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    中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的類型與解題策略探尋

    2022-06-11 12:48:46余杰
    關(guān)鍵詞:中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題策略

    余杰

    [摘 要]應(yīng)用題是中考數(shù)學(xué)的必考題型,文章對(duì)中考數(shù)學(xué)的應(yīng)用題進(jìn)行分類探析,尋求其解題策略,以提高學(xué)生的閱讀理解能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。

    [關(guān)鍵詞]應(yīng)用題;中考數(shù)學(xué);策略

    [中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058(2022)08-0007-03

    應(yīng)用題是中考數(shù)學(xué)的必考題型,主要考查考生的閱讀理解能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。解答應(yīng)用題必須先讀懂題意,再建模,進(jìn)而解決問(wèn)題。應(yīng)用題有哪些基本類型呢?我們應(yīng)該采取何種解題策略呢?

    一、方程(組)與不等式(組)模型

    方程(組)和不等式(組)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,其不僅是中考核心考點(diǎn),而且也是解決代數(shù)、幾何及實(shí)際問(wèn)題的重要工具。在中考中,這類問(wèn)題主要涉及工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、打折促銷問(wèn)題、增長(zhǎng)率問(wèn)題等。

    [例1]振華中學(xué)初一(3)班去某一農(nóng)業(yè)生態(tài)園參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),該生態(tài)園有塊空地種植蘋果和橘子兩種水果,活動(dòng)結(jié)束后,吳斌編寫了一道數(shù)學(xué)題:在某一生態(tài)園中,經(jīng)營(yíng)者是甲、乙兩戶果農(nóng),其種植面積與賣水果總收入見(jiàn)下表。(假設(shè)不同種植戶種植的同種水果每畝產(chǎn)值相等)

    (1)蘋果與橘子的每畝收入分別是多少?

    (2)甲、乙兩戶果農(nóng)計(jì)劃合租30畝農(nóng)田來(lái)種植蘋果與橘子。經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,要求蘋果的種植面積大于橘子的種植面積(兩種水果的種植面積都是整數(shù)畝)。當(dāng)?shù)卣畬?duì)種植蘋果的果農(nóng)給予補(bǔ)貼,種植蘋果的面積不超過(guò)15畝的部分,每畝補(bǔ)貼100元;超過(guò)15畝但不超過(guò)20畝的部分,每畝補(bǔ)貼200元;超過(guò)20畝的部分每畝補(bǔ)貼300元。為了讓總收入不低于[127 500]元,他們應(yīng)如何確定方案?

    分析:(1)設(shè)蘋果每畝的平均收入為[x]元,橘子每畝的平均收入為[y]元,

    由題意得[5x+3y=33 500,3x+7y=43 500,]解得[x=4 000,y=4 500。]

    (2)設(shè)種植蘋果[m]畝,那么種植橘子[(30-m)]畝,于是[m>30-m],即 [m>15]。

    當(dāng)[15

    [w=4 000m+4 500×(30-m)+15×100+(m-15)×200≥127 500 ],解得[15

    當(dāng)[m>20]時(shí),他們的總收入為

    [w=4 000m+4500×(30-m)+15×100+5×200+ (m-20)×300≥127 500]。

    由此解得[m≤20],不合題意。

    綜上所述,種植方案如下:

    點(diǎn)評(píng):這類問(wèn)題一般有兩問(wèn),第一問(wèn)只需根據(jù)題意列出方程或方程組,然后解方程即可得到答案,而第二問(wèn)一般與不等式有關(guān),建立不等式后還要注意自變量的取值范圍。這類問(wèn)題一般出現(xiàn)在方案設(shè)計(jì)和最優(yōu)方案選擇型的問(wèn)題中,難度一般。

    二、函數(shù)、方程與不等式模型

    函數(shù)、方程和不等式在數(shù)學(xué)中是密不可分的。在函數(shù)類應(yīng)用題中,通常考查函數(shù)、方程和不等式的綜合應(yīng)用。對(duì)于這類應(yīng)用題,一般可先建立方程或不等式,再建立函數(shù)關(guān)系,最后確立自變量的取值范圍。建立方程或不等式是解決這類應(yīng)用題的基礎(chǔ),而確定自變量的范圍則是解題的關(guān)鍵。

