FK和Shearlet域聯(lián)合壓縮感知數(shù)據(jù)重構(gòu)技術(shù)

閆海洋 周 輝 劉海波 徐朝紅 孫贊東 劉 昭

(①中國石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測(cè)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249； ②中國石油大學(xué)(北京)CNPC物探重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249； ③中國石油大學(xué)(北京)地球物理學(xué)院，北京 102249； ④東方地球物理公司海洋物探處，天津 300457)

0 引言

稀疏炮檢點(diǎn)采集或野外采集因素造成地震數(shù)據(jù)的不規(guī)則影響后續(xù)地震資料成像質(zhì)量?；趬嚎s感知理論的重構(gòu)方法能夠有效恢復(fù)地震數(shù)據(jù)。壓縮感知數(shù)據(jù)重構(gòu)技術(shù)是將重構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為稀疏優(yōu)化問題。由于空間隨機(jī)缺失的地震道引起的空間假頻在稀疏域呈白噪分布，有效信號(hào)在稀疏域集中分布，可采用反演迭代的方法逐步恢復(fù)缺失的地震數(shù)據(jù)。

Ma等[1]實(shí)現(xiàn)了基于Fourier變換的快速迭代閾值收縮算法，在Fourier域重構(gòu)地震數(shù)據(jù)； Zhang等[2]在FK域數(shù)據(jù)重構(gòu)過程中引入了凸集投影(POCS)算法，在迭代過程中引入了指數(shù)衰減閾值參數(shù)。Fourier變換是全局變換，不能描述地震數(shù)據(jù)的方向特征，且稀疏度不夠，數(shù)據(jù)重構(gòu)精度有待提高，于是能夠描述地震信號(hào)方向特征的曲波變換應(yīng)用到壓縮感知數(shù)據(jù)重構(gòu)中。劉國昌等[3]和Yang等[4]實(shí)現(xiàn)了曲波域的POCS方法地震數(shù)據(jù)重構(gòu)，采用指數(shù)閾值提高了迭代收斂的速度； Zhang等[5]提出了一種基于曲波變換的三維數(shù)據(jù)同步重構(gòu)和噪聲壓制方法； Zhang等[6]提出了一種基于非等距快速離散曲波變換的三維重構(gòu)方法，采用線性Bregman迭代提高反演效率； Cai等[7]在曲波域基于L1范數(shù)的譜梯度投影(SPG-L1)算法實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)重構(gòu)； Liu等[8]提出了局部隨機(jī)采樣的曲波域數(shù)據(jù)重構(gòu)； Wang等[9]提出了一種基于曲波變換和高分辨率Radon變換的多域稀疏約束高精度地震數(shù)據(jù)恢復(fù)方法。

曲波變換采用網(wǎng)格旋轉(zhuǎn)方式實(shí)現(xiàn)方向表征，無法實(shí)現(xiàn)對(duì)線奇異在連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的統(tǒng)一，而Shearlet變換克服了這個(gè)缺點(diǎn)，采用剪切方式代替曲波變換的旋轉(zhuǎn)方式，能更加稀疏表達(dá)地震信號(hào)。馮飛等[10]提出了采用Jitter欠采樣的Shearlet變換稀疏約束地震數(shù)據(jù)重構(gòu)方法； 張良等[11]實(shí)現(xiàn)了基于壓縮感知的Shearlet變換地震數(shù)據(jù)重構(gòu)，其重構(gòu)效果優(yōu)于Fourier變換、離散余弦變換、小波變換和曲波變換； 劉成明等[12]采用Shearlet變換與基于Landweber加速下降迭代法進(jìn)行插值，在提高計(jì)算效率的同時(shí)保證了插值精度； 楊冠雨等[13]采用基于Shearlet變換的雙正則化方法進(jìn)行地震數(shù)據(jù)重構(gòu)，同時(shí)兼顧了信號(hào)的稀疏性和地質(zhì)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性； 王常波[14]在Shearlet域利用快速凸集投影(FPOCS)算法和指數(shù)閾值進(jìn)行壓縮感知地震數(shù)據(jù)重構(gòu)，與Fourier變換、曲波變換的重構(gòu)結(jié)果對(duì)比表明，Shearlet變換重構(gòu)精度最高。

