基于解析模式分解和隨機減量技術的橋梁模態(tài)參數(shù)識別

楊勇，寧平華，王晟，華旭剛，溫青,3

(1.廣州市市政工程設計研究總院有限公司，廣東 廣州510095；2.湖南大學 風工程與橋梁工程湖南省重點實驗，湖南 長沙410082；3.湖南科技大學 土木工程學院，湖南 湘潭411201)

環(huán)境振動動力試驗是工程結構模態(tài)參數(shù)識別應用最為廣泛的方法[1-7]。該方法不影響工程結構的正常運營，測試結構在風、車輛和人群等隨機荷載下的振動響應，采用隨機子空間法、增強頻域分解法等一些時域和頻域方法識別結構模態(tài)振型、頻率和阻尼比。隨機減量技術(RDT)是一種常用的環(huán)境振動信號處理方法，通過該方法處理，可以獲得類似于自由振動的隨機減量信號。從隨機減量信號中可有效提取結構的頻率和阻尼比。該方法能較好的處理單模態(tài)環(huán)境振動信號，但處理多模態(tài)環(huán)境振動信號時，難以獲得理想的結果[8]。為了克服隨機減量技術在多模態(tài)振動信號處理中的缺陷，可提前對振動信號進行分解。經(jīng)驗模態(tài)分解(EMD)[9]是一種常用的、有效的信號分解方法，可將結構環(huán)境振動信號分解成一系列準穩(wěn)態(tài)的本征函數(shù)(IMFs)。YANG等[8]利用EMD在信號分解方面的優(yōu)勢，提出了基于經(jīng)驗模態(tài)分解和隨機減量技術(EMD-RDT)的結構模態(tài)參數(shù)識別，并用該方法識別一座高聳建筑的頻率和阻尼比。華旭剛等[7,10]采用基于經(jīng)驗模態(tài)分解和隨機減量技術的參數(shù)識別方法識別了南京長江橋梁的模態(tài)參數(shù)。經(jīng)驗模態(tài)分解篩選出來的本征函數(shù)有時并非單頻率成分，存在模態(tài)混淆現(xiàn)象。為了避免模態(tài)混淆，WU等[11]通過改進EMD，提出了集成經(jīng)驗模式分解(EEMD)。然而，EMD和EEMD難以處理密頻系統(tǒng)的振動信號分解，如大跨異型橋梁[6]。針對頻率分布密集的振動信號，CHEN等[12]提出了解析模式分解(analytical mode decomposition，AMD)。該方法能將頻率分布密集的振動信號分解成一系列單模態(tài)的子信號。WANG等[13-16]對該方法開展了系統(tǒng)研究。大跨異型橋梁具有頻率分布密集、模態(tài)振型多方向耦合等特征，實測環(huán)境振動響應的頻率分布會更加密集，直接利用隨機減量技術難以有效識別多階模態(tài)參數(shù)，基于EMD-RDT方法的識別效果也不理想。鑒于此，本文分析基于解析模式分解和隨機減量技術(AMD-RDT)的橋梁模態(tài)參數(shù)識別方法。該方法首先利用AMD在信號分解方面的優(yōu)勢，將環(huán)境振動響應信號分解成一系列單模態(tài)子信號；然后，利用隨機減量技術在隨機振動信號處理方面的優(yōu)勢，從分離的子信號中提取隨機減量信號；最后，采用最小二乘法按照單自由度系統(tǒng)自由振動函數(shù)從隨機減量信號中識別結構的固有模態(tài)頻率和阻尼比。本文首先詳細闡述了AMD-RDT模態(tài)參數(shù)識別方法。然后通過三自由度振動系統(tǒng)仿真分析驗證該方法的可行性，分析各參數(shù)對識別結果的影響，確定最優(yōu)參數(shù)選擇。最后，采用該方法識別了一座大跨度曲梁人行拱橋的固有頻率和阻尼比。

1 模態(tài)參數(shù)識別方法

1.1 解析模式分解

解析模式分解是基于希爾伯特變換的一種信號分解方法[12]。該方法假設信號x(t)由n個具有相互獨立頻率區(qū)間的子信號x(d)i(t)(i=1,2,…,n)組成，如式(1)所示。

