基于直覺模糊關(guān)系的雙論域多粒度概率粗糙集

黃心宏 張賢勇 楊霽琳

粗糙集是不確定性分析的基本數(shù)學(xué)工具，廣泛應(yīng)用于人工智能和機器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域.廣義粗糙集模型構(gòu)建能有效實現(xiàn)理論擴張，應(yīng)用于不確定性處理，從而成為一個重要的研究主題.通過引入概率、多粒度、雙論域三種拓展要素，產(chǎn)生基本的概率粗糙集[1]、多粒度粗糙集[2]、雙論域粗糙集[3-6]，以及基于雙要素的多粒度概率粗糙集[7]、雙論域多粒度粗糙集[8]、雙論域概率粗糙集[9].

基于三要素的粗糙集模型具有更好的適應(yīng)性.Mandal等[10]構(gòu)建雙論域多粒度概率粗糙集，進行三支決策制定，但基于三要素的粗糙集模型的相關(guān)研究相對較少.特別地，多粒度粗糙集是一類基礎(chǔ)模型.李金海等[11]綜述最新研究成果：模型擴展具有關(guān)系泛化、論域雙化、其它理論結(jié)合化三方面的結(jié)果，而相關(guān)前沿問題包括粒度結(jié)構(gòu)、屬性約簡、規(guī)則提取、多源數(shù)據(jù)分析、動態(tài)知識更新等.

模糊是不確定性的一種基本形態(tài)，其引入能強化粗糙集的不確定性處理能力.基于直覺模糊隸屬與非隸屬雙刻畫優(yōu)勢，直覺模糊關(guān)系被廣泛引入粗糙集中進行拓展建模，獲得多屬性決策等應(yīng)用.在多粒度要點上涌現(xiàn)各種多粒度直覺模糊粗糙集及對應(yīng)決策制定[12-14].特別地，高玲玲[15]聚焦多粒度、雙論域，提出雙論域多粒度直覺模糊粗糙集，郭智蓮等[16]聚焦雙論域、概率，提出雙論域直覺模糊概率粗糙集.事實上，基于直覺模糊關(guān)系的粗糙集具有更好的抗噪性與魯棒性，但結(jié)合概率、多粒度、雙論域三要素的綜合模型還少見報道.

綜上所述，本文主要采用直覺模糊關(guān)系，系統(tǒng)構(gòu)建具備概率、多粒度、雙論域的多粒度概率粗糙集，即多粒度雙論域直覺模糊概率粗糙集.具體建立正向樂觀、正向悲觀、逆向樂觀、逆向悲觀4種模型，并得到相應(yīng)的集成算法、數(shù)學(xué)性質(zhì)、醫(yī)療決策.相關(guān)模型綜合考慮模糊性、隨機性、粗糙性等不確定性要素與對應(yīng)概率、多粒度、雙論域結(jié)構(gòu)拓展要素，呈現(xiàn)強健性，改進文獻[15]的多粒度模糊形式并推廣文獻[16]的單粒度粗糙形式，有效引導(dǎo)不確定性分析與知識發(fā)現(xiàn)應(yīng)用研究.

1 相關(guān)知識

基于直覺模糊關(guān)系，下面簡要回顧雙論域多粒度直覺模糊粗糙集[15]與雙論域直覺模糊概率粗糙集[16].

定義非空有限論域U上的直覺模糊集

A={x,μA(x),vA(x)}，

其中，元素x的隸屬度

μA(x)∶U→[0,1]，

和非隸屬度

vA(x)∶U→[0,1].

非空有限論域U、V上的直覺模糊關(guān)系為：

R={〈(x,y),μR(x,y),vR(x,y)〉|(x,y)∈U×V}，

其中,對象x、y具有關(guān)系R的隸屬度

μR(x,y)∶U×V→[0,1],

和非隸屬度

vR(x,y)∶U×V→[0,1].

