一類非自治隨機(jī)積分-微分方程的均方漸近概自守溫和解

姚慧麗, 劉冬玥， 孫源源, 王晶囡

(哈爾濱理工大學(xué) 理學(xué)院， 哈爾濱 150080)

0 引 言

1962年，Bochner給出了概自守函數(shù)的有關(guān)概念[1]，1981年，N’Guérékata給出了漸近概自守函數(shù)的定義[2]，2008年，Liang等給出了偽概自守函數(shù)的有關(guān)概念[3]。自概自守型函數(shù)有關(guān)理論被提出以來(lái)，數(shù)學(xué)工作者們將其應(yīng)用到各類方程中，討論方程的概自守型解的存在性問(wèn)題[4-8]。2010年，F(xiàn)u 等提出了均方概自守隨機(jī)過(guò)程的概念[9]，隨后均方漸近概自守隨機(jī)過(guò)程和均方偽概自守隨機(jī)過(guò)程有關(guān)理論相繼被給出。從應(yīng)用的角度看，隨機(jī)微分方程尤為重要，因?yàn)檫@種方程將隨機(jī)性納入了數(shù)學(xué)描述中。2013年，Li等簡(jiǎn)單介紹了方程(1)的研究背景，并研究了該方程的均方概自守溫和解的存在性和唯一性[10]。其中：t∈R，{A(t)}:D(A(t))→L2(P,H)是一族稠定線性閉算子(有可能是無(wú)界的)，滿足所謂的“Acquistapace-Terreni”條件，B和C分別是L1(0,∞)和L2(0,∞)中的卷積型內(nèi)核，W(t)是定義在過(guò)濾概率空間的(Ω,F,P,Ft)上的一個(gè)雙邊一維標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)。方程(1)如下：

(1)

近些年討論各類隨機(jī)微分方程的均方概自守解和均方偽概自守解的文獻(xiàn)較多[11-18],相比之下，關(guān)于方程的均方漸近概自守解研究的文獻(xiàn)較少，故本文主要研究方程(1)的均方漸近概自守溫和解的存在性和唯一性。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1一個(gè)隨機(jī)過(guò)程x(t):R→L2(P,H)被稱為是隨機(jī)有界的，是指存在一個(gè)常數(shù)M>0滿足

E‖x(t)‖2≤M

對(duì)所有t∈R成立。

定義2一個(gè)隨機(jī)過(guò)程x:R→L2(P,H)被稱為是隨機(jī)連續(xù)的，是指對(duì)于任意s∈R,有

成立。

定義3設(shè)X∈C(R,L2(P,H))，如果對(duì)任意的實(shí)數(shù)序列{s′n}n∈N,都存在它的一個(gè)子列{sn}和一個(gè)隨機(jī)過(guò)程Y:R→L2(P,H)滿足：

則稱X是均方概自守的，此類X的全體記為AA(R,L2(P,H))。

定義4設(shè)F∈C(R,L2(P,H))，如果F可分解為：

F=G+φ,G∈AA(R,L2(P,H)),φ∈SMC0(R,L2(P,H))

其中

和

對(duì)任意的t∈R和X∈K成立，則稱F是關(guān)于t∈R且一致對(duì)X∈K(K是L2(P,H)任意緊子集)均方概自守的，此類F的全體記為AA(R×L2(P,H),L2(P,H))。

定義6設(shè)F∈C(R×L2(P,H),L2(P,H))，如果F可分解為：

F=G+φ,G∈AA(R×L2(P,H),L2(P,H)),φ∈SMC0(R×L2(P,H),L2(P,H))

其中

SMC0(R×L2(P,H),L2(P,H))

則稱F是關(guān)于t∈R且一致對(duì)X∈K(K是Lp(P,H)的任意緊子集)均方漸近概自守的，此類F的全體記為AAA(R×L2(P,H),L2(P,H))。

定義7X上的有界線性算子集合{U(t,s):t≥s,t,s∈R}，如果滿足：

(1)U(s,s)=I，U(t,s)=U(t,r)U(r,s)(t≥r≥s,t,r,s∈R);

(2)(t,s)∈{(τ,σ)∈R2,τ≥σ}→U(t,s)是強(qiáng)連續(xù)的。

那么它被稱為是卷積族。

‖(A(t)-λ0I)R(λ,A(t)-λ0I)×[R(λ0,A(t))-R(λ0,A(s))]‖≤L|t-s|α|λ|β

對(duì)t,s∈R,λ∈∑θ∶={λ∈C-{0}∶|argλ|≤θ}。

定義8設(shè)(X(t))t∈R是一個(gè)隨機(jī)連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程，如果它滿足下列的隨機(jī)積分方程：

(2)

對(duì)于所有t≥a和每一個(gè)a∈R，則稱(X(t))t∈R是方程(1)在R上的一個(gè)溫和解。

2 主要結(jié)論

主要對(duì)方程(1)的均方漸近概自守溫和解的存在性以及唯一性進(jìn)行討論，有以下結(jié)論：

定理1若方程(1)滿足以下假設(shè)：

(H1)由滿足“Acquistapace-Terreni”條件一族稠定線性閉算子A(t):D(A(t))?L2(P,H)→L2(P,H)生成的卷積族{U(t,s)}是一致指數(shù)穩(wěn)定的，也就是存在常數(shù)M≥1和δ>0滿足：

