將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)課程教學(xué)的方法探究

趙櫻澤，李向軍*，嚴(yán)江華

(1.長江大學(xué) 信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023；2.湖北省天門中學(xué)，湖北 天門 431700)

作為科學(xué)與技術(shù)的基礎(chǔ)和工具，數(shù)學(xué)在人們的日常生活中扮演著重要角色，而數(shù)學(xué)建模作為實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)學(xué)知識之間自由轉(zhuǎn)化的萬能紐帶在國際社會中的重要性日益凸顯。在澳大利亞，數(shù)學(xué)建模被列為國家數(shù)學(xué)課程中學(xué)生需要掌握其基本概念和方法的重要內(nèi)容[1]；同樣重視數(shù)學(xué)建模教學(xué)并將其作為學(xué)生成長發(fā)展必備能力之一的國家還有瑞典和德國[2]。在我國，隨著課程改革的不斷深入，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》[3]提出六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一逐漸進(jìn)入教育研究者以及廣大師生的視野，教學(xué)的重心開始轉(zhuǎn)向?qū)W生和學(xué)科知識本質(zhì)上轉(zhuǎn)移[4]。傳統(tǒng)的以教師為中心、知識為中心的教學(xué)觀念得到改善，逐漸向以培養(yǎng)創(chuàng)新型人才為目的，以數(shù)學(xué)素質(zhì)教育為教學(xué)目標(biāo)，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力為主的教學(xué)模式[5]。本文從數(shù)學(xué)模型的角度，探尋嚴(yán)謹(jǐn)縝密的數(shù)學(xué)知識與靈活多變的現(xiàn)實(shí)問題之間的聯(lián)系，挖掘?qū)嶋H問題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，思考數(shù)學(xué)建模教學(xué)與學(xué)生實(shí)際融合的途徑，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的能力，使其成長為新時代所需的創(chuàng)新型人才。

1 數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)建模思想

20世紀(jì)著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提出了“數(shù)學(xué)化”、“現(xiàn)實(shí)化”和“再創(chuàng)造”等觀點(diǎn)，認(rèn)為數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)世界，應(yīng)服務(wù)于生活[6]。數(shù)學(xué)建模過程實(shí)際就是將數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中，并服務(wù)于現(xiàn)實(shí)生活的過程，它以一個課堂外的問題為開端，通過抽象和簡化，把該問題轉(zhuǎn)譯為一個沒有語境的純粹數(shù)學(xué)問題并建模求解，將解決方案還原為真實(shí)情況并應(yīng)用到實(shí)際問題中，最終依據(jù)方案的可行性檢測結(jié)果再對模型做出調(diào)整，直到得出合適的解決方案為止。

將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)教學(xué)與弗賴登塔爾的教育思想不謀而合，其核心在于培養(yǎng)學(xué)生建模思維和創(chuàng)新意識[7]。數(shù)學(xué)建模思想作為數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，是指學(xué)生借助抽象思維，完成實(shí)際問題到數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化，得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)解答，最終解決實(shí)際問題的一種思想方法[8]。數(shù)學(xué)建模思想的形成不是一蹴而就的，而是需要教師在數(shù)學(xué)課程中將生活與數(shù)學(xué)充分聯(lián)系和結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的問題并將其轉(zhuǎn)化為能夠解決的數(shù)學(xué)問題，讓數(shù)學(xué)模型貫穿于學(xué)習(xí)的始終，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