與固定稀疏基不同，形態(tài)分量分析(Morphological Component Analysis，MCA)框架采用不同基函數(shù)線性組合方式對(duì)地震數(shù)據(jù)稀疏表達(dá)，通過迭代方式逐一求解并重建各形態(tài)分量，最后通過合并重建后的形態(tài)分量完成數(shù)據(jù)的重構(gòu)。張凱等[15-16]提出了一種Shearlet字典和離散余弦變換(DCT)字典組合的地震數(shù)據(jù)重構(gòu)方法； 周亞同等[17]提出在MCA框架下的基于DCT與曲波字典組合的地震信號(hào)重構(gòu)方法。MCA框架的壓縮感知數(shù)據(jù)重構(gòu)需要迭代求解、重建各形態(tài)分量，計(jì)算效率有待提升。

本文采用Shearlet變換對(duì)地震數(shù)據(jù)稀疏表示，與常規(guī)對(duì)有缺失的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行Sheartlet變換不同，是將時(shí)空域的地震道重構(gòu)轉(zhuǎn)化為FK域的隨機(jī)噪聲壓制問題。首先對(duì)有缺失的地震數(shù)據(jù)做FK變換，然后對(duì)FK域數(shù)據(jù)做Shearlet變換，通過閾值迭代法消除FK域由于地震道缺失引起的空間假頻，從而實(shí)現(xiàn)地震道的時(shí)空域重構(gòu)。與形態(tài)分量分析(MCA)框架下的地震數(shù)據(jù)重構(gòu)不同，MCA認(rèn)為信號(hào)由多個(gè)不同形態(tài)的分量線性組合而成，用不同的稀疏字典組合方式進(jìn)行地震數(shù)據(jù)重構(gòu)，本文采用的 FK變換加Shearlet變換，可以看作一種新的稀疏基變換，不需要迭代求解各形態(tài)分量。

稀疏采樣方法是基于壓縮感知觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容。全局隨機(jī)采樣空間假頻呈白噪分布，分段隨機(jī)采樣空間假頻具有藍(lán)色噪聲的頻譜特征，在保持采樣隨機(jī)性的同時(shí)，有效解決了重采樣結(jié)果疏密不勻問題，提高了地震數(shù)據(jù)的重構(gòu)效果。最后通過Shearlet域和全局隨機(jī)采樣、Shearlet域和分段隨機(jī)采樣、FK+Shearlet域和全局隨機(jī)采樣、FK+Shearlet域和分段隨機(jī)采樣四種數(shù)據(jù)重構(gòu)結(jié)果對(duì)比，表明FK+Shearlet域和分段隨機(jī)采樣結(jié)合重構(gòu)效果最好，信噪比和保真度最高。

1 方法原理

1.1 FK+Shearlet域聯(lián)合重構(gòu)方法原理

考慮到傳統(tǒng)采樣定理的不足及信號(hào)的稀疏特性，Candes等[18]、Donoho[19]提出了壓縮感知理論。壓縮感知數(shù)據(jù)重構(gòu)包括三個(gè)方面：①信號(hào)的稀疏表述，信號(hào)是稀疏的或在變換域內(nèi)是稀疏的； ②測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)，測(cè)量矩陣要與稀疏基完全不相干； ③重構(gòu)算法的構(gòu)造，信號(hào)的有效恢復(fù)依賴高效高精度重構(gòu)優(yōu)化算法。

基于壓縮感知的地震數(shù)據(jù)重構(gòu)可表示為求解方程

d=Mf

(1)

式中：f∈Rp為完整數(shù)據(jù)；d∈Rq為觀測(cè)數(shù)據(jù)；M為對(duì)角采樣矩陣，對(duì)角線上的元素與d對(duì)應(yīng)，采樣前、后數(shù)據(jù)的維數(shù)分別為p和q，且p>q。當(dāng)d中地震道數(shù)據(jù)未缺失時(shí)，對(duì)應(yīng)的M對(duì)角線上的元素為1； 地震道數(shù)據(jù)缺失時(shí)，對(duì)應(yīng)的M對(duì)角線上的元素為0。M一般選取高斯隨機(jī)矩陣。

時(shí)空域的地震數(shù)據(jù)不是稀疏的，但可以通過數(shù)學(xué)變換滿足稀疏特性。張良等[11]通過實(shí)驗(yàn)認(rèn)為基于Shearlet變換的數(shù)據(jù)重構(gòu)精度高于Fourier變換、DCT變換、小波變換和曲波變換。

