差分組合模型在BDS衛(wèi)星鐘差預(yù)測中的應(yīng)用

王建敏，李 特，呂 楠，馮 源

（遼寧工程技術(shù)大學(xué) 測繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧 阜新 123000）

0 引言

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system, GNSS）是一種基于衛(wèi)星星座的空基無線電導(dǎo)航定位系統(tǒng)，其建立和應(yīng)用是世界大國的高精技術(shù)競爭的重點(diǎn)之一。為建設(shè)世界一流的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，更好地為全球用戶提供可靠有效的基礎(chǔ)服務(wù)，我國于1994年開始自主研發(fā)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BeiDou navigation satellite system, BDS），截止到2020年6月23日，北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)即北斗三號（BeiDou-3 navigation satellite system, BDS-3）最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火升空，至此北斗三號基本全部建成。作為一種基于時(shí)間測量的系統(tǒng)，BDS導(dǎo)航定位等服務(wù)精度和實(shí)時(shí)性均受到時(shí)間精度的影響，而衛(wèi)星鐘差獲取的滯后性，對BDS的應(yīng)用造成了較大影響，因此，利用衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)建模并進(jìn)行預(yù)報(bào)，具有非常重要的意義和價(jià)值。

目前，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種鐘差預(yù)測方法和模型，如二次多項(xiàng)式模型、灰色模型、自回歸滑動平均模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型及卡爾曼濾波模型等。文獻(xiàn)[7]采用求和自回歸滑動平均（autoregressive integrated move average, ARIMA）模型對衛(wèi)星鐘差建模預(yù)報(bào)，同時(shí)，利用動態(tài)精密單點(diǎn)定位分析確定最優(yōu)建模時(shí)長和最優(yōu)預(yù)報(bào)時(shí)長，得到ARIMA模型在 GNSS鐘差短期預(yù)報(bào)中，精度可達(dá) 2.5 ns以下的結(jié)論。文獻(xiàn)[8]將遺忘因子最小二乘法和系數(shù)優(yōu)化因子引入灰色模型（gray model, GM）中，構(gòu)成PGM（1,1）模型，有效提高了模型在鐘差預(yù)測中的自適應(yīng)能力。文獻(xiàn)[9]將限制幅度值和預(yù)測懲罰機(jī)制加入反向傳播（back propagation, BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，提高了氫原子鐘的鐘差預(yù)測精度。文獻(xiàn)[10]采用指數(shù)平滑法對精密鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)，實(shí)現(xiàn)了少數(shù)據(jù)建模高精度預(yù)報(bào)的目的。

然而，以上鐘差研究多數(shù)以全球定位系統(tǒng)（global positioning system, GPS）數(shù)據(jù)為實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)，對BDS衛(wèi)星鐘差預(yù)測的研究相對較少；此外，現(xiàn)有的研究在進(jìn)行GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)時(shí)，時(shí)長大多為中長期并且模型易受數(shù)據(jù)自身特性影響，如ARIMA模型要求序列為穩(wěn)定序列，對鐘差數(shù)據(jù)質(zhì)量要求過高；灰色模型僅適用于預(yù)測少量數(shù)據(jù)，使得誤差積累嚴(yán)重。

為解決上述問題，更好地為導(dǎo)航定位授時(shí)等服務(wù)提供數(shù)據(jù)支持，本文結(jié)合BDS衛(wèi)星鐘特點(diǎn)，在進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理的基礎(chǔ)上，對灰色模型、廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和組合模型短期預(yù)報(bào)情況進(jìn)行對比分析實(shí)驗(yàn)，探討B(tài)DS衛(wèi)星鐘差預(yù)測方法，并對其預(yù)測精度進(jìn)行比較分析。

1 單一預(yù)測模型

1.1 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

徑向基函數(shù)（radial basis function, RBF）是在解決多維空間插值時(shí)被提出的標(biāo)量函數(shù)。1988年，文獻(xiàn)[11-12]在生物神經(jīng)元局部響應(yīng)原理基礎(chǔ)上，將RBF與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，由此形成了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過映射關(guān)系，將輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)至隱含層空間，在由基函數(shù)所構(gòu)成的空間中，對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性變換，然后將隱含層神經(jīng)單元進(jìn)行加權(quán)組合，最后結(jié)果由輸出層輸出。

