非平穩(wěn)聲信號(hào)下的小波變換去噪方法研究

祖麗楠，劉志遠(yuǎn)，生 寧

（青島科技大學(xué) 自動(dòng)化與電子工程學(xué)院，山東 青島 266100）

0 引 言

聲信號(hào)的跟蹤與識(shí)別在很多領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用，但由于環(huán)境以及聲源本身都具有較強(qiáng)的未知性和不確定性，因此其獲取精度一直是熱點(diǎn)問(wèn)題。在聲信號(hào)處理領(lǐng)域，對(duì)這一問(wèn)題的研究由于受信號(hào)采集裝置的限制，其精度主要取決于對(duì)噪聲的處理上。在各種應(yīng)用中，采集到的信號(hào)大多是非平穩(wěn)的，信號(hào)特性隨時(shí)間變化，使得其時(shí)域內(nèi)的局部特征尤為重要。小波變換具有多分辨分析的特點(diǎn)，適合處理非平穩(wěn)信號(hào)的去噪問(wèn)題。

常用的閾值設(shè)置方法有：通用閾值估計(jì)、固定閾值估計(jì)、無(wú)偏似然估計(jì)等。一般來(lái)說(shuō)，固定閾值估計(jì)和啟發(fā)式閾值估計(jì)去噪比較徹底，去噪時(shí)更為有效，但也容易誤對(duì)有用信號(hào)過(guò)度濾波。而常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)（Hard Thresholding Function）和軟閾值函數(shù)（Soft Thresholding Function）。從整體誤差看，硬閾值函數(shù)要優(yōu)于軟閾值函數(shù)，但信號(hào)會(huì)產(chǎn)生不連續(xù)性，出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象，平滑性差；而軟閾值函數(shù)得到的小波系數(shù)整體連續(xù)性較好，但會(huì)產(chǎn)生一定的偏差，甚至導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)失真。很多學(xué)者在閾值和閾值函數(shù)的設(shè)計(jì)上做了大量研究工作。文獻(xiàn)[14]提出一種降噪方法，通過(guò)DCT 字典實(shí)現(xiàn)水聲信號(hào)的稀疏分解，并設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)態(tài)閾值濾除噪聲系數(shù)，但該方法降噪穩(wěn)定性較差，對(duì)環(huán)境類型有一定要求。文獻(xiàn)[15]提出了一種在混沌降噪背景下用遺傳算法對(duì)閾值進(jìn)行優(yōu)化的方法，需要在遺傳算法構(gòu)建的優(yōu)化族里經(jīng)過(guò)不斷篩選才能得到最佳閾值，去噪精度雖高，但計(jì)算量大且費(fèi)時(shí)多。文獻(xiàn)[16]提出了一種基于收縮小波系數(shù)的自適應(yīng)濾波方法，該方法受控制圖的啟發(fā)，利用迭代思想確定閾值，去噪精度較高，但同時(shí)降低了實(shí)時(shí)性。

綜上所述，本文針對(duì)未知環(huán)境中非平穩(wěn)信號(hào)的噪聲濾除問(wèn)題，對(duì)小波閾值去噪方法存在的問(wèn)題進(jìn)行研究，提高了信噪比，降低了均方根誤差，提高了信號(hào)獲取的準(zhǔn)確性。

1 去噪問(wèn)題模型

未知環(huán)境中采集的聲信號(hào)多為非平穩(wěn)性信號(hào)，其觀測(cè)信號(hào)模型()由目標(biāo)信號(hào)和噪聲信號(hào)組成。

式 中：()=[(0),(1),(2),…,(-1)]；>0 為目標(biāo)信號(hào)，且為連續(xù)的；()=[(0),(1),(2),…,(1)]；≥0 為噪聲信號(hào)，主要集中在高頻段，具有不連續(xù)性和隨機(jī)性；為信號(hào)長(zhǎng)度，取決于采樣周期。

如圖1 所示，在理想情況下，去噪任務(wù)是通過(guò)濾波削弱或者消除觀測(cè)信號(hào)模型()中的噪聲分量()=[(0),(1),(2),…,(-1)]，并盡可能地保留()中的目標(biāo)信息()，最終得到觀測(cè)信號(hào)的估計(jì)值?()。

