幾何距離公式的推理與應(yīng)用

勾藝茹 李述芬 邵利

[摘 要]幾何中各個維度的相關(guān)內(nèi)容具有相似性，各個維度所依托的基本框架，即數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系以及空間直角坐標(biāo)系中涉及的距離公式可以進(jìn)行類推。文章通過分析數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系的兩點的距離公式，推導(dǎo)空間直角坐標(biāo)系的兩點的距離公式，并舉例說明空間直角坐標(biāo)系的兩點的距離公式的相關(guān)應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]距離公式;幾何;推理

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）08-0013-03

一、引言

幾何中最基礎(chǔ)的元素為“點”，“點”運動成“線”，“線”運動成“面”，“面”運動成“體”。按空間維度，幾何可歸納為從“點”出發(fā)到一維的“線”，再從一維的“線”到二維的“面”，接著從二維的“面”到三維的“體”三類。以上變化可謂是環(huán)環(huán)相扣。數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系則是按照空間維度的順序展開的。本文從低維進(jìn)階到高維空間的視角介紹幾何距離相關(guān)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用。

二、幾何距離公式

幾何中點、線、面三者之間的距離公式按排列組合方式進(jìn)行分類，有點與點、點與線、點與面、線與線、線與面、面與面六種類型（注：線、面等相關(guān)距離問題，需要平行關(guān)系才有意義）。其中最基礎(chǔ)的類型為點與點、點與線、點與面。

（一）兩點的距離公式

數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系中的兩點的距離公式見表1。

（二）“一生二”——由兩點的距離公式到點到直線的距離公式

（1）定義：過點作目標(biāo)直線的垂線，這點到垂足的距離。

設(shè)直線[l]的方程為[Ax+By+C=0]，點[P]的坐標(biāo)為[（x0， y0）]，則點[P]到直線[l]的距離[d=Ax0+By0+CA2+B2]。

（2）公式推導(dǎo)：

如圖1所示，過點[P]作直線[l]的垂線，垂足為[M]。[kPM·kl=-1，Ax2+By2+C=0，]?[y1-y2x1-x2·-AB=-1，Ax2+By2+C=0，]?[A（y2-y1）-B（x2-x1）=0，? ? ? ? ? ? ? ? ①Ax2+By2+C=0，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②]

將②兩邊同時減去[Ax1+By1+C]，得

[A（x2-x1）+B（y2-y1）=-（Ax1+By1+C）]，? ? ?③

將①③式兩邊分別平方，得

[A2（y2-y1）2+B2（x2-x1）2-2AB（x2-x1）（y2-y1）=0]，? ?④

[B2（y2-y1）2+A2（x2-x1）2+2AB（x2-x1）（y2-y1）=（Ax1+By1+C）2]，? ?⑤

聯(lián)立④⑤得[（x2-x1）2+（y2-y1）2=（Ax1+By1+C）2A2+B2]，[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2=Ax1+By1+CA2+B2]。

（三）“二生三”——由點到直線的距離公式到點到面的距離公式

高中教材在平面解析幾何中涉及點到直線的距離公式，此公式為點到直線的距離求解提供了便利。然而對于立體幾何中點到平面的距離公式，教材未給出相應(yīng)的內(nèi)容。

二維空間和三維空間對應(yīng)的兩點的距離公式在形式上是相同的（[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2]與[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z2-z1）2]）。于是可嘗試由點到直線的距離公式猜測點到面的距離公式。點到平面的距離界定為平面外一點到平面內(nèi)一點的最小長度，可采取先猜后證的方式，得到點到平面的距離公式。

（1）公式猜想

【點到線的距離】設(shè)直線[l]的方程為[Ax+By+C=0]，點[P]的坐標(biāo)為[（x0， y0）]，則點[P]到直線[l]的距離[d=Ax0+By0+CA2+B2]。

【點到面的距離】設(shè)平面[α]的方程式為[Ax+By+Cz+D=0]，點[P]的坐標(biāo)為[（x0， y0， z0）]，則點[P]到平面[α]的距離[d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]。

（2）公式推導(dǎo)

前提：在點到面的距離公式推導(dǎo)過程中，均要用到平面法向量，因此先對平面法向量進(jìn)行說明。

設(shè)[（x1， y1， z1）]和[（x2， y2， z2）]為平面內(nèi)任意兩個點，由點在面上得：

[Ax1+By1+Cz1+D=0，? ? ? ? ⑥Ax2+By2+Cz2+D=0，? ? ? ? ⑦]

由⑥-⑦得

[A（x1-x2）+B（y1-y2）+C（z1-z2）=0]，

即 [（A， B， C）?（x1-x2， y1-y2， z1-z2）=0]。

由此得出[n=]（A，B，C）為平面法向量。

方法一：如圖2所示，平面法向量為[n=（A， B， C）]，任取平面內(nèi)一點[M（x1， y1， z1）]，設(shè)向量[PM]為[m]，[m]與[n]的夾角為[θ]。

[d=m·cosθ，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑧cosθ=m·nm·n，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑨Ax1+By1+Cz1+D=0，? ? ? ⑩]DFFB83B0-4407-4905-8284-77D8DBF246FD