2 數(shù)學(xué)建模思想的課程教學(xué)全過程融入

數(shù)學(xué)中的函數(shù)模型與現(xiàn)實(shí)生活以及其他學(xué)科都有十分密切的聯(lián)系，運(yùn)用函數(shù)來建構(gòu)數(shù)學(xué)模型并解決實(shí)際問題時，其涉及到的變化過程就成為了解決問題的關(guān)鍵[9]。通過分析明確運(yùn)動變化的基本特征、類型，來選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型將實(shí)際問題劃歸為數(shù)學(xué)問題，最終求解模型的過程用到的就是數(shù)學(xué)建模的思想方法。教師對數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方法的探究，一方面能夠促進(jìn)知識型教師向研究型教師的轉(zhuǎn)變，使教師統(tǒng)籌兼顧學(xué)科知識和教學(xué)活動，聚焦學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展；另一方面對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力和數(shù)據(jù)應(yīng)用能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的獨(dú)立思考的好習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展等方面也能產(chǎn)生較大的幫助和成效[10]。本文以人教A版高中數(shù)學(xué)教材必修一(2019版)中的“茶水最佳引用時機(jī)問題”為例，探索如何將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中。

1)建模準(zhǔn)備中提煉關(guān)鍵因素。問題的簡化與重述。本文將教材中的實(shí)際問題進(jìn)行了簡化和重述：茶水的口感和水溫有關(guān)，某種茶葉用85的水溫泡制，60時則可以達(dá)到最佳引用口感。那么在25的室溫下，剛泡入茶葉的茶大約需要放置多長時間才能達(dá)到最佳飲用溫度？

探究最佳茶水溫度的問題是實(shí)際生活中的問題，本質(zhì)上來講是探究茶水的最佳飲用時機(jī)問題。教學(xué)過程中教師可以利用秒表、溫度計(jì)等工具收集茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)，為了保證數(shù)據(jù)的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性，本文以教材中給出的數(shù)據(jù)為依據(jù)：某研究人員每隔1測量一次茶水溫度，水溫隨時間變化的情況如表1所示。

表1 水溫隨時間變化表

準(zhǔn)備階段的教學(xué)活動。建構(gòu)主義學(xué)生觀認(rèn)為，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)，將學(xué)生的現(xiàn)有知識作為學(xué)習(xí)新內(nèi)容的增長點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生主動參與課堂探究和小組討論，并針對學(xué)生難以理解的課程內(nèi)容進(jìn)行解析[11]。特別是學(xué)生第一次接觸到數(shù)學(xué)建模這個新概念，對于所謂的從實(shí)際問題中抽象提煉出數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的具體方法更是毫無頭緒。因此，教師應(yīng)將教學(xué)重點(diǎn)放在關(guān)注學(xué)生已有知識與新情境的聯(lián)系上，消除學(xué)生心中的畏難情緒，并尋找合適的切入點(diǎn)導(dǎo)入數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生親身經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的全過程[12]。同時，鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待實(shí)際問題，引導(dǎo)其借助函數(shù)圖像工具來探究水溫和時間兩個變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而達(dá)到將具體問題抽象概括為數(shù)學(xué)問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的目的。

在實(shí)際教學(xué)活動中，教師可以借助Matlab軟件繪制出圖1所示的水溫隨時間變化的散點(diǎn)圖。

圖1 水溫隨時間變化散點(diǎn)圖

教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析散點(diǎn)圖的走勢和特點(diǎn)，使學(xué)生明確解決問題的關(guān)鍵在于得到水溫隨時間變化圖像的解析式。這就要求學(xué)生熟知幾類基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖像，教師可以通過提問以及組織學(xué)生小組討論的形式，引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過的函數(shù)知識，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)不同類型初等函數(shù)的特點(diǎn)和性質(zhì)，并探究幾類初等函數(shù)圖像與上述散點(diǎn)圖走勢的異同，嘗試構(gòu)建溫度和時間這兩個變量的函數(shù)關(guān)系式。

2)建模過程中聯(lián)系數(shù)學(xué)知識內(nèi)涵。建立模型是整個數(shù)學(xué)建模過程的重中之重，也是數(shù)學(xué)建模思想的核心體現(xiàn)，教師應(yīng)充分重視該過程中對學(xué)生的引導(dǎo)以及探究活動的設(shè)置。

