設計得到廣大學者的關(guān)注[14]，復合材料由于多種材料特性之間的相互補充，從而在性能方面要比傳統(tǒng)材料更加優(yōu)良，具有比強度高、比模量大、可設計性等優(yōu)點，并且能滿足結(jié)構(gòu)的一些特殊功能，如傳熱性[15]、導電性等.

目前拓撲優(yōu)化方法多用于結(jié)構(gòu)靜態(tài)載荷優(yōu)化，而工程實際中結(jié)構(gòu)常受到動態(tài)載荷[16]，直接對結(jié)構(gòu)進行非線性動力響應優(yōu)化分析雖然在理論上可行，但是計算過程異常復雜、計算效率低，而且計算難以收斂，無法得到較為理想的拓撲構(gòu)型[17]. 為了可以高效地進行結(jié)構(gòu)非線性動態(tài)優(yōu)化設計，PARK 等[18]提出了等效靜力載荷優(yōu)化方法，通過構(gòu)造等效靜力載荷的方法將動力優(yōu)化設計問題轉(zhuǎn)化成為靜力優(yōu)化設計問題[19]，并且驗證了方法的可行性，提高了非線性動力優(yōu)化的設計效率，這種方法也因此得到了廣泛應用[20?21].

本文針對結(jié)構(gòu)非線性動態(tài)響應拓撲優(yōu)化優(yōu)化流程復雜，計算效率低等問題，將雙向漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法和等效靜力載荷優(yōu)化方法相結(jié)合，對非線性動態(tài)響應拓撲優(yōu)化流程進行改進，采用內(nèi)外雙層循環(huán)的方式，外層循環(huán)實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)的非線性動態(tài)響應分析，依據(jù)結(jié)構(gòu)的非線性動態(tài)響應構(gòu)造等效靜態(tài)載荷，內(nèi)層循環(huán)依據(jù)構(gòu)造的等效靜態(tài)載荷，并將權(quán)值法引入其中，采用改進的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法進行優(yōu)化，簡化優(yōu)化流程，優(yōu)化過程更加平穩(wěn)，整體優(yōu)化時間大幅減小，計算效率大幅提高. 采用雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法能夠避免中間密度的產(chǎn)生，提高了工程可制備性，同時也將材料插值模型引入其中，實現(xiàn)沖擊載荷下雙相復合材料拓撲優(yōu)化設計，在保證結(jié)構(gòu)質(zhì)量相同的情況下使結(jié)構(gòu)具有更高的剛度. 最后通過兩個算例來驗證改進方法的可行性和高效性，在得到優(yōu)化結(jié)果后對最終優(yōu)化結(jié)構(gòu)進行對比和動態(tài)響應分析，說明本文提出的方法更加適用于動載荷下結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計.

1 等效靜力載荷優(yōu)化法

如果各個時刻下的結(jié)構(gòu)響應通過積分計算的方法來獲取，這會使得結(jié)構(gòu)分析變得十分復雜并且計算效率低. 因此等效靜力載荷優(yōu)化方法提出了一種通過構(gòu)造等效靜力載荷可以高效的獲得非線性結(jié)構(gòu)響應的等效分析方法，這種方法要求線彈性靜力分析在關(guān)心時刻下要與非線性動力分析具有相同的結(jié)構(gòu)響應.

圖1 為等效靜力載荷的等效過程，在相對應的時間步中，等效靜力載荷是能夠與結(jié)構(gòu)施加動載荷產(chǎn)生相同位移場的靜載荷. 在等效時，將結(jié)構(gòu)的非線性動力學分析按所需的時間步分開，每一個時間步的動態(tài)響應等效為靜力載荷的一個工況，并且要求相對應時間步結(jié)構(gòu)在動載荷下產(chǎn)生的位移和相對應等效靜態(tài)載荷產(chǎn)生的位移相等[19].

圖1 等效靜態(tài)載荷的等效過程Fig. 1 Equivalent process of equivalent static load

非線性動力問題的控制方程為

2 基于等效靜力載荷優(yōu)化方法的雙向漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化

2.1 多相材料的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

在進行單相材料雙向漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化時，材料的彈性模量可以作為單元密度變量的函數(shù)進行插值：

在雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法中，可以使用離散設計變量進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，并且在這種方法中利用單個元素的靈敏度數(shù)值的相對排序來進行優(yōu)化，由于采用“軟殺”方法，為了防止剛度矩陣奇異的發(fā)生，用較小的相對密度來表示靈敏度數(shù)值低的待刪除單元的相對密度，后續(xù)該單元仍參與有限元分析而不是直接刪除該單元，同樣在后續(xù)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化中該單元如果具有較高應力時也可以恢復該單元.

