考慮初始壓密階段的千枚巖變形破壞全過程統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型

李占甫，莘子健 ，付聰，李玉豪，張家銘

(1.安徽省交控建設(shè)管理有限公司，安徽 合肥 230088；2.中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

1 引言

巖石是由具有一定結(jié)構(gòu)構(gòu)造的礦物集合體組成的非均質(zhì)材料，因其生成條件、礦物成分、賦存環(huán)境等不同，使得巖石內(nèi)部存在大量隨機(jī)分布的微觀裂隙。巖石的宏觀破壞可看作其內(nèi)部微觀裂隙的擴(kuò)展和累積，該過程稱之為損傷[1]。損傷理論以材料內(nèi)部微觀裂隙的萌生、擴(kuò)展和相互作用為基礎(chǔ)，研究試件由微觀直至發(fā)生宏觀破壞的全過程，是目前研究巖石等含有天然微裂隙材料的有效方法[2]?；趲r石內(nèi)部微觀裂隙的分布及演化具有隨機(jī)性，Krajcinovic等人[3]將統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度理論與連續(xù)損傷理論相結(jié)合，開辟了一條能較好反映巖石損傷破壞過程和應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系的本構(gòu)模型建立途徑，即統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。

自統(tǒng)計(jì)損傷理論提出以來，國內(nèi)外學(xué)者利用其對巖石變形破壞過程的模擬方法進(jìn)行了大量探索，并取得較為豐碩的研究成果。曹文貴[4]先基于Lemaitre應(yīng)變等價(jià)性假設(shè)[5]定義了傳統(tǒng)的巖石損傷變量，石崇[6]、曹瑞瑯[7]引入不同修正系數(shù)對其修正，但因該定義忽略了巖石破壞后的殘余強(qiáng)度，與實(shí)際不符，隨后曹文貴[8]將巖石骨架部分抽象為損傷與未損傷兩部分，對巖石的損傷重新定義，并建立可以反映巖石殘余強(qiáng)度的損傷模型，尹杰[2]在此基礎(chǔ)上基于不同準(zhǔn)則進(jìn)行計(jì)算和修正。周永強(qiáng)[9]和劉冬橋[10]分別考慮損傷閾值和微元強(qiáng)度的度量方式建立統(tǒng)計(jì)損傷模型。盡管當(dāng)前理論模型能夠較好描述巖石部分階段的變形特征，但對于巖石變形破壞全過程的模擬仍存在一定不足，特別是在反映巖石初始壓密階段。究其原因，當(dāng)前沿用較廣的統(tǒng)計(jì)損傷模型忽略了巖石內(nèi)部在初始狀態(tài)下存在的大量初始缺陷，并在模型推導(dǎo)過程中將巖石彈性模量視為常數(shù)。事實(shí)上巖石在受力過程中，因內(nèi)部微結(jié)構(gòu)面的存在其巖石宏觀變形與力學(xué)特性會產(chǎn)生較大變化，如千枚巖，因其特殊的千枚狀構(gòu)造，其微結(jié)構(gòu)面發(fā)育，該類巖石在初始壓密階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系會呈現(xiàn)較強(qiáng)的非線性變形特征。此外，大量試驗(yàn)表明，巖石的彈性模量與初始缺陷的變形及閉合情況密切相關(guān)，并在一定范圍內(nèi)隨所受圍壓水平的變化而改變，將其視為常數(shù)并不恰當(dāng)。

為此，曹文貴[11]將巖石抽象為空隙與骨架兩部分，采用宏觀與微觀相結(jié)合的方法，建立了可以反映脆性巖石初始宏觀非線性變形力學(xué)行為的模擬方法，但其模型在模擬煤巖在圍壓為8MPa以下時(shí)擬合效果不理想；張超[12]、李修磊[13]在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上對模型進(jìn)行了改進(jìn)，雖較好地?cái)M合了砂巖在圍壓40MPa下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，但該巖石變形破壞過程中初始壓密階段并不明顯，不能很好地驗(yàn)證該類模型對于反映含大量微結(jié)構(gòu)面巖石初始壓密階段的變形特征。此外，前述三位學(xué)者均采用Mohr-Coulomb準(zhǔn)則建立相關(guān)模型，該準(zhǔn)則在描述巖石處于低應(yīng)力狀態(tài)下會存在一定偏差[2]。