圖1 理想情況下去噪問(wèn)題模型

2 小波閾值去噪原理分析

如圖2 所示，小波閾值去噪的原理是：

圖2 小波閾值去噪原理框圖

1）選擇合適的小波基函數(shù)和分解層數(shù)；

2）對(duì)式（1）所示的觀測(cè)信號(hào)()進(jìn)行小波變換，生成小波系數(shù)ω，=1,2,…,；

3）對(duì)閾值（為實(shí)數(shù)）進(jìn)行設(shè)置；

4）通過(guò)將小波系數(shù)ω與閾值比較得出噪聲分量()，通過(guò)閾值函數(shù)進(jìn)行過(guò)濾——把小于的系數(shù)ω（主要由噪聲()引起）設(shè)為0，而對(duì)大于的小波系數(shù)ω（主要由信號(hào)()引起）進(jìn)行保留或收縮，從而得到小波系數(shù)的估計(jì)值? ；

5）對(duì)? 進(jìn)行重構(gòu)，得到觀測(cè)信號(hào)()的估計(jì)值?()。

3 改進(jìn)的小波閾值去噪方法

濾波過(guò)程中，每一個(gè)分解層都會(huì)通過(guò)閾值和閾值函數(shù)Φ ()對(duì)信號(hào)高頻段中的噪聲分量()進(jìn)行過(guò)濾。但隨著信號(hào)分解層數(shù)的增加，傳統(tǒng)小波變換會(huì)帶來(lái)如下問(wèn)題：采用固定閾值進(jìn)行比較會(huì)造成過(guò)度濾波現(xiàn)象；采用硬閾值函數(shù)Φ ()（為實(shí)數(shù)）會(huì)存在不連續(xù)問(wèn)題，并造成偽吉布斯現(xiàn)象；采用軟閾值函數(shù)Φ ()雖然連續(xù)性較好，但會(huì)產(chǎn)生一定的偏差，造成重構(gòu)聲音信號(hào)?()失真等影響。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文進(jìn)行了如下創(chuàng)新性的研究：

1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的變化特點(diǎn)提出了一種動(dòng)態(tài)閾值計(jì)算方法；

2）利用指數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一個(gè)閾值函數(shù)Φ ()。

3.1 動(dòng)態(tài)閾值計(jì)算方法

采用小波變換去噪時(shí)，若閾值設(shè)置過(guò)小，去噪會(huì)不完整，導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)仍有噪聲存在；若閾值設(shè)置過(guò)大，會(huì)把部分有用信號(hào)一起過(guò)濾掉，造成信息丟失。目前廣泛使用的是通用閾值設(shè)置方式：

可以看到，由式（2）計(jì)算出的閾值是固定值，其中沒(méi)有包含分解層數(shù)這一變量。而在小波變換中，隨著分解層數(shù)的增加，噪聲分量會(huì)越來(lái)越少，這種固定閾值的方式將會(huì)在后繼分解層中對(duì)信號(hào)造成“過(guò)扼殺”現(xiàn)象。

為規(guī)避上述問(wèn)題，需實(shí)現(xiàn)：

1）閾值動(dòng)態(tài)變化；

2）使閾值隨著分解層的增加而變小，并在第一層比較時(shí)盡可能的大，以最大化地去除噪聲；而在后繼層數(shù)的比較中，閾值平緩減小，以保護(hù)信號(hào)的高頻信息，避免“過(guò)扼殺”現(xiàn)象?？紤]到對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)能夠擬合上述變化過(guò)程，本文在式（2）中引入一個(gè)動(dòng)態(tài)系數(shù)，則閾值為：

的計(jì)算公式為：

式中：為分解層數(shù)變量；為大于零的比例系數(shù)，根據(jù)對(duì)重構(gòu)聲音信號(hào)的品質(zhì)需求設(shè)置。

最后，將式（4）代入式（3），得出動(dòng)態(tài)閾值的計(jì)算公式：

由式（5）可以看出：閾值的計(jì)算包含了分解層數(shù)這一信息；由于對(duì)數(shù)函數(shù)的上凸特性，使得第一層分解時(shí)采用的閾值比式（2）中的值大，加強(qiáng)了噪聲的濾除，并且，隨著的增加，閾值以不斷衰減的速度平滑減小，既保證了盡可能少地漏除噪聲信號(hào)，又保護(hù)了目標(biāo)信息。

3.2 基于指數(shù)特性的閾值函數(shù)設(shè)計(jì)

閾值函數(shù)的選擇會(huì)影響重構(gòu)信號(hào)的連續(xù)性和準(zhǔn)確性。目前常用的閾值函數(shù)是硬閾值函數(shù)Φ ()和軟閾值函數(shù)Φ ()。

硬閾值函數(shù)Φ ()：當(dāng)小波系數(shù)的絕對(duì)值小于給定的閾值時(shí)，將系數(shù)置為0；反之，保留其原始值。其公式表示如下：

