二次函數(shù)常見中考題型及解題策略研究

白玫

[摘 要]二次函數(shù)題往往作為中考?jí)狠S題出現(xiàn)，文章對(duì)二次函數(shù)常見中考題型及解題策略進(jìn)行了研究，以為中考復(fù)習(xí)提供幫助。

[關(guān)鍵詞]中考;二次函數(shù);壓軸題;策略

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）08-0010-03

在初中，二次函數(shù)的概念主要是用變量來定義的，而在高中，二次函數(shù)的概念是用映射來定義的，這樣安排符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。對(duì)初中生來說，僅記住二次函數(shù)的概念是不夠的，如果不能深刻理解，學(xué)習(xí)它的圖像和性質(zhì)就有困難。因此，我們要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知狀況選擇教學(xué)策略，幫助學(xué)生總結(jié)和解決問題，提高學(xué)生分析和解決問題的能力，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正向遷移。

一、二次函數(shù)壓軸題呈現(xiàn)

[例1]（2020年昆明市中考數(shù)學(xué)壓軸題）如圖1，兩條拋物線[y1=-x2+4]，[y2=-15x2+bx+c]相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，且為拋物線y2的最高點(diǎn)。

（1）求拋物線[y2]的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo);

（2）點(diǎn)C是拋物線[y1]上A，B之間的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交[y2]于點(diǎn)D，當(dāng)線段CD取最大值時(shí)，求[S△BCD]。

分析：（1）可先求出[A]點(diǎn)的坐標(biāo)（-2，0），再求出[y2]的對(duì)稱軸[-b2a=-2]，然后代入一元二次函數(shù)[y2=-15x2+bx+c]，求出[y2]的解析式，將[y1]與[y2]聯(lián)立，求出點(diǎn)[B]坐標(biāo)。（2）可以通過已知條件先將[S△BCD]表示出來，再通過點(diǎn)[C]和點(diǎn)[D]的橫坐標(biāo)一樣，求出點(diǎn)[C]與點(diǎn)[D]間的距離[d]， 過點(diǎn)[B]作[CD]的垂線，交點(diǎn)為[E]，求出[BE]的距離，由[S△BCD=12CD·BE]即可求出[S△BCD]。

解答：（1）當(dāng)[y1=0]時(shí)，即[-x2+4=0]，解得[x=±2]，

∵點(diǎn)[A]在[x]軸的負(fù)半軸上，∴A（-2，0），

∵[y2=-15x2+bx+c]的最高點(diǎn)為A（-2，0），

∴拋物線[y2]的解析式為[y2=-15x+22]，

即[y2=-15x2-45x-45]。

當(dāng)[y1=y2]時(shí)，[-x2+4=-15x2-45x-45]，

解得[x1=3]，[x2=-2]（舍去），∴當(dāng)[x=3]時(shí)，[y=-32+4=-5]，

∴[B（3，-5）]。

（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)[C（m，-m2+4）]，則點(diǎn)[Dm，-15m2-45m-45]，

∵點(diǎn)C是拋物線[y1]上A，B之間的一點(diǎn)，

∴[-2

∴[CD=-m2+4--15m2-45m-45]

[=-45m2+45m+245]

當(dāng) [m=-452×-45=12] 時(shí)，[CD]有最大值，

[CD最大=-45×122+45×12+245=5]，

過點(diǎn)[B]作[BE⊥CD]，垂足為[E]，

∵點(diǎn)[C]的橫坐標(biāo)為[12] ，點(diǎn)[B]的橫坐標(biāo)為3，

∴[BE=3-12=52]，

∴[S△BCD=12CD?BE=12×5×52=254]。

[例2]如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像交坐標(biāo)軸于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線[BC]下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)。

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

（2）動(dòng)點(diǎn)[P]運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，[△PBC]面積最大，求出此時(shí)[P]點(diǎn)坐標(biāo)和[△PBC]的最大面積。

分析：（1）由題意可知三個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，分別設(shè)一次函數(shù)的解析式為[y1=ax+b]和二次函數(shù)的解析式為[y2=ax?+bx+c]，然后將坐標(biāo)點(diǎn)代入解析式中，即可得到二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式。（2）過[P]點(diǎn)作垂直于[x]軸的直線，交[x]軸于點(diǎn)[E]，交直線[BC]于點(diǎn)[F]，[S△PCB=S△PFC+S△PFB=12PF·OB]，所以只需要求出[PF]，就可以求得[S△PCB]， 設(shè)點(diǎn)[F]的坐標(biāo)為[（t， t-4）]，[PF]等于一次函數(shù)和二次函數(shù)之間的距離，求出[t]的取值就可以求出面積和坐標(biāo)。

解答：（1）設(shè)拋物線的解析式為[y=ax2+bx+c]，把[A]、[B]、[C]三點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得 [a-b+c=0，16a+4b+c=0，c=-4，]解得 [a=1，b=-3，c=-4，] 可得拋物線的解析式為[y=x2-3x-4]。