這里，稱(U,V,R)為雙論域直覺模糊近似空間，再加入概率測度P,組建雙論域直覺模糊概率近似空間(U,V,R,P).文獻[16]的概率刻畫還使用模糊截集參數(shù)λ1、λ2，概率比較閾值α、β，極限參數(shù)r，其中，λ1+λ2∈[0,1]，0≤β<α≤1，r∈(0,1).

定義 1[15]基于(U,V,Rk)，集合T?U的下上近似為

(1)

其中，

對稱地，集合X?V的下上近似為

(2)

定義 2[16]基于(U,V,R,P)及參數(shù)λ1、λ2、α、β，集合X?V的下上近似為

(3)

其中,

R(λ1,λ2)(x)=
{y∈V|μR(x,y)≥λ1,vR(x,y)≤λ2}，

(4)

對稱地,采用逆關(guān)系R-1，集合T?U的下上近似類似為

(5)

其中，

{x∈U|μR(x,y)≥λ1,vR(x,y)≤λ2}，

(6)

2 基于直覺模糊關(guān)系的雙論域多粒度概率粗糙集建模

本節(jié)基于直覺模糊關(guān)系，建立雙論域多粒度概率粗糙集.具體考慮雙論域正向關(guān)系、逆向關(guān)系與多粒度樂觀視角、悲觀視角的組合，系統(tǒng)構(gòu)建正向樂觀、正向悲觀、逆向樂觀、逆向悲觀4種模型，并主要以正向樂觀為例展開討論.

下面將定義2的單粒度模型推廣到多粒度模型，近似空間從(U,V,R,P)變?yōu)?U,V,Rk,P).從多粒度視角上看，閾值參數(shù)統(tǒng)一采用λ1、λ2、α、β，式(4)和式(6)的截集與概率首先更新為：

(Rk)(λ1,λ2)(x)=

{y∈V|μRk(x,y)≥λ1,vRk(x,y)≤λ2}，

{x∈U|μRk(x,y)≥λ1,vRk(x,y)≤λ2}，

(7)

定義 3正向樂觀模型 在(U,V,Rk,P)中，集合X?V的樂觀多粒度下上近似為

(8)

由于下近似不一定包含于上近似，進而定義對應(yīng)的正域、負(fù)域、上邊界域、下邊界域、邊界域為

(9)

相應(yīng)的精度與粗糙度如下：

(10)

針對直覺模糊關(guān)系與雙論域、概率雙要點，定義3依托并推進定義2的單粒度模型(式(3))，建立多粒度粗糙集的正向樂觀模型，其中，樂觀融合采用常規(guī)多粒度模式下的集合運算[8].式(9)的正域、負(fù)域、上邊界域、下邊界域、邊界域采用文獻[5]的運算形式，式(10)采用文獻[6]的思路，使用正域、邊界域定義精度與粗糙度.該模型主要采用樂觀多粒度視角與正向直覺模糊關(guān)系，下面加入悲觀視角與逆向關(guān)系,類似建立正向悲觀模型、逆向樂觀模型、逆向悲觀模型，并以雙近似刻畫為主.特別地，這4種模型共同組建多粒度雙論域直覺模糊概率粗糙集,具有系統(tǒng)關(guān)系，也體現(xiàn)并行性與選擇性.從特征上看，正向與反向來源于雙論域的兩個不同方向：2V→2U，2U→2V，而悲觀與樂觀關(guān)聯(lián)于2種多粒度態(tài)度.

定義 4正向悲觀模型 在(U,V,Rk,P)中，集合X?V的悲觀下上近似為

(11)

定義 5逆向樂觀模型 在(U,V,Rk,P)中，集合T?U的樂觀下上近似為

(12)

定義 6逆向悲觀模型 在(U,V,Rk,P)中，集合T?U的悲觀下上近似為

(13)

命題 1正向與逆向悲觀上近似具有如下公式：

(14)

(15)

命題 2關(guān)于下上近似之間的包含關(guān)系，正向與逆向樂觀模型不一定成立，但正向與逆向悲觀模型一定成立，即：

此外，樂觀模型與悲觀模型的同向近似之間存在如下包含關(guān)系：

命題 34種粗糙集模型具有如下退化性:

1)若m=1，該粗糙集為文獻[16]的雙論域直覺模糊概率粗糙集.