本文利用FK+Shearlet變換對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏表示，將時(shí)空域不連續(xù)的地震數(shù)據(jù)重構(gòu)問題轉(zhuǎn)為連續(xù)FK域數(shù)據(jù)隨機(jī)噪聲壓制問題，稀疏基為Shearlet基函數(shù)

x=φΨf

(2)

式中：Ψ為FK正變換；φ為Shearlet正變換；x為f的FK+Shearlet變換結(jié)果。

將式(2)代入式(1)，可得

d=MΨ-1φ-1x

(3)

式中：Ψ-1為FK逆變換；φ-1為Shearlet逆變換。令

θ=MΨ-1φ-1

(4)

為感知矩陣。

式(3)為欠定問題，無法直接求解。感知矩陣θ只有滿足有限等距性質(zhì)(RIP)時(shí)，則可以求取唯一解[18-20]。高斯隨機(jī)矩陣與稀疏基不相干，θ滿足RIP條件。地震數(shù)據(jù)重構(gòu)問題可以表示為

(5)

式(5)在一定的條件下，L0范數(shù)最小化求解問題可以轉(zhuǎn)化為L1范數(shù)最小化問題[22]，即

(6)

設(shè)ε為重構(gòu)誤差，式(6)可寫為

(7)

關(guān)于高精度重構(gòu)方法，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)Bregman迭代[6,21]、POCS[14，22-23]、SPG-L1[7，24-25]、正交匹配追蹤法[26-27]、交替乘子方向算法(ADMM)[13，28]等方法進(jìn)行研究或改進(jìn)。溫睿等[29]通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析了POCS、IHT(Iterative Hard Thresholding)、Bregman和JRSI(Joint Reconstruction by Sparsity-promoting Inversion)四種迭代算法，認(rèn)為POCS和IHT算法較為穩(wěn)定，經(jīng)過多次迭代能夠達(dá)到較高的信噪比。本文采用POCS進(jìn)行壓縮感知數(shù)據(jù)重構(gòu)，算法如下

(8)

(9)

1.2 稀疏采樣

稀疏采樣方法是壓縮感知地震采集研究的重要內(nèi)容，決定了由于地震數(shù)據(jù)缺失引起的空間假頻在稀疏域的隨機(jī)分布特征。相比全局隨機(jī)采樣，Jitter稀疏采樣在保持隨機(jī)性的同時(shí)，分布更均勻，減少了假頻和有效信號(hào)的混疊，重建效果優(yōu)于全局隨機(jī)采樣[10，12，30]。本文采用王漢闖等[31]提出的分段隨機(jī)采樣方法，該方法不僅具有更為優(yōu)越的藍(lán)譜特征，還突破了Jitter采樣對(duì)段內(nèi)樣點(diǎn)為奇數(shù)的限制，具有更強(qiáng)的實(shí)用性。

以一道為例分析重采樣因子對(duì)數(shù)據(jù)頻譜(波數(shù)譜)的改造。對(duì)完整數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏采樣，就是對(duì)重采樣因子與完整數(shù)據(jù)進(jìn)行點(diǎn)乘，即

d(t)=r(t)f(t)

(10)

時(shí)間(空間)域的乘積對(duì)應(yīng)頻率(波數(shù))域的褶積，即

D(ω)=R(ω)*F(ω)

(11)

式中：f為單道完整地震數(shù)據(jù)；r為重采樣因子；d為采樣結(jié)果；F、R和D分別為f、r和d的Fourier變換。完全采樣時(shí)，r(t)≡1。

圖1為規(guī)則、全局隨機(jī)、分段隨機(jī)1/2采樣示意圖。規(guī)則采樣時(shí)采樣因子r中0和1規(guī)則交替出現(xiàn)； 1/2全局隨機(jī)采樣的采樣因子r中0和1全局隨機(jī)出現(xiàn)； 1/2分段隨機(jī)采樣中2個(gè)采樣點(diǎn)為1段，每段采樣因子r中0和1隨機(jī)出現(xiàn)。假定原始數(shù)據(jù)采樣間隔為2ms，采樣點(diǎn)數(shù)為3000，則奈奎斯特頻率為250Hz。圖2a為完全采樣因子及其頻譜，0頻為有效信號(hào)頻譜，頻譜值為3000，不存在假頻。圖2b為1/2規(guī)則采樣因子及其頻譜，0頻處為有效信號(hào)頻譜，頻譜值降為原來的1/2(1500)，假頻在-250Hz處，與0頻處有效信號(hào)頻譜值相等。圖2c為1/2全局隨機(jī)采樣因子及其頻譜，0頻處譜值降為原來的1/2(1500)，假頻的頻譜呈白噪特征，假頻和有效信號(hào)混疊。圖2d為1/2分段隨機(jī)采樣因子及其頻譜，0頻處譜值降為原來的1/2(1500)，假頻的頻譜呈藍(lán)譜特征，假頻和有效信號(hào)混疊。