（2）點(diǎn)[P]在拋物線上，可設(shè)[P（t， t2-3t-4）]，作[PE]∥y軸交[x]軸于點(diǎn)[E]，交直線[BC]于點(diǎn)[F]，如圖4，[B（4， 0）]，[C（0，-4）]，直線[BC]的解析式為[y=x-4]，[F（t， t-4）]，[PF=（t-4）-（t2-3t-4）=-t2+4t]，[S△PBC=S△PFC+S△PFB=12PF·OE+12PF·BE=12PF·（OE+BE）=12PF·][OB=12（-t2+4t）×4=-2（t-2）2+8]，當(dāng)[t=2]時(shí)，[S△PBC]的最大值為8，此時(shí)[t2-3t-4=-6]，當(dāng)點(diǎn)[P]的坐標(biāo)為（2，- 6）時(shí)，[△PBC]的最大面積為8。

[例3]如圖5，已知拋物線[y=ax2+c]過點(diǎn)（-2，2），（4，5），過定點(diǎn)[F（0， 2）]的直線[l]：[y=kx+2]與拋物線交于[A]，[B]兩點(diǎn)，點(diǎn)[B]在點(diǎn)[A]的右側(cè)，過點(diǎn)[B]作[x]軸的垂線，垂足為[C]。B07A3443-B1AE-46FA-961A-68D820A5AF29

（1）求拋物線的解析式;

（2）若[k=1]，在直線[l]下方的拋物線上是否存在點(diǎn)[Q]，使得[△QBF]的面積最大？若存在，求出點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)及[△QBF]的最大面積;若不存在，請(qǐng)說明理由。

分析：（1）將（-2，2），（4，5）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線[y=ax2+c]，可求出拋物線的解析式。

（2）由條件[k=1]，可以知道一次函數(shù)的解析式，聯(lián)立二次函數(shù)解析式，可以知道點(diǎn)[A]和點(diǎn)[B]的坐標(biāo)。為了求證在直線[l]下方的拋物線上是否存在點(diǎn)[Q]，使得[△QBF]的面積最大，我們要先設(shè)點(diǎn)[Q]和點(diǎn)[E]的坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)（[t， 14x?+1]），過點(diǎn)[Q]作[x]軸的垂線，交[AB]于點(diǎn)[E]，點(diǎn)[E]和點(diǎn)[Q]的橫坐標(biāo)一樣，[S△QFB=S△QFE+S△QEB=12QE·OC]，[QE]就是[x=t]時(shí)，一次函數(shù)和二次函數(shù)之間縱坐標(biāo)之間的距離，求出[t]的取值，即可求出坐標(biāo)和面積。

解答：（1）把點(diǎn)（-2，2），（4，5）代入[y=ax2+c]得 [4a+c=2，16a+c=5，]解得 [a=14，c=1，]

所以拋物線解析式為[y= 14 x2+1]。

（2）作[QE]∥y軸交[AB]于[E]，如圖6，當(dāng)[k=1]時(shí)，一次函數(shù)的解析式為[y=x+2]，解方程組 [y=x+2，y=14x2+1，] 得 [x=2+22，y=4+22，]或 [x=2-22，y=4-22，]則[B2+22， 4+22 ]。設(shè)[Qt， 14t2+1]，則[E（t， t+2）]，[EQ=t+2-14t2+1=-14t2+t+1]，[S△QBF=S△EQF+S△EQB=12×2+22×EQ=12×2+22? ][-14t2+t+1=] [-2+14（t-2）2+2+22]，當(dāng)[t=2]時(shí)，[S△QBF]有最大值，最大值為[2+22]，此時(shí)[Q]點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）。

[例4]已知在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)[y=x2+bx]的圖像經(jīng)過點(diǎn)[A（-1， 4）]，交[x]軸于點(diǎn)[B（a， 0）]。

（1）求[a]與[b]的值;

（2）如圖7，點(diǎn)[M]為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線[AB]下方，試求出[△ABM]面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)[M]的坐標(biāo)。

分析：（1）已知點(diǎn)[A]和點(diǎn)[B]的坐標(biāo)，將點(diǎn)[A]坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式[y=x2+bx]求出[b]的值，再將點(diǎn)[B]坐標(biāo)代入求出來的二次函數(shù)解析式中可求出[a]。

（2）設(shè)點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[（x， x2-3x）]，作[MG∥y]軸交[AB]于點(diǎn)[G]，而點(diǎn)[G]的坐標(biāo)就是[（x，-x+3）]，又因?yàn)辄c(diǎn)[M]和點(diǎn)[G]的橫坐標(biāo)一樣，點(diǎn)[M]位于點(diǎn)[G]的下方，所以直線[MG]的距離可用點(diǎn)[G]的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)[M]的縱坐標(biāo)，即[（-x+3）-（x2-3x）]，化簡(jiǎn)后便可以得到此函數(shù)為一個(gè)開口向上的二次函數(shù)，因此在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上值最大，那么A，B，M，G四點(diǎn)的坐標(biāo)便都可以得到，從而可根據(jù)[S△ABM=S△AMG+S△BMG]計(jì)算出[S△ABM]的面積。