在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，需要訓(xùn)練的參數(shù)有隱含層中基函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，隱含層中基函數(shù)的中心和隱含層與輸出層的權(quán)值。同時(shí)，為保證網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的穩(wěn)定性，RBF核函數(shù)一般選取高斯函數(shù)，具體形式為

式中：(?c)為高斯函數(shù)輸出，為網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)；x為輸入向量；c為激活函數(shù)中心向量；為方差；e為自然常數(shù)。

基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的鐘差預(yù)測方法，具體流程如下：

1）計(jì)算隱含層中基函數(shù)中心。對輸入鐘差序列進(jìn)行分類，計(jì)算個(gè)隨機(jī)鐘差樣本與其他樣本的歐式距離，將距離相近的樣本組成集合，計(jì)算各個(gè)集合的平均值，當(dāng)平均值與預(yù)計(jì)中心樣本值相同時(shí)，則該樣本被認(rèn)為是基函數(shù)的中心，若不相同，需重新分類并重復(fù)上述計(jì)算，直至二者相同。

2）計(jì)算隱含層中基函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。為防止RBF出現(xiàn)太尖或太平的情況，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的公式為

式中，是所選中心最大距離。

3）采用最小二乘法計(jì)算隱含層與輸出層間的連接權(quán)值，即

式中：w為隱含層與輸出層之間的權(quán)值；為中心向量的最大值。

4）計(jì)算RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出鐘差，即

1.2 廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（general regression neural network, GRNN）是建立在非參數(shù)回歸的基礎(chǔ)上，以最大概率為原則計(jì)算網(wǎng)絡(luò)輸出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，GRNN的結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，由四層組成，分別為輸入層、隱含層、加和層和輸出層。其隱含層為RBF層，神經(jīng)元個(gè)數(shù)與訓(xùn)練的良性樣本個(gè)數(shù)一致，基函數(shù)采用高斯函數(shù)，表達(dá)式見式（1）?；贕RNN模型預(yù)測鐘差，具體流程如下：

1）輸入個(gè)鐘差數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)樣本x，將其傳遞給隱含層。

2）隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)與鐘差學(xué)習(xí)樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)一致。神經(jīng)元的輸出量用輸入與對應(yīng)樣本的歐式距離的平方指數(shù)形式表示，即

式中：()為隱含層輸出；為對應(yīng)樣本；X為第個(gè)神經(jīng)元的輸入鐘差；為平滑因子。

3）隱含層輸出鐘差流入加和層，兩類神經(jīng)元進(jìn)行代數(shù)求和與加權(quán)求和，其表達(dá)式為

式中：S為代數(shù)和輸出；S為加權(quán)和輸出；y為神經(jīng)元間權(quán)值。

4）利用加和層數(shù)據(jù)計(jì)算鐘差輸出值，即

2 組合預(yù)測模型

由于單一預(yù)測模型預(yù)測誤差較大且預(yù)測數(shù)據(jù)發(fā)散，故將多個(gè)單一模型進(jìn)行線性組合，為消除單一預(yù)測模型殘差序列中數(shù)值小且絕對值大對組合過程中所造成的影響，組合模型的指標(biāo)為最小絕對值殘差。組合模型的表達(dá)式為

式中：()為組合模型預(yù)測序列；()為構(gòu)成組合模型的單一模型的預(yù)測序列；,,…,k為單一模型權(quán)重；是單一模型的個(gè)數(shù)。

在鐘差預(yù)測中，將預(yù)處理后的鐘差序列{x}進(jìn)行一次差分得到差分序列{}，分別采用 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和 GRNN模型對鐘差差分?jǐn)?shù)據(jù)建模預(yù)報(bào)，然后對單一模型預(yù)測數(shù)據(jù)作差分重構(gòu)，最后通過基于最小殘差絕對值法對鐘差預(yù)測結(jié)果進(jìn)行組合，其表達(dá)式為