聯(lián)立⑧⑨⑩得

[d=m·nn=A（x0-x1）+B（y0-y1）+C（z0-z1）A2+B2+C2=（Ax0+By0+Cz0）-（Ax1+By1+Cz1）A2+B2+C2=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]

方法二：如圖3所示，平面法向量為[n=（A， B， C）]，[P（x0， y0， z0）]為平面外一點，過點[P]向平面[β]作垂線，交平面[β]于點[M（x， y， z）]，點[P]到平面[β]的距離為[PM]，

[∵PM∥n]

[∴PM·n=PM·n]

即

[PM=PM·nn=A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）A2+B2+C2）]

又[M]在平面[β]上，有[Ax+By+Cz+D=0]，

[PM=Ax-Ax0+By-By0+Cz-Cz0A2+B2+C2]

[=（Ax+By+Cz）-（Ax0+By0+Cz0）A2+B2+C2=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2。]

（3）學(xué)以致用

下面利用點到面的距離公式，解決立體幾何距離問題以及一類不等式問題。

[例1]（點面距離）如圖4，直四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]的底面是菱形，[AA1=4]，[AB=2]，[∠BAD=60°]，[E， M， N]分別是[BC， BB1]，[A1D]的中點。求點[C]到平面[C1DE]的距離。

分析：求點到平面的距離，需要知道點的坐標(biāo)以及平面方程。首先建立直角坐標(biāo)系，其次通過[C1]，[D]，[E]三點確定平面[C1DE]的方程，最后將點與平面數(shù)據(jù)代入公式求解距離。

解答：如圖4，四邊形[ABCD]為菱形，則連接[AC]、[BD]交點為[O]，且[AC⊥BD]。以點[O]為原點建立空間直角坐標(biāo)系[O-xyz]。

∵[AA1=4]，[AB=2]，[∠BAD=60°]，[E]是[BC]的中點。

∴[B（1， 0， 0）]，[D（-1， 0， 0）]，[C0，3， 0]，[C10，3， 4 ]，[E12，32， 0]。

設(shè)平面[C1DE]的方程式為：[ax+by+cz+d=0]，

則[b+d=0，3b+4c+d=0，12a+32b+d=0，]?平面[C1DE]的方程式為[-3x+y+12z+1=0]。

將[C（0， 3， 0）]和[-3x+y+12z+1=0]代入[d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]，得

[d=-3×3+132+12+122=41717]。

[例2]（面面距離）已知平面[α]：[2x+3y+z+5=0]，平面[β]：[2x+3y+z+18=0]。求兩平面的距離。

分析：求解兩平面之間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求解一平面上的一點到另一平面的距離，因此，在平面[α]找一點[P]，求點[P]到平面[β]的距離。

解答：設(shè)[P（x0， y0， z0）]為平面[α]上的一點，則滿足[2x0+3y0+z0+5=0]，[P]到平面[β]的距離為

[d=2x0+3y0+z0+1822+32+12]，將[2x0+3y0+z0+5=0]代入上式，得

[d=-5+1822+32+12=131414]。

兩平面的距離求解公式：

平面[α：Ax+By+Cz+D1=0]，平面[β：Ax+By+Cz+D2=0]，平面[α]與平面[β]的距離為

[d=D1-D2A2+B2+C2]。

[例3]設(shè)[x， y， z∈R]，且[x+y+z=1]。

（1）求[（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2]的最小值。

（2）[（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2≥13]，證明：[a≤-3]或[a≥-1]。

分析：將題干與問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

已知平面[x+y+z-1=0]，第（1）問求平面外一點[（1， -1，-1）]到平面的距離的平方;

第（2）問要求證明點[（2， 1， a）]到平面的距離的平方為[13]時，[a]的范圍為[a≤-3]或[a≥-1]。

解答：（1）設(shè)平面[α]為[x+y+z-1=0]，點[P（1，-1，-1）]為平面外一點，則點[P]到平面[α]的距離的平方為[d2=1-1-1-112+12+122=43]。

（2）設(shè)平面[α]為[x+y+z-1=0]，點[Q（2， 1， a）]為平面外一點，點[Q]到平面[α]距離的平方最小值為[13]，則[d2=2+1+a-112+12+122≥13?a+2≥1?a≤-3]或[a≥-1]。

三、小結(jié)

本文重點討論了幾何中的距離公式， 從一維到二維再到三維。首先從兩點的距離公式（數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系以及空間直角坐標(biāo)系）： [d=x2-x1]，[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2]，[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z2-z1）2]，引出點到線的距離公式[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2=Ax1+By1+CA2+B2]。接著，以先猜后證的方式，得出點到面的距離公式[d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]。最后，靈活運用“點到面的距離公式”解決立體幾何問題和不等式問題。

正如《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，幾何也秉承著一定的邏輯不斷衍生變化。學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何時可采用先觀察、再猜想、最后證明的方式抓住其中的邏輯規(guī)律，借助相似性展開聯(lián)想，進(jìn)行遷移，發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)。

（責(zé)任編輯 黃桂堅）DFFB83B0-4407-4905-8284-77D8DBF246FD