有色噪聲下的MUSIC抗干擾算法

祝兆文，郎榮玲

（北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100191）

0 引言

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system, GNSS）憑借其全球性、全天候、高精度的導(dǎo)航定位能力，在軍事領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。但衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)本身所固有的脆弱性，使其易受有意或無意的干擾，因此衛(wèi)星導(dǎo)航抗干擾技術(shù)成為了取得軍事優(yōu)勢(shì)的重要手段?；谧赃m應(yīng)天線陣的空域抗干擾技術(shù)，以其自適應(yīng)能力強(qiáng)、硬件易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)成為衛(wèi)星導(dǎo)航抗干擾領(lǐng)域的研究重點(diǎn)。

空域抗干擾技術(shù)主要包括功率倒置方法（power inversion, PI）、多重信號(hào)分類方法（multiple signal classification, MUSIC）、最小方差無畸變（minimum variance distortionless response,MVDR）波束形成算法等。基于噪聲子空間的MUSIC算法，以能識(shí)別空間中多個(gè)信號(hào)、超分辨率特性、不需要先驗(yàn)信息等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用到信號(hào)波達(dá)角（direction of arrival, DOA）的估計(jì)中。由于算法中干擾信號(hào)子空間和噪聲子空間相互正交，且衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)淹沒于噪聲之下，這也為衛(wèi)星導(dǎo)航抗干擾領(lǐng)域應(yīng)用 MUSIC算法提供了理論基礎(chǔ)。MUSIC算法模型要求噪聲信號(hào)為零均值的高斯白噪聲并且各通道間的噪聲互不相關(guān)。在實(shí)際中，由于環(huán)境、濾波器的通帶范圍限制、各器件非理想的頻率響應(yīng)等因素的影響，噪聲信號(hào)往往為有色噪聲，這會(huì)嚴(yán)重影響MUSIC抗干擾算法的性能。

為了消除有色噪聲對(duì)子空間分解帶來的負(fù)面影響，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出了一些解決方法。由于MUSIC算法利用接收信號(hào)的二階統(tǒng)計(jì)特性，對(duì)于非高斯信號(hào)，二階矩不能完全描述其統(tǒng)計(jì)特性。利用這一性質(zhì)，文獻(xiàn)[9-11]提出并分析了基于高階累積量的類MUSIC方法。此種方法一般利用四階累積量構(gòu)成高階矩，取代原始MUSIC算法中的協(xié)方差矩陣。通過仿真分析，類MUSIC方法在抑制有色噪聲方面有著良好的性能，同時(shí)也能擴(kuò)展陣列孔徑、校正陣列誤差。但類MUSIC算法有著龐大的計(jì)算量，且要求很大的快拍數(shù)和很高的信噪比，否則會(huì)導(dǎo)致噪聲特征值的分布范圍發(fā)散，目前在實(shí)際應(yīng)用中其性能受限。由于有意的干擾信號(hào)往往會(huì)在時(shí)間維度上表現(xiàn)出周期平穩(wěn)特性，而噪聲的統(tǒng)計(jì)特性一般是非時(shí)變的。因此對(duì)于周期平穩(wěn)的干擾信號(hào)，文獻(xiàn)[12-13]提出了利用信號(hào)譜相關(guān)特性的循環(huán)MUSIC算法。此種方法利用循環(huán)相關(guān)矩陣替代原始MUSIC算法中的協(xié)方差矩陣，能夠有效分辨干擾信號(hào)與白噪聲、擴(kuò)展陣列孔徑。由于有色噪聲與理想噪聲的區(qū)別，具體表現(xiàn)在其協(xié)方差矩陣的形式，因此，對(duì)角加載方法也是一種有效且實(shí)用的補(bǔ)償方法，其中加載量的選取是影響補(bǔ)償效果的關(guān)鍵。文獻(xiàn)[14]研究了對(duì)角加載方法對(duì)協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差的影響，從仿真實(shí)驗(yàn)的角度得出，對(duì)角加載技術(shù)使得協(xié)方差矩陣的特征值分布范圍變小、使波束旁瓣幅度變低。文獻(xiàn)[15]針對(duì)導(dǎo)向矢量幅相誤差問題研究了對(duì)角加載技術(shù)，其通過計(jì)算輸出信號(hào)的信干噪比，在理論上給出了最佳加載量的表達(dá)式。文獻(xiàn)[16]分析了對(duì)角加載對(duì)陣列信干噪比的影響，通過大量的模擬計(jì)算，給出了與信源數(shù)和波束旁瓣功率相關(guān)的加載量經(jīng)驗(yàn)公式。上述三篇文獻(xiàn)中的對(duì)角加載技術(shù)針對(duì)強(qiáng)信號(hào)的采樣矩陣求逆（sample matrix inversion, SMI）的波束形成方法，并不能直接適用于有用弱信號(hào)的衛(wèi)星導(dǎo)航抗干擾應(yīng)用場(chǎng)景和基于特征子空間的MUSIC方法，但它們?yōu)榭垢蓴_技術(shù)中加載量大小的選取提供了切實(shí)可行的思路。