分析圖像，提出合理猜想。學(xué)生通過觀察上述圖像中的散點(diǎn)分布情況，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)走勢呈緩慢遞減的特點(diǎn)且趨向于某個定值。教師可以設(shè)置幾個問題幫助學(xué)生建立該函數(shù)圖像與初等函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，如：該圖像的特點(diǎn)是什么？是否和之前學(xué)過的哪些函數(shù)圖像類似？是否有現(xiàn)成的函數(shù)模型可以套用？如果沒有，能否嘗試用某種函數(shù)模型來近似的代替？這些問題的設(shè)置是循序漸進(jìn)的，能夠有效地幫助學(xué)生建構(gòu)起回憶已知函數(shù)內(nèi)容的線索，層層深入地引導(dǎo)學(xué)生思考和建立模型。

其中，用近似圖像來代替的思想就是常用的建模思想之一：擬合思想。學(xué)生在自主比較與該散點(diǎn)圖走勢最接近的函數(shù)圖像的過程中，更容易理解什么是數(shù)據(jù)擬合，即選擇一種函數(shù)圖像近似地刻畫原函數(shù)曲線。

學(xué)生經(jīng)過一番激烈討論后得到各式各樣的猜想，呼聲最高的觀點(diǎn)莫過于認(rèn)為圖1中的曲線類似于指數(shù)函數(shù)y=ax(0

結(jié)合實(shí)際，變換調(diào)整模型。課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)的過程極大地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，有助于學(xué)生回想起指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和結(jié)論：首先，指數(shù)函數(shù)圖像恒過定點(diǎn)(0，1)；其次，所有指數(shù)函數(shù)的定義域都為(-∞，+∞)，值域都是(0，+∞)；會隨a的改變而發(fā)生變化。當(dāng)01時，函數(shù)圖像呈上升趨勢。

對比分析指數(shù)函數(shù)的特征，學(xué)生發(fā)現(xiàn)直接用指數(shù)函數(shù)代替現(xiàn)有曲線的做法是存在缺陷的，因?yàn)閳D1中的散點(diǎn)中并沒有(0，1)，值域也不是(0，+∞)，這與學(xué)生的原有認(rèn)知發(fā)生了沖突。元認(rèn)知理論認(rèn)為數(shù)學(xué)建模是一個不斷的檢驗(yàn)、修正、反饋、再完善的過程[13]，故此時教師的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在幫助學(xué)生克服認(rèn)知障礙，思考現(xiàn)狀成因上，并引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察題目中是否還有條件沒有使用。學(xué)生重新梳理思路后發(fā)現(xiàn)題目中的室溫為的條件還沒有用到，顯然茶水的溫度是不會低于室溫的，因此原數(shù)據(jù)圖像的值域不是(0，+∞)也就可以理解了。教師引導(dǎo)學(xué)生逐步分析推導(dǎo)的過程為學(xué)生進(jìn)一步思考如何將室溫因素融入模型提供了思路，同時有效地鍛煉了學(xué)生的邏輯推理能力。

逐步優(yōu)化，求解數(shù)學(xué)模型。學(xué)生以小組合作的形式進(jìn)行探究，選擇指數(shù)函數(shù)為原型進(jìn)行建模?？紤]到茶水溫度降到室溫就不能再降的事實(shí)，函數(shù)值域可設(shè)置為(25，85]。同樣，指數(shù)函數(shù)圖像上的定點(diǎn)(0，1)也是無法取到的，因此該模型曲線又可以看作是左右平移指數(shù)函數(shù)圖像得到的，歸納總結(jié)上述變化，學(xué)生可以得到含有兩個待定系數(shù)的函數(shù)模型為：

f(x)=ax+b+25

于是問題就被簡化為求解待定系數(shù)a和b的問題。按照學(xué)生以往的經(jīng)驗(yàn)，會任意選取兩個點(diǎn)直接代入函數(shù)關(guān)系式求解參數(shù)。比如將(0，85)和(1，79.19)代入表達(dá)式，保留兩位小數(shù)后得到如下的結(jié)果：