圖1 規(guī)則(a)、全局隨機(jī)(b)、分段隨機(jī)(c)1/2采樣示意圖實(shí)心表示采樣； 空心表示未采樣

圖3a和圖3b分別為完全采樣和1/2規(guī)則采樣的數(shù)據(jù)及其頻譜。規(guī)則采樣后，如果信號(hào)頻率和假頻混疊，則無法保真恢復(fù)原始信號(hào)。圖3c和圖3d分別為全局1/2隨機(jī)采樣和分段1/2隨機(jī)采樣的數(shù)據(jù)和頻譜。隨機(jī)采樣后，假頻振幅值相對(duì)較小，有效數(shù)據(jù)的頻譜大于假頻頻譜，方便后續(xù)通過反演迭代進(jìn)行全頻帶數(shù)據(jù)恢復(fù)，理論上可以突破奈奎斯特頻率的限制。但分段隨機(jī)采樣數(shù)據(jù)的藍(lán)譜特征明顯，由于地震數(shù)據(jù)為帶限數(shù)據(jù)，分段隨機(jī)更有利于后期數(shù)據(jù)重構(gòu)。

圖2 不同稀疏采樣因子(左)及其頻譜(右)(a)完全采樣因子； (b)1/2規(guī)則采樣因子； (c)1/2全局隨機(jī)采樣因子； (d)1/2分段隨機(jī)采樣因子

1.3 FK+Shearlet變換

信號(hào)的稀疏表示就是將信號(hào)投影到正交變換基時(shí)，有效信號(hào)對(duì)應(yīng)的變換系數(shù)集中分布，系數(shù)相對(duì)較大，噪聲(對(duì)地震數(shù)據(jù)重構(gòu)來說，主要指由于數(shù)據(jù)缺失造成的空間假頻)對(duì)應(yīng)的變換系數(shù)的絕對(duì)值很小。Shearlet變換[32-34]可以有效地表示地震數(shù)據(jù)各向異性特征。由剪切方式代替了曲波變換的旋轉(zhuǎn)方式，能夠在離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)做統(tǒng)一處理。

對(duì)于任意二維平方可積函數(shù)b(τ)，其Shearlet變換可表示為

SHφb{j,l,m}=〈b,φj,l,m〉

(12)

式中

(13)

(14)

其中：A為各向異性膨脹矩陣，控制尺度；B為剪切矩陣，控制方向，A和B均為2階可逆矩陣；j為尺度參數(shù)；l為剪切參數(shù)；m為平移參數(shù)。

Shearlet變換是一類多尺度幾何分析方法，通過對(duì)基函數(shù)的縮放、剪切和平移等仿射變換生成具有

圖3 不同稀疏采樣因子采樣后的數(shù)據(jù)(左)及其頻譜(右)(a)完全采樣因子； (b)1/2規(guī)則采樣因子； (c)全局1/2隨機(jī)采樣因子； (d)分段1/2隨機(jī)采樣因子

不同特征的剪切波函數(shù)，具有較好的地震數(shù)據(jù)的方向性描述和稀疏表達(dá)能力。

應(yīng)用模擬單炮數(shù)據(jù)(采樣間隔為2ms，512個(gè)樣點(diǎn)，512道)對(duì)比Shearlet變換與FK+Shearlet變換效果。采用1尺度的Shearlet分解，將模擬單炮分解成1個(gè)不帶方向特征的低頻分量和8個(gè)帶方向特征的高頻分量。圖4為模擬單炮及FK譜，圖5為對(duì)模擬單炮進(jìn)行Shearlet分解的9個(gè)系數(shù)，由于分解的8個(gè)高頻系數(shù)(圖5a～圖5h)能量較弱，對(duì)其振幅放大10倍顯示。