    [例2]有一種成本價(jià)為50元的商品在一大型商場(chǎng)試銷,規(guī)定在試銷期間單價(jià)不低于成本價(jià),且利潤(rùn)不得高于40%。在銷售幾天后有人發(fā)現(xiàn),這種商品的銷售量[y]與銷售單價(jià)[x]之間存在著一次函數(shù)關(guān)系(如圖1所示)。

    (1)請(qǐng)求出銷售量[y](個(gè))關(guān)于銷售單價(jià)[x](元)的解析式。

    (2)如果該商場(chǎng)銷售這種商品的利潤(rùn)是[Q]元,那么利潤(rùn)[Q](元)與銷售單價(jià)[x] (元)之間有怎樣的關(guān)系?試用函數(shù)式表達(dá);當(dāng)[x]為何值時(shí),該商場(chǎng)獲利最大?最大利潤(rùn)是多少?

    (3)如果該商場(chǎng)試銷該商品所獲利潤(rùn)不低于600元,請(qǐng)求出銷售單價(jià)[x]的取值范圍。

    分析:(1)設(shè)[y=kx+b],由題意得[55k+b=65,60k+b=60,] [?k=-1,b=120,]

    故所求函數(shù)的解析式是[y=-x+120]。

    (2)由題意知,利潤(rùn)[Q]與銷售單價(jià)[x]的函數(shù)解析式為[Q=(x-50)(-x+120)=-x2+170x-6 000],

    [Q=-x2+170x-6 000=- (x-85)2+1 225]。

    又[x≥50,? ? ? ? ? ? ? ?x-5050≤40%,]即[50≤x≤70]。

    因?yàn)閇a=-1<0],故對(duì)稱軸左邊的[y]的值隨著[x]值的增大而增大,所以[x=70]時(shí),這個(gè)商店獲利最大,獲得的最大利潤(rùn)是[Q=1 000]元。

    (3)由題意知,[Q=- (x-85)2+1 225≥600],解得[60≤x≤110]。

    由獲利不得高于[40%]得[x-5050≤40%],解得[x≤70],故[x]的取值范圍是[60≤x≤70]。

    點(diǎn)評(píng):本題雖然考查知識(shí)點(diǎn)較多,但解決問(wèn)題的重點(diǎn)還是在于根據(jù)題意列式。

    三、函數(shù)模型

    函數(shù)模型主要包括一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型和分段函數(shù)模型。利用函數(shù)模型可以解決許多問(wèn)題,如最值問(wèn)題、決策問(wèn)題等。函數(shù)類應(yīng)用題的解題應(yīng)明確兩點(diǎn):一是如何建模,二是如何根據(jù)自變量的實(shí)際意義和函數(shù)的性質(zhì)做出正確決策。5C49615E-33DD-4F5F-A3FC-DF23295FDB88

    [例3]人民商場(chǎng)為某殘疾人福利廠代銷一種新產(chǎn)品,當(dāng)該新產(chǎn)品每件售價(jià)定為260元時(shí),每月銷售了45件。該商場(chǎng)為了獲得更高的利潤(rùn),計(jì)劃以降價(jià)形式搞促銷。商場(chǎng)領(lǐng)導(dǎo)走訪市場(chǎng)并分析發(fā)現(xiàn):月銷售量與售價(jià)成一次函數(shù)關(guān)系,且滿足下表所示的對(duì)應(yīng)關(guān)系。綜合考慮各種因素,每售出一件新產(chǎn)品,共需支付廠家及其他費(fèi)用100元。設(shè)當(dāng)每件定價(jià)為[x]元時(shí),該商場(chǎng)的月利潤(rùn)為[y]元。

    [售價(jià) 250元 240元 銷售量 52.5件 60件 ]

    (1)當(dāng)每件定價(jià)為220元時(shí),試計(jì)算此時(shí)的月銷售量;

    (2)請(qǐng)求出[y]與[x]之間的函數(shù)表達(dá)式;

    (3)人民商場(chǎng)要獲取最大月利潤(rùn),新產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少?

