函數(shù)圖像在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

卓柳珊

[摘 要]函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有重要的地位。函數(shù)圖像可以把立體空間與數(shù)量關(guān)系進(jìn)行巧妙結(jié)合，學(xué)生通過(guò)觀察思考函數(shù)圖像?？色@得解決問(wèn)題的方法。文章對(duì)函數(shù)圖像在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用進(jìn)行探究，以期為一線教師的實(shí)際教學(xué)提供參考。

[關(guān)鍵詞]函數(shù)圖像;高中數(shù)學(xué);解題

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）08-0032-03

數(shù)學(xué)解題和函數(shù)圖像之間有著微妙的聯(lián)系，多數(shù)情況下，函數(shù)圖像可以把立體空間與數(shù)量關(guān)系進(jìn)行巧妙結(jié)合，而學(xué)生在觀察思考函數(shù)圖像的過(guò)程中?？色@得解決問(wèn)題的方法。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需教會(huì)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)圖像，借此提升學(xué)生的解題效率和解題能力。本文主要對(duì)函數(shù)圖像在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用進(jìn)行探究。

一、函數(shù)圖像簡(jiǎn)述

函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的必考點(diǎn)。函數(shù)涉及單調(diào)性、奇偶性、最值、零點(diǎn)、圖像等內(nèi)容，函數(shù)圖像是函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用函數(shù)圖像可以對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、值域等問(wèn)題進(jìn)行研究，所以學(xué)生應(yīng)當(dāng)深入學(xué)習(xí)，全面掌握函數(shù)的圖像與性質(zhì)。對(duì)于函數(shù)圖像的繪制，可先看是否是基本初等函數(shù)，如果是，就可以直接繪制圖像;若非基本初等函數(shù)，則要看是否可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行一系列變換，比如翻折變換、對(duì)稱變換、伸縮變換、平移變換等，若可以，就可根據(jù)變換規(guī)律作出圖像。若無(wú)法進(jìn)行變換，此類函數(shù)通常不作圖像繪制要求，相關(guān)題目大多是選擇題，只需計(jì)算得數(shù)，從選項(xiàng)中選擇答案即可。

二、基礎(chǔ)函數(shù)圖像分析

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)大多是以螺旋上升的形式呈現(xiàn)的，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)可由簡(jiǎn)入繁、由淺入深，為此教師首先要讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)的函數(shù)圖像。對(duì)于基礎(chǔ)函數(shù)圖像，學(xué)生若可以深刻記憶，則能夠有效促進(jìn)函數(shù)圖像相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，對(duì)解題也大有裨益。教師在日常教學(xué)中可以將一些基礎(chǔ)函數(shù)圖像或特殊組合函數(shù)圖像進(jìn)行歸類總結(jié)（如表1），并以圖片、表格的形式呈現(xiàn)，方便學(xué)生記憶，避免學(xué)生產(chǎn)生混淆。

表1列舉的只是一部分基礎(chǔ)函數(shù)圖像，而高中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)函數(shù)圖像有幾十種，為了使學(xué)生在記憶時(shí)避免產(chǎn)生混淆，教師在歸納整理時(shí)既要凸顯出各個(gè)函數(shù)圖像的特點(diǎn)，又要注意方式、方法的趣味性，使學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像及相關(guān)知識(shí)印象深刻。

除此之外，教師還可以將各個(gè)函數(shù)圖像的變換方式錄制成視頻，并上傳至校園網(wǎng)，讓學(xué)生隨時(shí)隨地可以下載學(xué)習(xí)。

三、函數(shù)圖像的重要性

函數(shù)[f]的圖形（或圖像）指的是數(shù)學(xué)中所有有序?qū)（x， f（x））]組成的集合，它是學(xué)生重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容。函數(shù)圖像大多以曲線的形式體現(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，對(duì)學(xué)生解決函數(shù)問(wèn)題有很大的幫助。初中數(shù)學(xué)知識(shí)分類較為明晰，代數(shù)、幾何知識(shí)的體現(xiàn)形式也比較直觀，但高中代數(shù)與幾何知識(shí)的分界不夠明晰，有時(shí)同一知識(shí)點(diǎn)既涉及代數(shù)，又涉及幾何。這不論是對(duì)教師的教學(xué)，還是對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)都增加了難度。高考數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)分布比較細(xì)致，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)占比30%，立體幾何占比12%，解析幾何占比15%，概率統(tǒng)計(jì)占比12%，而平面向量、三角函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)，既自成體系又相互關(guān)聯(lián)，也是學(xué)生的得分所在?；诖?，合理應(yīng)用函數(shù)圖像，不僅可以幫助學(xué)生有效解題，還能幫助學(xué)生在考試中拿到更多的分?jǐn)?shù)。由此可見，函數(shù)圖像的重要性不言而喻。

四、函數(shù)圖像在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）解答不等式及不等式組問(wèn)題

不等式與函數(shù)存在緊密關(guān)聯(lián)，一般來(lái)說(shuō)，在求解不等式類問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到函數(shù)圖像。函數(shù)圖像可以使問(wèn)題直觀化，有助于學(xué)生解決問(wèn)題。

[例1]求不等式[16-x2+8x-x2>4]的解集。

解：對(duì)原不等式進(jìn)行變形，可得[16-x2>4-8x-x2]，再令[y1=16-x2]，[y2=4-8x-x2]，二次變形以上不等式，可得[x2+y21=] [16（y1≥0）]，[（x-4）2+（y2-4）2=16（y2≤4）]。

通過(guò)觀察，可以看出兩個(gè)函數(shù)的圖像全都是半圓，可以在同一直角坐標(biāo)系中將其表示出來(lái)（如圖1）。由圖1可直觀、清晰地看到兩個(gè)半圓之間形成的交集，即原不等式對(duì)應(yīng)的解集，也就是[x0<x<4]。