本文在衛(wèi)星導(dǎo)航抗干擾的應(yīng)用背景下，研究了有色噪聲下的MUSIC抗干擾算法。首先從理論和仿真實(shí)驗(yàn)的角度，分析了有色噪聲對(duì)MUSIC抗干擾算法的影響。在此基礎(chǔ)上，使用對(duì)角加載方法改善有色噪聲條件下的MUSIC抗干擾性能，并分析了對(duì)角加載方法對(duì)MUSIC抗干擾算法的影響。最后給出了最優(yōu)加載量的選取原則。

1 有色噪聲對(duì)MUSIC抗干擾算法的影響

1.1 理論分析

假設(shè)陣列天線由個(gè)陣元組成，空間中有（<）個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)干擾信號(hào)入射至陣列。于是第（= 1 ,2,… ,）個(gè)陣元的接收信號(hào)()為

式中：為自然常數(shù)，j為虛數(shù)單位；Δφ為第（= 1 ,2,… ,）個(gè)干擾信號(hào)()到達(dá)第個(gè)陣元時(shí)的相位差；()為第個(gè)陣元接收到的噪聲信號(hào)。由于衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)功率很弱，淹沒于噪聲之下，因此這里噪聲序列()中包含了衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)()。

根據(jù)式（1），天線陣列接收信號(hào)可表示為

式中：陣列接收信號(hào)() = [(),() , … ,()]，干擾信號(hào)() = [() ,() , … ,()]，陣列接收噪聲信號(hào)() = [(),() , … ,()]，干擾信號(hào)到達(dá)陣列時(shí)，相位差構(gòu)成的導(dǎo)向矢量矩陣為

MUSIC抗干擾算法中，假設(shè)噪聲()具有以下性質(zhì)：

1）各通道噪聲服從均值為0、方差為的高斯分布；

2）各通道噪聲是白噪聲，即噪聲的功率譜密度恒定，其均值為常數(shù)且自相關(guān)矩陣在時(shí)間上不相關(guān)；

3）各通道噪聲之間互不相關(guān)。

根據(jù)性質(zhì)1）和性質(zhì)2）可得

根據(jù)性質(zhì)3）可得

根據(jù)式（4）和式（5）可知，陣列接收到的噪聲信號(hào)的協(xié)方差矩陣為一個(gè)對(duì)角陣，即

式中，為單位矩陣。

計(jì)算陣列接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣為

式中，=E[()()]為干擾信號(hào)的協(xié)方差矩陣。

對(duì)陣列接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，其特征值λ（= 1 ,2,…,）滿足

設(shè)協(xié)方差矩陣特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為e（= 1 ,2,… ,）。因此前個(gè)大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成干擾子空間 s pan{,,…,e}，后?個(gè)小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成噪聲子空間span{,,… ,}，且干擾子空間與噪聲子空間互為正交補(bǔ)。取噪聲子空間中任意向量e∈span{, e,… ,}，則有

由于矩陣P正定，因此有

式中，為零矩陣。

由式（10）可知：干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量與噪聲子空間相互正交。由正交補(bǔ)空間的唯一性可知：干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量構(gòu)成干擾子空間，即

