基于共軛梯度法辨識鋼渣溫度分布

翟恒東 李利民 楊駿 霍玉峰 鄧思洪 蔣麒麟

（1：中冶寶鋼技術(shù)服務(wù)有限公司 上海 200999；2：武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點實驗室 湖北 武漢 430081；3：武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動與制造工程湖北省重點實驗室 湖北 武漢 430081）

1 前言

渣罐是在冶金環(huán)節(jié)完成之后用來放置剩余高溫爐渣的容器，是冶金企業(yè)生產(chǎn)過程中的關(guān)鍵設(shè)備之一。鋼渣在生產(chǎn)后一直放在渣罐中進(jìn)行冷卻，是非常珍貴的二次資源，由于鋼渣中不同金屬離子結(jié)晶析出所需要的溫度不同，因此鋼渣的溫度對其回收率有著直接影響［1-3］。目前測溫方式主要分為兩類：機(jī)械類測溫和輻射測溫。但機(jī)械類測溫讀數(shù)無法穩(wěn)定，且需要人工現(xiàn)場操作電子探槍，危險系數(shù)極高；輻射測溫基于紅外線進(jìn)行測溫，器件不需要接觸熱源，但此類方式易受外界干擾，測量精度無法保證。

由于傳統(tǒng)測溫方法存在較大弊端，大部分學(xué)者開始將反問題的理論和思想應(yīng)用于傳熱學(xué)研究中，通過反演方法對鋼渣溫度進(jìn)行間接測量。Fan Yang［4］等人通過Tikhonov正則化方法成功解決了利用拋物線方程求解熱源反問題時的不適定性。吳洪潭［5］采用正則化思想研究了非穩(wěn)態(tài)一維線性傳熱反問題，提升了研究結(jié)果的準(zhǔn)確率。Joanna Wrobel［6］等人利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對焊接加熱生產(chǎn)時的熱處理過程進(jìn)行了反向分析，且獲得理想結(jié)果。Hua Wang［7］等人提出了一種利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解熱傳導(dǎo)逆問題的新方法，該方法已成功地應(yīng)用于具有接觸間隙導(dǎo)熱傳熱的背桿傳熱模型。劉梟［8］等人運(yùn)用譜共軛梯度法成功得到了更加真實的地下形態(tài)。卓立軍［9］等人將溫度測量數(shù)據(jù)作為熱源大小識別的反問題模型的輸入?yún)?shù)，使用共軛梯度法研究了燒蝕材料的熱學(xué)參量表征。余遠(yuǎn)鋒［10］等人解決了二維空間跟著坐標(biāo)變換的接觸熱阻的困惑，證實了反演結(jié)果與真實接觸熱阻吻合。馬曉波［11］等人基于共軛梯度算法探究了材料亞表層缺陷深度。但目前還未見對渣罐內(nèi)鋼渣溫度分布進(jìn)行反演的研究。

本文基于傳熱學(xué)反問題，以渣罐外壁溫度為已知信息對冶金渣的溫度散布狀況進(jìn)行反演。通過創(chuàng)建渣罐傳熱數(shù)學(xué)模型，分析不同時刻鋼渣溫度分布情況。并運(yùn)用共軛梯度法（CGM），以局部測量壁溫為輸入值，對渣罐內(nèi)鋼渣溫度散布進(jìn)行反演。該方法避免了傳統(tǒng)測溫方法成本高以及精度不足的問題，為研究鋼渣溫度分布提供了新思路。

2 正問題

2.1 數(shù)學(xué)模型

考慮到渣罐的實際部件構(gòu)造較多，渣罐內(nèi)是熔融狀態(tài)下的熔渣，鋼渣處理時的工序也比較繁瑣。對某12m3的鋼渣罐工作開展以下簡化與假設(shè)：

