建筑結構中的高次方程的數(shù)值解法

董浩，孫成飛，周震昊，王雨龍，丁應章

（中建三局集團有限公司，湖北 武漢 430000）

隨著人們對美好生活的不斷追求，出現(xiàn)了各色各異的建筑結構，我國現(xiàn)行《混凝土結構設計規(guī)范》（GB50010-2010）,經(jīng)過多次改進其理論更為科學合理，更趨于國際化。但在應對形形色色的建筑結構時,為使結果更好地與實際相符,規(guī)范中的某些計算公式會較為麻煩。例如計算對稱配筋矩形截面小偏心受壓構件時,求解相對受壓區(qū)高度ζ需解的三次方程，用于設計很不方便,故“規(guī)范”給出了求ζ的近似公式，但按此式計算在準確度上有待商榷。因此，可以使用“牛頓法[4]”對高次方程進行求解，由于需要應用到工程計算之中求解過程不能繁瑣，且要求能夠快速收斂，以及運用一種改進牛頓法的方法：“牛頓—秦九韶法”[1]。根據(jù)數(shù)值分析[4]牛頓法與牛頓—秦九韶法的求解，需要對初值有準確的估計，在這種情況下本文列舉了另一種解法“黃金分割法”[7]，利用黃金分割法收斂快且不需要定義初值的優(yōu)勢，可以更快速地求解高次方程。

1 基于“規(guī)范”的近似計算

下面作者簡述“規(guī)范”中采用簡化公式的過程，以便分析其不足。對于對稱配筋的小偏心受壓柱，根據(jù)基本公式和對稱配筋的特點，可以導出以下公式：

式（1）為ζ的三次方程，求解很麻煩，故“規(guī)范”基于以下理由做出了簡化：

由式（2）知y也是ζ的三次函數(shù)。但因為在小偏心受壓范圍內,y與ζ的關系是趨近于線性關系。小偏心受壓構件ζ常見范圍為:ζb＜ζ＜ 1.6-ζb其中ζb為相對界限受壓區(qū)高度，對于常用的Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ級鋼筋,ζb值分別為0.614、0.544及0.528,則 ζ（1-0.5ζ）的值在 0.39～0.50之間，故“規(guī)范”取ζ（1-0.5ζ）=0.43,將其代入式(1)即得求ζ的近似公式：

則配筋公式：

可以總結兩點。

①在計算矩形截面對稱配筋小偏心受壓構件時關鍵是需求解ζ。

②用上述規(guī)范所訴的近似算法進行設計時，產(chǎn)生誤差的原因在于：在小偏心受壓范圍內,雖然ζ的三次式(2)趨近于直線，但對不同材料其直線回歸方程是不一樣。若不分情況，一律將 ζ(1-0.5ζ)的結果取為常數(shù)0.43，即把采用不同材料時的直線回歸方程全都視為y=0.43(ζb-ζ)/(ζb-0.8)，顯然與實際不完全相符，導致一定誤差[3]。

2 各類數(shù)值解法

2.1 牛頓法

牛頓法也稱牛頓—拉佛森法，是迭代法的一種，其收斂速度通常比一般的迭代法都快，下面簡述一下牛頓法的原理[4]：

牛頓法是用泰勒公式展開的一種迭代方法，設方程f(x)==0的根x*的近似值為將函數(shù)f(x)在點xk展開：

舍去高階項上式可近似表達：

整理上式可得到迭代式：

根據(jù)以上迭代式選取初值x然后反復迭代就可以得到滿足精度的x值，利用此原理可以求解公式（1）的三次方程，根據(jù)上述迭代式可知求解f(x)的函數(shù)值與一階導數(shù)值即可，因此，可以發(fā)現(xiàn)由公式（1）得到的三次方程組多項式需要求解平方乘法然后再加法，在計算步驟中雖然較解三次方程組簡單一點，但計算量太大，不適合手算。基于此，李汝庚[1]提出了改進后的牛頓—秦九韶法。

2.2 牛頓—秦九韶法

上一節(jié)的“牛頓法”，雖然思路清晰，方法易懂，但有函數(shù)值及一階導數(shù)的求解，計算量大了。早在我國古代就有秦九韶法來解決有關于多項式f(x)在任意x的泰勒展開式前面系數(shù)的問題。牛頓—秦九韶法[5]由我國古代的秦九韶法與西方近代的牛頓迭代法相結合，本方法適用于解決建筑結構中的高次方程。例如本文所述的矩形截面對稱配筋小偏心受壓構件的計算求解，相對受壓區(qū)高度ζ的三次方程問題，若用牛頓—秦九韶法求解則頗簡便。下面以一個三次多項式為例，說明該法的數(shù)學原理及算法步驟。

關于f(x)在任意點x0處的泰勒展開式：

按如下格式計算：

格式中第一行是式8的各項系數(shù)，然后以下各行數(shù)均按式10計算：

例如第二行的計算如下：（因為b0左邊沒有數(shù)字所以b0=a0

由此可得按式（9）表示的f(x)在x0處的泰勒展開式：

上述方法就是秦九韶法[7]，此法利用乘法和加法代替求導計算，大大簡化了計算過程，對于求任意高次多項式在任意點x0處的展開式系數(shù)非常簡便適用。而牛頓法的迭代公式（7）首先需求解一階導數(shù)和函數(shù)值，再應用迭代公式反復迭代才能得到數(shù)值解，對比而言計算量過大。