（二）指定區(qū)間判斷方程根的實(shí)根個(gè)數(shù)

方程與函數(shù)也存在緊密關(guān)聯(lián)，對(duì)于求方程實(shí)根個(gè)數(shù)類問(wèn)題，可以先將方程轉(zhuǎn)化成相應(yīng)函數(shù)，然后畫出函數(shù)的圖像，這樣可以直觀獲得問(wèn)題答案。

[例2]方程[x13=2sinx]有? ? ? ? ? 個(gè)實(shí)根。

解：已知函數(shù)[y=x13]與函數(shù)[y=2sinx]都是奇函數(shù)，并且函數(shù)[y=x13]為增函數(shù)。

當(dāng)[x=0]時(shí)，兩函數(shù)值都為0;

當(dāng)[x=18]時(shí)，[1813=12>2×18>2sin18];

當(dāng)[x=5π2]時(shí)，[2sin5π2=2]，[5π213<813=2];

當(dāng)[x>8]時(shí)，[x13>2≥2sinx]。

由此，可畫出函數(shù)[y=x13]與函數(shù)[y=2sinx]在[x∈0， 3π]上的圖像，如圖2所示。

由圖2可知，函數(shù)[y=x13]與函數(shù)[y=2sinx]在[0， 3π]內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4。因?yàn)楹瘮?shù)[y=x13]與函數(shù)[y=2sinx]都是奇函數(shù)，所以在[-3π， 0]上也有4個(gè)交點(diǎn)，再加上原點(diǎn)，所以方程[x13=2sinx]的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是9。

（三）解答復(fù)數(shù)問(wèn)題

通過(guò)復(fù)平面上兩點(diǎn)之間對(duì)應(yīng)的距離公式以及直線、圓、圓錐曲線等圖像，再借助復(fù)數(shù)的幾何意義對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，遠(yuǎn)比單純的代數(shù)運(yùn)算要簡(jiǎn)捷得多。

[例3]復(fù)數(shù)[z]滿足[z+i+z-i=2]，那么[z+i+1]的最小值是（ ）。

A. 1? ? ? ?B. [2]? ? ? ?C. 2? ? ? ? D. [5]

解：復(fù)平面內(nèi)滿足[z+i+z-i=2]的點(diǎn)[z]的軌跡為[AB]線段，而[z+i+1]表示點(diǎn)[z]到點(diǎn)[P（-1，-1）]間的距離，如圖3所示。由圖知[z+i+1]的最小值是1，答案選A。

（四）解答解析幾何綜合類問(wèn)題

在解答解析幾何綜合類問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)涉及函數(shù)圖像。這類問(wèn)題的綜合性非常強(qiáng)，學(xué)生需結(jié)合函數(shù)圖像對(duì)問(wèn)題展開分析，這樣才能有效解決問(wèn)題。

[例4]已知曲線[y=1+4-x2]與直線[y=k（x-2）+4]存在兩個(gè)不同交點(diǎn)，求[k]的取值范圍。

解：將曲線[y=1+4-x2]適當(dāng)變形，可得[x2+（y-1）2=4（1≤y≤3）]，這樣可以知道曲線[y=1+4-x2]是以[A（0， 1）]為圓心，以2為半徑的圓。但是題設(shè)當(dāng)中存在一個(gè)隱含條件，即[y≥1]，所以圖像只有上半圓（如圖4）。

而直線[y=k（x-2）+4]是過(guò)點(diǎn)[B（2， 4）]的，當(dāng)直線[y=k（x-2）+4]繞著點(diǎn)[B]進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線和圓相交的點(diǎn)保持在弧線[MT]上（點(diǎn)[T]除外）即可滿足題設(shè)要求。

又因?yàn)榻稽c(diǎn)[M]位于直線[y=1]之上，所以能夠得到點(diǎn)[M]的坐標(biāo)[（-2， 1）]。

而直線[BM]的斜率能夠用斜率公式求得，即[kMB=34]，而[M]點(diǎn)到點(diǎn)[A]的距離與圓的半徑相等，可以列出等式[1+2k-41+k2=2]，解得[kBT=512]，所以可得[512<k≤34]。

高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)不同，難度更大，涉及面更廣，對(duì)學(xué)生的要求也更高。不僅要求學(xué)生要具備邏輯思維，還要有較強(qiáng)的空間思維能力，并可以將所學(xué)的知識(shí)相互關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整合。數(shù)學(xué)在高考中分?jǐn)?shù)占比很大，學(xué)生只有具備較強(qiáng)的解題能力，才能確保在高考中獲得更多的分?jǐn)?shù)。在日常教學(xué)中，教師除了幫助學(xué)生積累基礎(chǔ)知識(shí)，還應(yīng)當(dāng)強(qiáng)化學(xué)生的解題能力，同時(shí)幫助學(xué)生掌握有效的解題方法。

在高中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中函數(shù)圖像有著廣泛的應(yīng)用，通過(guò)函數(shù)圖像的應(yīng)用可以有效提高學(xué)生的解題效率和解題能力。為此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生深入了解函數(shù)圖像，并且傳授給學(xué)生函數(shù)圖像的應(yīng)用方法，讓學(xué)生掌握各類函數(shù)的基本性質(zhì)，充分理解一些函數(shù)模型，從而有效提升學(xué)生的解題效率和解題能力。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 王洪民.輔助函數(shù)法及其在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2019（6）：16-17.

[2]? 許福生.函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].家長(zhǎng)，2019（11）：148，150.

[3]? 李帥.由一道試題談函數(shù)模型在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用：淺談“對(duì)勾函數(shù)”的性質(zhì)[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2019（4）：14.

（責(zé)任編輯 黃春香）