2)若m=1，α=1，β=0,且Rk為分明二元關(guān)系，則該粗糙集為文獻[4]的雙論域粗糙集.

3)若m=1且Rk是從U到V的集值映射，則該粗糙集為文獻[9]的雙論域概率粗糙集.

4)若m=1，λ1=1-λ2，且Rk是從U到V的模糊關(guān)系，則該粗糙集為雙論域模糊概率粗糙集.

5)若m=1且U=V，則該粗糙集為(單論域)直覺模糊概率粗糙集.

根據(jù)定義3～定義6，基于直覺模糊關(guān)系的雙論域多粒度概率粗糙集獲得4種模型，即多粒度雙論域直覺模糊概率粗糙集蘊含著正向樂觀模型、正向悲觀模型、逆向樂觀模型、逆向悲觀模型.這4種模型具有相似性、對稱性與系統(tǒng)性，都能進行精度與粗糙度的特征量化.

鑒于單粒度上近似具有并形式(如式(3)、式(5))，命題1變形基于并集成的悲觀上近似，即采用并運算交換律將式(11)和式(13)分別變形為式(14)和式(15).對比地，樂觀上近似的式(8)和式(12)涉及到并交運算，可使用并交分配律展開，但會變復(fù)雜.命題2考慮構(gòu)建樂觀模型與悲觀模型下上近似的包含關(guān)系，1)、2)涉及同一模型內(nèi)部，3)、4)涉及樂觀與悲觀之間，所有結(jié)果由相關(guān)定義可證.基于命題2中1)、2)，由于樂觀模型式(8)和式(12)的下近似使用并運算，而上近似使用交運算，如此上近似不一定嚴(yán)格包含下近似，還可能上近似包含于下近似.但悲觀模型式(11)和式(13)的下上近似構(gòu)造相反，導(dǎo)致下上近似之間具有嚴(yán)格包含關(guān)系.

此外基于命題2中3)、4)，正向樂觀模型與正向悲觀模型的下(上)近似之間具有集合包含關(guān)系，逆向樂觀模型與逆向悲觀模型的下(上)近似之間也具有集合包含關(guān)系.

總之，命題2的研究呈現(xiàn)4類模型關(guān)系——正反向之間相對獨立而樂觀悲觀之間呈現(xiàn)一定強弱，該結(jié)果一致于相關(guān)的系統(tǒng)建模機制.進而根據(jù)命題3的退化分析，4種模型一同擴張對應(yīng)粗糙集[4,9,16].其中，粒度個數(shù)m=1是向(單粒度)雙論域直覺模糊概率粗糙集[16]退化的基本條件，此時正向樂觀模型等價于正向悲觀模型，而逆向樂觀模型等價于逆向悲觀模型.

對比文獻[15]和文獻[16]的模型發(fā)現(xiàn)，三者都基于直覺模糊背景進行粗糙集建模，但本文完全涉及概率、多粒度、雙論域三要素的綜合集成，相關(guān)模型更適用于復(fù)雜環(huán)境的不確定性分析.文獻[15]模型主要采用隸屬函數(shù)與非隸屬函數(shù)的邏輯最值運算，相關(guān)結(jié)果更偏重于模糊集形式，不僅復(fù)雜、費解，也不好確定后續(xù)的不確定性度量(如精度、粗糙度).文獻[16]將模糊信息進行截取?；?，利用概率及閾值完成單粒度粗糙集的確定.通過拓展與深化，本文采用集合交并運算進行多粒度集成，相關(guān)結(jié)果是粗糙集常用的集合形式，更具簡單性與解釋性，也可自然定義后續(xù)的精度與粗糙度等不確定性度量.由此可見，本文模型具有多粒度建模改進優(yōu)勢.在理論上，本文模型更具有系統(tǒng)綜合性、刻畫深入性、優(yōu)良擴張性；在應(yīng)用上，相關(guān)結(jié)果具有廣泛適應(yīng)性與更強應(yīng)用性，有利于不確定性測量與多屬性決策制定等應(yīng)用.