（1）忽略圓周方向的換熱，將渣罐的傳熱看作二維層面；

（2）圖1為簡化后的正問題鋼渣罐模型。按照鋼渣罐的對稱性取圖1所示的陰影部分作為分析對象；

圖1 簡化渣罐模型

（3）忽略渣罐與鋼渣的接觸熱阻；

（4）鋼渣比熱容不隨溫度變化；

（5）溫度較高的渣罐罐壁因為和空氣的熱對流和熱輻射，其溫度下降較快；

（6）渣罐上沿與外部環(huán)境接觸面積較小，散熱量較小，忽略其導(dǎo)熱作絕熱處理。

2.2 簡化鋼渣罐的數(shù)學(xué)模型

在以上簡化和假設(shè)基礎(chǔ)上建立物理模型，鋼渣罐的導(dǎo)熱過程滿足二維導(dǎo)熱方程：

式中： x，y—計算點的位置；

T—溫度，℃；

λ—鋼渣罐罐壁的導(dǎo)熱系數(shù)，與罐壁的材料有關(guān)，W／m·℃。

對于簡化后的鋼渣罐模型，其傳熱現(xiàn)象可以歸納為熱對流與熱輻射。因此建立的鋼渣罐傳熱系統(tǒng)需滿足以下邊界條件：

邊界既存在對流換熱又存在輻射換熱：

鋼渣罐的外表面復(fù)合換熱量Φ是由對流換熱量和輻射換熱量組成，轉(zhuǎn)化公式如下：

式中： hT—鋼渣罐外表面的復(fù)合的傳熱系數(shù)，W／（m2·℃）；

hc—對流換熱系數(shù)，W／（m2·℃）；

hr—輻射換熱系數(shù)，W／（m2·℃）；

Tw—鋼渣罐的外表面溫度，℃；

Tf—周圍環(huán)境擁有的溫度，℃；

A—物體表面面積，m2。

2.3 正問題求解結(jié)果

根據(jù)有限元方法進(jìn)行正問題求解，圖2為鋼渣罐的溫度場分布狀況。由圖2可得，鋼渣罐內(nèi)壁溫度較高，鋼渣罐壁溫度隨著離鋼渣距離增加有所下降，整個鋼渣罐溫度分布以罐體中部為圓心，呈環(huán)形分布，在耳軸附近溫度下降明顯。

圖2 溫度分布云圖

圖3為鋼渣罐外表面溫度分布曲線圖，能夠直觀看出罐體外表面的溫度散布狀況。由圖3可知，最大溫度在罐體中部，即腰線附近。罐體的最低溫度出現(xiàn)在耳軸處，這是由于耳軸遠(yuǎn)離鋼渣，有加強(qiáng)筋板輔助散熱。

圖3 鋼渣罐外表面溫度分布曲線圖

3 反問題

由于鋼渣罐的服役工況條件極其惡劣，且鋼渣罐內(nèi)鋼渣為多種礦物的固溶體（屬于硅酸鹽類），直接獲取鋼渣的溫度分布非常困難，但是可以較容易的獲得鋼渣罐外壁的溫度信息。因此利用鋼渣罐外壁一定數(shù)量的測點的溫度信息，反演鋼渣罐內(nèi)鋼渣的溫度散布狀況具有可行性。

3.1 反演的目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)已知鋼渣罐熱物理數(shù)據(jù)和邊界條件，在鋼渣罐外壁安放一定數(shù)量的溫度測點，通過溫度測點反饋信息來預(yù)測鋼渣罐內(nèi)壁的邊界條件狀況。假定設(shè)置了K個溫度測點，測點處的溫度值為Tmi（i=1，2，…，K），可以通過以下目標(biāo)函數(shù)的最小值來解決該傳熱學(xué)反問題：

式中： H—待反演的溫度值，℃；

3.2 鋼渣溫度分布反演

基于共軛梯度法，需要反演的溫度值H要滿足公式：

式中： Hn—需要進(jìn)行反演的溫度值，℃；

H—第n次猜想值，℃；

αn—迭代步長；

dn—共軛梯度的搜尋方向。

dn由式（9）確定：

式中： βn—共軛系數(shù)；

▽J（Hn）—對象函數(shù)的梯度。

βn可由式（10）確定，▽J（Hn）可由式（11）確定：

其中，

經(jīng)過優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)J（Hn-αndn）來確定搜索步長αn：

式中： ▽Ti—行向量，求解如下：

運(yùn)用中心差分法來大致代替計算行向量▽Ti。

3.3 反演的收斂判斷

運(yùn)用共軛梯度法反推鋼渣的溫度散布時，假如符合式（8），那么就迭代中止，Hn是最終需要導(dǎo)出的反演結(jié)果。迭代時，目標(biāo)函數(shù)的收斂判別是：