基于上述分析，盡管現(xiàn)有巖石統(tǒng)計(jì)損傷模型對于巖石部分變形階段特征可以較好描述，但能夠反映考慮巖石初始壓密階段的全過程變形特征的本構(gòu)模型較少。此外，多數(shù)模型所針對的巖石為砂巖、花崗巖以及粉砂質(zhì)泥巖等，而對于含有大量初始微結(jié)構(gòu)面的千枚巖研究鮮有報(bào)道。針對上述不足，本文在前人的研究基礎(chǔ)上，基于文獻(xiàn)[11]提出的考慮巖石初始宏觀非線性變形力學(xué)行為的模擬方法，選用Drucker-Prager準(zhǔn)則針對千枚巖在較低圍壓狀態(tài)下的全過程變形特征進(jìn)行模擬，以期建立出能反映巖石全過程變形特征的統(tǒng)計(jì)損傷模型。

2 巖石變形過程

巖石受外部荷載作用下的變形可劃分為巖石骨架和內(nèi)部微結(jié)構(gòu)面兩部分，且?guī)r石骨架在屈服破壞前的變形為線彈性。低荷載條件下巖石的骨架變形與微裂隙閉合同時(shí)發(fā)生，應(yīng)力應(yīng)變曲線呈明顯非線性；當(dāng)荷載增加到一定水平時(shí)，微裂隙閉合完成，此時(shí)隨荷載的增加至巖石屈服破壞前，巖石僅發(fā)生線彈性的骨架變形；荷載進(jìn)一步增加達(dá)到巖石屈服強(qiáng)度后，巖石的骨架變形呈非線性，并依次出現(xiàn)屈服、應(yīng)變軟化和完全破壞的現(xiàn)象。因此，巖石在受荷變形直至破壞過程中具有階段性變形特征：初始壓密(OA)、線彈性變形(AB)、屈服(BC)、應(yīng)變軟化(CD)和完全破壞階段（D點(diǎn)之后），如圖1所示。

圖1 千枚巖變形破壞全過程

3 巖石變形分析模型

為分析巖石在初始壓密階段內(nèi)部微裂隙產(chǎn)生的變形，在巖石內(nèi)取一代表性柱體單元，該柱體單元由巖石骨架和微裂隙兩部分組成，如圖2所示。由前述巖石變形機(jī)理可知，在初始壓密階段微裂隙變形與骨架變形并不協(xié)調(diào)，故設(shè)柱體單元在加載前初始高度為h0，其中微裂隙部分高度為，骨架部分高度為該柱體單元在某荷載應(yīng)力σi下總變形量為Δh，巖石內(nèi)部微裂隙和骨架部分變形量為Δhw和Δhr，則有如下關(guān)系：

圖2 千枚巖變形分析模型

故巖石在荷載應(yīng)力σi的作用下的總應(yīng)變（宏觀應(yīng)變）εi、微裂隙部分應(yīng)變和骨架部分應(yīng)變可表示為：

為建立巖石總應(yīng)變與其組成部分應(yīng)變間的關(guān)系，特定義柱體單元微裂隙部分占比為b0,即利用式（1）～（5）可得：

分析式（6）可看出巖石在初始壓密階段（b0≠0）的宏觀應(yīng)變由微裂隙與骨架兩部分組成，且呈非線性，當(dāng)微裂隙完全閉合（b0=0）后，巖石宏觀應(yīng)變僅由骨架部分提供。由巖石變形破壞過程知，在巖石未達(dá)到屈服強(qiáng)度前骨架部分材料的變形線彈性狀態(tài)，進(jìn)一步證明在初始壓密階段的非線性變形是由微裂隙閉合導(dǎo)致的，顯然式（6）作為巖石變形分析模型是符合實(shí)際的。