由上式可以看出當有多種材料參與優(yōu)化設計時，靈敏度數(shù)值完全不同于使用單元應變能為標準的原始的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法.

2.2 多工況的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

原始的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法適用于單一靜態(tài)載荷工況，為了進行動態(tài)響應優(yōu)化，每一個關(guān)心時刻的動態(tài)響應等效為等效靜力載荷的一個工況，則需要在原始的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法中引入權(quán)值法，即有多個載荷工況，每一個載荷工況賦予相應的權(quán)重，并且所有載荷工況下的權(quán)重系數(shù)相加為1，多工況的雙向漸進拓撲優(yōu)化“軟殺”方法的優(yōu)化問題可以表示為：

2.3 基于等效靜力載荷優(yōu)化方法的復合材料漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化

將等效靜力載荷優(yōu)化方法和雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法相結(jié)合，并將權(quán)值法和多相材料設計方法引入其中，從而高效解決非線性復合材料動態(tài)優(yōu)化設計問題，由式(6)和式(10)可以得出基于等效靜力載荷優(yōu)化方法的復合材料雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題描述為

由式(9)和式(11)可以得出基于等效靜力載荷優(yōu)化方法的復合材料雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化單元靈敏度的計算公式為

為了保證所關(guān)心的各個時刻構(gòu)造的等效靜力載荷使結(jié)構(gòu)在線彈性靜力分析中的結(jié)構(gòu)響應與初始動載荷結(jié)構(gòu)在非線性動力分析中的結(jié)構(gòu)響應相等，優(yōu)化設計流程采用內(nèi)外雙層迭代方式進行結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設計，其中，外層循環(huán)實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)的非線性動態(tài)響應分析，依據(jù)結(jié)構(gòu)的非線性動態(tài)響應構(gòu)造等效靜態(tài)載荷，內(nèi)層循環(huán)依據(jù)構(gòu)造的等效靜態(tài)載荷，并將權(quán)值法引入其中，采用改進的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法進行優(yōu)化.

3 基于等效靜力載荷優(yōu)化方法的雙向漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化流程

優(yōu)化流程如圖2 所示，具體如下：

圖2 優(yōu)化流程Fig. 2 Optimized process

① 初始化設計域，使用有限元網(wǎng)格對整個設計域進行離散，設定設計變量初始值，定義目標體積分數(shù)、進化率、懲罰指數(shù)等參數(shù).

② 基于當前設計進行動載荷下非線性動力響應分析并提取出各個關(guān)心時刻的結(jié)構(gòu)響應. 本文在Abaqus 中進行結(jié)構(gòu)的非線性動力響應分析并且在Matlab 中提取出各個關(guān)心時刻的結(jié)構(gòu)響應.

③ 基于②提取的各個關(guān)心時刻的結(jié)構(gòu)響應構(gòu)造等效靜力載荷. 由于關(guān)心優(yōu)化設計多個時刻下的結(jié)構(gòu)響應，所以需要構(gòu)造多個等效靜力載荷.

④ 基于③構(gòu)造的等效靜力載荷運用改進的多工況雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法進行拓撲優(yōu)化設計(式(12)). 此時內(nèi)層迭代由于考慮多個等效靜力載荷，將每一個關(guān)心時刻構(gòu)造的等效靜力載荷作為一個工況，引入權(quán)值法來解決多工況靜力優(yōu)化設計問題.

⑤ 確定下一次迭代的目標體積，若當前體積Vi大于目標體積時，則由公式Vi+1=Vi(1?ER)計算下一次迭代的體積，若當前體積Vi小于或等于目標體積時，則令目標體積為下一次迭代的體積.

⑥ 更新設計變量，將所有單元按照計算的單元靈敏度進行排序，由目標材料體積和靈敏度排序可以得到靈敏度閾值 αth，當單元靈敏度 αi≤αth時，設計變量由1 轉(zhuǎn)換為xmin， 當單元靈敏度 αi>αth時，設計變量由xmin轉(zhuǎn)換為1.