2.3 黃金分割法

根據(jù)以上分析，無論是迭代法還是改進后的迭代法，對于方程的求解都依賴于初值的選取，對于對稱配筋小偏心受壓構件ζ的常遇范圍為ζb＜ζ＜1.6-ζb，因此，ζ比較好的初始值ζb便可在此范圍內擬定，可取ζb與(1.6-ζb)的平均值，近似為0.8左右[5]。但建筑結構中高次方程多樣，并不都像對稱配筋小偏心受壓構件中的ζ可以選取出初值。例如分析高層建筑的固有振動時，設自振頻率為ω，特征值λ=1/ω2，經(jīng)推導可得高層建筑確定頻率的高次方程為另外，當高次方程中存在多解時，上述迭代法會出現(xiàn)收斂速度慢的缺點。

黃金分割法[6]求高次方程的數(shù)值解，能克服上述兩大缺點。黃金分割法的算法思想為對于連續(xù)函數(shù)F(x)，在閉區(qū)間［a，b］內有且僅有一個實數(shù)根x，令x1=a，x2=b。若F(x1)=0或F(x2)=0，則x=x1或x=x2即為所求實數(shù)根；否則求取新的區(qū)間利用①=a+(b-a)×0.618(設a＜b)求取第一個點；再利用②=(a+b)-①=(大+小)-中求取第二個點，比較F(①)與F(②)的大小，得到新的區(qū)間在新區(qū)間內重復以上過程，直到所求有根區(qū)間在精度范圍內為止，即可得到實數(shù)根x[6]。

用黃金分割律求高次方程的數(shù)值解主要用到下面兩個公式：

①=a+(b-a)×0.618(設a＜b)

②=(a+b)-①=(大+小)-中

由于黃金分割法需要提前知道根的區(qū)間，可以利用以下兩種方式確定：a.利用連續(xù)函數(shù)根的存在性定理（二分法確定根所在的區(qū)間）2）根據(jù)建筑結構的理論大致確定根的區(qū)間如小偏心受壓構件ζ,可以明確知道它的根在［0，1］區(qū)間。

3 算例

例1已知：軸向力設計值N=3500kN，彎矩M1=0.88M2，M2=360kN·M，截面尺寸b=400mm，h=700mm，混 凝 土 強 度 等 級 為C40，鋼筋用HRB400鋼筋，構件計算長度Ic=I0=3.3m，對稱配筋[3]。

經(jīng)判斷為小偏心受壓，使用規(guī)范近似公式計算得ζ=0.6826：由（1）式化簡得到以下高次多項式：

用解三次方程的方法算得的精確解為ζ=0.6975。

3.1 使用牛頓—秦九韶法求解

3.2 使用黃金分割法計算

a.F(0)=-0.841＜0；F(1)=0.1163＞0

則ζ的解在［0，1］之間；

第一個點：

①=0+（1-0）×0.618=0.618

第二個點：

②=（1+0）-0.618=0.382

比較F(0.618)與F(0.382)大小

b.得到區(qū)間［0.618，1］

第一個點：①=0.618+（1-0.618）×0.618=0.854076

第 二 個 點 ：② =（1+0.618）-0.854076=0.763924

比較F(0.763924)與F(0.854076)大小

c.得到區(qū)間［0.618，0.763924］

第一個點：①=0.618+（0.763924-0.618）×0.618=0.708181

第 二 個 點 ：② =（0.763924+0.618）-0.708181=0.673743

比較F(0.673743)與F(0.708181)大小

d.得到區(qū)間［0.673743，0.708181］

第 一 個 點 ：① =0.673743+（0.708181-0.673743）×0.618=0.9650

第 二 個 點 ：② =（0.708181+0.673743）-0.6950=0.686924

e.F(0.6950)=-0.001221075；

F(0.686924)=-0.0046769

此時可以看到F(0.6950)已經(jīng)很接近0，說明0.6950接近真實解；

利用精確度是1%此時F(0.6950)=-0.001221075精確度0.1%可以停止迭代。

f.取ζ=0.6950，精確值為0.6975

4 結語

對實際的建筑結構,其數(shù)學模型難以用數(shù)學分析得出解析解,須按數(shù)值計算方法尋求近似解，迭代法是數(shù)值計算中最常用的方法。本文僅介紹了建筑結構中對稱配筋矩形截面小偏心受壓構件有效又有特色的數(shù)值解法。此法同樣可用于求解建筑結構中其他有關高次方程的問題。通過對比三種計算方法及分析算例可以得到以下結論。

①利用改進的牛頓法與黃金分割法對小偏心構件相對受壓區(qū)高度的計算，可以得到簡化公式更加精確的解。

②對于小偏心構件的計算，改進的牛頓迭代法雖然求解速度較快且較精確，但是其對于第一次迭代的初值要求嚴苛，然而不是所有建筑結構中的高次方程都有比較準確的估值。因此，相比之下黃金分割法更適合應用于特殊情況。

③黃金分割法更適用于計算機編程，通過計算機并行計算，可以對已有進行算法優(yōu)化。