3.1 微裂隙部分變形分析方法

按前述分析思路，若想獲得巖石微裂隙在荷載應(yīng)力σi作用下的應(yīng)變需先求得相應(yīng)微裂隙部分（hw）的變形量Δhw，故將荷載σi劃分為n個(gè)等級組成的應(yīng)力增量并逐級施加，故有：

巖石微裂隙部分的閉合變形具有不可恢復(fù)的特點(diǎn)，采用真應(yīng)變能夠更準(zhǔn)確地描述其變形特點(diǎn)，故將變形量Δhw可看作在某一級應(yīng)力增量作用下變形量的累加，設(shè)微裂隙部分（hw）在應(yīng)力增量作用后的高度變?yōu)椴捎梦墨I(xiàn)[14]方法可得此時(shí)微裂隙部分的應(yīng)變可表示為：

由于微裂隙部分材料的累計(jì)變形高度無法通過試驗(yàn)測量，則假定服從廣義胡克定律，微裂隙部分材料在第s級應(yīng)力增量作用下產(chǎn)生的應(yīng)變增量可表示為：

聯(lián)立式（8）和式（9）并變形有：

由式（11）可知，若想得到空隙部分在荷載應(yīng)力σi下的應(yīng)變得先求出在各級荷載作用下相應(yīng)的變形模量和泊松比，但常規(guī)試驗(yàn)無法獲得，為便于研究，假設(shè)微裂隙部分材料的力學(xué)參數(shù)不隨巖石變形而改變，從而式（11）可改寫為：

式中E1和μ1為巖石微裂隙部分材料的彈性模量和泊松比，相關(guān)參數(shù)的確定方法詳見第4.2。

3.2 巖石骨架部分變形分析方法

巖石骨架部分的變形可根據(jù)荷載是否達(dá)到屈服強(qiáng)度分為兩部分，未達(dá)到屈服強(qiáng)度時(shí)呈線彈性變形，超過屈服強(qiáng)度巖石骨架發(fā)生損傷，致使變形呈非線性，并依次出現(xiàn)應(yīng)變硬化、應(yīng)變軟化和完全破壞的現(xiàn)象，對此可采用基于連續(xù)介質(zhì)的統(tǒng)計(jì)損傷理論進(jìn)行分析。目前常用的統(tǒng)計(jì)損傷模型基于Lemaitre應(yīng)變等效假設(shè)，并不能準(zhǔn)確反映巖石骨架部分損傷的力學(xué)本質(zhì)，尤其是認(rèn)為巖石完全破壞后不具備任何承載能力，即忽略了巖石的殘余強(qiáng)度，為此，曹文貴等[8]對此類模型進(jìn)行修正，以解決該類本構(gòu)模型的不足，即：

式中，σi為名義應(yīng)力為有效應(yīng)力為巖石的軸向殘余強(qiáng)度；D為損傷變量，是材料損傷程度的度量。

將巖石骨架部分抽象為未損傷和損傷兩部分，骨架整體受力為σi，其作用面積為A，則未損傷材料面積為A1，損傷部分面積為A2，兩部分所受微觀應(yīng)力分別為如圖3所示。則損傷變量D可定義為損傷部分面積與巖石骨架總面積之比，即D=A2/(A1+A2)。

圖3 千枚巖骨架部分變形分析模型

基于Lemaitre應(yīng)變等效假設(shè)，可認(rèn)為巖石骨架部分的宏觀應(yīng)變與未損傷部分微觀應(yīng)變相等。為骨架未損傷部分變形的微觀應(yīng)力，且骨架未損傷部分為線彈性體，服從廣義胡克定律，則有：

