五自由度磁力驅(qū)動平臺的支承控制建模與試驗研究

周峻宇，閻明印，孫鳳，金俊杰，王韜宇

(沈陽工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，沈陽 110870)

電磁懸浮驅(qū)動技術(shù)是磁懸浮技術(shù)的一種應(yīng)用，具備響應(yīng)迅速、無需潤滑等優(yōu)點，常應(yīng)用于高精度、高速度設(shè)備的運動控制[1-2]，并在國內(nèi)外學(xué)者的研究中不斷發(fā)展突破。文獻[3]提出了一種同步平面電動機結(jié)構(gòu)，對x，y，z方向3個自由度運動的懸浮力進行了仿真分析。文獻[4]設(shè)計了一種新型磁懸浮定位平臺，其由通電線圈提供平臺的懸浮力和垂直方向上的力，降低了控制難度。文獻[5]研制了一種六自由度精密定位臺，由6組E型電磁鐵組成懸浮平臺，提高了懸浮平臺的控制精度，平動行程可達毫米級，轉(zhuǎn)動行程可達微米級[5-6]。文獻[7]介紹了一種六自由度磁懸浮平臺，其定位精度可達納米級且系統(tǒng)魯棒性好。

本文提出了一種五自由度磁力驅(qū)動平臺，采用磁懸浮軸承結(jié)構(gòu)形式，通過6組差動電磁鐵控制平臺五自由度運動[8-9]，并建立動力學(xué)模型對系統(tǒng)豎直方向3個自由度的運動進行仿真分析和驅(qū)動試驗。

1 磁力驅(qū)動平臺結(jié)構(gòu)及工作原理

1.1 磁力驅(qū)動平臺結(jié)構(gòu)

五自由度磁力驅(qū)動平臺的結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由6組差動電磁鐵、上頂蓋、下底蓋及中間起到連接作用的連接環(huán)構(gòu)成[10-11]。

1—上頂蓋；2—磁鐵連接塊；3—徑向電磁鐵；4—軸向電磁鐵；5—浮動平臺；6—下底蓋；7—連接環(huán)；8—位移傳感器。

1.2 磁力驅(qū)動平臺工作原理

五自由度磁力驅(qū)動平臺中磁力驅(qū)動器電磁鐵的水平分布如圖2所示：上下端蓋上均勻布置4組差動電磁鐵(編號1，2，3，4)；中間部分的連接環(huán)上同樣均勻分布著2組差動電磁鐵(編號5，6)。控制1～4組差動電磁鐵的電流可實現(xiàn)平臺在z軸方向的移動；在平臺穩(wěn)定懸浮時，控制1，3組電磁鐵可實現(xiàn)平臺繞x軸回轉(zhuǎn)運動；控制2，4組電磁鐵可實現(xiàn)平臺繞y軸回轉(zhuǎn)運動；控制水平方向上的5，6組電磁鐵的電流可實現(xiàn)懸浮物沿x軸和y軸移動。

圖2 磁力驅(qū)動器電磁鐵的分布Fig.2 Distribution of electromagnets for magnetic driver

2 控制系統(tǒng)動力學(xué)模型

五自由度磁力驅(qū)動平臺的受力情況如圖3所示，取平臺穩(wěn)定懸浮時平衡位置的質(zhì)心O為坐標系原點并設(shè)立絕對坐標系；當平臺在平衡位置處運動時，其質(zhì)心發(fā)生了偏移，記為O′并設(shè)立相對坐標系。

圖3 系統(tǒng)受力分析Fig.3 Force analysis of system

設(shè)O點的廣義坐標為

O=[XYZαβ]T,

(1)

式中：X，Y，Z為平臺平動上的自由度；α，β分別為平臺繞x，y軸運動的自由度。

平臺在運動時所處的坐標系O′相對于6組電磁鐵的坐標可以表示為

O′=[Z1Z2Z3Z4X1X2Y1Y2]T,

(2)

式中：Z1，Z2，Z3，Z4為垂直方向電磁鐵的自由度；X1，X2，Y1，Y2為水平方向電磁鐵的自由度。

上述2個廣義坐標系的變換關(guān)系為

(3)

式中：a為磁極到質(zhì)心的距離。

由于平臺有5個自由度的運動，控制系統(tǒng)的總動能由平動動能T1和轉(zhuǎn)動動能T2組成，分別為

(4)

式中：m為平臺質(zhì)量；Jα，Jβ分別為平臺繞x，y軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。

建立的拉格朗日方程為

(5)

式中：kx，ky，kz為對應(yīng)位置電磁鐵的位移剛度系數(shù)；kixy，kiz為電流剛度系數(shù)；i1～i6分別為6組差動電磁鐵的控制電流。

狀態(tài)空間矩陣為

(6)

(7)

