黃土孔徑和持水特性的分形維數(shù)研究

廖紅建,劉少華,何玉琪,孫俊煜

(西安交通大學(xué) 人居環(huán)境與建筑工程學(xué)院,陜西 西安 710049)

黃土地區(qū)發(fā)生的許多地質(zhì)災(zāi)害,如黃土濕陷、黃土滑坡、崩塌等都與黃土中含水狀態(tài)的變化有關(guān)[1]。自然界中的黃土大部分都是以非飽和土的形式出現(xiàn),土中的水分大多存在于土中大小不一、數(shù)量繁多的孔隙中,孔隙的分布特征是決定土中水分存在和變化規(guī)律的主要因素[2]。因此,有必要對黃土在各種外界因素的作用下內(nèi)部細(xì)觀結(jié)構(gòu)的變化進(jìn)行預(yù)測、觀察和評價,并對內(nèi)部細(xì)觀結(jié)構(gòu)變化引起的土體含水狀態(tài)變化進(jìn)行預(yù)判斷。

分形理論用于描述“不規(guī)則的、分?jǐn)?shù)的、支離破碎的”物體[3]。土中孔隙分布十分不規(guī)則,大小孔徑數(shù)量級之間差異很大,符合分形理論的基本特點。大量研究表明,形狀、大小各異的顆粒骨架和孔隙所組成的土體具有明顯的分形特征[4-9]。巖土分形理論中,若能確定土體孔隙體積的分形維數(shù)D,則可對巖土體的宏觀物理力學(xué)特性進(jìn)行判斷和預(yù)測。

土的孔徑分布曲線,可以確定土的孔徑和相對應(yīng)的孔隙體積百分?jǐn)?shù),從而求出土的孔隙體積-孔徑分布的分形維數(shù)。因此,本文通過壓力膜儀試驗,結(jié)合孔徑分布計算理論,做出孔徑分布曲線,并結(jié)合分形理論,總結(jié)土體的不同干密度和含水率對其內(nèi)部孔隙的影響規(guī)律,分析孔隙的變化對土體持水特性的影響。

1 孔徑分布

1.1 孔徑計算理論

1871年,William Thomson提出了開爾文公式

(1)

其中:r為土中孔隙的半徑(μm);Ts為毛細(xì)管的液相表面張力(J/m2);α為土體固相和液相之間接觸角;vw是水蒸氣的偏摩爾體積(m3/mol);R為通用氣體常數(shù)(J/(mol·K));T為熱力學(xué)溫度(K);RH為孔隙水蒸氣的相對濕度(%);ua-uw為基質(zhì)吸力(kPa)。

由于土顆粒中可能存在的結(jié)合水膜,實際的孔隙尺寸rp還需要考慮水膜厚度t的影響[10]

rp=r+t

(2)

土體結(jié)合水膜的厚度可以直接用厚度法來計算[11],它與含水率和土的相對比表面積有關(guān)

(3)

其中:wa為結(jié)合水的含水率(%);ρew為結(jié)合水的密度(g/cm3);As為土樣的相對比表面積(m2/g)。

土樣的比表面積As與土體的細(xì)觀結(jié)構(gòu)相關(guān),可以通過氣體吸附法進(jìn)行測定。

崔德山[12]根據(jù)實驗結(jié)果得到了結(jié)合水密度ρew和含水率w之間的估算關(guān)系如下

ρew=0.000 2w2-0.027 2w+1.800 5

(4)

在壓力膜儀試驗中,每一級吸力均對應(yīng)一個孔隙尺寸rp,倘若假定每一級吸力作用下,對應(yīng)孔隙尺寸范圍內(nèi)孔隙水均完全脫水,由于土樣初始飽和,則該孔隙尺寸范圍內(nèi)孔隙的總體積Vvi等于脫出的水的總體積ΔVwi

Vvi=ΔVwi

(5)

因此,結(jié)合土水特征曲線和壓力膜儀試驗,即可通過式(1)～式(4)來估算土中每一級吸力下孔隙的半徑,又可以通過式(5)估算對應(yīng)孔隙半徑的孔隙體積,即可求得以孔隙的半徑和孔隙體積為坐標(biāo)的孔徑分布曲線。

1.2 孔徑分布分形理論

基于Sierpinski墊片模型和分形理論,當(dāng)觀測尺度為L時,土中的顆粒含量N(L)可表示為[13]

N(L)=C*L-D

(6)

其中,C*為常數(shù),D為分形維數(shù)。則此時土中顆粒的總體積V(L)可以表示為

V(L)=C1L3-D

(7)