式中：()為組合模型預(yù)測鐘差值；()為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測鐘差值；()為GRNN模型預(yù)測鐘差值；、為系數(shù)。當(dāng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型殘差絕對值大于 GRNN模型時(shí)，取值為 0，取值為 1；當(dāng) RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型殘差絕對值小于GRNN模型時(shí)，取值為1，取值為0；當(dāng)兩個(gè)模型殘差絕對值相同時(shí)，、為任意實(shí)數(shù)且∈ [ 0,1]，∈ [ 0,1]，+= 1。圖1為組合模型的預(yù)報(bào)流程圖。

圖1 組合模型預(yù)報(bào)流程

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

為驗(yàn)證組合模型在鐘差短期預(yù)測中的可行性，采用 2019-09-13 T 05:00:00—2019-09-14 T 05:00:00共24 h的BDS精密衛(wèi)星鐘差作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中前12 h作為建模數(shù)據(jù)，后12 h作為驗(yàn)證數(shù)據(jù)。限于文章篇幅，本文僅對C26、C28、C29、C30衛(wèi)星預(yù)測結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)闡述。

3.2 實(shí)驗(yàn)方案

1）分別采用GRNN模型、GM（1,1）模型和組合模型預(yù)測時(shí)長為6 h的鐘差數(shù)據(jù)。

2）分別采用GRNN模型、GM（1,1）模型和組合模型預(yù)測時(shí)長為12 h的鐘差數(shù)據(jù)。

3.3 數(shù)據(jù)預(yù)處理

由于衛(wèi)星鐘差的原始數(shù)據(jù)不同于常規(guī)時(shí)間序列數(shù)據(jù)，其隸屬于相位數(shù)據(jù)，粗差往往隱藏于鐘差序列中，粗差的存在將降低衛(wèi)星鐘預(yù)測的精度，因此本文采用中位數(shù)法進(jìn)行粗差探測，具體公式為

式中：為歷元個(gè)數(shù)；為相位數(shù)據(jù)；y為頻率數(shù)據(jù)；Δ為采樣間隔；median為中位數(shù)運(yùn)算符；為頻率數(shù)據(jù)序列的中位數(shù)；為正整數(shù)；為頻率序列偏差絕對值的中位數(shù)。

由式（12）可知，當(dāng)頻率數(shù)據(jù)的絕對值小時(shí)，該數(shù)據(jù)為正常數(shù)據(jù)；當(dāng)頻率數(shù)據(jù)的絕對值大時(shí)，該數(shù)據(jù)被定義為粗差。故建模前需對粗差頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行剔除，同時(shí)為保證數(shù)據(jù)完整性，采用分段線性插值法補(bǔ)齊頻率數(shù)據(jù)，本文以C26和C28為例，結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 C26頻率數(shù)據(jù)

圖3 C28頻率數(shù)據(jù)

從圖2、圖3可以得出，中位數(shù)法可以將粗差從正常數(shù)據(jù)中分離，能夠達(dá)到粗差探測的目的。在粗差探測有效的基礎(chǔ)上，確定原始鐘差序列中粗差的歷元位置，并利用分段線性插值補(bǔ)齊數(shù)據(jù)，從而保證鐘差序列的完整性。

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與精度評定

采用方案1與方案2對12 h采樣率5 min的鐘差數(shù)據(jù)建模，預(yù)測接下來6 h、12 h的鐘差。本文采用殘差絕對值（residual absolute value, RAV）和均方根誤差（root mean square, RMS）作為評定模型的精度指標(biāo)，其計(jì)算公式為

式中：x為鐘差真實(shí)數(shù)據(jù)；?為鐘差預(yù)測數(shù)據(jù)；為歷元個(gè)數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4至圖11，表1、表2所示。