C=[(0)5×5(E)5×5],

式中：u為系統(tǒng)的輸入，即控制電流；x為系統(tǒng)的狀態(tài)；y為系統(tǒng)的輸出；E為單位矩陣。

3 仿真分析

控制系統(tǒng)的基本參數(shù)見表1，PID控制原理如圖4所示：輸入量xd，yd為x，y方向的平動，實現(xiàn)離軸加工并保證焦點與輔助氣體的位置關(guān)系；zd為z向平動，負責改變焦點位置；αd，βd為x，y軸的回轉(zhuǎn)運動，實現(xiàn)激光打孔并達到激光振鏡的效果[12-13]。

表1 控制系統(tǒng)的基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of control system

圖4 PID控制原理Fig.4 Schematic diagram of PID control

使用Simulink對平臺的z向移動、x軸回轉(zhuǎn)和y軸回轉(zhuǎn)進行仿真分析，在0.5 s時給系統(tǒng)z方向一個0.1 mm的連續(xù)階躍信號，給系統(tǒng)x軸回轉(zhuǎn)和y軸回轉(zhuǎn)一個0.005 rad的連續(xù)階躍信號，PID控制參數(shù)kP為520，kI為300，kD為3，位移輸出情況如圖5所示。

由圖5可知：PID控制下系統(tǒng)沿z軸移動的響應(yīng)時間為0.05 s，超調(diào)量為90%；系統(tǒng)繞x，y軸回轉(zhuǎn)的響應(yīng)時間為0.05 s，超調(diào)量為75%；在給系統(tǒng)連續(xù)階躍信號情況下，平臺能夠迅速響應(yīng)，具有較好的控制效果。

圖5 PID控制下系統(tǒng)的位移輸出Fig.5 Displacement output of system under PID control

4 五自由度磁力驅(qū)動平臺樣機的搭建

為驗證z向移動以及x，y軸回轉(zhuǎn)這3個自由度的驅(qū)動特性和理論模型的準確性，搭建五自由度磁力驅(qū)動平臺進行試驗驗證。

電磁懸浮驅(qū)動器如圖6所示，豎直方向的4組軸向差動電磁鐵與控制器之間采用中間塊連接，2組徑向電磁鐵則直接與中間連接環(huán)連接，通過這6組電磁鐵控制懸浮平臺實現(xiàn)5個自由度的運動。

圖6 五自由度磁力驅(qū)動平臺樣機Fig.6 5-DOF magnetic driving platform prototype

根據(jù)五自由度磁力驅(qū)動平臺工作原理搭建的試驗裝置如圖7所示。dSPACE控制器的電壓信號輸入范圍為0～10 V。電渦流位移傳感器的量程為0～2 mm，精度為0.05 mm，輸出電壓為0～6 V，可檢測系統(tǒng)的位置輸出。功率放大器電壓信號的工作量程為0～10 V，輸出電流為0～6 A，可放大輸出信號。

圖7 五自由度磁力驅(qū)動平臺試驗裝置Fig.7 Experimental device of 5-DOF magneticdriving platform

根據(jù)驅(qū)動平臺構(gòu)建控制系統(tǒng)單元，給懸浮物一個階躍信號作為期望位移值，電渦流位移傳感器檢測到位移信號后通過dSPACE進行數(shù)模轉(zhuǎn)換并傳遞給控制器，將反饋值與期望位移的計算偏差作為控制器輸出信號，通過dSPACE轉(zhuǎn)換為電壓信號并經(jīng)功率放大器轉(zhuǎn)換為電流信號輸入線圈，使懸浮物達到穩(wěn)定位置：上述過程形成一個閉合回路。通過調(diào)試試驗裝置實現(xiàn)對差動電磁鐵的磁力控制，最終分別對z軸平動特性和x，y軸回轉(zhuǎn)特性進行控制試驗。

5 磁力驅(qū)動平臺特性分析

試驗中，各參數(shù)條件與仿真分析保持一致，在理論基礎(chǔ)上調(diào)節(jié)PD和PID參數(shù)并進行磁力驅(qū)動平臺特性分析，PD控制參數(shù)kP為520，kD為3；PID控制參數(shù)kP為520，kI為300，kD為3。

5.1 起浮特性

為實現(xiàn)磁力驅(qū)動平臺5個自由度的運動，應(yīng)對驅(qū)動平臺進行起浮試驗以驗證其能否實現(xiàn)穩(wěn)定懸浮[14]。向豎直方向上的4組電磁鐵輸入一個偏置電流使磁力驅(qū)動平臺有一定的電流剛度，給系統(tǒng)提供一個平衡位置位移信號，豎直方向上端4個電磁鐵的電流增大，下端4個電磁鐵的電流減小，從而使懸浮物達到平衡位置。

如圖8所示，電磁驅(qū)動平臺在上、下端蓋4組電磁鐵(Z1，Z2，Z3，Z4)的共同作用下，經(jīng)過0.20 s的調(diào)節(jié)時間(PD控制)使平臺回到平衡位置。