土中總的孔隙體積為土的體積減去土顆?？傮w積,故總的孔隙體積Vv(L)可以表示為

(8)

其中:Va為土樣總體積;L2為總尺度,等于土樣的總尺寸;C1和C2為常數(shù)。根據(jù)Sierpinski墊片模型,當(dāng)觀測尺度為L2時,觀測到的總體孔隙體積為0,則

C1=C2

(9)

土中孔徑大于等于r的孔隙所占體積含量Vv(≥r)可表示為

(10)

其中:n為孔隙比;Vv為孔隙體積。為了便于計算,將式(10)變換為

(11)

對式(11)兩邊取自然對數(shù),可得

(12)

在取對數(shù)的前提下,式(12)中的n和L2僅僅是對曲線進(jìn)行了上下平移,并不改變曲線的斜率。因此,根據(jù)孔徑分布曲線,即可做出ln[Vv(≤r)/(Vv)]和lnr的關(guān)系曲線。再根據(jù)式(12)可知,由該關(guān)系曲線的斜率(3-D)可求出孔隙體積-孔徑的分形維數(shù)D。

利用分形維數(shù)D,即可分析土體內(nèi)部孔隙的變化規(guī)律和孔隙的變化對土體持水特性的影響。

2 壓力膜儀試驗

2.1 試驗儀器與方案

壓力膜儀試驗所用儀器設(shè)備為美國土壤水分公司(SME)推出的1500F1型壓力膜儀。

為了研究不同的壓實度下,土中細(xì)觀孔徑分布對于土體持水特性的影響,采用了以干密度作為變量。擊實前,3組試樣含水率均設(shè)定為18.5%,再分別對試樣進(jìn)行45、60、75次的擊實后,3組試樣的干密度分別為1.674 g/cm3、1.786 g/cm3、1.837 g/cm3。

為了分析土體中含水率不同的情況下,土中細(xì)觀的孔徑分布對土體持水特性的影響,采用含水率作為變量,以最優(yōu)含水率17.3%為界限,依次在含水率為15.8%、17.3%、18.5%的情況下,對試樣擊實60次,擊實后土樣的密度分別為2.02 g/cm3、2.06 g/cm3和2.12 g/cm3。

2.2 試樣制備與試樣條件

試驗所用的土樣取自西安市地鐵四號線工程行政中心站地以下10 m處。通過基本物性試驗,測得該土樣的土粒相對密度ds為2.68,最大干密度ρdmax為1.842 g/cm3,液限wL為27.5%,塑限wp為17.2%,塑性指數(shù)Ip為10.3。對土樣進(jìn)行風(fēng)干、研磨后進(jìn)行篩分析試驗,得到其顆粒組成情況如表1所示。

表1 非飽和黃土的顆粒組成Tab.1 Particle composition of unsaturated loess

粒徑大于0.075 mm的粉黏粒含量未超過50%,且土樣的塑性指數(shù)滿足10

3 土體持水特性與細(xì)觀組成的關(guān)系

3.1 不同干密度下試驗分析

通過試驗,得到的3組不同干密度土樣的土水特征曲線如圖1所示。結(jié)合孔徑分布的計算理論,可以計算出孔徑分布曲線。

圖1 含水率為18.5%時不同干密度土樣的土水特征曲線Fig.1 Soil-water characteristic curves of soil samples with different dry densities with water content of 18.5%

為了從試驗結(jié)果中提取表征土體持水特性的進(jìn)氣值和殘余含水率等參數(shù),使用van genuchten (VG)模型[15]對土樣的土水特征曲線進(jìn)行非線性擬合。

(13)

其中:θw為體積含水率(%);θr為殘余體積含水率(%);θs為飽和體積含水率(%);α在數(shù)值上約等于進(jìn)氣壓力值的倒數(shù)(kPa-1);φ為基質(zhì)吸力;n為孔徑分布參數(shù);m為試驗參數(shù)。

用VG模型對不同干密度試樣的土水特征曲線(見圖1)進(jìn)行擬合,得到3組不同干密度土樣的相關(guān)參數(shù),如表2所示。

表2 不同干密度土樣VG模型計算參數(shù)Tab.2 Calculation parameters of VG model for soil samples with different dry densities

結(jié)合試驗數(shù)據(jù)和孔徑分布理論,得到的孔徑分布曲線如圖 2所示。

由圖2可知,該組試樣的孔徑分布曲線在試驗范圍內(nèi)均呈下凹型,說明壓實后的土樣中,大孔徑的孔隙體積含量小,小孔徑的孔隙體積含量多。且隨著干密度的增大,相同孔徑時曲線的斜率明顯減小,說明隨著擊實次數(shù)的增多,試驗范圍內(nèi)各孔徑的孔隙體積含量均減小。且試樣密實度增大的同時,相同的基質(zhì)吸力下能排出的水的體積明顯減小。