綜上所述，本文4種模型具有理論擴張優(yōu)勢，同時具有多粒度環(huán)境的實際應(yīng)用性，都適用于共同的直覺模糊、雙論域、多粒度環(huán)境，但具有不同的側(cè)重點，可根據(jù)實際情況進行選擇.后面主要討論正向樂觀模型，其余3種模型可得到類似結(jié)果.在這里，算法1首先提供4種模型的集成計算，主要通過單粒度近似[16]集成獲取多粒度近似，具有系統(tǒng)結(jié)構(gòu)性與集成推進性的相關(guān)優(yōu)勢.算法引入4個單粒度近似，即

用于多粒度信息集成.

算法 1計算正向樂觀模型、正向悲觀模型、逆向樂

觀模型、逆向悲觀模型

輸入近似空間(U,V,Rk,P),k=1,2,…,m,

集合X?V、,T?U,參數(shù)λ1、λ2、α、β

輸出正向樂觀近似、逆向樂觀近似、

正向悲觀近似、逆向悲觀近似

1.forRk∈{R1,R2,…,Rm}do

2.forx∈Udo

3.由式(7)計算(Rk)(λ1,λ2)(x)，

P(X|(Rk)(λ1,λ2)(x))

4.由式(3)對應(yīng)條件判別x

5.end for

7.fory∈Vdo

9.由式(5)對應(yīng)條件判別y

10.end for

12.end for

13.由式(8)、式(11)～式(13)，采用集成運算得到

4種多粒度雙近似：

14.返回13中4對公式結(jié)果.

在算法1中，步驟1～12涉及外層多粒度循環(huán)，包含2個并行內(nèi)層循環(huán)：求正向單近似的論域U循環(huán)(步驟2～5)及求反向單近似的論域V循環(huán)(步驟7～10).步驟13采用式(16)集成計算4種多粒度雙近似，也可具體分入循環(huán)之中.選取求近似所需的模糊截取與概率測量作為基本運算，可得時間復(fù)雜度為O(2m(|U|+|V|)).由此可見，算法1具有有效性，可系統(tǒng)得到4類模型的雙近似，具體結(jié)果還依賴于參數(shù)選擇，從而相關(guān)的優(yōu)化確定成為一個問題.此外，算法1還可修正到計算后續(xù)數(shù)量特征或只關(guān)注一個模型.

最后說明相關(guān)參數(shù)的設(shè)定.本文模型主要涉及4個參數(shù)λ1、λ2、α、β，分為2類，一般性設(shè)置討論如下.

1)λ1、λ2為截集參數(shù)，具有基本范圍，λ1∈[0,1],λ2∈[0,1]，λ1+λ2∈[0,1]，主要將直覺模糊關(guān)系的(非)隸屬函數(shù)進行截取剖分，建立基礎(chǔ)的模糊?；?因此，λ1、λ2可由(非)隸屬函數(shù)特性確定，也可由決策者的?；枨笤O(shè)定.

2)α、β為概率閾值參數(shù)，通常約束范圍是0≤β≤0.5≤α≤1，主要將條件概率進行三支剖分，支持粗糙近似集的提取.α、β可由概率函數(shù)特性確定，也可由專家經(jīng)驗與實驗結(jié)果設(shè)定.作為補充，這里提供2種合理的設(shè)定方案:(1)可模擬決策粗糙集建模方法，引入決策風(fēng)險代價與貝葉斯最優(yōu)決策進行參數(shù)計算與確定；(2)可考慮條件概率排序與精度度量最大值，通過算法極小化參數(shù)所屬區(qū)間，最后選取居中參數(shù)或偏好閾值.