⑦ 循環(huán)迭代②～⑥，直到所有材料當前體積達到目標體積，并且得到的優(yōu)化結(jié)果滿足收斂條件，在目標函數(shù)的變化中定義以下收斂準則：

當所有材料體積達到目標體積后，運用式(14)判斷得到的優(yōu)化結(jié)果是否滿足收斂條件，如果滿足收斂條件，優(yōu)化結(jié)束，輸出最終優(yōu)化結(jié)果. 如果不滿足收斂條件則進入第二步，進行當前結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應分析.

4 沖擊載荷下結(jié)構(gòu)優(yōu)化與動態(tài)響應分析

4.1 簡單沖擊載荷下結(jié)構(gòu)優(yōu)化與動態(tài)響應分析

如圖3 所示，設計域為長240 mm，高40 mm 的二維固支梁結(jié)構(gòu)，在其上邊中點處施加一個正弦沖擊載荷F=3 000sin(5πt)的作用力，作用時間為0.2 ms，將其離散為240×40 個4 節(jié)點四邊形單元的有限元模型.

圖3 固支梁設計區(qū)域Fig. 3 Clamped beam design area

此算例分別進行4 種工況下的優(yōu)化：

工況1：作為對比進行靜態(tài)載荷下單相材料優(yōu)化，靜態(tài)載荷取脈沖載荷峰值F=3 000 N，材料特性為彈性模量E=200 GPa ，泊松比 μ=0.3；

工況2：沖擊載荷下單相材料優(yōu)化，材料特性為彈性模量E=200 GPa ，泊松比 μ=0.3；

工況3：沖擊載荷下復合材料優(yōu)化，兩種材料彈性模量分別為E1=200 GPa，E2=20 GPa，泊松比μ=0.3；

工況4：沖擊載荷下復合材料優(yōu)化，兩種材料彈性模量分別為E1=200 GPa，E2=40 GPa，泊松比μ=0.3.

其余優(yōu)化參數(shù)均為：體積約束V=0.5，過濾半徑rmin=3 mm， 懲罰指數(shù)p=3.0， 體積進化率ER=0.02.

最終的優(yōu)化結(jié)果如圖4 所示，從最終的優(yōu)化結(jié)果可以看出，單相材料進行優(yōu)化時，由于只有一種材料承受所施加的載荷，結(jié)構(gòu)各個部分沒有雙相復合材料的優(yōu)化結(jié)果光滑. 復合材料優(yōu)化時由于有軟材料的加入，使得優(yōu)化結(jié)果中硬材料結(jié)構(gòu)具有一定的弧形，且隨著優(yōu)化時結(jié)構(gòu)中軟材料彈性模量的增加，更加能獨立承擔所受載荷時，宏觀上相應的硬材料結(jié)構(gòu)中的支撐會變少且硬材料結(jié)構(gòu)會更加平滑，如圖4（c）、4（d）對比所示.

圖4 優(yōu)化結(jié)果Fig. 4 Results of optimization

原始的“軟殺”雙向漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法在進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化時，為了防止剛度矩陣奇異的發(fā)生，用較小的相對密度來表示靈敏度數(shù)值低的待刪除單元的相對密度，后續(xù)該單元仍參與有限元分析而不是直接刪除該單元，優(yōu)化時會賦予這些待刪除單元一個很低的彈性模量，但這并不意味著這種方法也能夠進行復合材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化，采用原始的“軟殺”方法進行復合材料優(yōu)化時，設計域內(nèi)的各種材料分布無法連接成結(jié)構(gòu)從而所得到的柔順度或者應變能會十分異常，當有多種材料參與優(yōu)化設計時，靈敏度數(shù)值完全不同于使用單元應變能為標準的原始雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法. 所以本文在內(nèi)層循環(huán)中引入復合材料優(yōu)化方法(式（12）（13）)，在內(nèi)層循環(huán)迭代中可以合理、平穩(wěn)且高效地進行復合材料優(yōu)化，如圖6、圖7所示.

