中考?jí)狠S題整體解題三步曲

黃建林

學(xué)生在解中考占30分的壓軸題時(shí)，存在的最大問題是：沒有解題思路?；蛘哂兴悸窙]條理性、思路不嚴(yán)密、存在邏輯瑕疵，思路缺乏靈活與變通等。通過總結(jié)多年帶學(xué)生沖中考的經(jīng)驗(yàn)，探究出三點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生解中考?jí)狠S題的整體思路及方法如下。

一、解壓軸題三步曲

（一）閱讀理解問題：（將壓軸題讀兩遍）

1.閱讀第一遍，標(biāo)出或列出或畫出題目中已知的明顯條件及數(shù)據(jù)。閱讀第二遍，梳理出題目中隱含的條件、并加以標(biāo)注。同時(shí)將題目要求證明或計(jì)算的結(jié)果，進(jìn)行分析、化簡(jiǎn)、整理，以及等價(jià)轉(zhuǎn)換。形成解題思路，幫助構(gòu)造出證明或計(jì)算必要的邏輯閉環(huán)。列出題目全部的明暗條件，提醒自己在下一步分析探究環(huán)節(jié)，用齊所有條件，保證解題思路無邏輯瑕疵。

（二）分析探究問題：

1探究思考時(shí)，遵循“先解決邏輯問題，再解決證算問題”的順序。找解題的邏輯線路時(shí)，可嘗試三條途徑：

（1）用全條件從左向右一步步推導(dǎo)（已知結(jié)果）。

（2）用全條件從右向左一步步推導(dǎo)（結(jié)果→已知，反推或反證）。

（3）用全條件兩頭向中間一步步推導(dǎo)（左→中→右）。

2.目標(biāo)：打造一個(gè)貫通思路的邏輯環(huán)

3.探究時(shí)思考順序及常用工具：

（1）明暗條件夠時(shí)，直接用邏輯鏈串通條件和結(jié)果，構(gòu)造完成一個(gè)解題思路的邏輯環(huán)。

（2）若遇幾何綜合題類壓軸題，明暗條件不夠、無法構(gòu)造一個(gè)邏輯閉環(huán)時(shí)，要在斷缺的邏輯環(huán)節(jié)，構(gòu)造出適當(dāng)?shù)姆弦蟮妮o助線、輔助角、輔助三角形、輔助四邊形及輔助圓等，通過這些輔助線做橋梁工具，填補(bǔ)短缺的環(huán)節(jié)，完成邏輯閉環(huán)。

（3）若遇代幾綜合題及動(dòng)點(diǎn)問題，明暗條件不夠、無法構(gòu)造一個(gè)邏輯閉環(huán)時(shí)，可借助設(shè)定或構(gòu)造適當(dāng)?shù)膮?shù)及參數(shù)組做橋梁，以設(shè)參——導(dǎo)參——消參做工具和手段，抓住變中不變、動(dòng)中不動(dòng)，找到等量關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)建出解題的邏輯閉環(huán)。例如：遇二次函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)問題，可設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（t，at2+bt+c）;遇直線上動(dòng)點(diǎn)問題，可設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（t，kt+b）。

（三）證正算解決問題：

1.進(jìn)行計(jì)算、推導(dǎo)、證明時(shí)，要遵循已探究構(gòu)造好的邏輯線路，有順序有條理的一步步完成計(jì)算、推導(dǎo)、證明的過程。

2.每個(gè)計(jì)算的結(jié)果、結(jié)論，要做到“有據(jù)、有理、有過程、有結(jié)論”。條件齊全時(shí)，可先列出條件、數(shù)據(jù)、公式、公理、定理、推論等要用到的條件：再進(jìn)行推導(dǎo)、證明。若條件不齊，則通過設(shè)輔助參數(shù)，或做輔助圖形這一橋梁，構(gòu)造齊所需條件，再進(jìn)行推導(dǎo)、論證，最終算出結(jié)果或證出結(jié)論。

3.計(jì)算講求準(zhǔn)確和速度：推導(dǎo)和證明講求條理、規(guī)范、完整。力爭(zhēng)在限定的時(shí)間內(nèi)，多拿壓軸題的步驟分及結(jié)論分。

二、解題三步曲應(yīng)用典例展示：

典例1.如圖，直線AB與雙曲線y=k）》0在第一象限內(nèi)交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，

點(diǎn)B為線段的AC中點(diǎn)，連接OA，若△AOC的面

積為3，則k的值為

1.閱讀理解問題：讀出B點(diǎn)在始終在雙曲

線上，滿足Xb.★Yb=K

2分析探究問題：以設(shè)參→導(dǎo)參→消參為手段，把兩個(gè)條件：中點(diǎn)及面積用全，解題的邏輯閉環(huán)就形成了。

3.證算解決問題：可設(shè)A（a，冬）、C（b，0）

因B為AC中點(diǎn)，可設(shè)B（史，會(huì)）（中點(diǎn)用上）

（1）代人Xb*Yb=K.→b=3a.（2）代人S=號(hào)OC×Ya=3消參后可得k=2.