式中： ε—迭代終止閥值。

在現(xiàn)實生活中溫度測量值Tmi肯定會有一定的測量誤差，所以在數(shù)值模擬試驗時，溫度的實測值應(yīng)基于真實值Tei增添一個任意測量誤差，則溫度的測量值應(yīng)為：

式中： σ—標(biāo)準(zhǔn)狀況下的測量偏差；

ω—服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一系列波動數(shù)，其取值范圍是［-2，2］，且其平均值為0。

此時，迭代終止閥值為：

當(dāng)存在測量誤差時，目標(biāo)函數(shù)的收斂條件為：

3.4 反演的基本流程

采用共軛梯度法反鋼渣罐內(nèi)鋼渣溫度分布情況的程序計算流程如圖4所示：

圖4 反演流程圖

4 仿真試驗與結(jié)果分析

4.1 仿真實驗條件

以真實傳熱邊界參數(shù)數(shù)值求解導(dǎo)熱微分方程得到鋼渣溫度場分布，以此來當(dāng)作實際生產(chǎn)中的溫度場分布，y是鋼渣罐的深度，即待反演的鋼渣溫度實際分布情況為拋物線：

結(jié)合正問題的求解結(jié)果，使用正問題計算所得的鋼渣罐外壁溫度，模擬鋼渣罐外壁測量溫度值，以測量值為基礎(chǔ)上填加一個未定的測量差作為反問題的輸入?yún)?shù)。為評價反演結(jié)果精度與可靠性，定義待反演點處溫度值的可接受的誤差為：

N—需要反演點的數(shù)目。

初始溫度H0=1400℃，環(huán)境溫度Tf=20℃。取外壁溫度的測點數(shù)k=14，測點從鋼渣罐的底端到罐口依次均勻分布在外壁上，給定測量誤差σ=1.0℃，迭代終止閥ε=3。采用共軛梯度法對符合工程實際應(yīng)用下的渣罐內(nèi)的鋼渣溫度分布情況進(jìn)行反演，圖5為反演得到鋼渣溫度分布情況所示，表1為誤差分析結(jié)果。

圖5 CGM反演結(jié)果

表1 誤差分析

從以上反演結(jié)果中能夠看出，獲取的數(shù)值略偏離于真實值，因為不適定是反問題自身的特點，在求解的過程中輸入?yún)?shù)是欠正定或超正定的，因此偏差是無法避免的。結(jié)合圖表中可以得出，算例結(jié)果的最大誤差是0.16%，相應(yīng)的最大誤差值是5℃，誤差值非常小，因此本文所運(yùn)用的共軛梯度法能夠完成對鋼渣溫度散布狀況的反演，且具有較高的精度。

4.2 初始值的影響

表2 誤差分析

由上述不同的溫度猜想值得到的鋼渣溫度散布的反演結(jié)果的平均相對誤差依次是0.19%、0.20%、0.30%，對應(yīng)的最大反演誤差分別為2.1℃、2.2℃、4.7℃。從圖6中可以看出，當(dāng)溫度分布的初始值比較接近真實值時，CGM反演模型能夠取得較優(yōu)異反演結(jié)果。在初始猜想值出現(xiàn)明顯偏離真實值的狀況下，反演結(jié)果的誤差隨之增大，所以初始猜想值會干擾反演狀況。

圖6 反演結(jié)果

4.3 測點數(shù)目的影響

取初始溫度猜測值H0=1400℃，測量誤差σ=0℃，分別對溫度測點數(shù)目K=14、K=11、K=8這三種方式進(jìn)行反演，溫度測點均勻分布在鋼渣罐的外壁上。

表3 誤差分析

測點數(shù)目分別為8、11和14時，由CGM得到的鋼渣溫度散布狀況，其平均相對誤差分別為0.10%、0.21%、0.47%，對應(yīng)的最大誤差分別為1.12℃、2.34℃、5.30℃。結(jié)合圖7可以得出，測點數(shù)目K=11時便能夠得到較為理想的反演結(jié)果，反演結(jié)果的平均相對誤差因為測點數(shù)目增加而減小，其原因是溫度測點數(shù)目的提升，能獲得的已知信息增多，相應(yīng)的溫度信息也就更加完整，所以反演精度會有所提高，即測點數(shù)目的增加有益于反演精度。但是較多的測點數(shù)目將會增加計算量，會增加計算負(fù)擔(dān)，所以結(jié)合實際工程應(yīng)用，應(yīng)盡量減少測點數(shù)目。

