兩角差余弦公式引入方式的比較研究*

215300 昆山文峰高級中學(xué) 李兆強

221000 江蘇省徐州市第一中學(xué) 丁永剛

1 研究背景

任何數(shù)學(xué)公式都有其產(chǎn)生的背景，只有讓學(xué)生在課堂上經(jīng)歷公式的發(fā)現(xiàn)過程，這樣的教學(xué)才是自然的、樸實的.兩角差余弦公式脫胎于平面幾何，與余弦定理、射影定理等三角學(xué)的重要定理、公式以及復(fù)數(shù)知識都有密切的聯(lián)系.研究兩角差余弦公式有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱“課標(biāo)”)要求：“知道兩角差余弦公式的意義、經(jīng)歷公式的產(chǎn)生過程，能從余弦推導(dǎo)正弦、正切.”因此，研究兩角差余弦公式如何引入很有必要.

如表1所示，在呈現(xiàn)方式上，人教版教材從現(xiàn)實情境出發(fā)，滬教版和蘇教版教材從數(shù)學(xué)情境出發(fā)引入公式.人教版教材利用幾何方法和向量方法證明公式，滬教版教材利用單位圓中兩點距離公式證明，蘇教版教材用向量方法證明.在前后知識順序上，三個版本教材差別不大，都是從余弦推導(dǎo)正弦、正切公式.

表1 三版教材中的“兩角差的余弦公式”

2 理論基礎(chǔ)

對于同一個數(shù)學(xué)公式，每位教師的引入方式是不一樣的，即使教師使用同樣的教學(xué)設(shè)計方案，課堂中出現(xiàn)的情況也是千差萬別.學(xué)生對教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段和教學(xué)方法的理解和解讀也大相徑庭.影響教學(xué)的心理學(xué)原理有以下兩種.

2.1 班杜拉社會學(xué)習(xí)論

美國心理學(xué)家班杜拉通過實驗得出了著名的社會認(rèn)知論，他認(rèn)為，教師有什么樣的課堂教學(xué)價值觀，以及是否及時巧妙地對學(xué)生的各種表現(xiàn)或表達(dá)予以強化，決定了學(xué)生課堂的行為狀態(tài)，也決定了課堂是否有利于教學(xué)生成.因此，好的課堂需要教師提前做出好的教學(xué)設(shè)計.

2.2 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)論

以皮亞杰為代表人物的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)論認(rèn)為，知識不是通過教師傳授獲得的，而是學(xué)習(xí)者在一定的情境下，通過意義建構(gòu)獲得的.建構(gòu)主義教學(xué)設(shè)計遵循下列原則：(1)問題驅(qū)動學(xué)習(xí)；(2)真實情境展開；(3)任務(wù)提供資源.因此，好的公式引入設(shè)計必須搭建學(xué)習(xí)的“腳手架”.

3 研究過程

公元2世紀(jì)，古希臘天文學(xué)家托勒密在編制弦表時，使用了包括兩角差余弦公式在內(nèi)的三角公式，這是有史可考的兩角差余弦公式的最早記載.繼托勒密之后，許多天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家相繼設(shè)計新的方法推導(dǎo)該公式，不斷為兩角差余弦公式的歷史增添新的篇章，他們的研究方法大都比較復(fù)雜.筆者結(jié)合多年的研究實踐，以蘇教版教材為例，梳理六種不同的兩角差余弦公式引入方式，并加以比較.

3.1 引入方式

方式1：生搬教材(新手型教師)

方式2：舊知引入(經(jīng)驗型教師)

分析：由向量的數(shù)量積的兩種不同計算公式這一舊知引入新知，直截了當(dāng)，問題鋪墊，單刀直入，一步到位得出公式，復(fù)習(xí)了數(shù)量積的計算公式，但過程過于簡單，缺乏探究的樂趣，在理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解數(shù)學(xué)上都存在欠缺，不利于學(xué)生的學(xué)和教師的教.

方式3：改進教材(成熟型教師)

生：在單位圓x2+y2=1上.

生：單位圓上旋轉(zhuǎn)角.

問題3cos(α-β)中α，β分別對應(yīng)哪兩個點的旋轉(zhuǎn)角？

生：(cosα,sinα)和(cosβ,sinβ).

問題4在向量的哪個公式中會出現(xiàn)cos(α-β)？

問題5如何求cos(α-β)？

生：構(gòu)造點(cosα,sinα)和(cosβ,sinβ)，利用數(shù)量積公式推導(dǎo).

分析：設(shè)計五個問題組成問題串，引出單位圓，利用數(shù)量積推導(dǎo)兩角差余弦公式，公式引入比較自然，問題設(shè)置十分巧妙，探究過程非?！半[蔽”.

方式4：實驗探究(骨干型教師)

問題5你能發(fā)現(xiàn)cos(α-β)，cosα,cosβ,sinα,sinβ這五個式子的等量關(guān)系嗎？

分析：由探究特殊角三角函數(shù)值間的關(guān)系入手，歸納任意兩角差的余弦公式，但設(shè)置的問題有些突兀，教師的主觀意志強，缺乏必要的引導(dǎo)，公式的發(fā)現(xiàn)成為“被發(fā)現(xiàn)”，課堂可能會出現(xiàn)新的生成.

方式5：幾何模型(專家型教師)

問題1如圖1、圖2，如何借助下列圖形證明勾股定理？

圖1圖2

問題2如圖3、圖4，將直角三角形的斜邊長改為1，其中的一個銳角改為θ，證明cos2θ+sin2θ=1.

圖3圖4

問題3如圖5、圖6，兩對斜邊為1的直角三角形，一對含銳角α，一對含銳角β，探究有關(guān)α、β的等式.