式中：是小波系數(shù)；為閾值?？梢钥闯?，式（6）雖然會(huì)使觀測(cè)信號(hào)在 ||=處保留了端點(diǎn)特征，但在此處會(huì)形成間斷點(diǎn)，這種不連續(xù)性會(huì)在重構(gòu)過(guò)程中引發(fā)振蕩現(xiàn)象。圖3 為采用兩種閾值函數(shù)的對(duì)比實(shí)驗(yàn)。如圖3b）所示，重構(gòu)信號(hào)出現(xiàn)了不連續(xù)點(diǎn)（點(diǎn)和點(diǎn)），呈現(xiàn)出偽吉布斯現(xiàn)象，但重構(gòu)信號(hào)的估計(jì)值與原信號(hào)一致性更高。

軟閾值函數(shù)Φ ()：當(dāng)小波系數(shù)的絕對(duì)值比給定閾值小時(shí)，將系數(shù)置為0；反之，從原始值中減去閾值。其公式表示如下：

式中sgn(?)是符號(hào)函數(shù)?？梢钥闯觯剑?）沒(méi)有間斷點(diǎn)，增強(qiáng)了重構(gòu)信號(hào)的平滑性，但會(huì)使重構(gòu)信號(hào)產(chǎn)生偏差。如圖3c）所示，重構(gòu)信號(hào)沒(méi)有間斷點(diǎn)，平滑性更好，但偏差較大。

圖3 采用Φ λsoft(ω)和Φ λhard(ω)進(jìn)行濾波重構(gòu)信號(hào)對(duì)比圖

根據(jù)上述分析，閾值函數(shù)若能融合軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，而規(guī)避其缺陷，則能在很大程度上提高重構(gòu)信號(hào)的準(zhǔn)確性。因此，需在函數(shù)特性上具備如下特征：

1）當(dāng) ||=時(shí)，其值為0，以消除間斷點(diǎn)。

2）當(dāng) ||處于附近時(shí)，為保證平滑性，令其呈現(xiàn)軟閾值函數(shù)Φ ()的特性曲線。

3）當(dāng) ||大于一定值時(shí)，為使重構(gòu)信號(hào)的準(zhǔn)確性更高、偏差更小，閾值函數(shù)需逐漸呈現(xiàn)出硬閾值函數(shù)Φ ()的特性曲線，逐漸逼近 ||。

4）在兩個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換的臨界點(diǎn)處，其特性曲線要平滑且快速的變化。

基于上述需求，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)閾值函數(shù)Φ ()?？紤]到指數(shù)函數(shù)具有的特性，閾值函數(shù)中引入了函數(shù)，用其擬合具有單調(diào)遞增且上凹變化的特性曲線，并通過(guò)其變化實(shí)現(xiàn)軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)的轉(zhuǎn)換。閾值函數(shù)Φ ()為：

式中：是大于0 的比例系數(shù)，根據(jù)對(duì)重構(gòu)信號(hào)的品質(zhì)需求進(jìn)行設(shè)置；是常數(shù)，其值與觀測(cè)信號(hào)隨機(jī)程度有關(guān)（本文經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)，對(duì)于規(guī)律性較高信號(hào)取值在[2，6]時(shí)，去噪效果最佳）。

圖4 給出了采用三種不同閾值函數(shù)后重構(gòu)信號(hào)的對(duì)比圖，其中圖4a）為未加噪聲的目標(biāo)信號(hào)?？梢钥闯?，本文設(shè)計(jì)的閾值函數(shù)Φ ()在重構(gòu)信號(hào)的連續(xù)性和準(zhǔn)確性上均具有較大優(yōu)勢(shì)，其曲線更接近目標(biāo)信號(hào)。

圖4 采用三種閾值函數(shù)處理后重構(gòu)信號(hào)的對(duì)比

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 實(shí)驗(yàn)條件

本文利用Matlab 對(duì)上述方法進(jìn)行綜合仿真。通過(guò)將不同的閾值和閾值函數(shù)進(jìn)行組合對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行濾波，并采用信噪比（SNR）和均方根誤差（RMSE）作為性能指標(biāo)對(duì)重構(gòu)信號(hào)的品質(zhì)進(jìn)行對(duì)比分析。信噪比的值越大，表示去噪效果越好；均方根誤差越小，表示重構(gòu)信號(hào)越接近目標(biāo)信號(hào)。數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為：

式中：()是目標(biāo)信號(hào)；()是重構(gòu)信號(hào)；為聲音信號(hào)的長(zhǎng)度。

實(shí)驗(yàn)參數(shù)選擇如下：將含噪聲的正弦信號(hào)作為觀測(cè)信號(hào)；選擇db 小波系作為小波基函數(shù)，分解層數(shù)為3 層；用Lifting Scheme 提升方案構(gòu)造小波。另外，對(duì)于式（5）中的、式（8）中的和，經(jīng)實(shí)驗(yàn)得出，在本文的實(shí)驗(yàn)條件下，分別取值為2.2，1 和3.5 時(shí)去噪效果最好。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