文中上述建模(及算法)與下述性質(zhì)都具有普適性，不依賴于參數(shù)值或參數(shù)無需預(yù)先設(shè)定.但在后續(xù)實例中，選取非極端的適中值進行說明，這種設(shè)定可完成基本的有效性驗證.在深入研究與實際應(yīng)用中，合理的參數(shù)設(shè)置更依賴于需求與經(jīng)驗、實驗與優(yōu)化等，并可涉及參數(shù)靈敏性分析.

3 基于直覺模糊關(guān)系的雙論域多粒度概率粗糙集性質(zhì)

針對多粒度雙論域直覺模糊概率粗糙集的4類模型，本節(jié)研究下上近似的基本性質(zhì)，包括集合運算關(guān)系、概率參數(shù)極限、精度大小對比3方面.主要考慮正向樂觀模型，其余3個模型具有類似結(jié)果.從而，基于性質(zhì)的四類模型關(guān)系就成為一個平凡工作或額外問題.這些性質(zhì)將文獻[16]的相關(guān)單粒度性質(zhì)進行多粒度擴展，具有機制性與擴張性.基于多粒度的并交集成機制(如式(16))在多粒度環(huán)境下的性質(zhì)自然具有集成性、傳遞性、正確性.因此，性質(zhì)證明中通常只選取一個代表作為示例.

性質(zhì) 1正向樂觀模型的下上近似性質(zhì)如下：

2)若X?Y，則

5)若0<α1≤α2≤1，0≤β1≤β2<1,則

6)

α>0.5，β<0.5.

證明性質(zhì)1可由基本定義3(即式(8))證明.作為示范，下面證明2)～4).

由定義3，存在k,使得

P(X|(Rk)(λ1,λ2)(x))≥α, (Rk)(λ1,λ2)(x)≠?.

若X?Y，則對于上述k,有

P(Y|(Rk)(λ1,λ2)(x))≥P(X|(Rk)(λ1,λ2)(x))≥α，

所以

即2)成立.

X∩Y?X,Y?X∪Y，

則由2)可直接推出3)與4)成立.

證畢

性質(zhì)1聚焦近似算子的運算性質(zhì)，得到正向樂觀模型近似的并交補運算關(guān)系.相關(guān)結(jié)果在系統(tǒng)上類似于文獻[16]的對應(yīng)性質(zhì)，但有多粒度提升性.

性質(zhì) 2正向樂觀模型近似算子極限刻畫為

進而，若Rk是一個串行的直覺模糊關(guān)系，即

則上述?、?關(guān)系能夠被強化為=.

證明下面僅證一種情況.根據(jù)性質(zhì)1中5)，有

根據(jù)定義3，若α>r，則

這就意味著

進而，Rk串行的性質(zhì)導(dǎo)致(Rk)(λ1,λ2)(x)≠?，因此式(6)的下近似簡化為

從而

的證明類似于文獻[16]中定理3的相應(yīng)證明.

證畢

性質(zhì) 3若Rk是一個串行的直覺模糊關(guān)系，則

性質(zhì)2與性質(zhì)3聚焦正向樂觀模型近似的概率參數(shù)極限，性質(zhì)2主要討論下近似右極限與上近似左極限，而性質(zhì)3提供對稱的下近似左極限與上近似右極限.基于串行直覺模糊關(guān)系，相關(guān)極限體現(xiàn)對于概率參數(shù)的雙近似連續(xù)性，一致于并深化文獻[16]的對應(yīng)結(jié)果.

性質(zhì) 4設(shè)?≠X?Y?V，如下3條成立：

1)若

則

2)若

則

3)若

則

進而，對于

X≠?,Y?V，

有如下2條成立：

證明由定義3的精度、粗糙度(式(10))和性質(zhì)1中2)可證明1)～3).4)、5)的證明與文獻[16]定理6的證明類似.