圖6為圖5的9個(gè)Shearlet域系數(shù)對(duì)應(yīng)的時(shí)空域數(shù)據(jù)。圖7為對(duì)模擬單炮進(jìn)行FK+Shearlet分解的9個(gè)系數(shù)譜，圖8為對(duì)模擬單炮進(jìn)行FK+Shear-let分解的9個(gè)系數(shù)對(duì)應(yīng)的時(shí)空域數(shù)據(jù)。表1對(duì)比了模擬單炮不同稀疏基變換分解系數(shù)能量占比。對(duì)模擬單炮直接進(jìn)行Shearlet變換，不帶方向特征的低頻分量系數(shù)能量占比為98.75%，8個(gè)帶方向特征的高頻分量系數(shù)能量占比僅為1.25%； 對(duì)模擬單炮進(jìn)行FK+Shearlet變換，不帶方向特征的低頻能量占比為8.81%，8個(gè)帶方向特征的高頻分量系數(shù)能量占比為91.19%，F(xiàn)K+Shearlet域的帶有方向特征的高頻系數(shù)相對(duì)Shearlet域能量更強(qiáng)，能更好地觀測(cè)地震數(shù)據(jù)的方向(線奇異)特征。

圖4 模擬單炮(a)及其FK譜(b)

圖5 模擬單炮Shearlet分解的9個(gè)系數(shù)(a)～(h)帶方向特征的8個(gè)高頻系數(shù)譜，振幅放大10倍顯示； (i)不帶方向特征的低頻系數(shù)譜

圖6 圖5的9個(gè)系數(shù)對(duì)應(yīng)的時(shí)空域數(shù)據(jù)(a)～(h)帶方向特征的8個(gè)高頻系數(shù)譜，振幅放大10倍顯示； (i)不帶方向特征的低頻系數(shù)譜

圖7 模擬單炮分解的FK+Shearlet域 9個(gè)系數(shù)譜(a)～(h)帶方向特征的8個(gè)高頻系數(shù)譜； (i)不帶方向特征的低頻系數(shù)譜

圖8 圖7的9個(gè)系數(shù)譜對(duì)應(yīng)的時(shí)空域數(shù)據(jù)(a)～(h)帶方向特征的8個(gè)高頻系數(shù)譜； (i)不帶方向特征的低頻系數(shù)譜

表1 模擬單炮不同變換分解的系數(shù)能量占比

2 模擬數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

采用重構(gòu)信噪比評(píng)價(jià)重構(gòu)效果

(15)

式中f*表示重構(gòu)的地震數(shù)據(jù)。

應(yīng)用上述模擬單炮記錄對(duì)比全局隨機(jī)和分段隨機(jī)采樣250道(采樣率48.8%)在Shearlet域與FK+Shearlet域的數(shù)據(jù)重構(gòu)效果。表2 為模擬單炮重構(gòu)信噪比統(tǒng)計(jì)。

圖9為模擬單炮記錄的全局隨機(jī)采樣結(jié)果及其FK譜。圖10為Shearlet域和FK+Shearlet域數(shù)據(jù)重構(gòu)結(jié)果及誤差。Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)(圖10a)的信噪比為13.39dB，F(xiàn)K+Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)(圖10c)的信噪比為21.05 dB； Shearlet域數(shù)據(jù)重構(gòu)的誤差(圖10b)明顯大于FK+Shearlet域數(shù)據(jù)重構(gòu)誤差(圖10d)，表明FK+Shearlet域重構(gòu)效果優(yōu)于Shearlet域。全局隨機(jī)采樣數(shù)據(jù)FK譜(圖9b)的空間假頻呈白噪分布，F(xiàn)K+Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)有效信號(hào)的FK譜(圖11b)能量的恢復(fù)及空間假頻的壓制效果明顯優(yōu)于Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)的FK譜(圖11a)。

圖9 模擬單炮全局隨機(jī)采樣結(jié)果(a)及其FK譜(b)

圖10 模擬單炮全局隨機(jī)采樣Shearlet域與FK+Shearlet域模擬單炮重構(gòu)效果分析(a)Shearlet域重構(gòu)結(jié)果； (b)Shearlet域重構(gòu)誤差； (c)FK+Shearlet域重構(gòu)結(jié)果； (d)FK+Shearlet域重構(gòu)誤差