    (4)王灣說(shuō):“如果月商場(chǎng)利潤(rùn)最大,那么月銷售額也最大。”這種說(shuō)法正確嗎?請(qǐng)說(shuō)出你的觀點(diǎn)。

    分析:(1)月銷售量與售價(jià)成一次函數(shù)關(guān)系,設(shè)銷售量為[p=kx+b],將(250,52.5)和(240,60)代入,就可算得[k=-0.75],[b=240],所以[p=-0.75x+240]。于是當(dāng)[x=220]時(shí),[p=-0.75×220+240=75],所以當(dāng)每件售價(jià)是220元時(shí),此時(shí)的月銷售量為75件。

    (2)由題意得[y=(x-100)(-0.75x+240)],即[y=-34x2+315x-24 000]。

    (3)[y=-34x2+315x-24 000=-34(x-210)2+9 075]。

    因?yàn)閇x>100],所以該店要獲得的月利潤(rùn)最大,該新產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定價(jià)為210元。

    (4)王灣說(shuō)得不正確。原因是當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí),[x]等于210元,而對(duì)于月銷售額[W=x45+(260-x)÷10×7.5=–34(x–160)2+19 200]來(lái)說(shuō),因?yàn)閇x>100],所以當(dāng)[x]等于160元時(shí),月銷售額[W]最大。因?yàn)楫?dāng)[x]等于210元時(shí),月銷售額[W]不是最大,所以王灣的說(shuō)法不正確。

    點(diǎn)評(píng):本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。確立函數(shù)關(guān)系式一般有兩種方法,一種是待定系數(shù)法,如第(1)問(wèn);另一種是直接根據(jù)題意寫出函數(shù)關(guān)系式,如第(2)問(wèn)。對(duì)于最值問(wèn)題,建立二次函數(shù)模型后,可利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合自變量的取值范圍來(lái)求。

    四、直角三角形模型

    對(duì)于生活中的一些測(cè)量問(wèn)題,一般可通過(guò)建立直角三角形模型來(lái)求解,在求解過(guò)程中經(jīng)常會(huì)用到幾何知識(shí),如三角形全等、三角形相似等。

    (一)仰角俯角問(wèn)題

    仰角俯角主要在測(cè)量大型建筑物的高度時(shí)應(yīng)用,因?yàn)榇笮徒ㄖ锏捻敳恳话悴灰椎竭_(dá),但是在地面某個(gè)位置可以看到它,利用測(cè)角儀測(cè)出此時(shí)的仰角,以及它與建筑物的水平距離,就可以求得它的高度,這里一般應(yīng)用正切函數(shù)。無(wú)論是仰角還是俯角,都是指視線與水平線的夾角。

    [例4]如圖2,一旗桿[EF]位于樓[AB]與樓[CD]之間,從[AB]頂部[A]點(diǎn)處經(jīng)過(guò)旗桿頂部[E]點(diǎn)恰好看到樓[CD]的底部[D]點(diǎn),且俯角為45°,從樓[CD]頂部[C]點(diǎn)處經(jīng)過(guò)旗桿頂部[E]點(diǎn)恰好看到樓[AB]的[G]點(diǎn),BG =1米,且俯角為30°,若樓[AB]高為20米,請(qǐng)求出旗桿[EF]的高度。([3≈1.73],計(jì)算結(jié)果精確到1米)

    分析:過(guò)點(diǎn)[G]作[GP⊥CD]于點(diǎn)[P],與[EF]相交于點(diǎn)[H]。設(shè)[EF=x]米,則依據(jù)題意可知,[FH=GB=] 1米,[EH=EF-FH=(x-1)]米。又因?yàn)閇∠BAD=∠ADB=45]°,所以[FD=EF=x]米,[AB=BD=20]米, 在[Rt△GEH]中,[∠EGH=30]°,于是[tan∠EGH=EHGH],即[33=x-120-x],解得[x=193-172≈8] 米。故旗桿[EF]的高度大約是8米。