MUSIC抗干擾算法取最優(yōu)權(quán)值為

對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行加權(quán)輸出為

由MUSIC抗干擾算法的原理可以看出，白噪聲保證干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量構(gòu)成干擾子空間。因此MUSIC算法利用干擾子空間與噪聲子空間的正交性，取噪聲子空間內(nèi)的向量作為波束形成的權(quán)值，從而達(dá)到消除干擾的功能。

在有色噪聲的情況下，噪聲信號(hào)的協(xié)方差矩陣不再滿足式（4）、式（5）兩式，噪聲協(xié)方差矩陣不再是對(duì)角陣，即

根據(jù)式（9）式，可得

由式（15）可知：有色噪聲使干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量張成的子空間不再與噪聲子空間正交，更不再是干擾子空間。此時(shí)，MUSIC抗干擾算法失效。

1.2 實(shí)驗(yàn)分析

前面從理論上分析了有色噪聲使MUSIC抗干擾算法失效的原因。下面通過仿真實(shí)驗(yàn)，直觀地闡述有色噪聲對(duì)MUSIC抗干擾性能的影響。

實(shí)驗(yàn)中采用四陣元均勻圓陣天線（即=4），其采樣頻率為= 6 2MHz 。由于衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)功率一般小于噪聲功率 20 dB，因此這里暫不考慮導(dǎo)航信號(hào)；設(shè)單個(gè)（即=1）單頻干擾信號(hào)的頻率為= 4 6.52MHz，其仰角和方位角為 45°和120°，并令干噪比為50 dB。在上述兩種噪聲條件下的陣列接收信號(hào)協(xié)方差矩陣的特征值分布如表1所示。

表1 不同噪聲條件下的特征值分布

MUSIC算法利用特征值的相對(duì)大小判斷干擾源的個(gè)數(shù)，大特征值被認(rèn)為是屬于干擾子空間的特征值，小特征值被認(rèn)為是屬于噪聲子空間的特征值。在白噪聲條件下，由于各通道噪聲互不相關(guān)且功率相等，屬于噪聲子空間的小特征值的大小近似相等，算法將整個(gè)信號(hào)空間劃分為干擾信號(hào)子空間和噪聲信號(hào)子空間。在 MUSIC抗干擾算法中，可取權(quán)值矢量∈。圖1、圖2分別為 MUSIC波束方向圖和抗干擾后的信號(hào)功率譜圖。

圖1 白噪聲下的抗干擾波束方向

圖2 白噪聲下抗干擾輸出信號(hào)功率譜

由圖1可知：在理想噪聲條件下，抗干擾波束在干擾來向方向上形成了較深的零陷，且在非干擾來向上保持了波束增益的基本恒定；由圖2可知：抗干擾后的信號(hào)功率譜在通帶內(nèi)基本平坦，抗干擾前后的信號(hào)功率基本相等，干擾信號(hào)被抑制。

由圖3和圖4可知：抗干擾波束在干擾來向、仰角為 90°的方向上均形成了非常深的零陷；抗干擾算法輸出信號(hào)的幅度非常小。此時(shí)MUSIC抗干擾算法不僅抑制了干擾信號(hào)，也同時(shí)抑制了導(dǎo)航信號(hào)。

圖3 有色噪聲下的抗干擾波束方向

圖4 有色噪聲下抗干擾輸出信號(hào)功率譜

圖5 改變權(quán)值后，有色噪聲下的抗干擾波束方向

由圖5和圖6可知：MUSIC抗干擾算法的輸出信號(hào)中，干擾被濾除且輸出信號(hào)功率正常。雖然波束方向圖在某個(gè)非干擾來向上也形成了較淺的零陷，但方向圖在其他非干擾方向上保持了波束增益的基本恒定。

圖6 改變權(quán)值后，有色噪聲下的抗干擾輸出信號(hào)功率譜

在衛(wèi)星導(dǎo)航抗干擾的實(shí)際應(yīng)用中，一般未知空間中的信號(hào)分布。因此MUISC算法需要根據(jù)接收信號(hào)協(xié)方差矩陣的特征值大小來判斷干擾子空間與噪聲子空間的維數(shù)，以選取合適的權(quán)值矢量。