圖5、圖6 為單相材料(E=200 GPa)與雙相復合材料(E1=200 GPa、E2=20 GPa)優(yōu)化歷程圖，可以看出，單相材料在進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化時，從結(jié)構(gòu)優(yōu)化歷程來看，目標函數(shù)沒有復合材料優(yōu)化時平穩(wěn)，主要原因是因為在優(yōu)化過程中，一些重要的連接桿件被打斷，從而造成結(jié)構(gòu)傳力路徑有所改變，結(jié)構(gòu)的應力分布也會隨之改變，結(jié)構(gòu)會重新分配單元，高應力的地方添加單元，低應力的地方刪減單元，所以優(yōu)化歷程會存在一些起伏；而復合材料在進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化時，由于有軟硬兩種材料在結(jié)構(gòu)中起承載作用，當硬材料結(jié)構(gòu)由于優(yōu)化過程中體積分數(shù)逐漸減小而造成重要的硬材料連接桿件被打斷時，軟材料單元會立即填充硬材料單元刪除部分，結(jié)構(gòu)傳力路徑和結(jié)構(gòu)應力分布不會發(fā)生間斷性突變，所以優(yōu)化歷程會很平穩(wěn)，并且更容易收斂，優(yōu)化迭代次數(shù)和優(yōu)化時間會減少，降低時間成本. 算例中單相材料優(yōu)化(如圖5)進行了43 次迭代，復合材料優(yōu)化(如圖6)進行了41 次迭代，由于算例設計域選取的是二維固支梁，所以單相材料優(yōu)化和復合材料優(yōu)化迭代次數(shù)相差不多，當設計域和邊界條件更加復雜時，復合材料優(yōu)化在優(yōu)化歷程平穩(wěn)程度和優(yōu)化效率等方面相比于單相材料優(yōu)化優(yōu)勢會更加明顯. 所以與單相材料優(yōu)化相比，雙相復合材料優(yōu)化既能有效降低結(jié)構(gòu)柔順度，又能平穩(wěn)且高效地進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化.

圖5 沖擊載荷單相材料優(yōu)化歷程，E=200 GPaFig. 5 Evolutionary histories of single phase materials under impact load,E=200 GPa

圖6 沖擊載荷復合材料優(yōu)化歷程，E 1=200 GPa ，E2=20 GPaFig. 6 Evolutionary histories of composite materials under impact load,E1=200 GPa ,E2=20 GPa

圖4（a）為直接運用雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法對設計域施加恒定的靜態(tài)載荷進行單相材料靜態(tài)優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)，圖4（b）和4（c）分別為運用本文改進的沖擊載荷下結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法對設計域施加正弦脈沖載荷進行單相材料和雙相復合材料動態(tài)優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)，為了對比這些結(jié)構(gòu)在沖擊載荷下的動力響應特性，將3 種結(jié)果與同質(zhì)量同體積下的實心結(jié)構(gòu)在Abaqus中施加相同的正弦脈沖載荷進行動態(tài)響應分析，得到位移-時間曲線如圖8 所示.

圖8 動態(tài)響應位移-時間曲線Fig. 8 Dynamic response displacement-time curve

由圖8 可以看出，運用本文改進的優(yōu)化方法得到的結(jié)構(gòu)要比經(jīng)典的靜載荷優(yōu)化的結(jié)構(gòu)振幅小，4 種結(jié)構(gòu)向上的最大位移分別為0.33，0.37，0.79 和0.23 mm，向下的最大位移分別為0.34，0.41，0.81 和0.24 mm. 以單相材料優(yōu)化為例，如圖9 所示，在相同正弦脈沖載荷作用下，利用改進的優(yōu)化方法優(yōu)化的單相材料結(jié)構(gòu)向上（向下）的最大位移是經(jīng)典靜力學優(yōu)化結(jié)果的89.18%（82.92%），是同體積同質(zhì)量的實心結(jié)構(gòu)的41.77%（41.97%）. 說明運用本文動態(tài)載荷優(yōu)化方法優(yōu)化的結(jié)構(gòu)在動態(tài)載荷下承載能力更好，優(yōu)化方法合理高效.

由圖8 和圖9 也可以看出，優(yōu)化后的雙相復合材料/結(jié)構(gòu)振幅最小，說明雙相復合材料結(jié)構(gòu)比單相材料結(jié)構(gòu)在動態(tài)載荷下具有更好的承載能力.