證畢

性質(zhì)4呈現(xiàn)正向樂觀模型近似的度量大小關(guān)系，主要是基于子集關(guān)系與并交運算的精度(粗糙度)大小刻畫，其中精度與粗糙度具有對稱性.相關(guān)結(jié)果關(guān)聯(lián)并深化文獻[16]的對應(yīng)結(jié)果.

4 實例說明

本節(jié)采用一個醫(yī)療實例，說明本文模型的計算算法、決策制定、數(shù)學(xué)性質(zhì).

4.1 模型建立

論域U={x1,x2,…,x5}為病人集，論域V={y1,y2,…,y5}收集發(fā)燒、頭痛、胃痛、咳嗽、肌痛5種癥狀.

假設(shè)4位專家對患者及癥狀進行相應(yīng)的關(guān)聯(lián)診斷，相關(guān)結(jié)果使用U×V上的模糊關(guān)系Rk(xi,yj)，i=1,2,…,5，j=1,2,…,5，k=1,2,3,4表示.具體如表1所示.

假設(shè)決策者根據(jù)實際情況，設(shè)置截集?；瘏?shù)λ1=0.3，λ2=0.5.基于概率分布與精度優(yōu)化，初步確定概率閾值參數(shù)所屬范圍α∈(0.5,1]，β∈[0.25,0.33)，由此選定α=0.77,β=0.32進行基本計算與有效驗證.考慮癥狀子集

X={y3,y4}?V，

其在(U,V,Rk,P)空間中的關(guān)系截集(Rk)(λ1,λ2)(x)與條件概率P(X|(Rk)(λ1,λ2)(x))如表2所示.

表1 病人與癥狀之間的直覺模糊關(guān)系

表2 關(guān)系截集與條件概率

下面先考慮正向樂觀模型.基于定義3(或修正算法1)可得如下的下上近似、三支區(qū)域、測評度量的計算結(jié)果:

根據(jù)上述三支區(qū)域結(jié)果，可得正向樂觀模型的決策制定策略，主要實施如下三支決策方案:

1)正域患者x5被判斷感染關(guān)聯(lián)X的疾病，需要相關(guān)治療；

2)負(fù)域患者x1、x2、x4未感染X相關(guān)疾病，不需要治療；

3)邊界域患者x3可能感染也可能沒有感染X相關(guān)疾病，需要進一步觀測與評估.

其余3種模型可類似計算.

表3給出正向和逆向情況下的單粒度模型[16]與多粒度模型的相關(guān)結(jié)果,正向模型考慮

X={y3,y4}?V，

而逆向模型考慮T={x2,x5}?U，并且涉及4個粒度R1、R2、R3、R4.

基于表3的實例結(jié)果，可揭示新建四類模型的關(guān)系，如容易驗證命題2的研究結(jié)果.類似上述正向樂觀模型，其余3種模型的語義或決策也可進行相應(yīng)解釋.由此可見，4種模型已將文獻[16]的單粒度

表3 單粒度模型與多粒度模型的實例結(jié)果

模型拓展到多粒度環(huán)境及其綜合應(yīng)用，相關(guān)的三支決策仍然具有可調(diào)機制以控制誤診風(fēng)險.此外，臨床診斷更期待高精度，這意味著更多的確診患者與更少的不確診患者.

由表3可見，在相同閾值情況下，正向樂觀模型的精度高于4個正向單粒度模型的精度，而逆向樂觀模型的精度不低于4個逆向單粒度模型的精度，這也說明本文模型對文獻[16]單粒度模型決策效果的改進性.

對比文獻[15]發(fā)現(xiàn)，本文模型引入概率度量以獲取多粒度建模改進.在本例中，定義1模型[15]呈現(xiàn)如下近似結(jié)果：

由此對比可見，文獻[15]模型的模糊集表達更復(fù)雜與費解，而本文模型的粗糙集表達更直接多樣并具可解釋性，并更利于后續(xù)的度量構(gòu)造與決策制定.