綜合以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析，可以得出結(jié)論：有色噪聲并不改變干擾信號(hào)子空間以及干擾子空間與噪聲子空間之間的正交性，它只是改變了噪聲子空間的維數(shù)。

2 有色噪聲下改進(jìn)的MUSIC抗干擾算法

式中：為加載量，且+≈。此時(shí)，新的陣列接收信號(hào)協(xié)方差矩陣的特征值為

從理論的角度來講，矩陣R+的特征向量仍為e，特征值變?yōu)?span id="j5i0abt0b" class="emphasis_italic">λ+。從物理意義上來講，對(duì)角加載技術(shù)是在空間各個(gè)來向上增加了若干個(gè)互相獨(dú)立且功率很小的高斯白噪聲。由于加載噪聲的引入，合成后的等效噪聲接近高斯白噪聲、干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量張成的子空間逼近干擾信號(hào)子空間，因而帶來壓縮噪聲特征值的范圍、改善波束方向圖等好處，且加載量越大，對(duì)抗干擾性能的改善越明顯。

抗干擾算法一方面是為了抑制干擾，同時(shí)也期望輸出信噪比盡可能大。設(shè)天線陣列接收信號(hào)為（表達(dá)式中省略了時(shí)間變量）

式中：、和分別為干擾信號(hào)、衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)和有色噪聲的矩陣；A和A分別為干擾信號(hào)、導(dǎo)航信號(hào)的方向矩陣。將有色噪聲分解為高斯白噪聲與非高斯白噪聲之和，即=+。

于是加載后的協(xié)方差矩陣為

這相當(dāng)于在接收信號(hào)中加入了若干互相獨(dú)立的高斯白噪聲N，對(duì)角加載后的陣列接收信號(hào)為

根據(jù)柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式，有

從式（24）可以看出，對(duì)角加載技術(shù)一定會(huì)降低抗干擾系統(tǒng)的輸出信干噪比，并且加載量越大，輸出信干噪比越低。

綜上所述，對(duì)角加載技術(shù)的關(guān)鍵就在于加載量的選取，加載量的選取應(yīng)考慮在空間分解的準(zhǔn)確性與最大化輸出信干噪比之間取得平衡。

3 最優(yōu)加載量的選取原則

定義加載噪聲比為

仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)置與第1.2節(jié)中相同，在有色噪聲的條件下，分別取上述范圍內(nèi)的不同加載噪聲比，設(shè)步長(zhǎng)為1 dB，得到對(duì)屬于噪聲子空間的小特征值分布的影響，如圖7所示。

圖7 屬于噪聲子空間的特征值的分布范圍隨dLNR的變化曲線

對(duì)角加載可以有效改善小特征值的分布范圍。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知：隨著的增大，噪聲子空間的特征值的大小越統(tǒng)一；在大于10 dB，即加載噪聲功率大于有色噪聲功率的10倍時(shí)，特征值的分布范圍約在1 dB以內(nèi)；在大于15 dB，即加載噪聲功率大于有色噪聲功率的32倍時(shí)，特征值的分布范圍約在0.5 dB以內(nèi)；在大于20 dB，即加載噪聲功率大于有色噪聲功率的100倍時(shí)，小特征值的分布范圍收斂至0。

定義屬于干擾子空間的最小特征值和屬于噪聲子空間的最小特征值之比為

表述了MUSIC抗干擾算法區(qū)分噪聲子空間與干擾信號(hào)子空間的能力。取不同的值，變化步長(zhǎng)為 1 dB，計(jì)算屬于干擾子空間和噪聲子空間的最小特征值之比，如圖8所示。

圖8 η隨dLNR的變化曲線

隨著加載噪聲比的增大，接收信號(hào)協(xié)方差矩陣的最大最小特征值之比逐漸減小，MUSIC抗干擾算法對(duì)于噪聲子空間與干擾信號(hào)子空間的分辨能力逐漸減弱。由于實(shí)驗(yàn)中設(shè)置干噪比為50 dB，因此在圖8中，當(dāng)= 3 0dB 時(shí)，仍有約20 dB的區(qū)分能力。