圖2 不同干密度土樣的孔徑分布曲線Fig.2 Pore diameter distribution curve of soil samples with different dry densities

為了進(jìn)一步分析不同干密度試樣的孔徑分布特征和其持水特性之間的關(guān)系,利用分形理論對試樣的孔隙體積-孔徑進(jìn)行分析。結(jié)合式(12)和圖2,以lnr為橫坐標(biāo),以ln[Vv(≤r)/(Vv)]為縱坐標(biāo),可對不同干密度試樣的孔徑分布特征進(jìn)行分形分析,結(jié)果如圖3所示。

根據(jù)圖 3,不同干密度的土樣,在孔徑較小的時候,其lnr和ln[Vv(≤r)/(Vv)]呈較為明顯的直線關(guān)系,說明土樣的孔隙分布在小孔徑的前提下具有明顯的分形特征,其內(nèi)部孔隙體積百分比含量的分形維數(shù)D分別為2.873、2.917 1和2.933 2?？梢园l(fā)現(xiàn),孔隙體積百分比含量的分形維數(shù)D隨著試樣干密度的增大而增大。

圖3 不同干密度土樣的孔隙體積-孔徑分形維數(shù)Fig.3 Fractal dimension of pore volume and pore diameter of soil samples with different dry densities

為了分析土體內(nèi)部的孔隙體積百分比含量的分形維數(shù)D與土體持水特性的關(guān)系,將根據(jù)VG模型得到的土體持水特性參數(shù)——殘余含水率θr和進(jìn)氣壓力值參數(shù)α的關(guān)系整理如圖4所示。

由圖4可知,不同干密度的黃土試樣,內(nèi)部的孔隙體積百分比含量的分形維數(shù)D與殘余含水率呈正相關(guān),且有較為明顯的線性關(guān)系,分形維數(shù)D越大,殘余含水率越大,土體的持水性能越強(qiáng)。分形維數(shù)D與試樣的進(jìn)氣壓力值也呈正相關(guān),進(jìn)氣壓力值是土體中開始出現(xiàn)氣泡的吸力,對于飽和土而言,進(jìn)氣壓力值越大,其持水能力越強(qiáng),最大孔隙的半徑越小,但它們之間不呈線性關(guān)系。

圖4 孔隙體積-分形維數(shù)與不同干密度土體持水特性的關(guān)系Fig.4 Relationship between fractal dimension of pore volume to pore diameter and water-holding characteristics of soils with different dry densities

綜上所述,土體內(nèi)部的孔隙體積百分比含量的分形維數(shù)D可以反映不同壓實度下土中孔隙分布特征,也可以用于評價土的持水特性,土體較為松散時,土中孔隙體積較大,此時土的持水能力較弱,分形維數(shù)D較小;相反,土體較為緊密時,土中孔隙體積較小,此時土的持水能力較強(qiáng),分形維數(shù)D較大。

3.2 不同含水率下試驗分析

3組不同含水率的黃土試樣的土水特征曲線如圖5所示。圖中,3條土水特征曲線差異較小,初始含水率較低的土樣略陡,含水狀態(tài)變化略明顯。

同樣,利用VG模型對圖5中的土水特征曲線進(jìn)行非線性擬合,得到3組不同含水率的黃土試樣的持水特性相關(guān)參數(shù),如表3所示。

表3 不同含水率土樣VG模型計算參數(shù)Tab.3 Calculation parameters of VG model for soil samples with different water content

圖5 擊實60次時不同含水率土樣的土水特征曲線Fig.5 Soil-water characteristic curves of soil samples with different water content after 60 compaction times

結(jié)合試驗數(shù)據(jù)和孔徑分布理論,得到3組不同含水率試樣的孔徑分布曲線如圖6所示。

由圖6可知,該組試樣的孔徑分布曲線在試驗范圍內(nèi)同樣呈下凹型,孔隙的累積速度較慢,不同含水率的試樣中,孔徑大于0.01 mm的孔隙含量均在4%～6%之間。說明不同的含水率條件下,土中的大孔隙的體積所占比例基本保持不變。隨著含水率的增大,相同孔徑時曲線的斜率變化不明顯,可以認(rèn)為,各孔徑值對應(yīng)的孔徑分布曲線的斜率基本保持不變。這說明,在增濕條件下,土中結(jié)構(gòu)狀態(tài)發(fā)生改變時,不同孔徑的孔隙體積基本按等量變化。綜上,初始含水率越大的土樣,土中孔徑整體略小,持水能力稍有提高。