在醫(yī)療實例中，專家針對醫(yī)治病人與疾病癥狀的關(guān)聯(lián)，提供直覺模糊關(guān)系.一般地，根據(jù)醫(yī)學(xué)機理，這種模糊關(guān)系的隸屬值與非隸屬值更傾向于在特定范圍內(nèi)合理擺動，即專家們意見可能不同，但容易具有較一致的定性機制或總體方向，具體的把握程度可能會有所不同.

本例專家數(shù)據(jù)(如表1)具有較好的一致性，從而多粒度集成融合呈現(xiàn)合理的系統(tǒng)結(jié)果，能說明相關(guān)模型及性質(zhì)的有效性.此外，在實際情況中，專家們也可能出現(xiàn)較大分歧(包括在定性方面或定量方面)，特別是針對一些特殊病人或疑難病癥.此時，可考慮一致性判斷或特異性刪除，避免專家意見沖突，更好地進行統(tǒng)計分析與醫(yī)療決策.

4.2 性質(zhì)驗證

本節(jié)驗證構(gòu)建模型的性質(zhì)，主要聚焦正向樂觀模型，重點是其中一些代表結(jié)果.首先采用

λ1=0.3，λ2=0.5,
α=0.77，β=0.32,X={y3,y4}

的基本假設(shè)與結(jié)果.

考察性質(zhì)1.

2)取Y={y1,y3,y4,y5}?X，

3)設(shè)Y={y1,y2,y4}，則

4)設(shè)Y={y1,y2,y4}，則

5)取α1=0.6,β1=0.2，則

綜合1)～6)可知性質(zhì)1成立.特別指出，3)、4)及表3結(jié)果可說明命題2.

性質(zhì)2與性質(zhì)3涉及到概率參數(shù)極限，可通過閾值單調(diào)序列進行近似驗證.該理論性質(zhì)也可使用性質(zhì)1中5)說明，即5)的參數(shù)大小驗證也提供這里的一個支撐驗證，即本例的4個直覺模糊關(guān)系(R1、R2、R3、R4)都是串行的.

最后說明性質(zhì)4，主要是其中的精度部分，從而粗糙度結(jié)果自然成立.首先，選取

Y={y1,y3,y4,y5}?{y1,y3,y4}=X，

考慮1)～3)，此時

進而，選取Y={y1,y2,y4},考慮4)、5)，此時

綜上所述，相關(guān)數(shù)值結(jié)果容易驗證性質(zhì)4.

5 結(jié) 束 語

本文基于直覺模糊關(guān)系，并綜合考慮概率、雙論域、多粒度的泛化因素，構(gòu)建正向樂觀、正向悲觀、逆向樂觀、逆向悲觀4種多粒度雙論域直覺模糊概率粗糙集模型，得到相關(guān)的計算算法、數(shù)學(xué)性質(zhì)、決策分析.文中主要以正向樂觀模型為主.針對模糊、粗糙、隨機等不確定性復(fù)雜情況，利用概率度量方法改善文獻[15]的模型復(fù)雜性與測量困難性，將文獻[16]的單粒度模型推進到多粒度集成處理，在理論上擴張文獻[4]、文獻[9]、文獻[16]相應(yīng)模型與性質(zhì).本文模型具有有效融合性、優(yōu)良擴張性、廣泛適應(yīng)性，適用于復(fù)雜環(huán)境，增強模型強健性，有利于不確定性分析與多屬性決策制定.

鑒于本文模型的有效不確定性刻畫能力，后續(xù)的數(shù)據(jù)分析與知識發(fā)現(xiàn)還值得深入研究.特別地，基于文獻[11]的論述，本文模型有利于多粒度數(shù)據(jù)分析，在相關(guān)的屬性約簡、規(guī)則提取、決策制定等方面都具有研究空間與應(yīng)用前景.