圖9 動態(tài)響應結(jié)果對比Fig. 9 Comparison of dynamic response results

4.2 多個沖擊載荷下結(jié)構(gòu)優(yōu)化與動態(tài)響應分析

如圖10 所示，設計域為長80 mm，寬40 mm 的二維懸臂梁結(jié)構(gòu)，在其上邊中點處施加一個三角脈沖載荷F1=?20 000t+2 000(N)的作用，同時在其右邊最下端施加一個三角脈沖載荷F2=?5 000t+1 000(N)的作用，作用時間均為0.2 ms，將設計域離散為80×40 個4 節(jié)點四邊形單元的有限元模型.

圖10 懸臂梁設計區(qū)域Fig. 10 Cantilever beam design area

此算例分別進行3 種工況下的優(yōu)化：

工況1：作為對比進行靜態(tài)載荷下單相材料優(yōu)化，靜態(tài)載荷分別取三角脈沖載荷峰值F1=2 000 N，F(xiàn)2=1 000 N， 材料特性為彈性模量E=200 GPa，泊松比 μ=0.3， 密度 ρ=7 800 kg/m3；

工況2：動載荷下單相材料優(yōu)化，材料特性為彈性模量E=200 GPa ，泊松比 μ=0.3， 密度 ρ=7 800 kg/m3；

工況1 和工況2 體積約束均為V=0.5，工況3 為保證與前面兩種工況結(jié)構(gòu)質(zhì)量相等，進而與前兩種優(yōu)化進行對比，此時硬材料體積V1=0.49，軟材料體積V2=0.51. 其余優(yōu)化參數(shù)均為：過濾半徑rmin=3 mm，懲罰指數(shù)p=3.0， 體積進化率ER=0.02.

最終的優(yōu)化結(jié)果如圖11 所示.

圖11 優(yōu)化結(jié)果Fig. 11 Results of optimization

圖12、圖13 分別為沖擊載荷下單相材料和復合材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化歷程圖，可以看出優(yōu)化歷程都很平穩(wěn).說明本文提出的沖擊載荷下結(jié)構(gòu)的優(yōu)化方法無論是單相材料優(yōu)化還是復合材料優(yōu)化均平穩(wěn)高效，同時在保證質(zhì)量相等的前提下，雙相復合材料優(yōu)化所得結(jié)構(gòu)的柔順度要比單相材料小. 復合材料結(jié)構(gòu)中由于存在兩種材料，在優(yōu)化平穩(wěn)程度和結(jié)構(gòu)具有更小的柔順度等方面會更加具有一些優(yōu)勢.

圖12 沖擊載荷下單相材料優(yōu)化歷程,E=200 GPaFig. 12 Evolutionary histories of single phase materials under impact load,E=200 GPa

圖13 沖擊載荷復合材料優(yōu)化歷程，E1=200 GPa，E2=1.97 GPaFig. 13 Evolutionary histories of composite materials under impact load,E1=200 GPa ,E2=1.97 GPa

圖11（a）為直接運用經(jīng)典的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法對設計域施加恒定的多個靜態(tài)載荷進行單相材料優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)，圖11（b）為運用本文改進的優(yōu)化方法對設計域施加兩個沖擊載荷進行單相材料動態(tài)優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)，對比結(jié)果能夠看出最終得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)區(qū)別明顯. 為了對比這些結(jié)構(gòu)在沖擊載荷下的動力響應特性，將兩種結(jié)果和同質(zhì)量同體積下的實心結(jié)構(gòu)在Abaqus 中施加兩個脈沖載荷進行動態(tài)響應分析，得到位移-時間曲線如圖14 所示.

圖14 動態(tài)響應位移-時間曲線Fig. 14 Dynamic response displacement-time curve

由圖14 可以看出，運用本文改進的優(yōu)化方法獲得的結(jié)構(gòu)要比另外兩種結(jié)構(gòu)振幅小，3 種結(jié)構(gòu)向下的最大位移分別為0.22，0.85 和0.73 mm，向上的最大位移分別為0.29，0.91 和0.73 mm，所以在2 個沖擊載荷作用下，運用改進后的方法優(yōu)化的結(jié)構(gòu)向下（向上）的最大位移是經(jīng)典方法優(yōu)化結(jié)構(gòu)的25.88%（31.87%），是同體積同質(zhì)量的實心結(jié)構(gòu)的30.14%（39.73%），如圖15 所示.

圖15 動態(tài)響應結(jié)果對比Fig. 15 Comparison of dynamic response results

由圖15 也可以看出，雙相復合材料結(jié)構(gòu)比單相材料結(jié)構(gòu)在受到相同兩個沖擊載荷作用時振幅小，說明雙相復合材料結(jié)構(gòu)比單相材料結(jié)構(gòu)在受到多個沖擊載荷作用時具有更好的承載能力.