a=0.9，b=-38.86，

f(x)=0.9x-38.86+25

然而，這樣的做法得到的函數(shù)模型并不能夠保證所有點(diǎn)均在函數(shù)圖像上或者基本分布于曲線兩側(cè)，并且代入不同的點(diǎn)也會得到不同的函數(shù)模型，計(jì)算上存在較大的誤差。教師可以循序漸進(jìn)地設(shè)置問題啟發(fā)學(xué)生思考如何優(yōu)化模型，如：這樣的做法有沒有用到所有已知點(diǎn)？如果沒有，能否嘗試將所有數(shù)據(jù)都利用起來？從而引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的變化特征入手嘗試建立擬合效果更好的函數(shù)模型，幫助學(xué)生養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，培養(yǎng)提升學(xué)生對數(shù)據(jù)檢索、篩選、加工和運(yùn)算的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。

學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)上述做法的局限性在于沒有合理利用所給數(shù)據(jù)，通過變形將模型化為如下形式：

f(x)=ab·ax+25，

將模型中系數(shù)ab替換為k該函數(shù)的本質(zhì)并為發(fā)生改變，于是有如下表達(dá)式：

f(x)=kax+25(k∈R,0

為了讓所有數(shù)據(jù)均能夠在模型中發(fā)揮作用，學(xué)生容易想到運(yùn)用平均值來代替特殊值的方法。教師可以啟發(fā)學(xué)生嘗試運(yùn)用水溫溫差比值的平均值來代替衰減比例：即從第2 min的溫度數(shù)據(jù)開始，計(jì)算每分(y-25)的值與上一分(y-25)值的比例，結(jié)果如下表所示：

計(jì)算各比值的平均值，得：

由于水溫的初始值為85 °C，故將點(diǎn)(0，85)代入函數(shù)關(guān)系式，有k=60，就得到一個函數(shù)模型：

f(x)=60×0.9227x+25(x≥0)

這樣一來，求解茶水水溫最佳飲用時機(jī)的問題就迎刃而解了。

表2 水溫溫差比值表

3)方案轉(zhuǎn)化中聯(lián)系真實(shí)背景。在建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)解答之后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重新回歸實(shí)際問題，鼓勵學(xué)生將數(shù)學(xué)解答轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)的解決方案。

探究茶水最佳飲用時機(jī)的問題是每位同學(xué)都可能會遇到的實(shí)際問題，通過這個實(shí)例的學(xué)習(xí)，學(xué)生將親身感受到數(shù)學(xué)模型從無到有逐步建立的過程，體會到模型改進(jìn)以及求解過程的美妙之處，意識到數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活之間的緊密聯(lián)系。在該階段的教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生敢于尋求真理，將所求解的數(shù)學(xué)結(jié)果與實(shí)際生活聯(lián)系起來，敢于質(zhì)疑自己的猜想和結(jié)論，使學(xué)生領(lǐng)悟到所求解的數(shù)學(xué)模型可能會與實(shí)際問題結(jié)果存在一定偏差。

數(shù)學(xué)建模不僅是解決問題的過程，更是教師引導(dǎo)學(xué)生思考問題的一種思維方式，在面對實(shí)際問題時，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生靈活處理問題并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的綜合能力，深入分析實(shí)際問題所處環(huán)境并將必要的外界因素作為解題條件，經(jīng)過一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算后得到數(shù)學(xué)解答，最終聯(lián)系真實(shí)背景將數(shù)學(xué)解答重新轉(zhuǎn)換為實(shí)際方案應(yīng)用于生活實(shí)踐中，使學(xué)生在解題思路和方法上清晰透徹，思維上形成閉環(huán)。

4)建模檢驗(yàn)中反思數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)。該過程是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型能否應(yīng)用于實(shí)際的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，教師應(yīng)充分注重在這一環(huán)節(jié)中培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度和科學(xué)的研究精神，幫助學(xué)生在頭腦中建構(gòu)一套清晰完整的數(shù)學(xué)建模過程，使學(xué)生切身體會到數(shù)學(xué)方法在生活中的廣泛應(yīng)用。