    點(diǎn)評(píng):在這類問(wèn)題中,往往圖中沒(méi)有出現(xiàn)直角三角形,這時(shí)應(yīng)先考慮添加輔助線,作有關(guān)線段的垂線,將斜三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題。解答這類問(wèn)題一般用到勾股定理、三角函數(shù)的定義以及平面幾何的相關(guān)知識(shí)。

    (二)坡度坡角問(wèn)題

    斜坡有一定的傾斜度,這個(gè)傾斜度就叫作坡度。如何從數(shù)值區(qū)分兩個(gè)坡面的傾斜度呢?我們用坡面的鉛直高度與水平寬度的比,作為坡面的坡度,同時(shí)把坡面與水平面的夾角,叫作坡角。斜坡的坡面距離是可以測(cè)量的,但是求小山的鉛直高度需要用到坡角,或者當(dāng)已知斜坡的坡度時(shí),也可以算出坡角,從而算出其他相關(guān)的量。

    [例5]2020年5月27日,2020珠峰高程測(cè)量登山隊(duì)成功登頂珠穆朗瑪峰完成峰頂測(cè)量任務(wù)。受此消息鼓舞,某數(shù)學(xué)小組開(kāi)展了一次測(cè)量小山高度的活動(dòng)。如圖3,該數(shù)學(xué)小組從地面[A]處出發(fā),沿坡角為53°的山坡[AB]直線上行350米到達(dá)[B]處,再沿著坡角為22°的山坡[BC]直線上行600米到達(dá)[C]處,求小山的高度[CD]及該數(shù)學(xué)小組行進(jìn)的水平距離[AD](結(jié)果精確到1米)。(參考數(shù)據(jù):[sin22°≈0.37],[cos22°≈0.93],[sin53°≈0.8],[cos53°≈0.6])

    分析:如圖4所示,過(guò)點(diǎn)[B]作[CD]的垂線[BE],作[AD]的垂線[BH],垂足分別是點(diǎn)[E]、[H],根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊形是矩形,得四邊形[BEDH]是矩形,所以[DE=BH],[BE=DH],在直角[△BCE]中,[BC=600]米,[∠CBE=22°],根據(jù)正弦定義,得[CE=BC·sin22°≈600×0.37=222](米),根據(jù)余弦定義得[BE=BC·cos22°≈600×0.93=558](米),所以[DH=BE=558](米)。

    因?yàn)閇AB=350]米,所以在[Rt△ABH]中,[∠BAH=53°],由正弦定義得[BH=AB·sin53°≈350×0.8=280](米),由余弦定義,得[AH=AB·cos53°≈350×0.6=210 ](米),所以[CD=CE+DE=CE+BH=222+280=502 ](米),[AD=AH+DH=210+558=768 ](米)。

    點(diǎn)評(píng):本題相當(dāng)于把四邊形[ABCD]切分為一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形,然后分別解兩個(gè)直角三角形。在每個(gè)直角三角形中,利用正弦或余弦定義,求得對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng),從而求得總長(zhǎng)度。

    從以上的實(shí)例分析可以看出,解應(yīng)用題,首先應(yīng)找準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型,建立數(shù)學(xué)模型,解出有關(guān)數(shù)據(jù),再將其還原成實(shí)際問(wèn)題,最后得出結(jié)論,回答問(wèn)題。

    [? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

    [1]? 唐蓉. 初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題分析與教學(xué)策略研究[D].重慶:西南大學(xué),2020.

    [2]? 涂鳳寧.核心素養(yǎng)立意下的中考應(yīng)用題發(fā)展[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué),2019(10):38-39.

    [3]? 李林.中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題探究[J].課程教材教學(xué)研究(中教研究),2019(Z2):61-64.

    [4]? 陳巧未.關(guān)于解答初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的幾點(diǎn)思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2019(8):56-57.

    (責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān))5C49615E-33DD-4F5F-A3FC-DF23295FDB88

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