一類集值微分方程解的存在性和穩(wěn)定性

江 俊，洪世煌，盧靖琦

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

通常通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)來研究微分方程的穩(wěn)定性，但這種方法并不適用所有問題。當泛函微分方程帶有時滯時，Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造難度較大，Burton[1-2]的研究成果表明，不動點理論方法在證明穩(wěn)定性問題中應用更為方便。近年來，不動點方法的應用得到許多學者的關注，獲得很多有意義的結(jié)果，如Liu等[3-4]用Banach壓縮原理證明了一類非線性中立型微分方程全局漸近穩(wěn)定性；洪世煌等[5]運用不動點方法解決了一類脈沖集值微分方程解的存在性問題。如今，在時標集值微分方程的研究中，也開始運用不動點方法研究方程解的存在性和穩(wěn)定性[6-11]。受文獻[3]和文獻[5]的啟發(fā)，本文研究一類時滯集值微分方程解的存在性和穩(wěn)定性。

1 預備知識

Kc(Rn)表示Rn中所有非空的緊凸子集構(gòu)成的集合。定義Kc(Rn)中加法和數(shù)乘運算如下：

A+B={a+b|a∈A,b∈B}，λA={λa|a∈A}

其中，A,B∈Kc(Rn)，λ∈R。在Kc(Rn)上定義Hausdorff距離

Hausdorff距離滿足距離公理，即對任意的A,B,C∈Kc(Rn)及λ∈R，有：

(1)D[A,B]≥0,D[A,B]=0?A=B；

(2)D[A,B]=D[B,A]；

(3)D[λA,λB]=λD[A,B]；

(4)D[A,B]=D[A,C]+D[C,B]。

定義1設A,B∈Kc(Rn)，如果存在C∈Kc(Rn)使得A=B+C成立，則稱A和B的Hukuhara差(簡稱H-差)存在，記為C=A-B。

定義2設集值函數(shù)F∶I=[t0,T]→Kc(Rn)，對于t0∈I，若H-差F(t0+h)-F(t0)和F(t0)-F(t0-h)存在，極限

在Kc(Rn)中的拓撲意義下存在，則稱F在t0∈I可導，A為t0處的導數(shù)值，A∈Kc(Rn)，記為A=DHF(t0)。

定義3給定集值函數(shù)F∶I→Kc(Rn)，則

(1)若函數(shù)f∶I→Kc(Rn)滿足對任意t∈I，有f(t)∈F(t)，則稱f為F的一個選擇。SF表示F的所有Bochner可積選擇的集合；

(2)假設SF非空，則

稱為F的Hukuhara積分。若F的Hukuhara積分存在，則稱F可積。

關于集值微分方程的更多概念見文獻[6]。

引理1[6]設X∶[a,b]→Kc(Rn)可導，且DHX在[a,b]連續(xù)，則

(1)

引理2[6]如果X,Y∶[a,b]→Kc(Rn)可積，則

(2)

本文采用以下記號：

本文將用下述Leray-Schauder不動點定理證明解的存在性。

{u∈X∶?η∈(0,1),u=ηφ(u)}

2 主要結(jié)果

為了獲得非線性時滯微分方程解的穩(wěn)定性結(jié)果，首先給出下列方程解的存在性的充分條件。

(3)

(H2)存在α∈(0,1)，使得a(t)≤α。

(H3)對所有X1,Y1,X2,Y2∈χβ，有

(4)

其中，λ1,λ2∈C(J,R+)為單調(diào)遞增的有界函數(shù)。

(5)

顯然算子T的不動點即為式(3)的解。為了證明算子T有不動點，需要驗證T滿足引理3的條件。

首先，證明T在χ1連續(xù)。任取U∈χ1，并設序列{Un}?χ1收斂到U(n→∞)，從而，

由條件(H1)可知，

所以，

D[T(Un)(t),T(U)(t)]→0(Un→U)

故T在U上連續(xù)。

由條件(H3)知λ1,λ2是連續(xù)的，所以T(χ2)是有界的。

接下來，證明T是等度連續(xù)的。令w1,w2∈[t0,t0+c]且w1

由條件(H3)知λ1,λ2是有界的，設存在N1,N2>0，λ1(t)≤N1,λ2(t)≤N2，t∈[t0,t0+c]，

由t的任意性可得：

(6)

再由Gronwall不等式可得：

即

(7)

令

(8)

rn≤βm

(9)

對所有n=1,2,…，成立。另一方面，當n>max{N,βm}，由rn的假設，有rn>n≥βm，這與式(9)矛盾，所以集合χ3是有界的。同理，可以證明T(U)(t)=φ(t)，當t∈[t0-τ,t0]，依然滿足定理1的條件。所以，由引理3知，T在χ1存在不動點U1，U1即為式(3)的解。證畢。

接下來證明式(3)的穩(wěn)定性。

定理2在定理1成立的條件下，若0<αc+υ<1，則可證式(3)的平凡解是局部穩(wěn)定的。

(10)

所以，有

3 結(jié)束語

本文給出了非線性時滯集值微分方程解的存在性的充分條件，并證明解的存在性和穩(wěn)定性。下一步，計劃重點研究非線性中立型時滯集值微分方程解的存在性和集值微分方程的Hyers-Ulam-Rassias穩(wěn)定性。