圖8 磁力驅(qū)動平臺的起浮情況Fig.8 Undulation of magnetic driving platform

5.2 z軸平動特性

系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮時，給系統(tǒng)幅值為0.1 mm的連續(xù)階躍信號， PD和PID控制試驗下的z向位移輸出曲線如圖9所示：PD控制的響應(yīng)時間為0.10 s，調(diào)節(jié)時間為0.20 s，超調(diào)量為100%，穩(wěn)態(tài)誤差為0.05 mm；PID控制的響應(yīng)時間為0.25 s，調(diào)節(jié)時間為1.25 s，超調(diào)量為120%，穩(wěn)態(tài)誤差為0。PD控制的響應(yīng)時間和調(diào)節(jié)時間快，但存在穩(wěn)態(tài)誤差，懸浮物在z向的移動通過4組差動電磁鐵共同控制實現(xiàn)，由圖8也可以明顯看出4組電磁鐵的位移變化不一致，控制精度低。相較于PD控制，PID控制的響應(yīng)時間慢，但消除了穩(wěn)態(tài)誤差，保證4組差動電磁鐵與懸浮物間的氣隙始終一致，具有較高的控制精度，能夠精準確定焦點位置，實現(xiàn)調(diào)焦功能。

圖9 系統(tǒng)的z向平動Fig.9 Translational motion of system along z-axis

5.3 x軸回轉(zhuǎn)特性

系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮時，給系統(tǒng)幅值為0.001 rad的連續(xù)階躍信號，觀察系統(tǒng)的位移輸出響應(yīng)情況。PD和PID控制試驗下x軸回轉(zhuǎn)情況如圖10所示：PD控制的響應(yīng)時間為0.20 s，調(diào)節(jié)時間為1.20 s，超調(diào)量為70%，穩(wěn)態(tài)誤差為0.001 2 rad；PID控制的響應(yīng)時間為0.30 s，調(diào)節(jié)時間為1.80 s，超調(diào)量為230%，穩(wěn)態(tài)誤差為0。在相同試驗條件下，PD控制響應(yīng)快，響應(yīng)過程中比較穩(wěn)定，但存在穩(wěn)態(tài)誤差；對于PID控制，雖然響應(yīng)過程中電磁鐵氣隙波動較大，但由于積分的引入，有效消除了穩(wěn)態(tài)誤差，具有較高的控制精度。

圖10 系統(tǒng)繞x軸的回轉(zhuǎn)運動Fig.10 Rotation of system around x-axis

5.4 y軸回轉(zhuǎn)特性

系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮時，給系統(tǒng)幅值為0.001 rad的連續(xù)階躍信號，觀察系統(tǒng)的位移輸出響應(yīng)情況。PD和PID控制試驗下y軸回轉(zhuǎn)情況如圖11所示：PD控制的響應(yīng)時間為0.20 s，調(diào)節(jié)時間為1.20 s，超調(diào)量為75%，穩(wěn)態(tài)誤差為0.07 mm；PID控制的響應(yīng)時間為0.30 s，調(diào)節(jié)時間為2.00 s，超調(diào)量為80%，穩(wěn)態(tài)誤差為0。在相同試驗條件下，PD控制的響應(yīng)時間和調(diào)節(jié)時間快但存在穩(wěn)態(tài)誤差，PID控制消除了穩(wěn)態(tài)誤差，具有較好的控制精度，可以精準確定激光打孔位置，達到激光振鏡的效果。

圖11 系統(tǒng)繞y軸的回轉(zhuǎn)運動Fig.11 Rotation of system around y-axis

5.5 小結(jié)

仿真與試驗結(jié)果的對比見表2：試驗結(jié)果的響應(yīng)時間比仿真結(jié)果略長，控制系統(tǒng)存在時滯性；由于懸浮物質(zhì)量分布不均勻，試驗的超調(diào)量也比仿真結(jié)果大。

表2 仿真與試驗結(jié)果的對比Tab.2 Comparison of simulation and experimental results

6 結(jié)論

提出了一種五自由度磁懸浮驅(qū)動平臺，建立動力學(xué)模型并使用Simulink進行仿真分析，通過對控制系統(tǒng)的z向平動和x，y軸回轉(zhuǎn)運動的控制試驗得出以下結(jié)論：

1)五自由度驅(qū)動平臺能實現(xiàn)穩(wěn)定懸浮，驗證了z向平動和x，y軸回轉(zhuǎn)這3個自由度的驅(qū)動特性和理論模型的準確性。

2)相對于PD控制，PID控制應(yīng)用于五自由度驅(qū)動平臺能更好地消除穩(wěn)態(tài)誤差。

研究成果為激光加工的調(diào)焦功能和精密打孔奠定了基礎(chǔ)，接下來將進行x，y軸移動試驗以實現(xiàn)離軸式激光切割，并使用更高級的算法對控制系統(tǒng)進行驗證。