圖6 不同含水率土樣的孔徑分布曲線Fig.6 Pore diameter distribution curve of soil samples with different water content

同樣,結(jié)合式(12)和圖 6,以lnr為橫坐標(biāo),以ln[Vv(≤r)/(Vv)]為縱坐標(biāo),對不同含水率試樣的孔隙分布特征進(jìn)行分形分析,結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同含水率土樣的孔隙體積-孔徑分形維數(shù)Fig.7 Fractal dimension of pore volume and pore diameter of soil samples with different water content

同樣地,排除試驗數(shù)據(jù)中孔徑較大的數(shù)據(jù)點,不難發(fā)現(xiàn),不同含水率的土樣,lnr和ln[Vv(≤r)/(Vv)]也呈較明顯的直線關(guān)系。根據(jù)圖 7計算可得,其內(nèi)部孔隙體積百分比含量的分形維數(shù)D分別為2.866 6、2.883 4和2.911 6。土樣的初始含水率越大,土的孔隙體積-孔徑分形維數(shù)D越大,在濕度增大的同時,大于某一孔徑的孔隙體積百分比減小。由此推斷,在增大水分時,在觀測區(qū)域內(nèi),土中孔隙的整體孔徑水平減小。

為了進(jìn)一步分析不同含水率的土體孔隙體積-孔徑分形維數(shù)D與持水特性的關(guān)系,整理土的殘余含水率與進(jìn)氣壓力值與分形維數(shù)D的關(guān)系,如圖8所示。

圖8 孔隙體積-分形維數(shù)與不同含水率土體持水特性的關(guān)系Fig.8 Relationship between fractal dimension of pore volume to pore diameter and water-holding characteristics of soils with different water content

由圖8可知,孔隙體積百分比含量的分形維數(shù)D與殘余含水率正相關(guān),且表現(xiàn)為明顯的一次線性關(guān)系,分形維數(shù)D越大,殘余含水率越大,土體的持水性能越強(qiáng),這一點與不同干密度土樣的試驗結(jié)果相一致。此外,土樣的進(jìn)氣壓力值與分形維數(shù)D同樣正相關(guān),但兩者之間不呈線性關(guān)系。

由此可見,土體內(nèi)部的孔隙體積百分比含量的分形維數(shù)D可以反映不同濕度下土中孔隙分布特征,也可以用于評價土的持水特性。土體較為干燥時,土中孔隙體積較大,此時土的持水能力較弱,含水狀態(tài)變化大,分形維數(shù)D較小;相反,土體較為濕潤時,土中孔隙體積較小,此時土的持水能力較強(qiáng),含水狀態(tài)變化不明顯,分形維數(shù)D較大。在土的各項持水特性指標(biāo)中,殘余含水率與分形維數(shù)相關(guān)關(guān)系簡潔、明顯。因此,分形理論可以有效的用于分析土中孔隙分布特征這一細(xì)觀因素,并對土的殘余含水率進(jìn)行可靠的評價。

4 結(jié)論

本文以分形理論為基礎(chǔ),分析了不同壓實條件和不同含水率條件下土的孔隙變化特征和含水狀態(tài)變化規(guī)律,得出了主要結(jié)論如下:

1)分形維數(shù)D可以反映不同壓實度和不同濕度下土中孔隙分布特征,也可以用于評價土的持水特性。土體較為松散、干燥時,土中孔隙體積較大,此時土的持水能力較弱,分形維數(shù)較小;相反,土體較為緊密、潮濕時,土中孔隙體積較小,土的持水能力較強(qiáng),分形維數(shù)較大。

2)分形維數(shù)與殘余含水率正相關(guān),且表現(xiàn)為明顯的一次線性關(guān)系,分形維數(shù)越大,殘余含水率增大的同時,土體的持水性能也增強(qiáng)。分形理論可以對土的殘余含水率進(jìn)行可靠的評價。

3)分形維數(shù)與土樣的進(jìn)氣壓力值同樣正相關(guān)。但不同的是,干密度組試驗中,隨著分形維數(shù)的增大,土樣的進(jìn)氣壓力值會顯著增大,但在含水率組試驗中,隨著分形維數(shù)的增大,土樣進(jìn)氣壓力值的增大幅度越來越小。壓實和增濕兩種不同的作用,對于改變土體進(jìn)氣壓力值的效果明顯不同。