圖11 模擬單炮全局隨機(jī)采樣不同域重構(gòu)結(jié)果的FK譜(a)Shearlet域； (b)FK+Shearlet域

圖12為模擬單炮記錄的分段隨機(jī)采樣結(jié)果及其FK譜。圖13為Shearlet域和FK+Shearlet域數(shù)據(jù)重構(gòu)結(jié)果及誤差。Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)(圖13a)的信噪比為13.89dB，F(xiàn)K+Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)(圖13c)的信噪比為23.52dB，Shearlet域數(shù)據(jù)重構(gòu)的誤差(圖13b)大于FK+Shearlet域數(shù)據(jù)重構(gòu)誤差(圖13d)，F(xiàn)K+Shearlet域重構(gòu)效果優(yōu)于Shearlet域。分段隨機(jī)采樣數(shù)據(jù)的FK譜(圖12b)的空間假頻呈藍(lán)譜特征，空間假頻與有效信號(hào)混疊相對(duì)全局隨機(jī)(圖9b)要弱。FK+Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)有效信號(hào)的FK譜(圖14b)的能量恢復(fù)及空間假頻的壓制效果優(yōu)于Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)的FK譜(圖14a)。從數(shù)據(jù)重構(gòu)信噪比(表2)可見，Shearlet域分段隨機(jī)重構(gòu)效果(圖13a)優(yōu)于全局隨機(jī)重構(gòu)(圖10a)，F(xiàn)K+Shearlet域分段隨機(jī)重構(gòu)效果(圖13c)優(yōu)于全局隨機(jī)重構(gòu)(圖10c)。

通過不同稀疏采樣比例進(jìn)一步驗(yàn)證FK+Shearlet的重構(gòu)效果。圖15為分段隨機(jī)采樣下不同稀疏采樣比例和不同稀疏基變換模擬單炮重構(gòu)信噪比對(duì)比。整體上，F(xiàn)K+Shearlet比Shearlet域重構(gòu)信噪比高。當(dāng)稀疏采樣比例低于60%時(shí)，F(xiàn)K+Shearlet比Shearlet域重構(gòu)信噪比高6dB以上； 當(dāng)采樣比例高于70%時(shí)，隨著采樣比例的增加，兩種稀疏基重構(gòu)效果逐漸接近。

圖12 模擬單炮分段隨機(jī)采樣結(jié)果(a)及其FK譜(b)

圖13 模擬單炮分段隨機(jī)采樣Shearlet域與FK+Shearlet域重構(gòu)效果分析(a)Shearlet域重構(gòu)結(jié)果； (b)Shearlet域重構(gòu)誤差； (c)FK+Shearlet域重構(gòu)結(jié)果； (d)FK+Shearlet域重構(gòu)誤差

圖14 模擬單炮分段隨機(jī)采樣不同域重構(gòu)結(jié)果的FK譜(a)Shearlet域； (b)FK+Shearlet域

表2 模擬單炮不同域重構(gòu)信噪比統(tǒng)計(jì)

圖15 不同稀疏采樣比例FK+Shearlet(紅色)與Shearlet域(藍(lán)色)重構(gòu)數(shù)據(jù)信噪比對(duì)比

3 實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)用

選擇海域地震資料(圖16a)進(jìn)行壓縮感知數(shù)據(jù)重構(gòu)。由于海洋資料頻帶較寬，同時(shí)原始數(shù)據(jù)也存在空間采樣不足引起的空間假頻，給數(shù)據(jù)重構(gòu)帶來一定難度，以70%全局隨機(jī)采樣(圖16b)和分段隨機(jī)采樣(圖16c)對(duì)比Shearlet域與FK+Shearlet域數(shù)據(jù)重構(gòu)效果。圖17為原始、全局隨機(jī)采樣、分段隨機(jī)采樣數(shù)據(jù)的FK譜，分段隨機(jī)采樣數(shù)據(jù)FK譜(圖17c)的空間假頻呈藍(lán)譜特征，空間假頻與有效信號(hào)混疊相對(duì)全局隨機(jī)(圖17b)要弱。表3為不同稀疏采樣和稀疏基變換實(shí)際數(shù)據(jù)重構(gòu)信噪比對(duì)比。

圖16 實(shí)際原始地震數(shù)據(jù)(a)及其全局(b)和分段隨機(jī)采樣結(jié)果(c)

圖17 實(shí)際原始地震數(shù)據(jù)(a)及其全局(b)和分段隨機(jī)采樣結(jié)果的FK譜(c)