‖U(t,s)‖≤Me-δ(t-s)，?t≥s

(H2)卷積族{U(t,s),t≥s}滿足下列條件：對(duì)任意的實(shí)數(shù)序列{s′n}n∈N，都存在它的一個(gè)子列{sn}滿足對(duì)任意的ε>0,存在一個(gè)N∈，滿足當(dāng)n>N時(shí),有：

‖U(t+sn,s+sn)-U(t,s)‖≤εe-δ(t-s)

‖U(t-sn,s-sn)-U(t,s)‖≤εe-δ(t-s)

對(duì)所有的t≥s，其中δ>0是假設(shè)(H1)中所取常數(shù)。

(H3)函數(shù)Fi:R×L2(P;H)→L2(P;H),(t,X)Fi(t,X)(i=1,2)和G:R×L2(P;H)→L2(P;H),(t,X)G(t,X)關(guān)于t∈R且一致對(duì)于每一個(gè)X∈L2(P;H)是均方漸近概自守的。另外F1,F2和G是相對(duì)于X一致關(guān)于t滿足Lipschitz條件的，即存在常數(shù)Ki>0(i=1,2,3)使得

E‖F(xiàn)i(t,X)-Fi(t,Y)‖2≤KiE‖X-Y‖2,i=1,2

E‖G(t,X)-G(t,Y)‖2≤K3E‖X-Y‖2

對(duì)于所有的隨機(jī)過(guò)程X,Y∈L2(P;H)，t∈R。

則方程(1)存在唯一的均方漸近概自守溫和解X(t)，且可表示為：

(3)

式中t∈R。

證明在AAA(R,L2(P,H))上定義映射φ：

(4)

由引理1可得，AAA(R,L2(P,H))在‖·‖∞下是一個(gè)Banach空間。下證φ是一個(gè)從AAA(R,L2(P,H))到自身的壓縮映射。

第一步： 先證φ是一個(gè)從AAA(R,L2(P,H))到自身的映射。

先在AAA(R,L2(P,H))上定義三個(gè)非線性算子，如下：

為證(φX)(t)∈AAA(R,L2(P,H)),僅需證(φiX)(t)∈AAA(R,L2(P,H)),i=1,2,3。結(jié)合假設(shè)(H3)和文獻(xiàn)[21]中引理10，可知F1(s,X(s))∈AAA(R,L2(P,H)),所以可記F1(s,X(s))=f1(s)+f2(s)，其中

f1(s)∈AA(R,L2(P,H))，f2(s)∈SMC0(R,L2(P,H))

因此有

(5)

V(t)∈SMC0(R,L2(P,H))

綜上得(φ1X)(t)∈AAA(R,L2(P,H))。

下證(φ2X)(t)∈AAA(R,L2(P,H))。結(jié)合假設(shè)(H3)和文獻(xiàn)[21]中引理10可知F2(s,X(s))∈AAA(R,L2(P,H))，因此記F2(s,X(s))=I1(s)+I2(s),其中I1(s)∈AA(R,L2(P,H))，I2(s)∈SMC0(R,L2(P,H))。故有:

由假設(shè)(H1)、(H2)、(H3)及文獻(xiàn)[21]可知，L(t)∈AA(R,L2(P,H))，根據(jù)AAA(R,L2(P,H))的定義，故只需證N(t)∈SMC0(R,L2(P,H))。

(6)

對(duì)式(6)最后三部分分別加以討論。

對(duì)于第一部分，結(jié)合Cauchy-Schwarz不等式和(H1)可得：

對(duì)第二部分，結(jié)合Cauchy-Schwarz 不等式和(H1)可得：

整理可得：

(7)

證明(φ3X)(t)∈AAA(R,L2(P,H))的過(guò)程與證明(φ2X)(t)∈AAA(R,L2(P,H))的過(guò)程類似，故省略。至此證得了式(4)定義的φ是從AAA(R,L2(P,H))到自身的映射。

第二步： 證明φ是一個(gè)壓縮映射。根據(jù)不等式(a+b+c)3≤3a2+3b2+3c2,對(duì)任意X,Y∈AAA(R,L2(P,H))可得：

E‖(φX)(t)-(φY)(t)‖2

=E‖{(φ1X)(t)+(φ2X)(t)+(φ3X)(t)}-{(φ1Y)(t)+(φ2Y)(t)+(φ3Y)(t)}‖2

(8)

對(duì)式(8)的最后三項(xiàng)分別加以討論。利用Cauchy-Schwarz不等式和上述列出(H1)～(H3)，可得：

(9)

對(duì)于第二部分，用第一部分相同的方法，可得：

(10)

對(duì)于第三部分，將再一次使用Ito等距積分、Cauchy-Schwarz不等式以及(H1)～(H3)可得：

由式(9)～式(11)可得：

(11)

也就是說(shuō)：

(12)

結(jié)合式(12)有：

(13)

由‖·‖∞的定義并結(jié)合式(13)得：

由(H4)可得映射φ為關(guān)于Θ的壓縮映射，因此，由壓縮定理可得，φ在AAA(R,L2(P,H))上有且僅有一個(gè)X，滿足φX=X,即：

對(duì)任意的t∈R成立。上式即為前面的(3)式。將t=a代入(3)式,兩端同時(shí)乘以U(t,a)，并結(jié)合U(t,σ)=U(t,a)×U(a,σ)，對(duì)于一切t≥s成立，可得：

(14)

又對(duì)t≥a有，將式(14)代入溫和解的定義式(2)，有：

這就證明了式(2)與式(3)等價(jià)，因此，可得方程(1)有唯一的均方漸近概自守溫和解。