學(xué)生可以通過比對所建立模型的曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)的吻合程度來直觀地判斷模型的可行性和準(zhǔn)確性。圖2為模型擬合效果對比圖，其中實(shí)線代表所建立模型的函數(shù)圖像，散點(diǎn)為實(shí)際數(shù)據(jù)。

圖2 模型擬合效果圖

通過觀察模型的擬合效果，學(xué)生發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)基本位于函數(shù)圖像上，即所求得的模型圖像與原始數(shù)據(jù)基本吻合。由此可見，模型的擬合效果較好，能夠較為準(zhǔn)確地反映茶水溫度隨時間變化的規(guī)律，故所求解的模型是可行的。同時，從圖2中也可以看出若要茶水溫度達(dá)到最佳飲用溫度，大約需要7 min時間。

至此，茶水的最佳飲用時機(jī)問題經(jīng)過逐步的分析求解已經(jīng)得到了解答。為了幫助學(xué)生進(jìn)一步探究問題本質(zhì)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考要經(jīng)過多長時間水溫才可以降到室溫，并嘗試從圖像的角度求證水溫不能低于室溫這個事實(shí)。順著這樣的思路，可以運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件繪制出模型函數(shù)圖像，通過分析圖像是否接近于某個定值來考慮水溫下降到室溫所需的時間。圖3為模型函數(shù)曲線的走勢圖：

圖3模型函數(shù)圖像走勢

觀察圖3發(fā)現(xiàn)，水溫隨時間的變化的曲線呈逐漸遞減的特點(diǎn)。在較為理想的情況下，大約于第31 min時水溫將低于并逐漸接近室溫，且隨著時間的推移，水溫不可能低于室溫。教師引導(dǎo)學(xué)生沿著該問題繼續(xù)探索和深挖的過程有助于開闊學(xué)生思路，豐富問題結(jié)論，同時有助于加深學(xué)生對函數(shù)模型的理解，幫助其養(yǎng)成熱愛思考和探究的好習(xí)慣。

總而言之，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并求解的過程是復(fù)雜的，一方面，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注影響事物發(fā)展的主要因素并提出合理的猜想建立數(shù)學(xué)模型；另一方面，教師也要引導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)反思模型的可行性，并勇于正視模型的不足之處，嘗試提出改進(jìn)方案，使數(shù)學(xué)模型能夠更好地幫助我們解決生活中的實(shí)際問題。上述教學(xué)過程中應(yīng)用的數(shù)學(xué)建模步驟如圖4所示[14]。

圖4 數(shù)學(xué)建?；静襟E流程圖

3 小結(jié)

數(shù)學(xué)模型的思想貫穿于中學(xué)乃至大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，熟練掌握并運(yùn)用這種方法對開發(fā)學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力有較大的幫助。伴隨著互聯(lián)網(wǎng)時代下現(xiàn)代文明的推進(jìn)和數(shù)學(xué)教育的變革，數(shù)學(xué)建模教學(xué)以一種新的教學(xué)形式走進(jìn)廣大數(shù)學(xué)課堂，與其相關(guān)的各類課程及競賽活動的設(shè)置都表明數(shù)學(xué)建模已成為數(shù)學(xué)教育發(fā)展的重要方向之一[15]。在當(dāng)今的數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，早已不是老師將知識全盤托出、學(xué)生機(jī)械學(xué)習(xí)的形式。教師要適應(yīng)時代的發(fā)展轉(zhuǎn)變教育觀念，創(chuàng)設(shè)能夠啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)、掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的情境，設(shè)置能夠啟發(fā)學(xué)生主動探究和討論的問題，在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力和聯(lián)想能力，發(fā)展其數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng)，達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的目的，真正做到數(shù)學(xué)中處處有生活，生活中處處是數(shù)學(xué)。