每個子信號具有顯著的頻率成分(ω1,ω2,ω3,…,ωn)。每個子信號在獨立頻率區(qū)間(ωb(n?i?1)<|ωi|<ωb(n-i))的傅里葉變換值與原信號的傅里葉變換在此區(qū)間的傅里葉變換值相等?；诮馕瞿Ｊ椒纸獾男盘柗纸庥嬎闳缡?2)和式(3)所示。

式中：s0(t)=0，H[.]表示希爾伯特變換，ωbj∈(ωi,ωi+1)(j=1,2,…,n-1)是n?1個二分點頻率。

文獻[12-16]對解析模式分解進行了詳細論證和分析。通過解析模式分解，一個實測環(huán)境振動信號可以被分解為一系列單模態(tài)子信號，用于隨機減量技術處理。該方法對頻率密集的信號也能很準確的進行信號分解。

1.2 隨機減量技術

式中：y(0)為初始位移；D(t)為單位初始位移、零初始速度的自由振動響應；y?(0)為初始速度；V(t)

為零初始位移、單位初始速度的自由振動響應；h(t)為單自由度系統(tǒng)單位脈沖響應函數(shù)；f(t)為外部激勵。

對結構振動響應y(t)進行常數(shù)y0截取，獲得交點時刻tr(r=1,2,3,…)。以時刻t r為起點的響應y(t-t r)可以視為由tr時刻的位移y(tr)和速度y?(t r)分別引起的自由振動響應、以tr時刻為起點的外部激勵f(t-t r)引起的強迫振動響應的線性疊加，可表示為：

所有子樣本函數(shù)y(t-tr)構成子響應過程Y(t-tr)，所有子激勵函數(shù)f(t-tr)構成激勵子過程F(t-tr)。假設f(t)是零均值平穩(wěn)高斯過程，則y(t)是零均值平穩(wěn)高斯過程，y?(t)也是一個零均值平穩(wěn)高斯過程。因此，E[y?(t)]=0，E[f(t)]=0，將時間起點tr移至坐標原點(tr=0)，由此可得

由式(7)可知，子響應過程Y(t)是一個初始位移為E[y(0)]、初始速度為0的自由振動過程。由于實際測試中采樣長度的限制，可將式(7)表示為

式中：N為子樣本數(shù)，τ=t-ti。

1.3 參數(shù)識別

基于解析模式分解和隨機減量技術的結構模態(tài)參數(shù)識別流程如圖1所示。首先，根據(jù)實測環(huán)境振動響應功率譜，確定結構頻率成分，使用解析模式分解(AMD)獲得n個單模態(tài)的子信號y(d)i(t)。然后，對分解出來的n個子信號y(d)i(t)分別進行隨機減量技術(RDT)處理，獲得n個單模態(tài)的隨機減量信號E(Y(d)i)。最后，從隨機減量信號中識別結構頻率和阻尼比。獲得的隨機減量信號具有單自由度系統(tǒng)自由振動的特征。單自由度系統(tǒng)自由振動函數(shù)可以表示為：

圖1 基于AMD-RDT模態(tài)參數(shù)識別方法流程圖Fig.1 Flowchart of AMD-based RDT modal parameters identification

式中：ρi，ζi，ωi，ωdi和θi分別是第i個自由振動的振幅、阻尼比、固有頻率、阻尼頻率和相位角。其中阻尼頻率由固有頻率和阻尼比計算得到，故式中共有4個未知數(shù)。采用最小二乘法按公式(10)所示最優(yōu)目標函數(shù)，可以得到4個未知數(shù)的最優(yōu)解，由此實現(xiàn)結構模態(tài)頻率和阻尼比的識別。

2 參數(shù)分析

2.1 振動系統(tǒng)模型

假設一個3自由度質量?彈簧?阻尼系統(tǒng)[11]，如圖2所示，其中，m1=m2=m3=1 000 kg，k1=k4=40 kN/m，k2=k3=15 kN/m，c1=c4=120 Ns/m，c2=c3=45 Ns/m。上述系統(tǒng)的固有頻率分別為f1=0.673 Hz，f2=1.180 Hz，f3=1.304 Hz，阻 尼 比 分 別 為ζ1=0.63%，ζ2=1.11%，ζ3=1.23%。第2階和第3階模態(tài)的頻率較接近。