在全局隨機(jī)采樣情況下，Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)(圖18a)的信噪比為10.08dB，F(xiàn)K+Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)(圖18b)的信噪比為15.66dB，Shearlet域數(shù)據(jù)重構(gòu)的誤差(圖18c)明顯大于FK+Shearlet域數(shù)據(jù)重構(gòu)誤差(圖18d)，F(xiàn)K+Shearlet域重構(gòu)效果優(yōu)于Shearlet域重構(gòu)效果。在分段隨機(jī)采樣情況下，Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)(圖19a)的信噪比為10.47dB，F(xiàn)K+Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)(圖19b)的信噪比為16.52dB，Shearlet域數(shù)據(jù)重構(gòu)的誤差(圖19c)大于FK+Shearlet域數(shù)據(jù)重構(gòu)誤差(圖19d)，F(xiàn)K+Shearlet域重構(gòu)效果優(yōu)于Shearlet域重構(gòu)。

在全局隨機(jī)采樣情況下，F(xiàn)K+Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)有效信號(hào)的FK譜(圖20b)能量的恢復(fù)及空間假頻的壓制效果明顯優(yōu)于Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)的FK譜(圖20a)。在分段隨機(jī)采樣情況下，F(xiàn)K+Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)有效信號(hào)的FK譜(圖20d)能量恢復(fù)及空間假頻的壓制效果優(yōu)于Shearlet域重構(gòu)數(shù)據(jù)(圖20c)。

圖18 實(shí)際數(shù)據(jù)全局隨機(jī)采樣下不同稀疏域重構(gòu)結(jié)果對(duì)比(a)Shearlet域重構(gòu)結(jié)果； (b)FK+Shearlet域重構(gòu)結(jié)果； (c)Shearlet域重構(gòu)誤差； (d)FK+Shearlet域重構(gòu)誤差

圖19 實(shí)際數(shù)據(jù)分段隨機(jī)采樣下不同稀疏域重構(gòu)結(jié)果對(duì)比(a)Shearlet域重構(gòu)結(jié)果； (b)FK+Shearlet域重構(gòu)結(jié)果； (c)Shearlet域重構(gòu)誤差； (d)FK+Shearlet域重構(gòu)誤差

圖20 實(shí)際數(shù)據(jù)兩種采樣方式、不同域重構(gòu)結(jié)果的FK譜對(duì)比(a)全局隨機(jī)，Shearlet域； (b)全局隨機(jī)，F(xiàn)K+Shearlet域； (c)分段隨機(jī)，Shearlet域； (d)分段隨機(jī)，F(xiàn)K+Shearlet域

由表3的數(shù)據(jù)重構(gòu)信噪比可見，Shearlet域分段隨機(jī)重構(gòu)效果(圖19a)優(yōu)于全局隨機(jī)重構(gòu)(圖18a)，F(xiàn)K+Shearlet域分段隨機(jī)重構(gòu)效果(圖19b)優(yōu)于全局隨機(jī)重構(gòu)(圖18b)。

表3 實(shí)際數(shù)據(jù)的重構(gòu)信噪比統(tǒng)計(jì)

4 結(jié)論

壓縮感知數(shù)據(jù)重構(gòu)技術(shù)要求地震數(shù)據(jù)隨機(jī)稀疏分布，由于數(shù)據(jù)缺失引起的假頻在稀疏域表現(xiàn)為噪聲，有效信號(hào)集中分布，假頻和有效信號(hào)混疊，但是假頻相對(duì)較弱，通過迭代的方法能進(jìn)行數(shù)據(jù)重構(gòu)。分段隨機(jī)采樣方法具有更為優(yōu)越的“藍(lán)色噪聲”頻譜分布，分段隨機(jī)采樣在保持采樣隨機(jī)性的同時(shí)，有效解決了重采樣結(jié)果疏密不均問題。本文采用FK+Shearlet變換作為稀疏基進(jìn)行分段隨機(jī)采樣數(shù)據(jù)重構(gòu)。實(shí)驗(yàn)表明，F(xiàn)K+Shearlet域比Shearlet域能更好地描述地震數(shù)據(jù)的方向(線奇異)特征，分段隨機(jī)采樣FK+Shearlet域重構(gòu)精度高于全局隨機(jī)采樣Shearlet域重構(gòu)、分段隨機(jī)采樣Shearlet域重構(gòu)和全局隨機(jī)采樣FK+Shearlet域重構(gòu)。