式中，E2和μ2為巖石骨架部分彈性模量和泊松比為骨架未損傷部分所受有效應(yīng)力。假設(shè)骨架部分材料的損傷僅沿軸向發(fā)生，即在側(cè)向方向上名義應(yīng)力等于有效應(yīng)力，則有：

由式（13）、（14）及上述假設(shè)可得：

故巖石骨架部分變形可表示為：

4 巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型及參數(shù)確定方法

4.1 巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型

對于巖石骨架部分的變形破壞為一連續(xù)損傷過程，可采用統(tǒng)計(jì)損傷理論進(jìn)行模擬，模擬關(guān)鍵在于對巖石骨架部分微元強(qiáng)度的合理度量，經(jīng)對比不同強(qiáng)度準(zhǔn)則的優(yōu)劣，本文選用Drucker-Prager準(zhǔn)則進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。該準(zhǔn)則表達(dá)式為：

式中F為巖石骨架部分微元強(qiáng)度，取值分兩種情況：當(dāng)骨架部分達(dá)到損傷閾值時(shí)，F(xiàn)≥0未達(dá)到時(shí)，變形呈線彈性，F(xiàn)＜0；I1和J2分別為應(yīng)力張量的第一不變量和應(yīng)力偏量的第二不變量；a和k分別為與巖石骨架部分粘聚力（c）、內(nèi)摩擦角（φ）相關(guān)的常數(shù)。上述參量可表示為：

由式（14）代入式（18）和（19），并在常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)條件下（σ2=σ3），可得：

為得到損傷變量D，采用可以較好表征骨架材料微元強(qiáng)度變形破壞隨機(jī)性的Weibull概率密度函數(shù)，則損傷變量D與微元強(qiáng)度F間的關(guān)系可表示為：

式中m與F0為巖石骨架部分微元強(qiáng)度Weibull分布參數(shù)，當(dāng)巖石處于完全破壞階段時(shí)D=1，巖石未發(fā)生損傷時(shí)D=0。將式（12）、（13）、（16）代入式（6）可得到考慮巖石內(nèi)部微裂隙及殘余強(qiáng)度的巖石變形破壞全過程模型，即：

4.2 模型參數(shù)確定方法

①b0的確定方法

由前述巖石變形破壞過程可知，巖石宏觀變形由微裂隙閉合與骨架變形兩部分組成，當(dāng)微裂隙完全閉合時(shí)且未達(dá)到屈服強(qiáng)度前，骨架部分材料處于線彈性狀態(tài)，此時(shí)E1趨近于0，式（25）中第1式中可變?yōu)椋?/p>

若σ3=0時(shí)，即巖石處于單軸壓縮狀態(tài)，式（26）可變?yōu)椋?/p>

式（27）經(jīng)轉(zhuǎn)換可得：

由式（28）可知，b0為巖石單軸壓縮試驗(yàn)曲線線彈性段的延長線在應(yīng)變軸上的截距。

②E2和μ2的確定方法

μ2為巖石骨架材料的泊松比，故可通過對已完成微裂隙壓密階段的巖石進(jìn)行泊松比試驗(yàn)直接測定。E2為巖石骨架部分彈性模量，可通過式（26）變換并在三軸試驗(yàn)中彈性變形階段取值代入求得，即：

③E1和μ1的確定方法

在已知巖石在初始壓密階段滿足式（25）中第1式和已求得模型參數(shù)b0、E2和μ2的基礎(chǔ)上，在初始壓密階段任意取值，采用基于最小二乘法原理的曲線擬合方法可得E1和μ1。

④微元強(qiáng)度隨機(jī)分布參數(shù)的確定

微元強(qiáng)度隨機(jī)分布參數(shù)m與F0為模型建立的關(guān)鍵，由巖石具有應(yīng)變軟化特性可知，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線在峰值點(diǎn)（σ1=σsc，ε1=εsc）處具有極值特性，即：

式中σsc和εsc分別為巖石三軸試驗(yàn)中峰值點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變。