圖2 3自由度振動系統(tǒng)Fig.2 3-DOF representation of a mechanical system

2.2 環(huán)境振動仿真

在3個質量塊上分別作用均值為0的高斯白噪聲激勵，模擬環(huán)境激勵，計算得到3個質量塊的位移響應，為了更好的模擬實際情況，對計算得到的位移響應加入零均值高斯白噪聲模擬的測量噪聲后作為實測振動信號。噪聲水平由噪信比確定，R=σy/σx，σy和σx分別為噪聲和信號的均方根值。

數(shù)值分析時，采樣頻率為100 Hz，采樣時間為1 600 s，前200 s位移時程如圖3所示，位移響應的功率譜如圖4所示。

圖3 質量塊位移時程Fig.3 Displacement histories of m1，m2，m3

圖4 位移響應的功率譜Fig.4 Power spectrum densities of the displacements

2.3 參數(shù)識別流程

采用基于解析模式分解和隨機減量技術的結構模態(tài)參數(shù)識別方法開展了模態(tài)參數(shù)識別。首先，對實測信號進行功率譜分析，確定結構的頻率成分；然后，進行基于解析模式分解的信號分解。二分點頻率取相鄰模態(tài)頻率的中點0.93 Hz和1.242 Hz。為了消除實測信號中低頻成分和高頻成分對參數(shù)識別的影響，增加了低頻和高頻截止二分點頻率，分別是0.3 Hz和1.60 Hz。通過解析模式分解，將信號分解成5個子信號，其中第2，3，4個子信號分別為包含第1階、第2階和第3階模態(tài)頻率的單模態(tài)信號，m1質量塊前200 s的信號如圖5所示，第1和第5個信號分別為濾除的低頻和高頻信號；第3步，采用隨機減量技術分別對第2，3，4個子信號進行處理，獲得第1階、第2階和第3階模態(tài)的隨機減量信號，分別如圖6所示；最后，采用最小二乘法按照單自由度自由衰減振動理論函數(shù)分別擬合這3個隨機減量信號，識別頻率和阻尼比，擬合的自由衰減振動曲線如圖6所示。

圖5 AMD從m1響應中分離出來的單模態(tài)子信號Fig.5 Single-mode sub-signals decomposed by AMD

圖6 RDT提取的和LSM擬合的衰減減量信號Fig.6 Random decrement signature extracted by RDT and fitted by LSM

2.4 隨機減量技術參數(shù)分析

在模態(tài)參數(shù)識別過程中，影響識別結果的因素有：1)常數(shù)x0的取值；2)隨機減量信號長度的選擇。常數(shù)x0通常取信號均方根的a倍，即y0=a×std(y(d)i(t))。隨機減量信號長度的取值與結構的阻尼比有關，當阻尼比較大時，振動很快就會衰減，過長的隨機減量信號會減弱識別的精度，本文提出了隨機減量信號長度取L倍模態(tài)周期的方法。進行了常數(shù)y0和隨機減量信號長度最優(yōu)取值分析。因系統(tǒng)的阻尼比差異不同，不同模態(tài)采用相同的L倍模態(tài)周期。不同a和L的參數(shù)識別結果如表1所示，識別時未加入測試噪聲。常數(shù)y0取值對識別結果的影響較小，隨機減量信號長度的取值對識別結果影響明顯，通過分析，常數(shù)y0取1.5倍信號均方根、衰減信號長度取10倍模態(tài)周期能更準確的獲得模態(tài)參數(shù)。

表1 參數(shù)a和L對識別結果的影響Table 1 Effects of parameter a and L on modal parameters identification

2.5 振動信號的選擇

在環(huán)境振動動力試驗時，會在不同位置布置多個測點。各階模態(tài)在不同測點的響應與模態(tài)振型有關，因此，測點位置也會影響參數(shù)識別。分別對3個質量塊的位移響應進行了模態(tài)參數(shù)識別，分析測點位置對識別結果的影響，識別結果如表2所示，由于第2階模態(tài)振型m2的振幅為0，故m2識別的第2階模態(tài)不準確，其他測點識別的模態(tài)參數(shù)都較準確。因此，當需要分析某階模態(tài)的頻率和阻尼比時，測點應盡可能布置在該階模態(tài)振型位移較大的位置。

表2 由不同質量塊響應識別的模態(tài)參數(shù)Table 2 Modal parameters identified by the responses of m1,m2 and m3