圖5

圖6

分析：巧設(shè)問題，引導(dǎo)探究，從四個全等直角三角形到兩組全等直角三角形，從一個銳角到兩個銳角，學(xué)生感悟了數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生、發(fā)展的過程，積累了借助幾何圖形發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的活動經(jīng)驗，培養(yǎng)了幾何直觀素養(yǎng)，訓(xùn)練了類比推理.

方式6：單位圓模型(名家型教師)

問題托勒密定理告訴我們，圓的內(nèi)接凸四邊形中，兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，如圖7，設(shè)∠DAC=α,∠ACB=β，半徑OA=1，你能得出什么結(jié)論？

圖7

分析：根據(jù)著名的托勒密定理設(shè)置開放性的問題，讓學(xué)生自主探究，小組合作，探索未知的結(jié)論，這是課堂教學(xué)中的“真探究”.

分析：學(xué)生通過托勒密定理推導(dǎo)兩角差余弦公式，感受古人的數(shù)學(xué)智慧，了解數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情和自信.

3.2 比較研究

受教師教學(xué)理念、學(xué)生學(xué)習(xí)能力差異等因素的制約，在蘇教版教材編寫意圖的引導(dǎo)下，不同的教師會選擇不同的公式引入方式.

3.2.1 研究引入方式，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

高中是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提升的關(guān)鍵階段，然而，如何才能更高效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，依然存在很多不明確的因素.例如，方式1雖然取自教材，但由于缺少必要的“臺階”，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)很難得到提升.方式2雖然過程簡潔，但只是做了一次等量代換，一次代入坐標(biāo)運算，談不上提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).方式3中的五個問題形成問題串層層遞進，引導(dǎo)學(xué)生探究，由淺入深提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力.方式4從特殊到一般，方式5利用圖形的拼湊，方式6利用公式的變形，貼近學(xué)生的能力基礎(chǔ)與知識經(jīng)驗，使高中生在獲得“四基”、提升“四能”的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練數(shù)學(xué)抽象思維，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3.2.2 列舉具體實例，夯實先行組織策略

①設(shè)計自然原則 引入公式既要對學(xué)生充分了解，又要對教材進行合理的預(yù)設(shè)，既要承上又要啟下，對此，方式3體現(xiàn)得尤為突出.

②循序漸進原則 不同的學(xué)生有不同的最近發(fā)展區(qū)，因此，引入公式時要考慮學(xué)生的均衡程度，循序漸進地設(shè)置問題，不可一蹴而就，如方式3、方式4的五個問題，方式5的三個問題都很好地遵循了這一原則.

③留有余地原則 引入公式時不能“面面俱到、無微不至”，不能“填滿”學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，要適當(dāng)給學(xué)生的思維空間“留白”.如方式5可以放手讓學(xué)生自由拼湊，學(xué)生可以拼湊出“五花八門”的圖形，給學(xué)生的思維留出充分的余地，有時會有意想不到的收獲.

4 教后反思

課標(biāo)提出把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值[1]，如何在公式引入課教學(xué)中落實“四基”，訓(xùn)練“四能”？筆者認(rèn)為好的公式引入課要做到以下四點.

4.1 融入數(shù)學(xué)歷史

引入方式5(幾何模型)和引入方式6(單位圓模型)適當(dāng)引入了數(shù)學(xué)史的元素，兩則史料對應(yīng)了“經(jīng)歷兩角差余弦公式的推導(dǎo)過程”“培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)”“激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣”的教學(xué)目標(biāo)，符合有效性原則，“兩角差余弦公式的幾何模型”史料與勾股定理的證明一脈相承，符合可學(xué)性原則.

4.2 過程設(shè)計須自然

歷史上，兩角差的余弦公式經(jīng)歷了從銳角到任意角情形，從幾何方法到解析方法的演進過程，學(xué)生在初中學(xué)過勾股定理的證明，引入方式5從勾股定理證明到cos2θ+sin2θ=1的證明，再到兩角差余弦公式的證明，中間過渡較為自然，教師在講解證明方法時，學(xué)生進行類比推理較為輕松，這都源于公式證明過程設(shè)計的自然.

4.3 關(guān)注學(xué)科育人

六種教學(xué)設(shè)計，從銳角到任意角、從三角到幾何、從猜想到證明，再現(xiàn)了兩角差余弦公式發(fā)生、發(fā)展的過程，呈現(xiàn)了“知識之諧”.六種不同的呈現(xiàn)方式，六類不同教師(新手型、經(jīng)驗型、成熟型、骨干型、專家型、名家型)的引入方式，展示了“方法之美”.教師引導(dǎo)學(xué)生獲得成功的體驗，營造了“探究之樂”.數(shù)形結(jié)合法揭示了代數(shù)與幾何的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，成就“能力之助”.引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)史，小組合作互相啟發(fā)，培養(yǎng)了傾聽、尊重的品質(zhì)，體現(xiàn)出“德育之效”[2].

4.4 培養(yǎng)實踐思維

在開展兩角差余弦公式教學(xué)時，很多教師更關(guān)注公式的實用性，對公式的產(chǎn)生過程重視不夠.筆者列舉的六種引入方式將知識的產(chǎn)生過程置于初高中龐大的知識體系中，緊扣幾何圖形設(shè)計實踐活動，積極強化學(xué)生實踐活動經(jīng)驗.在引入公式時，設(shè)計層層遞進的問題，點燃思維的火花，引導(dǎo)深度思考、深度探究，使學(xué)生積累的經(jīng)驗逐步歸一，完善學(xué)生思維體系，豐富學(xué)生思維活動經(jīng)驗[3].實踐活動經(jīng)驗和思維活動經(jīng)驗緊密聯(lián)系，只有二者同時培養(yǎng)、雙管齊下，才能全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).