同時(shí)式（30）滿足式（25）中第2式，聯(lián)立方程即可確定參數(shù)m與F0：

至此，已建立考慮巖石內(nèi)部微裂隙及殘余強(qiáng)度的巖石變形破壞全過程模擬方法，并給出相關(guān)參數(shù)的確定方法，現(xiàn)對其合理性進(jìn)行驗(yàn)證分析。

5 實(shí)例分析與驗(yàn)證

引入文獻(xiàn)[15]的試驗(yàn)曲線對前述模型進(jìn)行驗(yàn)證分析。利用該文獻(xiàn)針對千枚巖在結(jié)構(gòu)面夾角為0°時(shí)，圍壓分別為0、2、4、6和8MPa下的巖石三軸試驗(yàn)曲線，如圖4所示。由該文獻(xiàn)可知黏聚力C=11.66MPa，內(nèi)摩擦角φ=50.35°，按照前述參數(shù)確定方法可知：b0=0.0017，不同圍壓下相關(guān)計(jì)算參數(shù)見表1所示。將相關(guān)計(jì)算參數(shù)代入式（31）～式（34）可求得微元強(qiáng)度隨機(jī)分布參數(shù)m與F0。將試驗(yàn)數(shù)據(jù)及各計(jì)算參數(shù)代入本文所提出的本構(gòu)模型，得到不同圍壓作用下千枚巖全過程變形應(yīng)力應(yīng)變理論曲線，并將其與試驗(yàn)曲線相比較，如圖5所示。

模型參數(shù) 表1

圖4 千枚巖三軸試驗(yàn)曲線

圖5 本文理論曲線與試驗(yàn)曲線的比較

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文理論模型和方法的合理性與可行性，分別根據(jù)文獻(xiàn)[11]、文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]所提出的本構(gòu)模型，以文獻(xiàn)[15]圍壓4MPa試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分別獲取各模型理論曲線，并與本文模型所獲理論曲線相對比，如圖6所示。

圖6 圍壓4MPa下不同模型理論曲線與試驗(yàn)曲線的比較

由圖5可以看出，本文所提出的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型，針對千枚巖在不同圍壓條件下的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)曲線均有較高的吻合程度，很好地反映千枚巖變形破壞全過程應(yīng)力應(yīng)變特征。以圍壓4MPa試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，比較已有模型和本文模型對其模擬效果，可以看出，由于文獻(xiàn)[11]所建立模型并未考慮巖石破壞后的殘余強(qiáng)度，導(dǎo)致其殘余強(qiáng)度變形階段與試驗(yàn)曲線差別較大。此外，文獻(xiàn)[11]、文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]所建立模型均基于Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，致使其在低圍壓狀態(tài)下與試驗(yàn)曲線差別較大，特別是在巖石屈服和應(yīng)變軟化階段。由此可見，本文所構(gòu)建模型能夠較好地模擬含大量微結(jié)構(gòu)面的千枚巖在低圍壓狀態(tài)下的全過程變形破壞特征。

6 結(jié)語

本文利用統(tǒng)計(jì)損傷理論，對能反映巖石在初始壓密、屈服破壞及殘余變形破壞等階段的巖石變形全過程模擬方法進(jìn)行了研究。得出如下結(jié)論：

①將巖石抽象為骨架和內(nèi)部空隙兩部分，分別建立了空隙和骨架部分變形分析方法，進(jìn)而建立了可模擬空隙巖石變形破壞全過程的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型；

②由于Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，并不能很好描述巖石處于低應(yīng)力狀態(tài)下的變形破壞特征，本文選用Drucker-Prager準(zhǔn)則，并以含有大量初始微結(jié)構(gòu)面的千枚巖為對象，對其在低圍壓狀態(tài)下的全過程變形特征進(jìn)行模擬研究；

③通過本文模型、現(xiàn)有相關(guān)模型和試驗(yàn)曲線的比較，驗(yàn)證了本文所建巖石損傷模型的有效性和合理性。