圖7 反演結(jié)果

4.4 測量誤差

反問題的不適定性導(dǎo)致反演結(jié)果略微敏感于測量誤差，即測量溫度值的極小偏差，便有可能導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)波動。

對測量誤差的抗干擾性是判斷反演算法有效性的標(biāo)準(zhǔn)之一，取溫度初始猜測值H0=1400℃，K=14，溫度的測點位置保持不變，以此來判別測量誤差對CGM反演效果的干擾程度大小。取測量標(biāo)準(zhǔn)差分別為σ=0.5℃、σ=1.0℃、σ=1.5℃，按照公式（17）設(shè)定終止閥值。從表4可以看出，各個誤差值下結(jié)果平均相對誤差依次是0.13%、0.25%、0.37%，最大誤差值依次是1.42℃、2.81℃、4.70℃。結(jié)合圖8可以看出，測量誤差較小時，采用共軛梯度法（CGM）可以得到較準(zhǔn)確的反演溫度，測量標(biāo)準(zhǔn)差σ的增大會使溫度反演誤差增大。

表4 誤差分析

圖8 反演結(jié)果

4.5 測點位置的影響

鋼渣溫度在該處的靈敏度大小與測點位置有關(guān)系，通常情況下，測點處的溫度靈敏度與測點到待反演點的距離有關(guān)。靈敏度的大小決定了反演結(jié)果的好壞，因此有必要分析測點位置對所得結(jié)果的干擾程度。令溫度初始猜想值H0=1400℃，測量誤差σ=0℃，使用以下布置方式。

方式一，所有測點依次散布在鋼渣罐的罐體表面。方式二，部分測點分布在鋼渣罐外表面與加強(qiáng)筋外表面之間。方式三，部分測點分布在加強(qiáng)筋外表面。上述3種測點布置方式得到的鋼渣溫度分布的平均相對誤差如表5所示。

表5 誤差分析

分別為0.11%、0.35%、0.45%，對應(yīng)的最大誤差分別為1.22℃、3.85℃、5.13℃。從圖9中可以得出，測點位置所產(chǎn)生的影響明顯，溫度反演結(jié)果隨著測點位置遠(yuǎn)離待反演點位置而變差。此現(xiàn)象在罐底附近及罐口附近較為明顯，主要原因是罐底附近加強(qiáng)筋很多，罐體溫度差別較大；罐口不與鋼渣直接接觸，可以利用的有效測點信息較小。所以利用方式一和方式二的測點布置獲得的反演效果不太理想。

圖9 反演結(jié)果

5 結(jié)論

本文在12m3鋼渣罐傳熱系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，利用共軛梯度法以渣罐內(nèi)鋼渣溫度分布為反演量進(jìn)行仿真試驗，證實了共軛梯度法的實用性，且探究了四種因素對反演精度的影響，主要結(jié)論如下：

（1）初始猜測值越偏離于真實值，反演精度就越差。基于3個不一樣的初始猜想值，本文所運(yùn)用的反演模型依然能夠獲得優(yōu)異的反演數(shù)據(jù)。

（2）較少的測點數(shù)目會致使反演精度比較差，即反演精度隨著測點數(shù)目的增多而有所提高。布置適當(dāng)?shù)臏y點數(shù)目，運(yùn)用共軛梯度法能夠獲精度比較高的反演數(shù)據(jù)結(jié)果，本文采用14個測點數(shù)目即可獲得較高精度。

（3）測量標(biāo)準(zhǔn)差σ在相對的測量誤差范圍內(nèi)對反演精度影響較小，但當(dāng)誤差進(jìn)一步增大時，反演精度隨之降低。當(dāng)σ≤1.0℃時，共軛梯度法能獲得符合實際的反演結(jié)果。

（4）測點位置對反演精度的干擾比較顯著，反演結(jié)果因測點位置的不同而表現(xiàn)出較大差異。本文所采用的較差測點布置方式一和方式二得到的反演結(jié)果不太理想，即測點位置需能夠反映待反演參數(shù)。