對比兩個算例的優(yōu)化結(jié)果，在單個動態(tài)載荷作用下，運用本文提出的優(yōu)化方法所得結(jié)構(gòu)和經(jīng)典靜態(tài)載荷優(yōu)化方法所得的結(jié)構(gòu)較為相似(如圖4(a)和4(b))，而在更加復雜沖擊載荷作用下（如：同時作用兩個沖擊載荷），運用本文提出優(yōu)化方法的優(yōu)化結(jié)構(gòu)與經(jīng)典靜態(tài)載荷優(yōu)化方法的優(yōu)化結(jié)構(gòu)有明顯區(qū)別(如圖11(a)和11(b))，并且兩種結(jié)構(gòu)在同時施加多個脈沖載荷作用時，運用改進方法優(yōu)化所得結(jié)構(gòu)的承載能力遠好于其他結(jié)構(gòu)的承載能力. 值得注意的是，在受到多個沖擊載荷作用時，運用經(jīng)典靜態(tài)載荷優(yōu)化的結(jié)構(gòu)比同質(zhì)量同體積實心結(jié)構(gòu)的承載能力差(如圖14、圖15)，這說明利用經(jīng)典的靜態(tài)載荷優(yōu)化方法所得到的結(jié)構(gòu)不能適應復雜的沖擊載荷作用，必須構(gòu)建相應的沖擊載荷下結(jié)構(gòu)的優(yōu)化流程和方法.

本文為了說明所提出方法的有效性和高效性，進行了兩個算例的優(yōu)化加以對比說明，為了更加直觀清晰，文中選取的動態(tài)載荷均能以一定的函數(shù)形式表示. 若結(jié)構(gòu)所受到的動態(tài)載荷呈現(xiàn)無規(guī)律的情況，通過該方法依然可以對結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化. 只需要保證在等效時，將結(jié)構(gòu)的非線性動力學分析按所關(guān)心的時間步分開，每一個時間步的動態(tài)響應等效為靜力載荷的一個工況，并且要求在相對應的時間步，結(jié)構(gòu)在動載荷下產(chǎn)生的位移和相對應等效靜態(tài)載荷產(chǎn)生的位移相等，即可將無規(guī)律的動態(tài)載荷等效為靜力載荷.

5 結(jié) 論

本文對沖擊載荷下結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化流程和方法進行改進，將雙向漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法和等效靜力載荷優(yōu)化方法相結(jié)合，采用內(nèi)外雙層循環(huán)的方式，外層循環(huán)實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)的非線性動態(tài)響應分析，依據(jù)結(jié)構(gòu)的非線性動態(tài)響應構(gòu)造等效靜態(tài)載荷，內(nèi)層循環(huán)依據(jù)構(gòu)造的等效靜態(tài)載荷，將權(quán)值法引入其中，采用多工況下的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法進行優(yōu)化，簡化優(yōu)化流程. 同時又將材料插值模型引入其中，實現(xiàn)雙相復合材料/結(jié)構(gòu)在沖擊載荷作用下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計. 通過兩個算例可以看出，本文建立的方法在進行沖擊載荷加載下的單相材料和雙相復合材料/結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計時，整體優(yōu)化歷程十分平穩(wěn)，結(jié)構(gòu)清晰合理，計算簡潔高效.

將優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在Abaqus 中進行動態(tài)響應對比分析，結(jié)果表明運用本文建立的優(yōu)化方法獲得的結(jié)構(gòu)在受到?jīng)_擊載荷作用時具有更好的承載能力，隨著動載荷工況復雜程度的提高，這種方法具有更明顯的優(yōu)勢，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在沖擊載荷作用下承載能力更好. 通過算例與經(jīng)典的靜態(tài)載荷優(yōu)化方法進行對比，不但證實所提出方法的有效性和高效性，更加說明利用經(jīng)典的靜態(tài)載荷優(yōu)化方法所得到的結(jié)構(gòu)不能適應復雜的沖擊載荷作用，所以構(gòu)建沖擊載荷下結(jié)構(gòu)的優(yōu)化流程和方法，對于結(jié)構(gòu)設計具有重要的理論和工程意義.