最后，由于有色噪聲會(huì)抑制抗干擾輸出信號(hào)功率，所以考慮抗干擾輸出信號(hào)功率隨的變化圖像，如圖9所示。

圖9 輸出信號(hào)功率隨dLNR的變化曲線

對(duì)角加載對(duì)抗干擾輸出信號(hào)功率的改善作用明顯，隨著加載噪聲比的增大，輸出信號(hào)功率逐漸增大并收斂至抗干擾前的噪聲功率 ?3 0dB?W 。當(dāng)大于 10 dB時(shí)，抗干擾輸出信號(hào)功率大于? 7 0dB?W ；當(dāng)大于15 dB時(shí)，輸出信號(hào)功率大于?4 0dB?W ，此時(shí)抗干擾前后的噪聲損失功率小于10 dB；當(dāng)大于20 dB時(shí)，輸出信號(hào)功率已經(jīng)收斂。

設(shè)置2個(gè)實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景：

1）場(chǎng)景1。存在單個(gè)單頻干擾信號(hào)，其頻率為f=46.52 M Hz ，其仰角和方位角為45°和120°；

2）場(chǎng)景2。存在2個(gè)單頻干擾信號(hào)，2個(gè)干擾信號(hào)的頻率分別為f=44.52 M Hz和f=48.52 M Hz，其仰角和方位角為45°和120°、60°和200°，其他條件與1.2節(jié)中相同。

在有色噪聲條件下，分別在2個(gè)場(chǎng)景中取加載噪聲比為10、15 dB，畫出MUSIC抗干擾波束方向圖，如圖10、圖11所示。

圖10 場(chǎng)景1（單個(gè)干擾，不同dLNR時(shí)）的抗干擾波束方向

圖11 場(chǎng)景2（多個(gè)干擾，不同dLNR時(shí)）的抗干擾波束方向

從圖10或圖11來看，=15 dB時(shí)的抗干擾波束方向圖在非干擾來向上保持了波束增益的相對(duì)恒定，在仰角為 90°方向上沒有明顯的負(fù)增益，此時(shí)的抗干擾性能更優(yōu)。對(duì)比圖10與圖11：從非干擾方向上的波束增益來看，在有色噪聲條件下，對(duì)角加載后的MUSIC抗干擾算法對(duì)多個(gè)干擾的抑制效果好于對(duì)單個(gè)干擾的抑制效果。

根據(jù)以上分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果：加載噪聲功率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于噪聲功率，即加載噪聲比大于10 dB時(shí)，MUSIC抗干擾性能已有了較大的改善；當(dāng)加載噪聲比大于15 dB時(shí)，MUSIC抗干擾波束方向圖進(jìn)一步優(yōu)化，抗干擾效果更好。另一方面，為了最大化輸出信噪比，應(yīng)越小越好。因此可以選取加載量=10~15 dB，即可滿足大部分應(yīng)用需求。

4 結(jié)束語

本文從理論和實(shí)驗(yàn)的角度分析了有色噪聲對(duì)MUSIC抗干擾算法的影響，以及對(duì)角加載技術(shù)對(duì)MUSIC抗干擾算法的影響，最終給出了最佳加載量的數(shù)值。根據(jù)分析可以得出：

1）對(duì)于MUSIC算法，有色噪聲改變了噪聲子空間的分布，這體現(xiàn)在噪聲特征值的分布范圍擴(kuò)大。它使得干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量張成的子空間不再與噪聲子空間正交，從而影響抗干擾性能。

2）對(duì)于有色噪聲，對(duì)角加載技術(shù)是一種簡(jiǎn)單且有效的改善方法。對(duì)角加載在統(tǒng)一噪聲子空間、改善抗干擾波束方向圖的同時(shí)，也降低了抗干擾輸出信號(hào)的信干噪比。

3）對(duì)于對(duì)角加載方法，當(dāng)加載噪聲比為1~15 dB時(shí)，MUSIC抗干擾波束方向圖已有良好的形狀。因此在實(shí)際工程中，選取加載噪聲比=10~15 dB即可。