2.6 噪聲干擾分析

分析噪聲對參數(shù)識別結果的影響。取a=1.5，L=10，分析不同的噪聲信比R=0，10%和20%對識別精度的影響，如表3所示，結果表明：測量噪聲不影響識別結果。

表3 噪信比R對識別結果的影響Table 3 Effects of noise to signal ratio on modal parameters identification

3 工程應用

3.1 工程概況

海心橋位于廣州市新中軸線西側，橫跨珠江河。橋梁總體布置為主橋+4個引橋+接岸平臺[17]。主橋為曲梁斜拱結構，拱跨為198.152 m，矢高為57.95 m，矢跨比為1/3.4，拱軸線采用二次拋物線的形式并向外傾斜10°。大橋主橋平面和立面圖如圖7所示。

圖7 海心沙人行景觀橋主橋立面和平面圖Fig.7 Elevation and plan view of Haixingsha Footbridge

該橋梁位于沿海強風區(qū)，橋址周圍經(jīng)濟發(fā)達、人口稠密，人流交通量大，因此，抗風穩(wěn)定性和人致振動舒適性是該橋梁必須解決的關鍵問題。該橋梁為異型空間結構，主梁為曲線線型，通過有限元模態(tài)特征可知，該橋模態(tài)振型各方向耦合嚴重，其中第1階和第2階模態(tài)振型如圖8所示。準確獲得橋梁主要模態(tài)的頻率和阻尼比對橋梁抗風性能校核和人致振動舒適度評價及減振設計至關重要。

圖8 第1階和第2階模態(tài)振型圖Fig.8 Mode shapes for the first and second mode

3.2 環(huán)境振動動力試驗

為了分析人行橋主要模態(tài)的動力特征，在橋面布置了10個測點，測點布置如圖9所示。因施工條件限制，結合動力試驗目標，進行了3個工況的環(huán)境振動動力試驗，每個工況布置8個單向拾振器，測試方向包括豎向和水平向。采樣頻率為100 Hz，采樣時間超過1 600 s，實測加速度響應如圖10所示。實測環(huán)境振動響應功率譜如圖11所示。

圖9 傳感器測點布置圖Fig.9 Instrumented sections of the accelerometers

圖10 實測主梁環(huán)境激勵響應Fig.10 Acceleration Responses of main girder under ambient excitation

3.3 模態(tài)參數(shù)識別

根據(jù)圖11所示功率譜，確定了AMD的二分點頻率，加上低頻和高頻濾波頻率，二分點頻率共5個，分別是0.50，0.80，1.12，1.38和1.80 Hz。然后對每個測點的實測響應進行相同二分點頻率的AMD處理和a=1.5，L=10的RDT處理，最后對每個測點獲得的4個隨機減量信號進行模態(tài)參數(shù)識別。通過以上處理，每階模態(tài)將獲得多組識別參數(shù)，結合功率譜圖，剔除虛假模態(tài)，最終確定合理模態(tài)參數(shù)。當某階模態(tài)存在多個合理識別參數(shù)時，以合理識別參數(shù)的均值作為綜合結果。基于AMD-RDT的模態(tài)參數(shù)識別結果如表4所示。第2階和第3階模態(tài)振型在1號測點處為駐點，故無法從1號測點中獲得這兩階模態(tài)的信息。同時，采用隨機子空間法進行了模態(tài)參數(shù)識別，識別結果也如表4所示。通過比較AMD-RDT與SSI識別的結果，兩者識別的頻率和阻尼比均吻合非常好，說明AMD-RDT識別的頻率和阻尼比均較為可靠，可應用于實際工程。

圖11 主梁豎向和側向加速度響應功率譜Fig.11 Auto power spectral densities of vertical and lateral accelerations at main girder

表4 AMD-RDT和SSI識別的頻率和阻尼比Table 4 Natural frequencies and damping ratios identified by AMD-RDT and SSI

4 結論

1)截取常數(shù)y0取1.5倍信號的均方根值，即y0=1.5×std(y(d)i(t))，隨機減量信號長度取10倍模態(tài)周期能更準確地識別結構的固有頻率和模態(tài)阻尼比。

2)該方法能從環(huán)境振動響應中準確識別大跨異型橋梁的固有頻率和阻尼比，識別結果與SSI法識別的結果相符，表明該方法的識別結果是合理的。