圖5 為噪聲環(huán)境下采集到的觀測(cè)信號(hào)。目標(biāo)信號(hào)為無(wú)噪聲環(huán)境下的聲源信號(hào)。

圖5 觀測(cè)信號(hào)

本文做了三組實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別如圖6~圖8 和表1~表3 所示。

圖6 是三種閾值與Φ ()相結(jié)合去噪后重構(gòu)信號(hào)的效果圖。

圖6 三種閾值與硬閾值函數(shù)組合去噪后重構(gòu)信號(hào)效果

表1 是其信噪比和均方根誤差對(duì)比數(shù)據(jù)?？梢钥闯?，選擇通用閾值和rigrsure 閾值時(shí)，信噪比和均方根誤差相近，從圖6b）和圖6c）兩圖中可以看到，重構(gòu)信號(hào)仍保留了較多的噪聲信息，通用閾值出現(xiàn)了偽吉布斯現(xiàn)象。相比之下，從圖6d）中可以看到，選擇本文設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)閾值方法計(jì)算出的閾值時(shí)，重構(gòu)信號(hào)最大程度地接近原始信號(hào)，且信噪比最大（分別高于前兩種方案23%和16%），均方根誤差最?。ǚ謩e低于前兩種方案30%和23%），緩解了過(guò)度濾波現(xiàn)象，極大地提高了去噪精度。

表1 三種閾值與Φ λhard(ω)相結(jié)合的消噪性能對(duì)比

圖7是三種閾值與Φ ()相結(jié)合去噪后的效果圖。

圖7 三種閾值與軟閾值函數(shù)組合去噪后重構(gòu)信號(hào)效果圖

表2 是其信噪比和均方根誤差對(duì)比數(shù)據(jù)?？梢钥吹剑x擇三種閾值后，其信噪比和均方根誤差相近，但選擇本文設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)閾值方法計(jì)算出的閾值時(shí)信噪比最大，且均方根誤差最小，更接近原始信號(hào)，在一定程度上提高了去噪精度。

表2 三種閾值與Φ λsoft(ω)相結(jié)合后的消噪性能對(duì)比

圖8 為本文設(shè)計(jì)的閾值函數(shù)Φ ()與兩種閾值（通用閾值和動(dòng)態(tài)閾值）組合后的去噪效果圖。

圖8 通用閾值和動(dòng)態(tài)閾值λnew 與新閾值函數(shù)組合去噪后重構(gòu)信號(hào)效果圖

表3 是通用閾值和動(dòng)態(tài)閾值與三種閾值函數(shù)結(jié)合后去噪性能對(duì)比數(shù)據(jù)?？梢钥闯?，在與通用閾值組合時(shí)，選擇Φ ()函數(shù)去噪后信噪比和均方根誤差比選擇Φ ()和Φ ()函數(shù)的指標(biāo)更優(yōu)；在與動(dòng)態(tài)閾值組合時(shí)，選擇Φ ()函數(shù)去噪的效果更是得到了大幅提升?？梢钥闯霰疚脑O(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)閾值計(jì)算方法在去噪時(shí)誤差最小，更加逼近目標(biāo)信號(hào)，在一定程度上解決了采用其他閾值函數(shù)導(dǎo)致的重構(gòu)信號(hào)偏差大的問(wèn)題。

表3 通用閾值和動(dòng)態(tài)閾值λnew 與三種閾值函數(shù)結(jié)合后的消噪性能對(duì)比

5 結(jié) 論

為解決小波變換在去噪過(guò)程中存在的問(wèn)題，本文提出了一種動(dòng)態(tài)閾值計(jì)算方法，并基于指數(shù)函數(shù)的特性設(shè)計(jì)了一種新的閾值函數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：動(dòng)態(tài)閾值計(jì)算方法能夠降低固定閾值帶來(lái)的信號(hào)過(guò)度濾波問(wèn)題，使重構(gòu)信號(hào)更加逼近目標(biāo)信號(hào)；改進(jìn)的閾值函數(shù)避免了硬閾值函數(shù)Φ ()產(chǎn)生的偽吉布斯現(xiàn)象，同時(shí)降低了軟閾值函數(shù)Φ ()產(chǎn)生的恒定偏差，較大地提高了去噪精度。綜上所述，本文進(jìn)行的創(chuàng)新性研究，使小波變換在對(duì)一維信號(hào)的去噪任務(wù)中具有更高的實(shí)用價(jià)值。