典例2.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊

BC的中點(diǎn)，連接AE、DE，分別交BD、AC于點(diǎn)P、Q，過點(diǎn)P作PF⊥AE交CB的延長(zhǎng)線于F，下列結(jié)論：

①∠AED+∠EAC+∠EDB=90°，

②AP=FP，③AE=2AO

④若四邊形OPEQ的面積為4，則該正方形ABCD的面積為36

5CE·EF=EQ·DE

其中正確的結(jié)論是

證①：∠AED+∠EAC+∠EDB=90°

1.閱讀理解：讀出正方形ABCD的對(duì)稱性，

梳理出隱含條件：∠BOC=90°

∠BOE=∠COE=45o

2.分析探究：連接OE，分析出：

∠AED=∠AEO+∠OED

由外角定理得：

∠BOE=∠ODE+∠OED=45°，∠COE=

∠OAE+∠OEA=45°

3.證算得：

∠AED+∠EAC+∠EDB=90°

證2：AP=FP

1.閱讀理解：讀出∠APF=∠ABF-90°讀出隱含條件：A、P、B、F四點(diǎn)共圓，進(jìn)而想到隱圓的直徑AF。

2分析探究：由正方形→∠ABD=45，由同弧AP對(duì)等角→

∠AHP=45°→△APF為等腰直角三角形，

3.得AP=FP

證3：AE=0

用“設(shè)參、導(dǎo)參、消參”手段，證算解決設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為t，用勾股定理，將AE、AC、AO的長(zhǎng)，換算成t的表達(dá)式，兩項(xiàng)相除消參

證④證實(shí)或證偽：

“閱讀/分析正算”三步合一羅輯思路演示：

1.由正方形的對(duì)稱性及題中條件

→△OPE的面積=△OQE的面積=2

2.由OE為△BCD的中位線→OE∥CD

OE/CDEQ/QD=OQ/QC=

→S△OQD=2S△OEQ=4

S△CQD=8→S△COD=4+8=12

3.進(jìn)而→S正方形ABCD=4x12=48→正

方形ABCD的面積為36.

④為錯(cuò)。

證5：CE·EF=EQ·DE

用兩頭向中間推的思路證明結(jié)論成立

1.將待證結(jié)論整理變形

CE·EF=EQ·

DE.CEEQ

DEEF

對(duì)稱得EQ=PE，CEE

DE

（中間）

2.探究∠PEF和∠CED的關(guān)系

由對(duì)稱性得∠PEF∠CED，

RT△CED∽R(shí)T△EPF（AA）

CEPE

DE

一示（中間）

3.由兩頭推到中間， 邏輯閉環(huán)形成→⑤

CE·EF=EQ·DE成立

答案選①、②、③、⑤

典例3.如圖，PB為⊙O的切線，B為切

點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)E、F，過點(diǎn)B作PO的垂

線BA，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)A，延長(zhǎng)AO與

⊙O交于點(diǎn)C，連接鄂C，AF

（1）求證：直線PA為⊙O的切線：

（2）試探究線段EF、OD、OP之間的數(shù)

量關(guān)系，并加以證明;

證明（1）直線PA為⊙O的切線

“閱讀/分析/證算”三步合一邏輯思路演示：

1.連接OB，“執(zhí)果索因”，構(gòu)建邏輯閉環(huán)

欲證PA是圓O的切線，←（須證）∠OAP=90°

-∠OAP=∠OBP（PB為切線∠

OBP=90°）

-△OAP≌△OBP，-PA=PB，←

OP垂直平分AB

←OA=OB（及已知AB⊥OP）構(gòu)建邏輯閉

環(huán)完成

下一步，可“由因到果”，完成推證過程

2探究證明（2）探究線段EF、OD、OP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明

“閱讀/分析/證算”三步合一邏輯思路演示

由（1）結(jié)論知，得知并推出

OA⊥AP，AD⊥OP

→△OAP和△OAD是雙垂直母子模型

→OA2=OD·OP由OA=EF，→

EF=4OD·OP

3.探究證算（3）：若BC=6，an∠F=，求cos∠ACB的值和線段PE的長(zhǎng)

“閱讀/分析/證明”三步合一邏輯思路演示

解題思路1：設(shè)參→導(dǎo)參→消參

解題思路2：利用三角函數(shù)（sinA、cosA、tanA）這一“邊角轉(zhuǎn)換器”工具。靈活運(yùn)用sinA、cosA、tanA的定義，利用“在直角三角形中，角相同三角函數(shù)值一定相同，反之亦然”這一推論

解題思路3：利用雙垂直母子模型結(jié)論——射影定理及其推論

2021年廣州市中考數(shù)學(xué)題及2021年省中考數(shù)學(xué)題，在體現(xiàn)“初高銜接”的壓軸題中達(dá)到的難度高峰，給出了壓軸題的方向：考察數(shù)學(xué)思維。希望通過有目的的解題三步曲的思維訓(xùn)練，讓學(xué)生的思維既能發(fā)散開，又能收斂回，充分打開學(xué)生的思維，抓住解中考?jí)狠S題的核心和關(guān)鍵。