解答：（1）把[A（-1， 4）]代入[y=x2+bx]得到[4=1-b]，[b=-3]，[y=x2-3x];因?yàn)閇B（a， 0）]在函數(shù)圖像上，所以將[B（a， 0）]代入[y=x2-3x]得[a2-3a=0]，求得[a=3]或[a=0]（舍棄），即[a=3]。

（2）如圖8，作[MG∥y]軸交[AB]于點(diǎn)[G]。

設(shè)直線[AB]的解析式為[y=kx+b]，把[（-1， 4）]，[（3， 0）]代入得 [-k+b=4，3k+b=0，]解得 [k=-1，b=3，]由此可得[y=-x+3]。設(shè)[M（x， x2-3x）]，則[G（x，-x+3）]，[S△ABM=S△AMG+S△BMG=12×4×（-x+3）-（x2-3x）=-2x2+4x+6=-2（x-1）2+8]，當(dāng)[x=1]時(shí)，[△ABM]的面積最大，最大值為8，此時(shí)[M（1 ，-2）]。

二、二次函數(shù)壓軸題解答的一般過程

解決問題分為三步：認(rèn)真審視問題、探索解決問題的思路、正確解決問題。首先仔細(xì)閱讀題目的意思，其次在理解問題意思的基礎(chǔ)上，判斷給定的問題屬于哪一類型，最后利用常見的相關(guān)策略來解決問題。

（一）熟悉題目，理解問題情境

二次函數(shù)壓軸題一般由平面直角坐標(biāo)系下的文本和圖形組成。因此，熟悉問題，了解問題的含義是解決問題的第一步。要掌握問題中的關(guān)鍵信息，剔除問題給出的干擾信息，分析問題的有用條件，確定問題的本質(zhì)。

（二）確定問題類型，找出解題思路

根據(jù)問題的性質(zhì)，判斷該問題屬于哪種類型，判斷是否與某種類型一致，若一致，從中推導(dǎo)出共性問題的解決思路，為下一步解題提供明確的方向。

（三）將知識(shí)整合，求解答案

方向明確后，需要搜索出問題中涉及的所有知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)之前的解決思路，整合知識(shí)，逐步探索問題的答案，判斷答案的合理性，進(jìn)一步解決問題。

三、二次函數(shù)壓軸題教學(xué)的啟示

（一）培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力

初中學(xué)生的知識(shí)要靠實(shí)踐來鞏固，因此，可讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)相關(guān)的考試題，使學(xué)生能靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題。

（二）注重對(duì)知識(shí)的整理和歸納

教師要把解題過程中的知識(shí)點(diǎn)全部整理出來，總結(jié)所有知識(shí)點(diǎn)的共同點(diǎn)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握，以便他們能靈活應(yīng)用知識(shí)解決問題。

（三）注重學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在二次函數(shù)壓軸題的教學(xué)中，要重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。通過分析，發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生在解題過程中，雖然方法是正確的，但常因?yàn)橛?jì)算能力弱導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)而失分。因此，在教學(xué)中教師要加強(qiáng)計(jì)算訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，盡量讓學(xué)生正確、快速地計(jì)算，并形成檢查的習(xí)慣。

（四）注重滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想可以理解為對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)研究及其本質(zhì)規(guī)律的理解和認(rèn)識(shí)。在解題中，通常會(huì)應(yīng)用多種數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等。在教學(xué)中，教師應(yīng)有目的地滲透各種數(shù)學(xué)思想，通過反思和總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生厘清這些數(shù)學(xué)思想并學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用。

在新課標(biāo)理念下，研究二次函數(shù)壓軸題的解題策略可以改善學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維方式，在一定程度上有效地改變教學(xué)方法，真正實(shí)現(xiàn)課程的教學(xué)目標(biāo)。因此，中考前，教師要讓學(xué)生深入了解中考命題和數(shù)學(xué)課程改革的發(fā)展趨勢(shì)，使他們有足夠的信心去面對(duì)考試，同時(shí)要合理安排數(shù)學(xué)教學(xué)，鍛煉學(xué)生的實(shí)踐能力，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 安梅.中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題常見題型及解題策略研究：以畢節(jié)市中考數(shù)學(xué)試題為例[D].貴陽：貴州師范大學(xué)，2019.

[2]? 蔣芳萍.中考二次函數(shù)壓軸題的三大常見題型探討[C]∥2020年南國(guó)博覽學(xué)術(shù)研討會(huì)論文集（一）. [出版者不詳]，2020：913-914.

[3]? 王涵， 陳建學(xué). 二次函數(shù)中考?jí)狠S題研究：兼談動(dòng)點(diǎn)三角形的面積解題策略[J].中學(xué)教學(xué)參考，2017（26）：25.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）B07A3443-B1AE-46FA-961A-68D820A5AF29