圖4 C26殘差絕對值

圖5 C26均方根值

通過圖4至圖11、表1及表2可知：

表1 BDS精密衛(wèi)星鐘差殘差絕對值預(yù)報(bào)結(jié)果

表2 BDS精密衛(wèi)星鐘差均方根值預(yù)報(bào)結(jié)果

圖11 C30均方根值

1）GRNN模型、GM（1,1）模型和組合模型均可應(yīng)用于BDS精密衛(wèi)星鐘差短期預(yù)測，組合模型預(yù)測精度優(yōu)于GM（1,1）模型和GRNN模型。其中 C29的單一模型預(yù)報(bào)精度較差，但組合模型精度仍達(dá)到亞納秒級，具有較好的穩(wěn)健性。除C29以外，兩種模型預(yù)報(bào)精度都達(dá)到了亞納秒級。隨著預(yù)測時(shí)長的增加，預(yù)測誤差均隨之增加，但組合模型采用最小絕對值殘差的方式，有效降低了誤差增量，使得組合模型的誤差增量遠(yuǎn)小于單一模型，且預(yù)測數(shù)據(jù)平滑，穩(wěn)定性強(qiáng)。

圖6 C28殘差絕對值

圖7 C28均方根值

圖8 C29殘差絕對值

圖9 C29均方根值

圖10 C30殘差絕對值

2）歷元個(gè)數(shù)與預(yù)報(bào)精度呈現(xiàn)正相關(guān)，隨著歷元個(gè)數(shù)增大，預(yù)報(bào)誤差也逐漸增大。GM（1，1）模型受歷元個(gè)數(shù)的影響最大，誤差波動明顯，GRNN模型受歷元個(gè)數(shù)影響次之，而組合模型穩(wěn)定最優(yōu)，歷元個(gè)數(shù)增大后，誤差無明顯變化。對比單一模型，在殘差絕對值的精度指標(biāo)下，在預(yù)報(bào)時(shí)長為 6 h時(shí)，組合模型的平均預(yù)測精度的分別提高了 22.39%和 92.56%；當(dāng)預(yù)報(bào)時(shí)長為 12 h時(shí)，組合模型的平均預(yù)測精度的分別提高了91.37%和87.80%。在均方根值的精度指標(biāo)下，當(dāng)預(yù)報(bào)時(shí)長為6 h時(shí)，組合模型的預(yù)測精度的分別提高了37.75%和52.27%；當(dāng)預(yù)報(bào)時(shí)長為12 h時(shí)，組合模型的平均預(yù)測精度的分別提高了 90.19%和67.11%。

3）在衛(wèi)星鐘差6 h和12 h的預(yù)報(bào)中，GM（1,1）模型的預(yù)測精度最差，平均預(yù)報(bào)精度在 1.5 ns以上，且數(shù)據(jù)具有較大的波動性，在4 h左右誤差達(dá)到最大，模型穩(wěn)定性差。在 GRNN模型與組合模型的預(yù)測結(jié)果中，殘差絕對值和均方根誤差均隨著歷元個(gè)數(shù)的增加而增加，且誤差增加幅度遠(yuǎn)小于 GM（1,1）模型，除 C29衛(wèi)星外，預(yù)測時(shí)長在0~5 h時(shí)，組合模型受 GRNN模型影響較大，故GRNN模型與組合模型預(yù)測誤差相差不大，但在5 h之后，組合模型受RBF模型影響較大，故組合模型誤差增加幅度小于 GRNN模型，且組合模型的模型穩(wěn)定性好，預(yù)報(bào)精度明顯優(yōu)于單一模型，在預(yù)報(bào)時(shí)長為6 h時(shí)，誤差在0.5 ns以內(nèi)，當(dāng)預(yù)報(bào)時(shí)長為12 h時(shí)，誤差在0.6 ns以內(nèi)。

4 結(jié)束語

為解決鐘差預(yù)測單一模型預(yù)報(bào)精度低、適應(yīng)性差等問題，本文提出基于最小殘差絕對值的差分組合預(yù)測模型，該組合模型將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效結(jié)合，提高了模型的適應(yīng)性。同時(shí)，在鐘差建模之前，通過對數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，剔除粗差數(shù)據(jù)并用分段線性插值法對數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)齊，以保證數(shù)據(jù)的完整性。最后，模型采用差分鐘差數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，提高了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比灰色模型和廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，差分組合模型在鐘差預(yù)測中具有較大的優(yōu)越性和適應(yīng)性，且模型預(yù)測精準(zhǔn)度更高。